Chapitre 2 Eléments de cinématique du solide

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1 Chapte Eléments de cnématqe d solde Dans ce chapte, nos allons ntode qelqes notons po déce le movement de ponts et d'objets, ne dscplne q'on appelle la cnématqe, sans po le moment essae de fae le len ente ce movement et ses cases, q est l'objet de la dnamqe, et de chaptes ltées! Je vas commence pa fae qelqes appels s le movement d'n pont matéel, ps nos abodeons le movement de sstèmes de ponts et de soldes.. Rappels s le movement d'n pont matéel Consdéons n pont de masse m dont le movement est déct dans n éféentel othonomé fe qelconqe éqpé d'ne hologe. Soent vectes dectes ntaes défnssant note epèe (Fge.)., et les tos t V Fge.. ovement d'n pont pa appot à n éféentel. Sot le vecte poston de ce pont à n nstant t. Sa vtesse est : d V. (.) dt Sa qantté de movement, comme appelé dans le chapte pécédent, est : p mv (.) et l'énege cnétqe s'éct : p EK mv mv V V. (.3) m L'accéléaton est défne pa : dv a V. (.4) dt n pet ass epme totes ces qanttés en foncton des coodonnées (t), (t), et (t) d pont, q sont des fonctons d temps :, (.5)

2 ECANIQUE DES SLIDES ET DES LANETES CHAITRE V, (.6) a. (.7) Nos allons vo q'l est sovent tès tle de amene ass le movement pa appot à des ponts patcles. o cela, on ntodt la noton de moment cnétqe... oment cnétqe d'n pont Sot n ate pont qelconqe de l'espace, fe o moble. Le moment cnétqe d pont de masse m pa appot a pont, noté, est défn (Fge.) pa : mv p. (.8) V V Fge.. oment cnétqe d'n moble pa appot à n pont (à gache) et pa appot à n ae(à dote). Consdéons ne dotede vecte decte. n tlsea pltôt le teme d'ae, en pensant évdemment à des otatons ato de cette dote. Sot n pont qelconqe de cet ae. n appelle moment cnétqe pa appot à l'aenoté, le podt scalae : ; (.9) notons ben qe s le moment cnétqe pa appot à n pont est n vecte, le moment cnétqe pa appot à n ae est ne qantté scalae. Remaqe : Le moment cnétqe pa appot à n ae, défn pa (.9), ne dépend pas d cho d pont. Véfons-le en penant n ate pont ' de l'ae. Il este ans n nombe éeltel qe ' et on a alos : ' ' ' p ' p ' p p (.0) sot : ' p (.) mas p 0, effectvement le vecte p est pependclae à, donc : '. (.) Remaqe : Décomposons la vtesse V en ne composante pependclae à l'ae V et ne composante paallèle à l'ae V (Fge.3) : V V V. (.3) page 6

3 ECANIQUE DES SLIDES ET DES LANETES CHAITRE S d est la dstance d pont à l'ae, H le ped de la pependclae àpassant pa, le modle de la vtesse d pont pependclae à l'ae (Fge.3), etl'angle oenté ente le vecte H et le vecte V, alos le moment cnétqe de pa appot à l'ae s'éct : mdv sn. (.4) H V V V V Fge.3. Analse de la sgnfcaton eplcte d moment cnétqe pa appot à n ae. ontons-le! sqe ne dépend pas d cho d pont, on est lbe de chos n pont patcle comme H. n a alos : H H mv mh VV. (.5) m HV m HV Le deème teme est nl ca HV est pependclae à l'ae. Il vent donc : m HV mdvsn. (.6) Cette epesson est tle ca elle pemet de vsalse phsqement la sgnfcaton de la noton de moment cnétqe pa appot à n ae. Nos allons d'alles pécse cette ntepétaton phsqe pls lon... Cas d movement dans n plan C'est n cas patcle tès mpotant en patqe. Consdéons donc le movement de note pont dans le epèe (Fge.4). Ente t et t+dt, le moble se déplace de en ' et on a '=Vdt. Calclons l'ae da balaée pa le aon vecte ente t et dt. C'est A dt pa défnton de la vtesse aéolae A (vo elaton.4). as on pet ass calcle dectement cette ae à pat de la Fge.4. page 7

4 ECANIQUE DES SLIDES ET DES LANETES CHAITRE +d t+dt ' da t K Fge.4. ovement dans n plan et vtesse aéolae. C'est en effet l'ae d tangle ' mons l'ae d tangle H'' mons l'ae d tangle K' et mons l'ae d ectangle HH'K, sot : daadt A( ') A( ' H ') A ( H ) A ( K ') A ( HK ' H '), (.7) d d ddd d d d'où on dédt ne epesson de la vtesse aéolae : A. (.8) Notons qe pafos, po les movements dans n plan, on péfèe tlse des coodonnées polaes,a le des coodonnées, (vo encadé.). En coodonnées polaes, l'epesson de la vtesse aéolae est : A. (.9) Il est facle de le véfe à pat de (.8) et des fomles de l'encadé....3 Cas d movement dans l'espace à tos dmensons Revenons mantenant a cas généal d movement d'n pont dans l'espace à tos dmensons et epmons l'énege cnétqe en foncton des coodonnées,, d pont. C'est tot smplement : E K mv m. (.0) Qant a moment cnétqe pa appot à n pont de coodonnées,, on pet l'éce : H H' +d page 8

5 ECANIQUE DES SLIDES ET DES LANETES CHAITRE Encadé. : Repéage d movement dans n plan en coodonnées polaes. ovement dans le plan : Coodonnées d pont : cos sn n défnt alos les vectes ntaes dépendant d temps t : cos sn et sn cos Vecte poston : n a : et d'où on dédt : Vtesse : V Enege cnétqe : E m K Accéléaton : m a mv m m. (.) Dans de nombe cas, pltôt qe d'tlse les coodonnées catésennes,,, on péfèe tlse les coodonnées clndqes et sphéqes. Les epessons de la vtesse et de l'accéléaton dans ces sstèmes de coodonnées sont appelées dans l'encadé. (vo à la fn d chapte), encadé qe je vos engage à egade en détal. Regadons mantenant le moment cnétqe pa appot à l'ogne, dans n cas patcle ntéessant, cel où le movement est dans le plan. n a alos : 0 mv m m 0. (.) 0 0 n constate, en egadant (.) et (.8), qe le moment cnétqe est algné avec l'ae vetcal et qe sa composante svant cet ae vat, à la masse pès, de fos la vtesse aéolae : m ma. (.3) Voc donc ne ntepétaton phsqe tès alléchante d moment cnétqe pa appot à n ae! Il est popotonnel à la vtesse aéolae dans le plan pependclae à l'ae! énéalsons mantenant ces concepts à n ensemble de ponts.. Descpton d movement d'n ensemble de ponts matéels.. Cente d'nete d'n sstème Consdéons n ensemble de ponts matéels de masse m q'on appellea sstème. La masse totale d sstème, notée, sea évdemment : page 9

6 ECANIQUE DES SLIDES ET DES LANETES CHAITRE m. (.4) n pet alos défn le bacente d sstème de ponts. n a : m. (.5) n appelle ass ce pont cente de gavté o pltôt, dans ce cos de mécanqe, cente d'nete. Sovenons-nos de la popété svante, q éslte de (.5) : m 0. (.6) Dans la plpat des poblèmes de mécanqe d solde, l fat commence pa tove la poston d cente d'nete, voe le cente d'nete de chaqe pate moble. Qelqes eemples smples sont poposés en eecce. Nos veons pogessvement des cas pls complqés. où qe :.. Qantté de movement totale d'n sstème La qantté de movement totale d sstème, notée, est défne pa : p p désgne la qantté de movement d pont et m V, (.7) m V V d dt sa vtesse. n emaqe V, (.8) d où V désgne la vtesse d cente d'nete. Atement dt, la qantté de movement dt totale d'n sstème est égale à la qantté de movement d cente d'nete affecté de la masse totale d sstème...3 oment cnétqe total d'n sstème De façon logqe, le moment cnétqe total d'n sstème pa appot à n pont est défn pa : p m V. (.9) Qant a moment cnétqe total d'n sstème pa appot à n ae, l est défn comme pécédemment pa :, (.30) où est n pont qelconqe de...4 Enege cnétqe totale d'n sstème Sans spse, l'énege cnétqe totale d'n sstème est la somme des éneges cnétqes de ses ponts : p EK mv. (.3) m o fe les dées, nos allons mantenant egade le cas d'n sstème gde en otaton pa appot à n ae fe. page 0

7 ECANIQUE DES SLIDES ET DES LANETES CHAITRE.3 Cas d sstème gde en otaton ato d'n ae fe.3. Noton de moment d'nete pa appot à n ae Consdéons n sstème gde en otaton pa appot à n ae fe(fge.5) et sotla vtesse anglae nstantanée de otaton. ojetons chaqe pont s l'ae et appelons cette pojecton H. Alos, psqe le sstème est gde, le modle V de la vtesse V d pont, s'éct : où / est la dstance H. V /, (.3) H V Fge.5. Rotaton d'n sstème gde ato d'n ae fe. L'énege cnétqe d sstème s'éct donc : EK mv m / m /, (.3) et donc pet s'éce : E K I, (.3) avec : I m /. (.33) Cette qantté I s'appelle moment d'nete d sstème pa appot à l'ae. n vot dans l'éqaton (.3) qe, s la vtesse anglae nstantanéejoe, po la otaton, le ôle de la vtesse de tanslaton, alos le moment d'nete joe le ôle de la masse. Regadons pa eemple (Fge.6) le cas tès smple de de masses m dentqes et ponctelles placées a de etémtés d'ne tge légèe (de masse néglgeable) de longe l, et calclons le moment d'nete I pa appot à l'ae pependclae à la tge passant pa son cente. page

8 ECANIQUE DES SLIDES ET DES LANETES CHAITRE m m Fge.6. Eemple de sstème gde en otaton ato d'n ae fe. n a d'apès (.33) : I l l m / m m ml. (.34) Nos veons de nombe ates eemples, pafos pls complqés, dans ce chapte et a cos des eecces..3. Règle de Stene-Hgens am les aes possbles ato desqels on pet fae tone n sstème gde, on dot dstnge ne famlle patclèe, les aes q passent pa le cente d'nete. Il a d'alles ne elaton, tès mpotante et tès tle en patqe, ente le moment d'nete I pa appot à n ae qelconqeet le moment d'nete I pa appot à l'ae paallèle à passant pa (Fge.7). ' d H H Fge.7. oment d'nete d'n solde gde pa appot à n ae et pa appot à n ae paallèle passant pa le cente d'nete. page

9 ECANIQUE DES SLIDES ET DES LANETES CHAITRE S H est la pojecton de s, appelons H la pojecton de s. n emaqe, po tot pont, le modle d vecte HH et, et tos ces vectes sont dentqes : H H d. est égal à la dstance d ente Développons alos la défnton de Ipo fae appaaîte les ponts H : I m H m H H m HH H m H md I d m H Dans le deème teme, on a effectvement econn I ; qant a tosème teme, l est nl. En effet : d m H d m H d m 0, (.36) où le peme teme est nl ca tos les vectes H m H H H (.35) sont algnés avec l'ae et donc sont pependclae à d, et le deème teme est nl en vet de l'éqaton (.6). n a ans démonté qe : I I d. (.37) C'est la ègle de Stene-Hgens, d'apès le mathématcen ssse Jakob Stene ( ). C'est ne elaton tès smpathqe, ca elle évte de épéte des calcls ntles. a eemple, nos povons d'oes et déjà, sans effot, donne la vale d moment d'nete pa appot à l'ae' dans le sstème de la Fge.6. C'est, d'apès la ègle de Stene-Hgens : l ' I m ml ml ml. (.37) I Dans ce cas tès smple, on vot ben qe c'est effectvement ce q'aat donné n calcl dect! Remaqons ass qe la ègle de Stene-Hgens mplqe qe, po tote decton consdéée, le moment d'nete est mnmal qand l'ae passe pa le cente d'nete d sstème..3.3 Epesson d moment cnétqe total pa appot à l'ae Il est ass tès tle d'epme le moment cnétqe totalpa appot à l'aeen foncton d moment d'nete I et de la vtesse anglae de otaton. Sot n vecte decte de l'ae et n pont qelconqe s l'ae. n a pa défnton : mv. (.38) Dans le cas d'n sstème gde, l est asé d'epme vectoellement les vtesses : V, (.39) où désgne le vecte nstantané de otaton. n a alos : mv m. (.40) page 3

10 ECANIQUE DES SLIDES ET DES LANETES CHAITRE Décomposons le doble podt vectoel, en nos sovenant qe, po tos vectes a, b, c, on a : ce q, dans note cas, donne : n a alos : sot : m bc ac b ab c a, (.4) H m H / m.3.4 Cas d solde contn. (.4) m H (.43) I. (.44) dv dm Fge.8. Solde contn en otaton ato d'n ae fe. Un solde est en fat constté d'n gand nombe de ponts et, pltôt qe des sommes fnes, on va epme nos qanttés avec des ntégales. S on consdèe (Fge.8) n pett élément de volme dv ato d pont, l content ne masse dm donné pa la masse volmqe locale() : dm. (.45) dv La masse totale est alos : dm dv (.46) et le cente d'nete est défn pa : dm dv. (.47) Le moment d'nete d solde pa appot à l'aeest alos : page 4

11 ECANIQUE DES SLIDES ET DES LANETES CHAITRE I dm où désgne la dstance ente et l'ae(fge.8). dv, (.48) R R +d Fge.9. Cecea et clnde : moment d'nete pa appot à l'ae de sméte clndqe. Regadons pa eemple le cas d moment d'nete d'n cecea fn de masse et de aon R (Fge.9) pa appot à n ae pependclae à son plan, passant pa son cente. n a : I cecea dm R dmr dmr. (.49) Regadons mantenant le cas d'n clnde homogène de masse, de aon R et de longe L (Fge.9). Son volme est V=R L et sa masse volmqe=/v=/r L. o tove le moment d'nete pa appot à l'ae de sméte de évolton, décopons le clnde en petts éléments de longe L et s'appant s n annea ente et +d (Fge.9). Le pett élément de volme est alos dv=dl et on a : 4 3 R I dm dv dl L d L (.50) R L 4 sot I clnde R. (.5) Ces de ésltats smples (.49) et (.5) sont à eten! Retenons ass le moment d'nete d'ne sphèe homogène de masse et de aon R pa appot à n ae passant pa son cente : I sphèe R 5 Nos veons d'ates eemples de calcls de moments d'nete en eecces! Nos sommes mantenant pêts po abode le cas d movement généal d'n solde. L. (.5) page 5

12 ECANIQUE DES SLIDES ET DES LANETES CHAITRE Encadé. : Repéage d movement dans l'espace en coodonnées clndqes et sphéqes. Coodonnées clndqes : Coodonnées sphéqes : sn ' Vecte poston : Vtesse : V Accéléaton : a Enege cnétqe : E K m m Coodonnées : Vecte poston : sncos snsn cos sncos coscos snsn cos sn cos sn cos sn ' cos 0 0 Vtesse : V sn ' Enege cnétqe : E m sn K Ce q'l fat eten de ce chapte : La noton de moment cnétqe pa appot à n pont La noton de moment cnétqe pa appot à n ae La noton de moment d'nete La ègle de Stene-Hgens page 6

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