Cours # 3 Variables quantitatives (2)

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Ange Lévesque
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1 Cours # 3 Variables quantitatives (2) Département de mathématiques Cégep de Saint-Jean-sur-Richelieu 11 août 2010

2 Table des matières 1 Variables quantitatives discrètes (suite) 2

3 Mesures de position Les mesures de position servent à comparer une donnée par rapport aux autres données de la série. Il en existe trois types : Les quantiles Les rangs (On ne les verra pas dans ce cours.) La cote z

4 Mesures de position : les quantiles Les quantiles sont séparés en quatres : Les quantiles Quartiles 4 parties égales Déciles 10 parties égales Quintiles 5 parties égales Centiles 100 parties égales Notés Q 1,Q 2 et Q 3 Notés D 1,D 2...D 9 Notés V 1,V 2...V 4 Notés C 1,C 2...C 99

5 Les quartiles Regardons le fonctionnement des quantiles en étudiant les quartiles. Le même principe s applique aux autres. Puisque Q 1, Q 2 et Q 3 sépare la série de données en quatre parties égales, on peut dire que 25% des données sont inférieures à Q 1, 50% des données sont inférieures à Q 2, 75% des données sont inférieures à Q 3.

6 Exemple TABLE: Répartition de 50 répondants selon le nombre de paquets de cigarettes fumés par semaine. Nombre de paquets de cigarettes fumés par semaine Fréquence Fréquence relative (% ) Fréquence cumulée Total

7 Exemple Trouvons Q 1, V 2 et D 8. On sait que 25% des données sont inférieures à Q 1. Puisque l on a 50 données, on a que Rang de Q 1 = = 12.5 Q 1 = 13e donnée = 0

8 Exemple On sait que 40% des données sont inférieures à V 2. Puisque l on a 50 données, on a que Rang de V 2 = = 20 V 2 = moyenne de la 20e et 21e donnée = = 1 On sait que 80% des données sont inférieures à D 8. Puisque l on a 50 données, on a que Rang de D 8 = = 40 D 8 = moyenne de la 40e et 41e donnée = = 5

9 Mesures de position : la cote z La cote Z est la mesure de position la plus importante. Elle fait, entre autres, partie du calcul de la cote R, cote qui n est pas simple à calculer. Soit une donnée x i d une série. Alors z i = x i µ σ ou z i = x i x s

10 Étude des variables quantitatives continues

11 Particularités 1 Dans une série de n données, il peut y avoir n données différentes. 2 Les données sont souvent inexactes. La précision dépend de celle des instruments de mesure utilisés.

12 Présentations des résultats : Données brutes Exemple Nous avons recueilli le nombre d heures d ensoleillement en octobre à Montréal pour un échantillon de 49 années. Ces données sont présentées dans le tableau ci-dessous

13 Présentation des résultats : Tableau de fréquence Puisque la variable X : nombre d heures d ensoleillement en octobre à Montréal est une variable quantitative continue, nous devons créer des classes dans lesquelles on regroupera les données. Une classe est en réalité un intervalle. Règle de Sturges : k log 10 n, où n est le nombre de données et k le nombre de classes nécessaires. Dans, l exemple k log Nous devons donc construire 6 classes.

14 Amplitude des classes Pour trouver l amplitude des classes, il nous faut l étendue des données. E = x max x min = = 149. Ainsi, l amplitude des classes (A) est A = E k = Nous pourrions donc songer faire des classe d amplitude 25. Puisque la plus petite valeur est 75 et que nous construirons des classes d amplitude 25, il est raisonnable de désigner 75 comme la limite inférieure de la première classe.

15 Tableaux de fréquences TABLE: Répartition du nombre d heures d ensoleillement Nombre d heures Milieu de Nombre de Pourcentage Pourcentage d ensoleillement la classe mois d octobre cumulé m i f i f i n f i n i=1 [75; 100[ 87,5 4 8,2 8,2 [100; 125[ 112, ,4 30,6 [125; 150[ 137, ,7 65,3 [150; 175[ 162, ,6 93,9 [175; 200[ 187,5 2 4,1 98,0 [200; 225[ 212,5 1 2,0 100,0 Total ,0 kè

16 Graphiques : Histogramme % de mois d octobre Nombre d heures d ensoleillement

17 Graphiques : Polygone de fréquences % de mois d octobre Nombre d heures d ensoleillement

18 Graphiques : Courbe des fréquences relatives cumulées % cumulé de mois d octobre Nombre d heures d ensoleillement

19 Les mesures Hypothèse : Les données d une classe sont réparties uniformément à l intérieur de cette classe, i.e. que la distance entre elles est constante.

20 Mesures de tendance centrale : la classe modale La classe modale est la classe dans laquelle on retrouve la plus forte densité de données. Dans notre exemple, la classe modale est [125; 150[. Certains volumes définissent le mode comme étant le milieu de la classe modale, dans notre exemple, nous aurions Mo = 137, 5 heures.

21 Mesures de tendance centrale : la médiane La médiane est définie comme étant la valeur telle que la moitié des données sont inférieures ou égales à la médiane et telle que la moitié des données sont supérieures ou égales à la médiane. Pour trouver la médiane, il faut d abord trouver dans quelle classe elle se trouve. Nous remarquons qu elle doit se trouver dans la classe [125; 150[ car le pourcentage cumulé à la fin de la classe [100; 125[ est de 30,6 % et celui cumulé à la fin de la classe [125; 150[ est de 65,3 %.

22 Mesures de tendance centrale : la médiane (suite) Calcul de la médiane ,6 % Md 50 % ,3 % Md % 30, 6% = , 3% 30, 6% Md , 4% = 25 34, 7% Md 125 = 0, Md 125 = 14 Md = 139 heures Ceci signifie que 50 % des mois d octobre ont eu un ensoleillement de 139 heures ou moins.

23 Mesures de tendance centrale : la moyenne Calcul de la moyenne. x = 6 i=1 m i f i n (87, 5 4) + (112, 5 11) + (137, 5 17) = 49 (162, 5 14) + (187, 5 2) + (212, 5 1) + 49 = , 5204 heures

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