Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques
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- Heloïse Marier
- il y a 6 ans
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1 Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice 1 - Loi d u dé truqué - Deuxième aée - 1. X pred ses valeurs das {1,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est ue loi de probabilité, o a : 6 k1 P (X k) 1 a a 1/. O a doc : k P (X k) 1 O vérifie aisémet e appliquat la formule que E(X) O a Y k X 1/k. Y pred doc ses valeurs das {1, 1/2, 1/, 1/4, 1/, 1/6}, et la loi est doée par : 4 6 k 1/1 1/2 1/ 1/4 1/ 1/6 P (Y k) 1 Le calcul de l espérace est pas plus difficile, et doe : 2 E(Y ) 2 7. Attetio à l erreur suivate : ce est pas parce que Y 1/X que E(Y ) 1/E(X)!!!. Exercice 2 - Garagiste - Deuxième aée Z est élémet de {0, 1, 2}. O a : P (Z 2) (les deux voitures sot dispoibles). D autre part, P (Z 0) (les deux voitures sot simultaémet idispoibles). Efi, o obtiet : P (Z 1) 1 P (Z 0) P (Z 1) Remarquos que Y est à valeurs das {0, 1, 2}. O calcule sa loi e utilisat la formule des probabilités totales. L évéemet Y 0 se produit si X 0 ou bie si X 1 et Z 0. Ces deux évéemets état disjoits, o a : P (Y 0) P (X 0) + P (X 1 Z 0) P (X 0) + P (X 1)P (Z 0) 1
2 (la dispoibilité des voitures état supposée idépedate de l arrivée des cliets). D où : ( ) 1 2 P (Y 0) 0, 1 + 0, 9 0, 16. De même, l évéemet Y 1 se produit si X 1 et Z 1 ou bie si X 2 et Z 1. O e déduit : P (Y 1) P (X 1)P (Z 1) + P (X 2)P (Z 1) 0, 48. Efi, l évéemet Y 2 est réalisé si X 2 et Z 2. Ceci doe : ( ) 4 2 P (Y 2) P (X 2)P (Z 2) 0, 6 0, 84.. La marge brute vaut 00Y. La marge brute moyee par jour est e euros : E(00Y ) 00(0 0, , , 84) 74, 4. Exercice - Vaches laitières - Deuxième aée - 1. Y e pred que deux valeurs, 1/ et 1 + 1/. O a e outre : (Y 1/) aucue vache est malade d où P (Y 1/) 0, 8. O e déduit - la loi de Y est ue loi de probabilité - P (Y 1 + 1/) 1 (0, 8). Le calcul de l espérace doe : E(Y ) 0, (1 0, 8 ) , f est dérivable sur ]0, + [, et f (x) 1+ax x. f (x) est doc du sige de 1 + ax, ce qui permet de dire que f est croissate sur ]0, 1/a[, et décroissate esuite. La limite de f e + est, il e est de même e 0. E calculat les valeurs successives de f(), o a f(17) > 0, 07 et f(18) < 0, est doc la plus grade valeur etière pour laquelle f() est positive. E outre, f(1) < 0 alors que f(2) > 0. L esemble d etiers recherché est doc {2,..., 17}.. O a : E(Y ) < , 8 < 1 0, 8 > 1 l(0, 8) > l. Par suite, E(Y ) < 1 f() > 0. L étude précédete motre que les etiers pour lesquels f() > 0 est {2,..., 17}. O a itérêt à choisir la deuxième méthode si, et seulemet si, il y a de 2 à 17 vaches das l étable! 2
3 Variables discrètes fiies - Exercices théoriques Exercice 4 - Maximiser l espérace - Oral ESCP - 1. O a Y (Ω) {1,..., }, et par idépedace des variables aléatoires X 1 et X 2 : si k a, P (Y k) P ((X 1 k) (X 2 a)) 1 a. si k > a, P (Y k) P ((X ( 1 k) ) (X 2 a)) + P ((X 2 k) (X 2 > a)) a O a bie a a + ( a) a Le calcul de l espérace est facile :. O vérifie que : E(Y ) a k a 2 + k1 a( + 1) 2 + ka+1 k a 2 + ka+1 (a + + 1)( a) 2 E(X 1 ) + a 2 ( a) E(X 1). E(Y ) 1 ( ) (a /2) 2. Aisi, E(Y ) est maximale pour a /2 le plus petit possible : si est pair, c est pour a /2. si est impair, c est pour a ( 1)/2 ou a ( + 1)/2. Exercice - Etropie d ue variable aléatoire - L - 1. Si X est costate, o a p i 1 pour u i et p j 0 pour j i. O e déduit que H(X) 1 l(1) Si X est équirépartie, o a p i 1/ pour tout i. O e déduit H(X) i1 l(1/) k l(1/) l().. Posos f(x) x l(x). Cette foctio est cocave, car sa dérivée secode est f (x) 1 x < 0. O a doc 1 f(p 1) ( ) f(p p1 + + p ) f f(1/) ce qui se traduit ecore e f(p i ) f(1/) l. i1 i1 Aisi, o a toujours H(X) l et cette valeur est atteite quad X est équidistribuée. H(X) mesure le désordre egedré par X. Lorsque X e pred qu ue seule valeur, so etropie est ulle (pas de désordre). Lorsque la variable est équidistribuée, le désordre est maximal et l etropie aussi.
4 Variables discrètes ifiies Exercice 6 - Ue certaie variable aléatoire - Oral ESCP - 1. L évéemet X correspod au déroulemet suivat : o a obteu u et u seul pile lors des + 1 premiers tirages, et le + 2-ième tirage doe u face. Il y a doc + 1 choix pour le premier pile. Ceci choisi, l évéemet élémetaire a ue probabilité qui vaut p 2 (1 p). O a doc : P (X ) ( + 1)p 2 (1 p). 2. La série défiisat E(X) est évidemmet covergete, et sa sommatio est facile (si elle vous semble difficile, il faut réviser commet faire, par exemple e utilisat les séries etières). O trouve : 2(1 p) E(X) P (X ). p 1. Si 1 est fixé, et k {0,..., }, o a clairemet : Par la formule des probabilités totales : P (Y k X ) P (Y k) P (Y k X )P (X ) 0 ( + 1)p 2 (1 p) p(1 p)k. k O recoait que Y + 1 suit ue loi géométrique de paramètre p. O a doc : E(Y ) 1 p 1 1 p p. Ceci peut bie sûr se retrouver par u calcul direct. 4. O a : Cette réuio état disjoite, il viet : P (Z h) (Z h) [(Y j) (X h + j)]. j0 P (Y j X h + j)p (X h + j) j0 p 2 (1 p) h+j j0 p(1 p) h. 4
5 O a esuite : P [(Z h), (Y j)] P (X h + j, Y j) P (Y j X h + j)p (X h + j) p 2 (1 p) h+j. Ceci est égal à P [(Z h), (Y j)]. Les variables aléatoires sot idépedates. Exercice 7 - Deux fois pile - Deuxième aée - 1. O ote P k (resp. F k ) l évéemet o obtiet pile (resp. face) au k ième lacer. L évéemet (X 2) correspod à : ( ) 2 2 (X 2) P 1 P 2 p 1. De même, ) 2. Pour (X 4), cela se corse u peu! (X ) F 1 P 2 P p 2 1 ( 2 (X 4) F 1 F 2 P P 4 P 1 F 2 P P 4 p O s ispire du calcul de p 4 : pour obteir X, o peut : ou bie avoir obteu pile au 1er lacer (proba 2/). Das ce cas, o a forcémet obteu face au secod lacer (sio X 2), doc avec ecore ue probabilité de 2/. Maiteat, il reste 2 lacers, et le premier "double pile" doit arriver au bout du 2ième. Ceci se produit avec ue probabilité valat p 2. ou bie avoir obteu face au 1er lacer (proba 1/). Il reste 1 lacers où il faut obteir le premier double pile au bout du 1-ième, ce qui se produit avec ue probabilité valat p 1. D après la formule des probabilités totales, o trouve : p 2 9 p p 1.. O a ue classique formule de récurrece liéaire d ordre 2. L équatio caractéristique r 2 r/ + 2/9 a pour solutio 2/ et 1/. O e déduit fialemet : ( ) 2 ( ) 1 p α + β. O détermie α et β e testat sur les premiers termes. O obtiet : ( ) 2 +1 p Il est bie cou que pour tout q ] 1, 1[, o a : 0 q ( ) 1. q (1 q) 2.
6 O e déduit : E(X) 1 p Exercice 8 - Loi de Pascal - L2 - Il est d abord clair que X pred ses valeurs das {r, r + 1,..., }. Soit k r. Remarquos que si X k, alors le derier lacer est u pile. Pour les lacers précédets, o a obteu r 1 fois pile, parmi k 1 lacers. Le ombre de tirages correspodat à X k est doc ( k 1 r 1). La probabilité de chaque lacer est p r (1 p) r k. O e déduit que : ( ) k 1 P (X k) p r (1 p) k r. r 1 Exercice 9 - Ragée de spots - Oral ESCP - 1. Si le spot reste costammet allumé jusqu à l istat, c est qu il y a eu la successio d évéemet A k : "le spot S 1 est éclairé à l istat k". Par la formule des probabilités composées, o trouve que : P (A 1 A ) P (A A 1... A 1 )... P (A 1 ) Clairemet(!), o a P (X 1) 1/4. D autre part, (X 2) est réalisé, soit si le spot S 1 reste allumé à l istat 1 et le spot S 2 s allume à l istat 2, soit si le spot S s allume à l istat 1 (et S 2 s allumera automatiquemet à l istat 2). Ces deux cas sot disjoits, doc : P (X 2) Soit. S s allume pour la première fois à l istat si et seulemet si : Soit S 1 reste allumé jusqu à l istat 1, et S 2 s allume à l istat. Soit S 1 reste allumé jusqu à l istat 2, et S s allume à l istat 1. Soit S 1 reste allumé jusqu à l istat, et S 4 s allume à l istat 2. Ces cas état disjoits, o obtiet :, P (X ) La covergece de la série état évidete, o obtiet : E(X) P (X ) La somme de la série se calcule e utilisat x 0 x 1/(1 x) pour x < 1, e dérivat cette égalité, et e faisat x 1/4. O obtiet fialemet : E(X)
7 Exercice 10 - Ue autre expressio de l espérace - L2/L/Master Eseigemet - 1. (a) Pour 1, o peut écrire : kp (X k) k (P (X > k 1) P (X > k)) k1 1 k1 1 (k + 1 k)p (X > k) P (X > ) + P (X > 0) P (X > k) P (X > ). (b) O a, pour tout etier, kp (X k) P (X > k). La suite des sommes partielles d ue série à termes positifs est majorée. C est que la série coverge. (c) Si X admet ue espérace, la série kp (X k) coverge. Mais : 0 P (X > ) k+1 P (X k) k+1 kp (X k). Ce derier terme ted vers 0, lorsque ted vers l ifii, comme reste d ue série covergete. Doc : E(X) (d) O utilise le même type d argumet : P (X > k). k 2 P (X k) k 2 (P (X > k 1) P (X > k)) 1 (2k + 1)P (X > k) 2 P (X > ). Si X admet ue variace, X admet u momet d ordre 2, et la série k 2 P (X k) coverge. Mais : 0 2 P (X > ) 2 k+1 P (X k) k+1 k 2 P (X k). Ce derier terme ted vers 0 lorsque ted vers l ifii, et doc : E(X 2 ) (2k + 1)P (X > k). 7
8 2. (a) O a X k si et seulemet si les épreuves ot ameé u résultat iférieur ou égal à k, et o a doc : ( k P (X k) Quat à la loi de X, o trouve, pour 1 k : (b) Par la questio précédete : ) ( ) k P (X > k) 1. P (X k) P (X k) P (X k 1) k (k 1). E(X) (c) O recoait ici ue somme de Riema de la foctio x x, cotiue sur [0, 1]. O a doc, pour qui ted vers l ifii : ( ) k 1 0 ( k ). x dx (d) O a : E(X) ( k )
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