Observation/Estimation de l état interne d une PàC

Transcription

1 Supélec Département d Automatique Master ATSI Observation/Estimation de l état interne d une PàC Mohamad KOTEICH Encadré par: Emmanuel GODOY & Olivier BETHOUX Projet de recherche Janvier 2012

2 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 2 Plan Introduction - Problématique Modélisation du cœur de la pile (cathode) Etude d Observateur de type Kalman étendu Réduction du modèle Observateur réduit Conclusions et Perspectives

4 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 4 Introduction Les PàC Épuisement des sources d énergies fossiles Augmentation des gaz à effet de serre Un défi énergétique et un défi environnemental à relever

5 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 5 Introduction Les PàC 1839 en inversant le procédé d électrolyse de l eau, le professeur de physique, Sir William Grove décrit le principe de la pile à combustible. Chaleur Électricité Hydrogène Oxygène Eau

6 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 6 Introduction Principe de fonctionnement

7 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 7 Problématique Nécessité de l observation L'ensemble des phénomènes de transport gouvernant les performances électriques de la pile est conditionné par les caractéristiques de l'ame. La caractérisation des ces phénomènes dans le cœur de pile est primordiale pour proposer des stratégies de gestion de l'eau et de la chaleur adaptées aux besoins de la pile.

9 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 9 Modélisation du cœur de la Pile (cathode) Les phénomènes physiques Plusieurs phénomènes physiques complexes interagissent dans le cœur de la Pile: Nous sommes intéressés par les phénomènes de transport des masses: la Convection et la Diffusion

10 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 10 Modélisation du cœur de la Pile (cathode) La Cathode Les phénomènes physiques H2O H2O N2 Canal Air Air Convection + Diffusion

11 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 11 Modélisation du cœur de la Pile (cathode) Les phénomènes physiques La convection La convection des gaz est due à la différence de pressions, et elle tend à homogénéiser les pressions totales dans le canal et d une part, et entre le canal et l atmosphère d autre part. flux convectif φ conv = K P = K P 1 P 2 canal K conv = ks Lμ canal atmosphère H2O H2O N2 Canal Air Air K conv K out

12 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 12 Modélisation du cœur de la Pile (cathode) La diffusion Les phénomènes physiques La diffusion désigne la tendance naturelle d'un système à rendre homogènes les concentrations des espèces chimiques (gaz, liquides ) en son sein. Loi de Fick: Le flux de diffusion est proportionnel au gradient de concentration φ 1 = C. D 12 y 1 Loi de Stefan-Maxwell: pour décrire la diffusion des espèces dans un mélange de gaz idéal une généralisation de la loi de Fick y i = N j=1 1 C. D ij eff (y iφ j y j φ i ) H2O H2O N2 Canal

13 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 13 Modélisation du cœur de la Pile (cathode) La diffusion Les phénomènes physiques y i = N j=1 1 C. D ij eff (y iφ j y j φ i ) C y = B φ y = y 1 y 2, φ = y N 1 φ 1 φ 2, B = φ N 1 B 11 B 12 B 1 N 1 B 21 B 22 B 2 N 1 B N 1 1 B (N 1) N 1 B ij = y i 1 D ij 1 D in, i j B ii = y i D in + N y k k=1 D k i ik Le flux diffusif: φ = C B 1 y

14 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 14 Modélisation du cœur de la Pile (cathode) Lois de Base Loi de conservation de la masse dm dt = (φ entrant φ sortant ) Formule des gaz parfaits PV=nRT Les Hypothèses Diffusion unidimensionnelle et linéaire y i = dy i dz = y i canal y i L

15 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 15 Modélisation du cœur de la Pile (cathode) Entrées / Sorties Entrées : Flux de l air à l entrée de la cathode, noté : u 1 = φ in Canal Air H2O H2O N2 Air Flux d Oxygène consommé (proportionnel au courant débité par la pile) noté : u 2 = φ Donc le vecteur d entrée est : U = φ in φ T

16 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 16 Modélisation du cœur de la Pile (cathode) Entrées / Sorties Entrées de perturbations : La pression atmosphérique intervenant dans la convection canal/sortie : P atm Canal Air H2O H2O N2 Air Flux de vapeur d eau créés noté : crée φ H2 O Donc le vecteur des perturbations est : crée E = P atm φ H2 O T

17 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 17 Sortie : Modélisation du cœur de la Pile (cathode) Entrées / Sorties Pression de l Oxygène dans la (liée à la tension de la pile) noté : Vecteur d état : z = P H2O H2O N2 Canal Air Air Les variables d état choisies pour la modélisation sont les nombres de moles de l azote, de l oxygène et de vapeur d eau dans le canal et la, le vecteur d état X à 6 composants est: X = canal n N2 canal n canal n H2 O n N2 n n H2 O T

18 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 18 Modélisation du cœur de la Pile (cathode) Schéma explicatif E P atm crée φ H2 O U φ in φ X = f X, U, E z = CX P z X = canal n N2 canal n canal n H2 O n N2 n n H2 O T U = φ in φ T crée E = P atm φ H2 O T

19 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 19 Modélisation du cœur de la Pile (cathode) Mise en équations Canal Canal : H2O H2O N2 Air Air dn canal N2 dt = 1 M N 2 φ in N2 φ conv N2 M N2 diff out N2 φ N2 dn canal dt = 1 M O 2 φ in φ conv M diff out φ dn canal H2O dt = 1 M H 2O φ in H2 O φ conv H2 O M H2O diff out H2 O φ H2 O

20 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 20 Modélisation du cœur de la Pile (cathode) Mise en équations Canal : H2O H2O N2 Air Air dn N2 dt = 1 M N 2 φ conv diff N2 + M N2 N2 dn dt = 1 M O 2 φ conv + M diff φ dn H2O dt = 1 M H 2O φ conv H2 O + M H2O diff crée H2 O + φ H2 O

21 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 21 Modélisation du cœur de la Pile (cathode) Mise en équations Flux entrant Canal Air H2O H2O N2 Air Le flux entrant partiel du gaz i est égal à la proportion massique de i dans l air ( y air m,i ) multipliée par le flux (massique) total entrant : φ in i = y air m,i φ in air y m,n2 = y air sec m,n2 0,8 1+ωin 1+ω in ω in = m v m as = masse vapeur masse air sec air y m, = y air sec m, 0,2 1+ωin 1+ω in air y m,h2 O air = 1 y m,n2 air y m,

22 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 22 Modélisation du cœur de la Pile (cathode) Mise en équations Flux convectif Canal Air H2O H2O N2 Air les flux convectifs partiels sont égaux au flux total multiplié par les proportions massiques de chaque espèce dans le canal : Relation avec les variables d état φ conv i = K conv P canal P canal y m,i φ out i = K out P canal P atm canal y m,i y canal m,i = M in i canal 3 j=1 M j n j canal ; P canal = RTcanal 3 canal V canal n i i=1 ; P = RT 3 V n i i=1

23 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 23 Modélisation du cœur de la Pile (cathode) Mise en équations Flux diffusif φ = C B 1 y Canal Air H2O H2O N2 Air Le flux diffusif molaire de chaque espèce s écrit : φ diff n N2 = S 1 B L V det B 11 y canal N2 y N2 + B 12 y canal y φ diff n = S 1 B L V det B 21 y canal N2 y N2 + B 22 y canal y φ diff H2O = φ diff diff N2 φ

24 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 24 Modélisation du cœur de la Pile (cathode) Pour résumer Modèle de la cathode: H2O H2O N2 Canal Air Air P atm E crée φ H2 O Le modèle d état non-linéaire qui s écrit sous la forme : X = f X, U, E z = CX C = RT V 0 U φ in φ X = canal n N2 X = f X, U, E z = CX canal n U = φ in φ T canal n H2 O n N2 n n H2 O P T z crée E = P atm φ H2 O T

26 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 26 Observateur de type Kalman Etendu Introduction Le Filtre de Kalman Le Filtre de Kalman est un observateur d état qui, à partir des mesures disponibles, reconstitue l état du système, en minimisant l erreur quadratique moyenne. Plusieurs variantes existent pour des différentes applications, parmi lesquelles le Filtre de Kalman Etendu qui est utilisé comme Observateur/Estimateur d état des systèmes non-linéaires. Il faut linéariser le système autour de son point d équilibre.

27 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 27 Observateur de type Kalman Etendu Linéarisation Entrées Les valeurs des entrées : φ in = 6,10 4 kg/sec φ = 6,10 5 kg/sec Le taux d humidité ω in = m v m as = 0,5 Le flux d oxygène créé Conditions initiales P 0 canal = 1, P 0 = 1, y canal m,n2 t 0 = 0,8 1+ω in y canal m, t 0 = 0,2 1+ω in canal y m,h2 O t 0 y m,n2 t 0 = 0,7 y m, t 0 = 0,2 = 1 y canal m,n2 t 0 y canal m, t 0 φ crée H2 O = 2 φ y m,h2 O t 0 = 0,1

28 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 28 Observateur de type Kalman Etendu Linéarisation Le régime d équilibre établi: Canal n canal N2, = mol n canal, = 6, mol n N2, n, = 1, mol = 1, mol canal n H2 O, = 7, mol n H2 O, = 2, mol Ce qui donne le vecteur d état à l équilibre : canal canal X = n N2, n, canal n H2 O, n N2, n, n H2 O, T Pour une entrée : U = 6,10 4 6,10 5 T

29 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 29 Observateur de type Kalman Etendu Linéarisation Le système linéarisé: A l = B l = f X,U X i Xi,U i = 10 4 f X,U U i Xi,U i = 0,9081 0,8969 0,8958 3,0162 2,9853 2,9799 0,0918 0,1026 0,0917 0,3055 0,3357 0,3050 1,0298 1,0299 1,0429 3,4268 3,4275 3,4635 0,9048 0,8957 0,8940 3,0162 2,9853 2,9799 0,0916 0,1005 0,0915 0,3055 0,3357 0,3050 1,0282 1,0285 1,0389 3,4268 3,4275 3,4635 0, , , , ,7778 C l = C = , D l = D = 0 0

30 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 30 Observateur de type Kalman Etendu Etude d observabilité Le critère de Kalman Ob = C l C l A l C l A l n 1 Ob = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

31 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 31 Observateur de type Kalman Etendu Linéarisation Forme canonique d observabilité C c = Valeurs singulières de la matrice d observabilité = 1, , , , , , T => Problème mal conditionné numériquement

33 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 33 Réduction du Modèle Introduction Systèmes multi-échelles et théorie des perturbations La théorie des perturbations vise à éliminer les effets à court terme pour ne conserver que les effets à long terme. C'est un outil précieux pour la construction de modèles réduits résumant l'essentiel des comportements qualitatifs à long terme.

34 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 34 Réduction du Modèle Introduction Motivation Les valeurs propres de la matrice A l du modèle linéaire de la cathode: Ʌ = ,51 396,25 41,94 14,77 14,82 T => Présence d une dynamique très rapide Est-il possible de réduire le modèle tout en conservant le même régime statique et les dynamiques lentes? ET COMMENT??

35 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 35 Réduction du Modèle Etude sur un modèle simplifié sans H2O La Cathode «simplifiée» H2O H2O N2 Canal Air Air

36 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 36 Réduction du Modèle Etude sur un modèle simplifié sans H2O L étude de ce système simplifié présente plusieurs avantages : Les équations à manipuler sont plus simples, puisqu on n a pas besoin d utiliser les formules de Stephan-Maxwell. Le nombre des variables d état est 4 (au lieu de 6). Les phénomènes physiques sont les mêmes dans les deux systèmes (complet et simplifié), et de point de vu dynamiques on peut avoir des informations assez significatives. L étude du système simplifié est analogue à l étude de l anode, qui, lui aussi, comporte deux espèces H2 et H2O.

37 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 37 Réduction du Modèle Etude sur un modèle simplifié sans H2O Modélisation Le vecteur des variables d état (l indice s pour le système simplifié) : Les flux: X s = canal n N2 canal n n N2 n T φ in i = y air m,i φ in Canal φ conv i = K conv P canal P canal y m,i φ out i = K out P canal P atm canal y m,i φ diff i = D 12S V L n y i canal y i N2 Air Air

38 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 38 Réduction du Modèle Etude sur un modèle simplifié sans H2O Modélisation Canal dn canal N2 dt = 1 M N 2 φ in N2 φ conv N2 M N2 diff out N2 φ N2 dn canal dt dn N2 dt = = 1 M O 2 1 M N 2 φ in φ conv M diff out φ φ conv diff N2 + M N2 N2 dn dt = 1 M O 2 φ conv + M diff φ

39 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 39 Réduction du Modèle Etude sur un modèle simplifié sans H2O Linéarisation A s = f s X s,u X s, i Xs,i,U i = 10 4 B s = f s X s,u U i Xs,i,U i = 1,4471 1,4366 4,8097 4,7832 0,1976 0,2077 0,6576 0,6841 1,4430 1,4341 4,8097 4,7832 0,1972 0,2060 0,6576 0,6841 0,8 0 0, ,2500 C s = , D s = 0 0

40 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 40 Réduction du Modèle Etude sur un modèle simplifié sans H2O Linéarisation Les valeurs propres : Ʌ s = ,31 33,97 10,18 T les valeurs singulières de la matrice d observabilité du système non réduit sont: σ s = 1, , , , T

41 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 41 Réduction du Modèle Etude sur un modèle simplifié sans H2O Choix des variables d état? X s = canal n N2 canal n n N2 n T Canal A s = ,1976 0,2077 0,6576 0,6841 1,4430 1,4341 4,8097 4,7832 1,4471 1,4366 4,8097 4,7832 0,1972 0,2060 0,6576 0,6841 N2 Air Air V 0, 33 V canal Ʌ s = ,31 33,97 10,18 T σ s = 1, , , , T

42 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 42 Réduction du Modèle Etude sur un modèle simplifié sans H2O Changement de base X s = canal n N2 canal n n N2 n T X ps = p canal p m canal T m p canal = p canal canal N2 + p p = p N2 + p m canal = M N2 p canal canal N2 + M p m = M N2 p N2 + M p

43 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 43 Réduction du Modèle Etude sur un modèle simplifié sans H2O Equations d état (non-linéaires) dpcanal dt = RT V canal in pcanal m canal K conv p canal p + K out p canal P atm dp dt = RT V p canal m canal K conv p canal p dmcanal dt = RTcanal V canal φ in DS RTL m canal m pcanal p K p conv p canal p K out p canal P atm dm dt = RT V DS RTL m canal m pcanal p + K p conv p canal p φ

44 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 44 Réduction du Modèle Etude sur un modèle simplifié sans H2O Linéarisation A ps = f ps X ps,u X ps, i X ps,i,u i = 10 4 B ps = f ps X ps,u U i X ps,i,u i = ,6469 1,6402 0, ,4703 5,4673 0, ,0466 0,0465 0,0079 0,0079 0,1550 0,1550 0,0264 0,0264 0, ,0924 0, ,0350 C ps = D ps = 0 0

45 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 45 Réduction du Modèle Etude sur un modèle simplifié sans H2O Nombre de moles: Ʌ s = ,31 33,97 10,18 T Pressions/masses: Ʌ ps = ,31 33,97 10,18 T

46 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 46 Réduction du Modèle Etude sur un modèle simplifié sans H2O Pressions/masses: Ʌ ps = ,31 33,97 10,18 T A ps = f ps X ps, U = 10 4 X ps, i X ps,i,u i 1,6469 1,6402 0, ,4703 5,4673 0, ,0466 0,0465 0,0079 0,0079 0,1550 0,1550 0,0264 0,0264 A ps 1,1 A ps 2, A ps 3,3 A ps 4, P m

47 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 47 Réduction du Modèle Etude sur un modèle simplifié sans H2O Application de la théorie des perturbations singulières: P = 0 P = p canal p d P dt = RT in V canal p canal V canal m canal K conv P + K out p canal P atm pcanal K conv V m canal P O 2 V = 0 P = V in + V canal p K canal out mcanal V p canal P atm p K canal conv m canal V canal V

48 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 48 Réduction du Modèle Etude sur un modèle simplifié sans H2O Réduction du modèle: p = p canal P On obtient les équations d état suivantes : dpcanal dt = RT V canal in pcanal m canal K conv P + K out p canal P atm dmcanal dt = RTcanal V canal φ in DS pcanal P RT L m canal p canal m p canal P K conv P K out p canal P atm dm dt = RT V DS RT L pcanal P mcanal p canal m p canal P + K conv P φ

49 Observation/Estimation de l état interne d une PàC 49 Réduction du Modèle Etude sur un modèle simplifié sans H2O Linéarisation A sr = f sr X sr,u X sr, i Xsr,i,U i = 59, , , , ,3333 0, , ,4444 1, B sr = f sr X sr,u = , U i Xsr,i,U i 0 3,4955 C sr = 4, D sr = 0 0 Les valeurs propres Ʌ sr = 343,23 49,40 10,38 T Ʌ ps = ,31 33,97 10,18 T

50 50 Réduction du Modèle Etude sur un modèle simplifié sans H2O Observabilité Sans réduction σ s = 1, , , , T Avec réduction σ sr = 3, ,5 59,40 T

51 51 Réduction du Modèle Etude sur le modèle complet Changement de base X = canal n N2 canal n canal n H2 O n N2 n n H2 O T X p = p canal p canal p H2 O canal p p H2 O p T Avec: p canal N2 = p canal p canal canal p H2 O p N2 = p p p H2 O

52 52 Réduction du Modèle Etude sur le modèle complet Equations d état: dpcanal dt = RT V canal in pcanal m canal K conv p canal p + K out p canal P atm dp dt = RT V p canal crée m canal K conv p canal p + H2 O dp canal H2O dt = RT V canal 1 M H 2O φ in H2 O φ conv H2 O M H2O diff out H2 O φ H2 O dp canal dt = RT 1 V canal M O 2 φ in φ conv M diff out φ dp H2O dt = RT 1 V M H 2O φ conv H2 O + M H2O diff crée H2 O φ H2 O dp dt = RT 1 V M O 2 φ conv + M diff φ

53 53 Réduction du Modèle Etude sur le modèle complet Equations d état: dpcanal dt = RT V canal in pcanal m canal K conv p canal p + K out p canal P atm dp dt = RT V p canal crée m canal K conv p canal p + H2 O Avec: m canal = p canal N2 M N2 + p canal M + p canal H2 O M H2 O m = p N2 M N2 + p M + p H2 OM H2 O

54 54 Réduction du Modèle Etude sur le modèle complet Linéarisation Matrice d état: A p = f p X p, U = 10 4 X p,i X p,i,u i Valeurs propres: Ʌ p = ,11 393,09 41,94 14,82 15,19 T Valeurs propres du système dans l ancienne base: Ʌ = ,51 396,25 41,94 14,77 14,82 T

55 55 Réduction du Modèle Etude sur le modèle complet Réduction du modèle Application de la théorie des perturbations singulières: P = 0 d P dt = RT in V canal = 0 p canal V canal m canal K conv P + K out p canal P atm pcanal K conv V m canal P crée O 2 H2 O V P = V in + V canal crée H2 O K conv p canal m canal p K canal out mcanal V p V canal V canal P atm

56 56 Réduction du Modèle Etude sur le modèle complet Réduction du modèle Equations d état du modèle réduit (p = p canal P): dpcanal dt = RT V canal in pcanal m canal K conv P + K out p canal P atm dp canal H2O dt = RT V canal 1 M H 2O φ in H2 O φ conv H2 O M H2O diff out H2 O φ H2 O dp canal dt = RT 1 V canal M O 2 φ in φ conv M diff out φ dp H2O dt dp dt = = RT 1 V M H 2O RT 1 V M O 2 φ conv H2 O + M H2 O diff crée H2 O φ H2 O φ conv + M diff φ p = p canal P p canal N2 = p canal p canal canal p H2 O p N2 = p p p H2 O

57 57 Réduction du Modèle Etude sur le modèle complet Réduction du modèle Linéarisation: A pr = f p X p, U = X p,i X p,i,u i 50,93 7,31 2, ,37 130,90 0,85 110,14 2,53 1,51 0,08 99,37 1,00 92,52 5,07 357,56 2,84 367,13 8,45 0,33 0,99 267,27 3,35 308,40 Valeurs propres: Ʌ pr = 479,69 393, ,19 T Valeurs propres du système non réduit: Ʌ = ,51 396,25 41,94 14,77 14,82 T

58 58 Réduction du Modèle Pour résumer Changement de base Nombre de moles Pressions Etude des dynamiques / valeurs propres Linéarisation Valeur propre très grande Dynamique très rapide Extraction de ma dynamique rapide P Application de la théorie de la perturbation singulière Résolution de P = 0 Réduction du modèle Forme analytique de P en fonction des variable d état du système réduit gain statique conservé Observabilité?

60 60 Observateur réduit Etude d observabilité La matrice d observabilité sus système réduit Ob r : Ob r = ,33 0,99 267,27 3,35 308,40 491,0984 1, , , , , , , , , , , , , , Les valeurs singulières: σ r = 2, , ,2601 3,1657 0,0012 T

61 61 Observateur réduit Filtre de Kalman Etendu Algorithme du filtre: X r = f X r, U + K z C r X P = A r P + PA r T KC r P + Q K = PC r R 1 Avec: A r = f r X r, U X r,i X r,i,u i

62 62 Observateur réduit Filtre de Kalman Etendu Résultats:

66 Merci 66