Chapitre II : Les fonctions logiques

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1 Chapitre II : Les fonctions logiques I. Introduction Les circuits logiques sont caractérisés par des variables binaires, qui affectent des transitions entre deu états possibles. Ces deu états sont appelés niveau haut (vrai) et niveau bas (fau) ou niveau et niveau. Pour étudier d une manière systématique ces variables binaires, on utilise une algèbre différente de l algèbre classique, dite algèbre de Boole, du nom du mathématicien anglais, inventeur de ce concept (George Boole ). II. Définitions variable logique : Un système numérique ne manipule que de donnée binaire. On appelle donc variable logique une donnée binaire c'est-à-dire ayant deu états possible ou Fonction logique : On appelle une fonction logique une entité acceptant plusieurs valeur logique en entré et dont la sortie (qui peut y avoir plusieurs) peut avoir deu étapes possible ou. On réalise des fonctions logique par des composants électroniques admettant des signau électriques en entrée et restituant un signal en sortie { logique à 5v ; logique à v}. Les lois de composition : Les lois de composition sont des règles logiques qui permettent de simplifier l écriture de l epression algébrique (algèbre de BOOLE) L algèbre de Boole est l outil mathématique qui permet d établir la relation entre les sorties et les entrées d un système logique (synthèse du système). Réciproquement, cet outil nous permet de déterminer les règles de fonctionnement d un système logique eistant (analyse du système). III. Les opérateurs logiques de base Les portes logiques sont des circuits électroniques dont les fonctions de transfert matérialisant les opérations de base appliquées à des variables électriques. ANI : Norme américaine CEI : Norme européenne Ouerghemmi N & Tarhouni W

2 Fonction Définition Table Equation ymboles chéma à contact Circuits OUI NON OU ET NOR Non ou NAND Non Et La sortie est toujours égale à la variable binaire d entrée. La sortie est le complément de la variable binaire d entrée. La sortie est égale à si au moins une des variables d entrée prend la valeur. La sortie est égale à lorsque toutes les variables d entrée sont actionnées simultanément. La sortie est égale à si aucune variable d entrée n est actionnée. simultanément. La sortie est égale à si au moins l une des variables d entrée n est pas actionnée. X y X y X y X y =. =. =. =. =. =. = = = = y y y y TTL : C.I 747 MO : C.I 4 TTL : C.I 744 MO :C.I 449 TTL : C.I 7432 MO :C.I 47 TTL : C.I 748 MO : C.I 48 TTL : C.I 742 MO : C.I 4 TTL : C.I 74 MO : C.I 4 Ouerghemmi N & Tarhouni W 2

3 IV. Théorèmes de l algèbre de Boole L'ensemble de Boole B={,} munit des fonctions logiques élémentaires NO (complément), AND (appelé multiplication logique) et OR (appelé addition logique) constitue une algèbre. Nous allons donner ci-dessous les différentes propriétés de ces opérateurs: Théorèmes Produits ommes Associativité ( a. b). c a.( b. c) a. b. c ( a b) c a ( b c) a b c Commutativité a. b b. a a b b a Idempotence a. a a aa a Absorption a a. b a a.( a b) a Allégement a.( a b) a. b a a. b a b Complémentarité aa. aa Distributivité a.( b c) a. b a. c Constantes a. a ( b. c) ( a b).( a c) a a. a a a Les théorèmes, ci-dessus peuvent être démontrés facilement par une table de vérité Le calcul algébrique est grandement facilité par l'utilisation des théorèmes de De Morgan et de hannon.. Théorème de Morgan Le complément d'un produit est égal au produit des compléments: a b a. b et a. b a b A tout produit logique du premier membre correspond une somme logique dans le second membre A tout somme logique du premier membre correspondant un produit logique dans le second membre Toute grandeur logique de premier membre correspond la grandeur complémentaire dans le second membre les théorèmes de DEMORGAN peuvent être appliqués à des produits logiques (somme logiques) comportant un nombre quelconque de variables Eemple Donner l écriture de la fonction F a b c. d ous forme d une somme des produits Ouerghemmi N & Tarhouni W 3

4 F a b c. d a. b.( c d) a. bc. a. b. d 2. Théorème de hannon Le complément d'une fonction logique s'obtient en complémentant chacune des variables et en permutant les opérateurs ET et OU : f(a, B, C, +,. ) = f(a, B, C, +,. ) Eemple: oit la fonction F(a, b, c) = abc + abc + abc + abc. On peut utiliser l'associativité de l'addition logique, la distributivité de la multiplication logique par rapport à l'addition logique et réécrire l'epression précédente sous la forme: F(a, b, c) = (a. b. c + a. b. c) + a. b. c + a. b. c = b. c + a. b. c + a. b. c = b. (c + a. c) + a. b. c En utilisant les autres propriétés: l'idempotence, l'élément neutre...etc, on aboutit à l'epression suivante: F(a, b, c) = b. (c + c). ( + a) + a. b. c = b + a. b. c = (b + b). a. c = a. c Théoriquement, on peut obtenir ainsi l'epression simplifiée, mais le calcul algebrique n'est pas toujours aisé, surtout lorsque le nombre des variables devient important. D'autre part, on n'est jamais sûr que l'epression obtenue est la plus simple. V. Représentation d une fonction logique Une fonction logique est une combinaison des variables Booléennes (binaires) reliées par des opérateurs ET, OU et NON. Elle peut être représentée soit par une écriture algébrique, soit par une table de vérité, soit par un tableau de Karnaugh, soit par un logigramme.. Représentation algébrique Une fonction logique écrite sous forme algébrique, peut être représenté sous différentes formes : somme, produit, somme canonique ou produit canonique. Ouerghemmi N & Tarhouni W 4

5 a. Forme somme Une fonction logique est écrite sous la forme de somme, si elle est constituée de plusieurs termes reliés entre eu par l opération OU Eemple : X A B X2 ABC X3 A.( B C) B. D( AC) b. Forme produit Une fonction logique est écrite sous la forme de produit, si elle est constituée de plusieurs facteurs reliés entre eu par l opération ET Eemple : X A B X 2 A( B C)( D E) X3 ( B A).( DC). c. Forme somme canonique Une fonction logique est écrite sous la forme de somme canonique, si toutes les variables figurent dans chaque terme et si, dans chacun de ces termes, toutes les variables sont reliées entre elle par l opérateur ET. Ces termes se désignent sous le nom mintermes. Eemple : oit les fonctions à trois variables A,B,C X ABC.. ABC.. X2 A. BC. A. BC. A. BC. X3 A. B A. BC. Toutes ces fonctions sont écrites sous forme de somme canonique sauf la fonction X 3 car son premier terme n est pas un miniterme (puisque C n apparait pas dans ce terme) d. Forme produit canonique Une fonction logique est écrite sous la forme de produit canonique, si toutes les variables figurent dans chaque produit et si, dans chacun de ces termes, toutes les variables sont reliées entre elle par l opérateur OU. Ces termes se désignent sous le nom matermes. Eemple : oit les fonctions à 4variables A,B,C,D X ( A B C D).( A B C D) X2 ( A B)( A B C D)( A B C D) La fonction X 2 n est pas sous forme de produit canonique car le premier produit ne contient pas les variables C et D, donc ce n est pas matermes. Table de vérité Une table de vérité définit les relations entrée(s)/sortie(s) en faisant la liste de toutes les possibilités, une ligne à la fois dans la table. Ouerghemmi N & Tarhouni W 5

6 Une table de vérité contient 2 N lignes, avec N correspond au nombre des variables d entrée. i on a N entrées et M sorties donc on aura (N+M) colonnes dans la table de vérité. Une epression logique X (A, B, C, ) fonction A, B, C.peut être représenté par une table de vérité. Cette table donne les valeurs que peut prendre X suivant les différentes combinaisons des variables A, B, C. Eemple : oit la table de vérité suivante à trois variables A, B, C A B C X L epression algébrique de la fonction X est donnée par la somme des mintermes des trois variables A, B, C relatifs à chaque case de X= X A. B. C AB.. C A. B. C On note qu une table de vérité donne l epression de X sous forme de somme canonique. Le logigramme C est une méthode graphique basée sur les symboles des portes logiques. Eemple : oit la fonction logique, impliquant les variables logiques A, B et C, telle que F soit définie par l équation : A. B B. C ( C A) Le circuit logique (logigramme) correspondant à cette fonction est le suivant : A B C Tableau de Karnaugh Le tableau de Karnaugh est un moyen simple pour représenter une epression (ou fonction) booléenne comportant un nombre donné de variables. Ouerghemmi N & Tarhouni W 6

7 Construction du tableau de Karnaugh : Pour N variables booléennes : Le tableau comporte 2 N cases. Chaque case représente un produit binaire. Pour inscrire une fonction une fonction logique dans un tableau de Karnaugh, celle-ci doit se présenter sous forme d une somme de produits logiques. Dans chaque case de tableau, on inscrit ou selon la présence ou non de la forme canonique de la fonction du terme correspondant. On passe d une case à la case adjacente en changeant l état d une seule variable. On passe d une colonne à une colonne suivante (respectivement d une ligne à une ligne suivante) en changeant l état d une seule variable (par le code Gray). Eemple : c f ( a, b, c) abc abc abc abc ab Remarque : Les cases etrêmes d un tableau de Karnaugh doivent être considérées comme adjacentes comme si le tableau était en fait un cylindre développé. VI. implification des fonctions logiques La simplification d une fonction consiste à obtenir son epression la plus compacte possible afin de minimiser le nombre d opérateurs logiques nécessaires à sa réalisation. On distingue deu méthodes de simplification : Méthode algébrique (Algèbre de Boole). Méthode graphique (Tableau de Karnaugh). Mais la méthode la plus rapide et la plus sûr est la simplification par les tableau de Karnaugh. Méthode algébrique Les théorèmes de l algèbre de Boole étudiés précédemment peuvent nous être utiles pour simplifier une epression logique. Pour cela prenons quelque eemple Eemple X A. B. C A. B. C A. B. C A. B( C C) A. B. C A. B A. B. C A.( B B. C) A.( B C) Eemple 2 Z A. B A. B A. B B.( A A) A. B B A. B A B Ouerghemmi N & Tarhouni W 7

8 2. Méthode graphique : simplification par tableau de Karnaugh Cette méthode repose sur l utilisation des tableau de Karnaugh. a. Tableau de Karnaugh C'est une table de vérité à deu dimensions. L'intersection d'une ligne avec une colonne constitue une case. Les variables sont divisées en deu groupes: des variables lignes et des variables lignes et des variables colonnes. Le tableau est construit tel que deu cases adjacentes correspondent à deu combinaisons adjacentes. Voila des eemples de tableau de Karnaugh représentants 2, 3, 4 ou 5 variables logiques d entrée: y y z Tableau à 2 variables Tableau à 3 variables zt y yz tu Tableau à 4 variables Tableau à 5 variables b. Règles de regroupement. On ne regroupe que les points vrais de la fonction qui sont adjacents (contenant des ). 2. On ne peut regrouper que 2 k cases adjacentes (nombre pair). 3. Un point vrai peut être utilisé plusieurs fois dans des groupements différents. 4. On doit utiliser au moins une fois tout les points vrais de la fonction. 5. On doit rechercher les groupements les plus grands possible pour minimiser le nombre des variables utiles. 6. i une fonction est eprimée avec N variables, un regroupement de 2 k cases conduit à un terme produit simplifié de (N k) variables. Les k variables éliminés sont celle qui ont varié dans le regroupement. 7. La fonction simplifiée est la réunion des différents regroupements. Ouerghemmi N & Tarhouni W 8

9 c. implification par les tableau de Karnaugh Pour 3 variables d entrée : (a, b et c) Pour 4 variables d entrée : (a, b, c et d) Etats possible pour l entrée a s Etats possible pour l entrée b et c bc cd a ab On utilise obligatoirement Le code Gray d. Principe de simplification Réaliser des groupements de adjacents, dans l ordre, par 6, 8, 4,2 ou. Il faut toujours s arranger à regrouper le maimum de pour diminuer la taille des termes. Lorsqu il ne reste plus de isolé, les regroupements sont terminés. L équation simplifiée est déduite de ces groupements Il et également possible et c est parfois facile de regrouper les états de la fonction F et de considérer que nous étudions F Eemples : bc a = a. b. c + a. c + a. b cd ab 2 = d cd ab cd ab 3 = b. d 4 = c + b. d Ouerghemmi N & Tarhouni W 9

10 Ouerghemmi N & Tarhouni W

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