Affaire n Feuille 1 sur 8 Rév A. Nom Affaire. Rédigé par ER/EM Date Fév Vérifié par HB Date Mars 2006

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1 Affaire n Feuille sur 8 Rév A Exemple Calcul d une section en C à ords tomés Rédigé par ER/EM Date Fév. 006 Vérifié par HB Date Mars 006 EXEMPLE DE CALCUL N CALCUL D UNE SECTION EN C À BORDS TOMBÉS Dimensionner une poutre sur appuis simples de section transversale en C à ords tomés dans un plancher exposé. Le matériau est un acier inoxydale de nuance.440 CP500, c est-à-dire formé à froid avec une limite d élasticité de 500 MPa. La poutre est simplement appuyée avec une portée l de 4 m. L espacement entre deux poutres adjacentes est de m. Comme la charge n est pas appliquée au centre de cisaillement de la section en C, il est nécessaire de vérifier l interaction entre la résistance à la torsion de la section transversale et la résistance au déversement de la arre. Dans cet exemple, cependant, on ne vérifie que la résistance au déversement de la arre. Coefficients Coefficients partiels : γ M0, et γ M, Taleau. Coefficients partiels pour actions : γ G,35 (charges permanentes) et γ Q,5.3. (charges variales) Actions Actions permanentes (G) : kn/m Actions variales (Q) : 3 kn/m Cas de chargement à considérer à l état limite ultime : * q γ G + γ Q 7, kn / m Éq..3 j G,j k,j Q, Analyse structurale Réactions d appuis (effort tranchant de calcul) * k, q 4 V Ed 4, 4 kn Moment fléchissant de calcul * 4 q M Ed 4, 4 knm 8 Caractéristiques de matériau Limite d élasticité f y 500 MPa Module d élasticité E MPa Module de cisaillement G MPa Taleau Caractéristiques de la section transversale L influence des angles arrondis sur la résistance de la section transversale peut être négligée si le rayon interne r 5t et r 0,0 p et la section transversale peut être supposée être constituée de parois planes avec des angles vifs. Pour les propriétés de rigidité de la section transversale, il convient de toujours prendre en compte l influence des angles arrondis

2 Affaire n Feuille sur 8 Rév A Exemple Calcul d une section en C à ords tomés Rédigé par ER/EM Date Fév. 006 Vérifié par HB Date Mars 006 z h y r c t y h c t r 60 mm 5 mm 30 mm 5 mm 5 mm z t g 5,6 mm Figure 4.5 p r [ tan( φ ) sin( φ ) ], mm gr rm r m r + t 7,5 mm r 5 mm 5t 5 mm r 5 mm 0,0p,56 mm L'influence des angles arrondis sur les caractéristiques de section peut être prise en compte, avec une précision suffisante, en réduisant les caractéristiques calculées pour une section transversale similaire comportant des angles vifs, en utilisant les approximations suivantes : Largeur plane théorique de la semelle, t g 5,6 mm Largeur plane théorique de l âme, p,f r h t g p,w r Largeur plane théorique du raidisseur de ord, A g,sh 6 mm I yg,sh 9, mm 4 δ n φ m j 0,43 r / o 90 j p,i j i 0,0 50,6 mm p,l c t / gr 5,30 mm Éq. 4. A g A g,sh ( - δ) 9 mm Éq. 4.8 I g I g,sh ( - δ) 8, mm 4 Éq. 4.9 Classification de la section transversale E ε f y ,5 Taleau 4. 0,669 Semelle : Parois internes comprimées. Partie soumise à la compression. c t g p r 5,6 mm c/t 3, > 30,7 ε, par conséquent, les semelles sont de Classe 4 94

3 Affaire n Feuille 3 sur 8 Rév A Exemple Calcul d une section en C à ords tomés Rédigé par ER/EM Date Fév. 006 Vérifié par HB Date Mars 006 Âme : Parois internes comprimées. Partie soumise à la flexion. c h t - g r 50,6 mm c/t 30, 56 ε, par conséquent, l âme est de Classe Raidisseur de ord : Parois comprimées en console. Partie soumise à la compression, raidisseur comprimé, c c t / gr 5,30 mm c/t 5,06 0 ε, par conséquent, le raidisseur est de Classe Calcul des caractéristiques de la section efficace 4.4. Largeur efficace de la semelle : Parois internes comprimées. Partie soumise à la Taleau 4.3 compression. p t gr 5,6 mm En supposant une distriution uniforme de contraintes dans la semelle comprimée : ψ et le coefficient de voilement k 4 t 8,4ε k p 0,608 0,77 0,5 Parois internes formées à froid : ρ 0,93 < p eff ρ 07,64 mm, e 0,5 eff 53,8 mm, e 0,5 eff 53,8 mm p Éq. 4. Effets du traînage de cisaillement 4.4. L effet du traînage de cisaillement dans les semelles peut être négligé si 0 < L e /50, où 0 est la largeur d une semelle en console ou la demi-largeur d une paroi interne et L e est la longueur entre points de moments nuls. Pour les parois internes : o (-t)/ 60 mm Longueur entre les points de moments nuls : L e 4000 mm, L e /50 80 mm Par conséquent, l effet de traînage de cisaillement peut être négligé. Déformation transversale des semelles a s u,55 mm (flexion de la semelle en direction de l axe neutre) 3, Clause 5.4 E t z s 4 mm est la largeur de la partie de la semelle sortant de l'âme t 5mm z 77,5 mm est la distance entre la semelle prise en considération et l'axe neutre a est la contrainte moyenne exercée sur les semelles, calculée avec la section rute (on suppose f y 500 MPa). La déformation transversale des semelles peut être négligée si u inférieur à 5% de la 95

4 Affaire n Feuille 4 sur 8 Rév A Exemple Calcul d une section en C à ords tomés Rédigé par ER/EM Date Fév. 006 Vérifié par HB Date Mars 006 hauteur de section : u,55 mm < 0,05h 8 mm, par conséquent, la déformation transversale des semelles peut être négligée. Parois raidies. Raidisseurs de ord Flamement par distorsion. Parois planes avec raidisseurs de ord 4.5. et pren , Clause Étape : Section transversale efficace initiale du raidisseur Pour les semelles (comme calculé ci-dessus) 5 mm p 5,6 mm eff 07,65 mm e 0,5 eff 53,8 mm e 0,5 eff 53,8 mm Pour le raidisseur, la largeur efficace c eff doit être calculée en utilisant le coefficient de voilement correspondant k, p et ρ donnés par les expressions suivantes : p,c c-t/-g r 5,30 mm p 5,6 mm 3, Clause p,c / p 0, < 0,35 alors : k 0,5 3, Éq. 5.3 a) raidisseur de ord à simple pli t 8,4ε k p 0,45 ( 30 mm ) Éq. 4. 0,3 Les parois en console formées à froid : ρ,08 > alors : ρ Éq. 4. p p c eff ρ p,c 5,30 mm 3, Éq. 5.3a Étape : Coefficient de réduction pour le flamement par distorsion Calcul des caractéristiques géométriques de la section efficace du raidisseur de ord e 53,8 mm c eff 5,30 mm 96

5 Affaire n Feuille 5 sur 8 Rév A Exemple Calcul d une section en C à ords tomés Rédigé par ER/EM Date Fév. 006 Vérifié par HB Date Mars 006 A s ( e +c eff )t 395,64 mm e g r t/ y a y t/ g r ceff 3, Fig. 5.9 y a 4,0 mm y 8,7 mm I s,8 mm 4 Calcul de la rigidité du support élastique par unité de longueur K 3 Et 3 4( υ ) hw + + 0,5 hwk f,487 MPa -y -t/ 04,3 mm (distance entre la jonction âme-semelle et le centre de gravité de l aire efficace du raidisseur de ord, incluant la partie efficace de la semelle e ) k f 0 (semelle tendue) h w 50 mm est la hauteur de l âme 3, Éq. 5.0 Contrainte critique de flamement élastique pour la section efficace du raidisseur de ord cr,s KEI A s s 59,95 N mm Coefficient de réduction χ d pour le flamement par distorsion d f 0,98 y cr, s 3, Éq ,65< d <,38 then χ d,47 0,73 d 0, 76 3, Éq. 5.d L aire et l épaisseur réduites de la section efficace du raidisseur f y γ M0 A s,red χdas 300,88 mm 3, Éq. 5.7 com,ed t red ta s,red /A s 3,8 mm Le calcul des propriétés de la section efficace avec prise en compte de l effet du flamement par distorsion donne : A eff,sh 08 mm n φ m j δ 0,43 rj / p,i 0,0 o 90 j i Éq. 4. A eff A eff,sh ( - δ) 987 mm Éq

6 Affaire n Feuille 6 sur 8 Rév A Exemple Calcul d une section en C à ords tomés Rédigé par ER/EM Date Fév. 006 Vérifié par HB Date Mars 006 z G 68,98 mm (distance entre la fire inférieure et l axe neutre) I y,eff,sh 8, mm 4 I y,eff I y,eff,sh ( - δ) 7, mm 4 Éq. 4.9 W y,eff, sup 9, mm 3 W y,eff, inf 5, 0 3 mm 3 Résistance de la section transversale 4.7 Résistance de la section transversale à la flexion W f / γ 4,97 knm pour la section transversale de Classe 4 Éq. 4.9 Mc,Rd y,eff,min y M0 Moment sollicitant de calcul : M Ed 4,4 knm La résistance de la section transversale est ainsi vérifiée. Résistance de la section transversale à l effort tranchant A f 3 / γ 09,95 Éq ( ) kn Vpl,Rd v y M0 A v 800 mm est l aire résistante à l effort tranchant L effort tranchant sollicitant de calcul : V Ed 4,4 kn La résistance de la section à l effort tranchant est ainsi vérifiée. Résistance de la section transversale à une sollicitation cominée V Ed 4,4 kn < 0,5V pl,rd 04,97 kn Il n y a pas d interaction entre le moment fléchissant et l effort tranchant. Vérification de l élément de poutre en flexion 5.4 Résistance au déversement 5.4. M,Rd χ W f γ pour la section transversale de Classe 4 Éq. 5.8 LT y,eff,sup y M χ LT Éq. 5.9 ϕ LT 0,5 + [ ϕlt LT ] ( + α ( 0, ) + ) ϕ 0 Éq. 5.0 LT,5 LT LT 4 cr LT Wy,eff f y LT Éq. 5. M α LT 0,34 pour des sections formées à froid Calcul du moment critique au déversement de la poutre 98

7 Affaire n Feuille 7 sur 8 Rév A Exemple Calcul d une section en C à ords tomés Rédigé par ER/EM Date Fév. 006 Vérifié par HB Date Mars 006 M cr / π EI z k + ( ) z I w C g 3 j g 3 j kzl π k w Iz EIz ( kzl) GIt + ( C z C z ) ( C z C z ) Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie : C,, C 0,45 et C 3 0,55. On considère des conditions normales de maintien à chaque extrémité : k z k w z j 0 pour une section transversale à semelles égales z g z a -z s h/ 80 mm z a est la position du point d application de la charge z s est la position du centre de cisaillement y G 45,34 mm (distance entre l axe de l âme et le centre de gravité) I z,sh 4, mm 4 I t,sh 8,0 0 3 mm 4 I w,sh 3,9 0 9 mm 6 I z I z,sh ( - δ) 4, mm 4 I t I t,sh ( - δ) 7, mm 4 I w I w,sh ( - 4δ), mm 6 Note : L expression utilisée pour déterminer la torsion non uniforme est otenue à partir de Wei-Wen You, Cold-Formed Steel Design, Annexe B-Torsion Alors, / π EI z k z I w Mcr C g g ( k L) k z + + w Iz π EIz ( k L) GI z t ( C z ) ( C z ) 33,74 knm Wy,eff,supf y LT,7 (W y,eff, sup 9, mm 3, semelle comprimée) M ϕ LT χ cr ( + α ( 0,4) + ), 35 0,5 LT LT LT [ ϕlt LT ] LT 0,5 ϕlt + 0,5 M,Rd χltwy,eff,supf y γ M,9 knm Moment sollicitant de calcul : M Ed 4,4 knm. Par conséquent, la résistance au déversement est vérifiée. Note : comme la charge n est pas appliquée au centre de cisaillement de la section en C, il est aussi nécessaire de vérifier l interaction entre la résistance de la section transversale à la torsion et la résistance de la poutre au déversement. Annexe B, B. Résistance au voilement par cisaillement La résistance au voilement par cisaillement est à vérifier, pour une âme non raidie, seulement si : h w / t 5ε η. 99

8 Affaire n Feuille 8 sur 8 Rév A Exemple Calcul d une section en C à ords tomés Rédigé par ER/EM Date Fév. 006 Vérifié par HB Date Mars 006 La valeur recommandée pour η,0 h w / t 8 et 5 ε η 8, 99 Ainsi, aucune vérification supplémentaire n est nécessaire. 00