Suites. tel que : :. La suite se note u ou avec des parenthèses Le terme initial de la suite est u

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1 Sites A) Sites mériqes Notio de site Défiitio : Ue site est e foctio qi à tot etier atrel associe ombre réel, oté tel qe : : La site se ote o avec des parethèses Le terme iitial de la site est o p qad la site commece à partir de l'idice p Notatios et vocablaire : o () est le terme gééral de la site : c est le terme de rag ième Attetio à l écritre idicielle : est le terme c'est-à-dire le terme qi sit alors qe est la somme d ième terme et de Mode de géératio d e site Défiitio : Ue site pet être défiie par procédé aléatoire, par e formle o par algorithme : ) Formle explicite : Por tot, f () Le terme gééral est foctio de l idice ) Formle de récrrece : Por tot, f ( ) Le terme gééral est foctio d terme précédet Das ce cas il fat idiqer le terme iitial 3) Algorithme : Por tot, l algorithme revoie réel à partir d etier atrel Exemples : Soit f la foctio défiie sr R par : f ( x) x 5 ) La site telle qe por tot etier par : 5 La site est alors défiie par e formle explicite, o pet calcler directemet importe leqel de ces termes comme par exemple : ) La site v telle qe por tot etier par : v v 5 et v La site v est alors défiie par e formle de récrrece, por calcler de ces termes o a besoi de tos les précédets comme par exemple : v v 5 mais o coaît pas v 3 v 5 v v 5 5 v 5 5 v 3 v v mais o coaît pas v O e dédit qe : v 3 Et efi : si est pair 3) La site w telle qe por tot etier par : w 3 si est impair La site w est alors défiie par algorithme qi permet de calcler directemet importe leqel de ces termes comme par exemple : 37 o Lycée Fraçais de DOHA Aée 7 8 M Evao

2 3 Représetatio graphiqe d e site défiie de faço explicite Soit f e foctio défiie sr graphiqemet la site ; et cosiste à placer les poits de coordoées ; Exemple : Soit la site défiie sr N par : 6 O a por tot etier atrel, f () où f est la foctio défiie sr 3 ; par : f ( x) x 6 f () 6 ; f () 8 ; f () la site défiie sr N par : f () Représeter f () 6 Graphiqemet, les termes de la site sot les A ; d'abscisses etières de ordoées des poits la corbe C f das repère 4 Représetatio graphiqe d e site défiie de par récrrece Soit f e foctio défiie sr itervalle I et la site défiie sr N par : f ( ) et Représeter graphiqemet la site cosiste à placer les poits de coordoées ; de la faço sivate, das repère ) O place poit A ; pis le poit B C f d abscisse ) O a alors B ; f ( ) d où B ; car f ( ) 3) O place esite le poit C sr la droite d éqatio y x ayat même ordoée qe B 4) O a alors C ; car y B et C d éqatio y x 5) O projette le poit C sr l axe des abscisses por obteir le poit A ; 6) O recommece le procédé Exemple : Soit la site défiie sr N par : 6 et O a doc por tot etier, f ( ) où f est la foctio défiie sr 3 ; par : f ( x) x 6 f ( ) f ( ) 4 f ( ) f () B C Graphiqemet, f Por détermier ; B ; il fat placer, l ordoée de B e abscisse O «reporte» doc sr l'axe Ox e tilisat la droite : y x O porsit de même por costrire : B ; 3, B 3 3 ; 4 Lycée Fraçais de DOHA Aée 7 8 M Evao

3 5 Ses de variatio d e site Défiitio : Ue site est croissate si et selemet si, por tot etier o a : o Ue site est décroissate si et selemet si, por tot etier o a : o Ue site est costate si et selemet si, por tot etier o a : o Exercice : Calcler les termes et por chace des sites ci-dessos : ) ) et 3) 4) 45, 8 5), 9 et 6) et 7), 8) et 3 Exercice : Ue foctio f est représetée ci-dessos O cosidère les sites défiies par por tot etier par : f ( ) et v f () Doer, par lectre graphiqe, les 3 premiers termes des sites et v Lycée Fraçais de DOHA Aée 7 8 M Evao

4 Exercice 3 : Etdier les variatios des sites à l aide d sige de la différece : ) 4), 9 ) 4 3) Exercice 4 : La site est défiie sr N * par : ) Vérifiez qe por tot etier : 5), 9 6) et 5 ) E dédire les variatios de la site 3) Qelle atre méthode arait-o p tiliser por étdier les variatios de? Exercice 5 : Soit la site défiie sr N par 3 4 ) O doe ci-dessos la représetatio de la foctio f défiie par : x 3x 4 f Représeter graphiqemet les trois premiers termes de la site? ) Qelle cojectre pet-o émettre sr la mootoie de la site Lycée Fraçais de DOHA Aée 7 8 M Evao

5 B) Sites arithmétiqes Défiitio et formles Défiitio : forme récrsive Ue site est arithmétiqe lorsqe, à partir d terme iitial, l o passe d' terme de la site a terme sivat e ajotat tojors le même ombre a, appelé raiso N : a avec réel doé Théorème : forme explicite La formle explicite d terme gééral e foctio de est : N : a et k N et N : ( k a k ) Démostratio : A l aide d schéma ci-dessos o pet établir la formle explicite d terme gééral e foctio de : N : a et k N et N : ( k a Recoaissace de la atre k ) Propriété : algébriqe Ue site est arithmétiqe de raiso a si et selemet si N : a Propriété : graphiqe Si e site est arithmétiqe de raiso a alors N : a f ( ) La site est liée à la foctio affie f ( x) ax b avec b doc sa représetatio graphiqe est e série de poits sités sr la droite d éqatio : y ax b 3 Ses de variatio Propriété : est e site arithmétiqe de raiso a Si Si Si a, a, a, est strictemet croissate est strictemet décroissate est costate Démostratio : Soit e site est arithmétiqe de raiso a O a alors : N : a et doc N : a D où la variatio de la site déped iqemet d sige de la raiso a Lycée Fraçais de DOHA Aée 7 8 M Evao

6 C) Sites géométriqes Défiitio et formles Défiitio : forme récrsive Ue site est géométriqe lorsqe, à partir d terme iitial, l o passe d' terme de la site a terme sivat e mltipliat tojors par le même ombre q, appelé raiso : N : : q avec doé Théorème : forme explicite La formle explicite d terme gééral e foctio de est : N : q et k N et N : k k q Démostratio : A l aide d schéma ci-dessos o pet établir la formle explicite d terme gééral e foctio de : N : q et k N et N : k k q Recoaissace de la atre Propriété : Ue site est géométriqe de raiso q si et selemet si N : q 3 Ses de variatio Propriétés :, est e site géométriqe de raiso q et de terme iitial positif Si est strictemet croissate q, q, q o si q, Si Si est strictemet décroissate est costate Démostratio : Soit e site est géométriqe de raiso q Alors N : q q q q Or et q D où la variatio de la site déped d sige de q O e dédit les coclsios de la propriété précédete Lycée Fraçais de DOHA Aée 7 8 M Evao

7 Exercice 6 : Les sites sivates, doées par le terme iitial et e formle de récrrece, sot-elles arithmétiqes? géométriqes? Si tel est le cas, exprimer le terme gééral e foctio de et doer les variatios de ) et ) v v 4 et v w 3) w et w 3 4) 9 5) 3 et Exercice 7 : Détermier parmi les sites sivates, doées par le terme gééral, les sites géométriqes et arithmétiqes Si tel est le cas, préciser la raiso ) ) ) 3 6 5) 3) 3,,3 Exercice 8 : La site est arithmétiqe de raiso a Exprimer le terme gééral e foctio de et doer les variatios de ) 3 et a 4 3) 5 et 45 ) et a, Exercice 9 : La site est géométriqe de raiso q Exprimer le terme gééral e foctio de et doer les variatios de ) 3 et q 4 3) 5 et, 5 ) 5 et q, 5 Exercice : Avec Excel ) O cosidère la site dot o a calclé les premiers termes à l aide de la feille de calcls ci-cotre : a) Lire et b) E B3 o a tapé la formle : =3*B+ E dédire e formle de récrrece liat et por tot etier atrel c) Compléter le tablea ci-cotre à l aide d Tabler ) O pose v,5 3, 5 por tot N a) Qelle formle fat-il taper e C? v à l aide d b) Calcler les er termes de Tabler c) Qe pet-o cojectrer por les sites et v? Lycée Fraçais de DOHA Aée 7 8 M Evao

8 Exercice : Bac ES Podichéry 3 Le er javier, cliet a placé 3 à itérêts composés a tax ael de,5% O ote C le capital d cliet a er javier de l aée, où est etier atrel ) Calcler C et C Arrodir les résltats a cetime d ero ) Exprimer C e foctio de C 3) E dédire qe, por tot ombre etier atrel, o a : C 3, 5 4) O doe l algorithme sivat : a) Por la valer S 33 saisie, recopier et compléter atat qe écessaire le tablea sivat Les résltats serot arrodis à l ité b) E dédire l affichage obte qad la valer de S saisie est 33 c) Das le cotexte de cet exercice, expliqer commet iterpréter le ombre obte e sortie de cet algorithme qad o saisit ombre S spérier à 33 5) A er javier 3, le cliet avait besoi d e somme de 5 Motrer qe le capital de so placemet est pas sffisat à cette date Exercice : Das pays imagiaire oté I, il y a e capitale P et esemble de villages V A er Javier, P et V comptaiet respectivemet et 3 habitats Chaqe aée, la poplatio de P agmete de %, alors qe celle de V dimie de habitats ) Calcler la poplatio de P, celle de V, pis celle de I a er Javier 3 ) Compléter le tablea ci-dessos e arrodissat à l ité près : Lycée Fraçais de DOHA Aée 7 8 3) désige ombre etier atrel et o ote : p la poplatio de P a er javier (+) ; aisi : p v la poplatio de V a er javier (+) ; aisi : v 3 a) Exprimer p e foctio de b) Exprimer v e foctio de c) Exprimer p et p et e dédire la atre de la site p v et e dédire la atre de la site v v e foctio de M Evao

9 Exercice 3 : O cosidère les dex sites et v défiies par récrrece par les relatios : N, 75 et N v v et v, 5 ) Qelles sot les atres des sites et v? ) Compléter le tablea sivat avec les valers de la site arrodies a dixième près : 3) Placer les poits ; et ; représetat ces dex sites das le repère ci-dessos : v Lycée Fraçais de DOHA Aée 7 8 M Evao

10 Exercice 4 : L'évoltio de la poplatio selo Thomas Malths Thomas Malths ( ) a émis e hypothèse stiplat qe l'évoltio de la poplatio sit e loi géométriqe alors qe la prodctio agricole sit e loi arithmétiqe Lycée Fraçais de DOHA Aée 7 8 ) Ue régio comporte d'habitats e l'a, chaqe aée sa poplatio agmete de % Soit P, la poplatio e milliers d habitats d pays aées pls tard a) Jstifier qe P b) Exprimer P e foctio de P c) E dédire P e foctio de ) Cette même régio était capable de faire vivre 4 habitats e et chaqe aée sa prodctio li permet d'e faire vivre de pls Soit H le ombre d'habitats e milliers qe le pays est capable de faire vivre aées pls tard a) Jstifier qe H 4 b) Exprimer H e foctio de H c) E dédire H e foctio de 3) O cosidère l algorithme sivat : Iitialisatio Affecter à P la valer Affecter à H la valer 4 Affecter à la valer Traitemet Tat qe P Affecter à P la valer Affecter à H la valer H Affecter à la valer Fi d Tat qe Sortie Afficher à a) Compléter cet algorithme afi q il détermie l aée à partir de laqelle ce pays e sera pls capable de faire vivre sa poplatio b) Faire torer «maellemet» l algorithme ci-desss O reportera les résltats das le tablea ci-dessos après l avoir recopié das votre cahier : Valer de Affichage de P Affichage de H Coditio 4) Qelle coclsio pet-o tirer de cette étde? M Evao

11 Exercice 5 : Bac ES Polyésie 3 La prodctio des perles de cltre de Tahiti est e activité écoomiqe importate por la Polyésie Fraçaise Ue étde a démotré qe depis la prodctio baisse de 8% par a O admet qe cette baisse de 8% se porsit les aées sivates ) O cosidère l algorithme sivat : Si o saisit P 5 e etrée, q obtiet-o e sortie par cet algorithme? Iterpréter ce résltat das le cotexte de la prodctio de perles ) Por prévoir les motats réalisés à l exportatio des perles de Tahiti, o modélise la sitatio par e site O ote : le motat e, e milliers d eros ; le motat e O a doc 638 a) Motrer qe, e milliers d eros et o sppose qe la valer baisse tos les as de 8% est e site géométriqe dot o précisera la raiso b) Exprimer, por tot etier atrel, e foctio de c) Avec ce modèle, qel motat pet-o prévoir por l exportatio des prodits perliers de Polyésie Fraçaise e 6? O arrodira le résltat a millier d eros Exercice 6 : Bac ES Atilles Gyae 4 U opérater de téléphoie mobile costate qe, chaqe aée, il perd 8% de ses précédets aboés et qe, par aillers, il gage 3 millios de oveax aboés E 3 le ombre d aboés est de millios O s itéresse a ombre d aboés, e millios, por l aée 3 E spposat qe cette évoltio se porsit de la même faço, la sitatio pet être modélisée par la site défiie por tot etier atrel, par :,9 3 Le terme doe e estimatio d ombre d aboés por l aée 3 Partie A : 3 ) E tilisat cette modélisatio, l opérater décide d arrodir les résltats à À qoi correspod ce choix d arrodi? Détermier le ombre d aboés e 4 et e 5 ) O défiit la site v par v 37, 5 por tot etier atrel Démotrer qe v est e site géométriqe de raiso,9 Préciser so premier terme 3) Exprimer v e foctio de 4) E dédire qe, por tot etier atrel, o a : 7,5,9 37, 5 5) Détermier le ombre d aboés e millios e Arrodir les résltats à 3 Lycée Fraçais de DOHA Aée 7 8 M Evao

12 Partie B : Compte te des ivestissemets, l opérater cosidère q il réalisera des bééfices lorsqe le ombre d aboés dépassera 5 millios ) Recopier et compléter l algorithme sivat afi de détermier le ombre d aées écessaires à partir de 3 por qe l opérater fasse des bééfices ) E qelle aée l opérater fera-t-il des bééfices por la première fois? Exercice 7 : Bac ES Métropole 4 À l atome, Clade achète e maiso à la campage ; il dispose d terrai de 5m etièremet egazoé Mais tos les as, % de la srface egazoée est détrite et remplacée par de la mosse Clade arrache alors, à chaqe atome, la mosse sr e srface de 5m et la remplace par d gazo Por tot ombre etier atrel, o ote la srface e m de terrai egazoé a bot de aées, c est-à-dire à l atome O a doc 5 ) Calcler ) Jstifier qe, por tot ombre etier atrel, o a :,8 5 3) O cosidère la site a) Démotrer qe la site v défiie por tot ombre etier atrel par : v 5 v est géométriqe Préciser so premier terme et sa raiso b) Exprimer v e foctio de c) E dédire qe, por tot ombre etier atrel, : 5 5, 8 d) Qelle est la srface de terrai egazoé a bot de 4 aées? 4) Détermier, à l aide de votre calclatrice, la pls petite valer de l etier atrel telle qe : 5 5,8 5 Iterpréter le résltat obte 5) Compléter l algorithme ci-dessos por q il affiche la soltio obtee à la qestio précédete 6) Clade est certai qe les mavaises herbes e pevet evahir la totalité de so terrai A-til raiso? Jstifier la répose Lycée Fraçais de DOHA Aée 7 8 M Evao

13 Exercice 8 : Bac ES Asie 3 Le gestioaire d e salle de cocert costate qe, chaqe aée, le ombre d aboés est costité de 7% des aboés de l aée précédete, axqels s ajotet oveax aboés Le ombre d aboés e était de 6 par : 6 et por tot etier atrel :,7 O tilise tabler por calcler les termes de la site ) O défiit la site Proposer e formle à écrire e B3 por calcler ; cette formle «tirée vers le bas» das la coloe devra permettre de calcler les valers sccessives de la site ) O pose, por tot etier atrel : v 7 a) Démotrer qe la site v est géométriqe de raiso,7 Préciser so premier terme b) Exprimer v e foctio de c) E dédire qe por tot etier atrel : 7, 7 3) Soit etier atrel Démotrer qe 697 est éqivalet à,7, 3 4) Afi de résodre l iéqatio,7, 3, o tilise l algorithme sivat : a) Faire torer «maellemet» l algorithme ci-desss O reportera les résltats das le tablea ci-dessos après l avoir recopié das votre cahier : Valer de N Affichage de U U,3 a) Qelle valer de N obtiet-o e sortie? b) E tilisat l étde précédete de la site ombre d aboés atteidra a mois 697, détermier à partir de qelle aée le Lycée Fraçais de DOHA Aée 7 8 M Evao

14 Exercice 9 : Bac ES Liba 4 La médiathèqe d e petite ville a overt ses portes le javier 3 et a eregistré 5 iscriptios e 3 Elle estime qe, chaqe aée, 8% des acies iscrits reovellerot ler iscriptio l aée sivate et q il y ara 4 oveax adhérets O modélise cette sitatio par e site mériqe a O ote a 5 le ombre d iscrits à la médiathèqe e 3 et a représete le ombre d iscrits à la médiathèqe pedat l aée 3 ) Jstifier qe, por tot etier atrel, o a la relatio : a,8 a 4 ) O pose, por tot etier atrel, o a : v a a) Démotrer qe v est géométriqe de premier terme v 5 et de raiso q =,8 b) E dédire qe le terme gééral de la site a est : a 5,8 c) Calcler la limite de la site a d) Qe pet-o e dédire por le ombre d adhérets à la médiathèqe si le schéma d iscriptio reste le même a cors des aées à veir? 3) O propose l algorithme sivat : a) Expliqer ce qe permet de calcler cet algorithme b) Faire torer «maellemet» l algorithme ci-desss O reportera les résltats das le tablea ci-dessos après l avoir recopié das votre cahier : Valer de N Affichage de A A 5 Lycée Fraçais de DOHA Aée 7 8 M Evao