s'exprime en fonction de u 10. Calculer u n ). u et on étudie son signe. = 2. Déterminer le sens de variation de cette suite.

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1 Première S / mathématiques Préparatio Termiale S Mme MAINGUY Défiir ue suite umérique Sythèse Ê SUITES NUMÉRIQUES u s'exprime e foctio de Cette suite est défiie par u = f ( ) Ê par ue formule explicite si le terme Coaissat la valeur du rag, o peut alors calculer 'importe que terme u Ê par ue formule de récurrece si le terme u + s'exprime e foctio de u Cette suite est le plus souvet défiie par la valeur de u et u = + f ( u) Pour calculer u +, il faut coaître le terme qui le précède Exemples u Soit la suite ( ) u défiie par u 7 = et u = u + + Calculer u 4 v = + Calculer v Soit la suite ( v ) défiie par Ses de variatio d'ue suite umérique Ê la suite umérique ( ) Ê la suite umérique ( ) Ê la suite umérique ( ) u est dite croissate ssi pour tout u + u cad u u + u est dite décroissate ssi pour tout u + u cad u u + u est dite costate ssi pour tout u = + u cad u u = + Ê la suite umérique ( u ) est dite mootoe ssi elle est croissate ou décroissate Commet démotrer qu'ue suite est croissate ou décroissate? méthode o calcule la différece de deux termes cosécutifs u+ u et o étudie so sige méthode uiquemet das le cas où tous les termes de la suite sot strictemet positifs! u+ o calcule le quotiet et o compare à u méthode uiquemet das le cas d'ue suite défiie par u = f ( ) o étudie le ses de variatio de la foctio f associée à la suite ( u ) Exemples v a/ Résoudre l'iéquatio x+ x+ + b/ Détermier le ses de variatio de la suite ( u ) défiie par u = ( u ) est la suite défiie sur! par u = Détermier le ses de variatio de cette suite + Formulaire des suites arithmétiques formule de récurrece u = u + + r formules explicites ( ) somme de termes o peut reteir u = u + p r ou u u r p S = b de termes S = u + u + + u = + ( ) u + u = + ou = + ( ) ( er terme + derier terme) u u r

2 Première S / mathématiques Préparatio Termiale S Mme MAINGUY Exemples w Soit ue suite ( ) a/ Soit ( ) S = u p + + u = ( p +) u + u p u arithmétique de raiso r O doe u 7 = 4 et u 4 = 7 Trouver la raiso r et le premier terme u E déduire la valeur de u 5 u ue suite arithmétique O sait que u 5 = 5 et u 6 = 48 Calculer la raiso et le premier terme de cette suite b/ E déduire u e foctio de c/ Pour quelle valeur de a-t-o u = 7? d/ À partir de quel rag a-t-o u 5? e/ Calculer la somme S = u u 4 Variatios d'ue suite arithmétique u ue suite arithmétique de raiso r Soit ( ) la suite ( u ) est croissate ssi r > la suite ( u ) est décroissate ssi r < la suite ( ) u est costate ssi r = Das les trois cas, la représetatio graphique de la suite est u esemble de poits aligés sur ue droite de coefficiet directeur r et d'ordoée à l'origie u 4 Formulaire des suites géométriques formule de récurrece u = u + q formules explicites p u up q somme de termes o peut reteir = ou u = u q ou q+ S = u + u + + u = u q p+ q S = u p + + u = u p q er raiso S = terme raiso b de termes u = u q Exemple x ( u ) est la suite géométrique de raiso égative telle que u = 84 et u 4 = 644 Calculer la raiso q et le premier terme u Variatios d'ue suite géométrique u ue suite géométrique de raiso q et de premier terme u Soit ( ) si q = ou si q > et si q > et si < q < et si < q < et u =, la suite ( ) u >, la suite ( ) u <, la suite ( ) u >, la suite ( ) u <, la suite ( ) u est costate (ou statioaire); u est strictemet croissate; u est strictemet décroissate; u est strictemet décroissate; u est strictemet croissate; si q <, la suite est alterée (doc i croissate i décroissate)

3 Première S / mathématiques Préparatio Termiale S Mme MAINGUY Exemple y O défiit la suite ( ) a/ Calculer ; ; u par et pour tout, u = u et u = u est-elle arithmétique? géométrique? u u u La suite ( ) b/ O pose v = u + + Calculer v ; v ; v c/ Démotrer que, pour tout, v = + v d/ E déduire l'expressio de v e foctio de puis celle de u e foctio de e/ Étudier les variatios de ( u ) f/ Calculer S = u + u + + u 5 Costructios graphiques Suite explicite Das la cas d'ue suite défiie par u f ( ) =, il suffit de coaître la représetatio graphique de la foctio f pour représeter la suite Exemple ci-cotre, la suite ( u ) défiie par u = + Suite défiie par récurrece Das la cas d'ue suite défiie par so premier terme et la relatio u f ( u ) + =, il faut la représetatio graphique de la foctio f mais il faut aussi tracer la droite d'équatio y = x afi de reporter de proche e proche les termes de la suite sur l'axe des abscisses Exemple ci-cotre, la suite ( ) u =, u = u u ( ) + u défiie par

4 4 Première S / mathématiques Préparatio Termiale S Mme MAINGUY Correctio des exemples Exemples u Soit la suite ( ) u défiie par u 7 = et u = u + + Calculer u 4 v = + Calculer v Soit la suite ( v ) défiie par u 8 = u 7 + = ( ) + = 4 + = 6 v = 4 u 9 = u 8 + = 6 + = u = u 9 + = + = 54 u = u + = 54 + = 8 + = 4 Exemples v a/ Résoudre l'iéquatio x+ x+ + b/ Détermier le ses de variatio de la suite ( u ) défiie par u = ( u ) est la suite défiie sur! par u = Détermier le ses de variatio de cette suite + a/ x + x + x x x x remarque il apparaît clair que cette demade de résolutio d ue iéquatio très facile doit servir à la questio suivate! b/ Calculos puis étudios le sige de u + u u + u = ( ) = + + = + ( + ) + Pour tout, + > Pour tout, + + O e déduit alors que pour tout, ( ) ; e effet o sait d après la questio précédete que x, x + ( x + ) u + u La suite ( u ) est doc décroissateà x + Étudios les variatios de la foctio f cette foctio est dérivable sur so esemble de défiitio La suite ( u ) est de la forme u = f ( ) avec la foctio défiie sur! + par f ( x) = x, f ( ) ( ) = 6x ( x +) ( x) = x x + Il e résulte que la foctio f est croissate sur! + Il apparaît évidet que pour tout x, f ( x ) et e coséquece, la suite ( u ) est croissate sur!

5 5 Première S / mathématiques Préparatio Termiale S Mme MAINGUY Exemples w Soit ue suite ( ) a/ Soit ( ) u arithmétique de raiso r O doe u 7 = 4 et u 4 = 7 Trouver la raiso r et le premier terme u E déduire la valeur de u 5 u ue suite arithmétique O sait que u 5 = 5 et u 6 = 48 Calculer la raiso et le premier terme de cette suite b/ E déduire u e foctio de c/ Pour quelle valeur de a-t-o u = 7? d/ À partir de quel rag a-t-o u 5? e/ Calculer la somme S = u u 4 u 4 = u 7 + ( 4 7)r 7 = 4 + r 7 4 = r r = 46 = O a alors u 7 = u +7r u = u 7 7r = 4 7 = La suite arithmétique u ( ) a pour er terme u = et pour raiso a/ u 5 = u 6 + ( 5 6)r 5 = 48 r 5 48 = r 77 = r r = 77 = 7 ( ) 48 = u u = 48 + = 6 ( ) est arithmétique de er terme u = 6 et de raiso r = 7 O a alors u 6 = u +6r 48 = u +6 7 La suite u b/ O a alors pour tout etier aturel, u = u + r cad u = 6 7 c/ u = = 7 7 = = 87 = 87 = 4 ; aisi l uique valeur de 7 telle que u = 7 est = 4 d/ O résout u 5 u ,6 O e déduit qu à partir de = 59, o a u 5 e/ S = u u 4 = ( ) u + u Il faut doc d abord calculer les valeurs de u 894 et u 4 u 894 = u +894r = = 98 u 4 = u + 4r = = 98 O obtiet alors S = = Exemple x ( u ) est la suite géométrique de raiso égative telle que u = 84 et u 4 = 644 Calculer la raiso q et le premier terme u O a u 4 = u q = 84 q 4 q 4 = O a alors u = u q 9 84 = u = 6 = ( ) 4 = 4 Or o sait que la raiso q est égative, d où q = ( ) 9 u = 84 ( ) = 9 4 =,75

6 6 Première S / mathématiques Préparatio Termiale S Mme MAINGUY Exemple y O défiit la suite ( ) a/ Calculer ; ; u pour tout, par u = u et u = u est-elle arithmétique? géométrique? u u u La suite ( ) b/ O pose v = u + + Calculer v ; v ; v c/ Démotrer que, pour tout, v = + v d/ E déduire l'expressio de v e foctio de puis celle de u e foctio de e/ Étudier les variatios de ( u ) f/ Calculer S = u + u + + u a/ u = u + + = + = ; u = u ++ = ++ = 8 ; u = u + + = = 9 La suite est-elle arithmétique? Comparos u u et u u u u = 9 8 = u u = 8 = 7 d 'où La suite est-elle géométrique? Comparos u u et u u u = 9 u 8 u = 8 d 'où u = 8 u u u u u u u u, la suite est pas arithmétique, la suite est pas géométrique b/ Soit v ( ) défiie pour tout par v = u + + v = u + + = + = ; v = u ++ = ++ = 6 ; v = u + + = = c/ v + = u = u = u = ( u + + ) = v CQFD d/ À la questio précédete, o recoaît alors la formule de récurrece d ue suite géométrique de raiso q = O a alors pour tout etier aturel, v = v q cad v = De plus, o peut écrire pour tout etier aturel u = v = e/ Étudios les variatios de la suite u u + u = + + ( ) o calcule et o étudie le sige de u + u ( ) ( ) = = ( ) = = = v Or pour tout etier aturel, la suite ( v ) est strictemet croissate ( er terme positif et de raiso strictemet supérieure à ), elle est doc miorée par so er terme v = Cad pour tout etier aturel, v d où v où ecore u + u La suite u ( ) est doc croissate

7 7 Première S / mathématiques Préparatio Termiale S Mme MAINGUY f/ S = u + u + + u = u k = v k k = v k k Or v k k= k= k= k= est la somme des + premiers termes de la suite géométrique v k est la somme des + premiers etiers aturels ; k= = + k= ( ) La somme S s écrit alors q+ S = v q ( + ) + = + ( +) ( ) + 4( +) ( ( ) + )( + 4) = + k= k= ( ) ;

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