Cours de mécanique 2 M22-Forces centrales

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1 Cours de mécanique 2 M22-Forces centrales Table des matières 1 Introduction 2 2 Forces centrales conservatives Définition Exemles Mouvement général Moment cinétique Énergie mécanique Conservation de l énergie mécanique Définition d une énergie otentielle e ective Mouvements ossibles Cas d une force réulsive (K >0) Cas d une force attractive (K <0) Équation olaire de la trajectoire Force attractive K< Force réulsive K> Énergie mécanique et trajectoires Études de trajectoires articulières Trajectoire arabolique et vitesse de libération Trajectoire circulaire Trajectoire ellitique et lois de Keler Exression de la vitesse sur la trajectoire Troisième loi de Keler Références 13 1

2 Mécanique 2 M22-Forces centrales 1. Introduction 1 Introduction Ce chaitre va être l occasion de revoir deux forces que l on connaît bien, la force gravitationnelle (dite de Newton) et la force électrostatique (dite de Coulomb). En e et, nous l avons déjà dit, ces forces résentent des similitudes, notamment leur variation en 1 r 2. Dans ce chaitre, nous verrons les forces centrales conservatives, dont la force de Newton et celle de Coulomb font arties, et leurs caractéristiques ; uis nous étudierons le mouvement d un oint M soumis à une force centrale en remarquant la constance de certaines grandeurs. 2 Forces centrales conservatives 2.1 Définition Une force centrale est une force qui s écrit æ F = F (r) æ ur en coordonnées shériques. Cela signifie : que sa valeur ne déend as du tems ; que a valeur de déend que de r, la distance de M (oint qui subit la force) à O (oint aelé centre de force) ; que sa droite d action a la même direction que le vecteur æ OM. x O z æ F æ ur M Figure 1 M subit une force centrale de centre O Cette force est conservative (le calcul de son travail ne déend as du chemin suivi), elle dérive donc d une énergie otentielle : y æ F = æ grad E P et ainsi F (r) = de P dr (1) 2.2 Exemles La force de Newton est une force centrale conservative : æ F = G m O m M r 2 æ er æ F = K r 2 æ er (2) avec K = Gm O m M (K<0) La force de Coulomb est une force centrale conservative : æ F = 1 4fi 0 q O q M r 2 æ er æ F = K r 2 æ er (3) avec K = q Oq M 4fi 0 K<0 si q O et q M sont de signe oosé ; K>0 si q O et q M sont de même signe En utilisant le K défini ci-dessus, on ourra écrire l énergie otentielle dont dérive ces deux forces de la manière suivante : E P = K r +cste (4) 2

3 Mécanique 2 M22-Forces centrales 3. Mouvement général où la constante sera définie en fonction de l origine des énergies otentielles (souvent on choisira que E P (r æœ)=0. 3 Mouvement général d un oint M soumis à une force centrale conservative Nous allons voir que cette notion de force centrale a des conséquences quant à la conservation de certaines grandeurs hysiques, que l on eut traduire en terme de mouvement. 3.1 Moment cinétique Nous allons montrer que le fait que le oint M ne soit soumis qu à une force centrale rend son moment cinétique constant. Aliquons le théorème du moment cinétique en O dans le référentiel galiléen (O, æ e x, æ e y, æ e z ) : d æ L O (M) = æ M O ( æ F )= æ OM æ F = r æ e r F (r) æ e r = æ 0 (5) dt Le fait que le moment cinétique soit constant à deux conséquences : La remière est que le mouvement du oint M est lan :eneet, æ L O (M) = m æ OM æ v (M) = æ cste imlique que le oint M se délace constamment dans un lan erendiculaire à æ L O (M) (lan défini ar le vecteur æ OM et le vecteur æ v ). La deuxième conséquence est que l aire balayée ar le rayon vecteur æ OM est roortionnelle au tems : c est la loi des aires. Trouvons tout d abord l exression de la constante des aires C, liée au moment cinétique, en exrimant le moment cinétique en coordonnées cylindriques : æ L O (M) =m æ OM æ v (M) =mr æ e r ( r æ e r + r æ e )=mr 2 æ e z (6) On note généralement æ L O (M) =mc æ e z avec C = r 2. Exrimons maintenant l aire balayée ar le rayon vecteur endant un tems dt : da = 1 2 OM vdt= 1 2 r r dt (7) car on eut voir cette ortion infinitésimale d aire comme un triangle de hauteur r et de base vdt. Ainsi : Donc : da dt = r2 2 = C 2 A(t) = C 2 (8) t +cste (9) O y da r vdt M Figure 2 Aire balayée ar OM endant dt x Remarque La grandeur da dt se nomme arfois vitesse aréolaire, vitesse de balayage d une aire. 3

4 Mécanique 2 M22-Forces centrales 3.2 Énergie mécanique 3.2 Énergie mécanique Conservation de l énergie mécanique Le fait que la force centrale soit conservative imlique que l énergie mécanique du oint M est conservée au cours du mouvement. En e et, d arès le théorème de l énergie cinétique, our le oint M qui se délace entre la osition A et la osition B : E C (B) E C (A) =W AB ( æ F ) (10) Or comme la force æ F est conservative, on eut définir une énergie otentielle telle que : En e et : W AB ( æ F )= ˆ B A W AB ( æ F )=E P (A) E P (B) (11) F (r)dr = ˆ B Donc en deux ositions quelconques A et B du oint M : A K 5 r 2 dr = K 6 B = E P (A) E P (B) (12) r A E C (A)+E P (A) =E C (B)+E P (B) =cste (13) On eut donc écrire : E M = E C + E P =cste (14) Si cette énergie est constante c est qu elle a à tout instant la valeur qu elle avait dans l instant initial : on eut donc déterminer sa valeur à artir des conditions initiales Définition d une énergie otentielle e ective On eut exrimer cette énergie mécanique en fonction de l unique variable r. On a : E M = 1 2 mv2 + E P (r) (15) Car nous avons dit que l énergie otentielle ne déendait que de r On eut exrimer la vitesse en coordonnées olaires : 3E P = K r +cste 4. E M = 1 2 m( r 2 + r 2 2 )+E P (r) (16) Car æ v = r æ e r + r æ e, si on orte cette exression au carré, le terme "2ab" fait aaraître le roduit scalaire æ e r æ e qui est nul. Enfin on eut faire aaraître la constante des aires et ainsi définir une nouvelle énergie otentielle : E M = 1 2 m r 2 + mc2 2 r 2 + E P (r) = 1 2 m r 2 + E Pe (r) (17) 4

5 Mécanique 2 M22-Forces centrales 3.3 Mouvements ossibles E Pe (r) =E P (r)+ mc2 est aelée énergie otentielle e ective, elle comrend l énergie 2 r2 otentielle et une artie de l énergie cinétique du oint M. Le roblème se résume alors à l étude d un oint matériel de masse m dont la osition est décrite ar un seul degré de liberté, r ; et soumis à une force conservative dont l énergie otentielle est E e. Pourquoi définir une énergie otentielle e ective? Cette énergie, qui n a as réellement de sens hysique, va ermettre ar son étude, de trouver les formes de mouvements ossibles our le oint M en fonction du signe de K et de la valeur de la constante E M. 3.3 Étude des mouvements ossibles et conditions d existence Nous allons utiliser l énergie otentielle e ective définie récédemment our identifier les mouvements ossibles. Selon l allure de E Pe = f(r) et la valeur de l énergie mécanique de M, nous distinguons lusieurs cas : Cas d une force réulsive (K >0) La fonction E Pe = f(r) a l allure suivante : E Pe (r) E M O r min r Figure 3 Allure de E Pe (r) dans le cas d une force réulsive Raelons la relation donnant l énergie mécanique : E M = 1 2 m r 2 + E Pe (r) Ainsi, comme l énergie cinétique radiale est nécessairement ositive, our qu il y ait mouvement il faut que E M Ø E Pe. 5

6 Mécanique 2 M22-Forces centrales 3.3 Mouvements ossibles Trajectoire de M Le mouvement ne eut donc se faire qu entre r = r min et l Œ, ce mouvement est non borné : Lorsque la force centrale est réulsive, on arle d un état de di usion. O r min Figure 4 Etat de di usion Pour trouver la valeur de r min, il faut résoudre l équation : E M = E Pe E M mc2 2r 2 K r =0 (18) Ce qui équivaut à l équation du second degré suivante : E M r 2 Kr mc2 2 =0 (19) Cette équation admet deux solutions, la solution ositive donne l exression de r min : r min = K + ÒK 2E 2 +2mC 2 E M M (20) Cas d une force attractive (K <0) Regardons une nouvelle fois la forme de la courbe E Pe = f(r) : E Pe (r) E M O r 1 r min r 0 r max r E M Figure 5 Allure de E Pe (r) dans le cas d une force attractive Cette fois, lusieurs cas sont ossibles selon le signe de l énergie mécanique du oint M : 6

7 Mécanique 2 M22-Forces centrales 3.4 Équation olaire de la trajectoire Si E M > 0, on se retrouve dans la même configuration que lorsque K>0, C est à dire que le seul mouvement ossible s e ectue entre r 1 et l Œ, on a encore à faire à un état de di usion. Si E M < 0, le mouvement est borné entre r min et r max, on arle alors d un état lié. le mouvement est dans ce cas ellitique. O r 1 Trajectoire de M Figure 6 État de di usion lorsque K<0 r min et r max sont solutions de l équation du second degré : r max O r min E M r 2 Kr mc2 2 =0 (21) Il existe un cas articulier, où l équation récédente admet une solution double (discriminant du olynôme nul) ; dans ce cas l état est toujours lié, avec un r = r 0 = cste : le mouvement est circulaire autour de O. Figure 7 État lié lorsque K<0 3.4 Équation olaire de la trajectoire En reartant de l exression de l énergie mécanique, il est ossible, à l aide d un changement de variable et de quelques astuces, de trouver l équation r = f( ) des trajectoires évoquées ci-dessus. On utilise notamment le changement de variable u = 1 r qui nous ermet d obtenir une équation di érentielle en u que nous savons résoudre. Nous nous contenterons de donner ici les équations olaires finalement obtenues : Force attractive K<0 Si K<0, r = 1+e cos avec = - mc 2 K - et e = AmC 2 (A =cste) (22) - K - Cette équation olaire est celle d une conique, la valeur de l excentricité e donne la forme de la conique : Si e =0, la trajectoire est un cercle de centre O de rayon (r 0 trouvé récédemment, état lié). Si 0 <e<1, la trajectoire est une ellise de foyer O (état lié). Si e =1, La trajectoire est une arabole (état de di usion). Si e>1, La trajectoire est une hyerbole (état de di usion, voir figure 6) Force réulsive K>0 Si K>0, r = e cos 1 avec et e ositifs (23) 7

8 Mécanique 2 M22-Forces centrales 3.5 Énergie mécanique et trajectoires De lus dans ce cas, on a forcément e>1 uisque r>0 : on obtient donc une hyerbole (état de di usion, voir figure 4). 3.5 Énergie mécanique et trajectoires En maniulant l énergie mécanique, il est ossible de l exrimer en fonction des aramètres déjà utilisés our décrire l équation olaire de la trajectoire. On obtient : E M = K 2 (1 e2 )= K2 2 mc 2 (e2 1) (24) Etant donné que les valeur de E M déendent directement des valeurs de e, la valeur de E M nous indique directement la nature de la trajectoire : e<1 E M < 0 : trajectoire ellitique (voir circulaire) ; e =1 E M =0 : trajectoire arabolique ; e>1 E M > 0 : trajectoire hyerbolique. 4 Études de trajectoires articulières 4.1 Trajectoire arabolique et vitesse de libération On arle de vitesse de libération lorsqu un cors, soumis à l attraction gravitationnelle d un autre cors et distant de r, a une vitesse su sante our s "échaer" de cette attraction. On se lace donc dans le cas d une force Newtonienne attractive (K <0). Cette vitesse de libération est atteinte si le cors est dans un état de di usion, donc sur une trajectoire arabolique. Ainsi, e =1et d arès l exression de l énergie mécanique vue récédemment, E M =0. Ce qui donne : Û 1 2 mv2 l + K r =0 v 2K l = (25) mr Plaçons nous dans le cas de la Terre et d un satellite de masse m, sa vitesse de libération deuis la surface terrestre est : v l = Û Û 2 Gm T m 2 Gm T = = 11 km.s 1 (26) mr T R T 4.2 Trajectoire circulaire ( voir exercice 3 du TD M22) 4.3 Trajectoire ellitique et lois de Keler Cette trajectoire est imortante : les lois de Keler et en articulier la remière exlique que chaque lanète du système solaire décrit une orbite ellitique autour du soleil qui constitue un des foyers de l ellise. D arès ce qui a été vu, on a r = 1+e cos. Ainsi : La lanète se raroche du soleil jusqu au érihélie, osition de la lanète la lus roche du soleil sur l orbite, définie ar : r = (27) 1+e La lanète s éloigne du soleil jusqu à ahélie, osition de la lanète la lus éloignée du soleil sur l orbite, définie ar : r a = (28) 1 e 8

9 Mécanique 2 M22-Forces centrales 4.3 Trajectoire ellitique et lois de Keler Exression de la vitesse sur la trajectoire On eut tout d abord exrimer l énergie mécanique en fonction du demi-grand axe de l ellise : d arès le schéma ci-contre : 2a = r + r a (29) 2a = 1+e + 1 e = 2 1 e 2 (30) Car sur la figure 8, la osition P corresond à un angle =0, la osition A a un angle de = fi. D où : = a(1 e 2 ) (31) A r a F r M r O P 2b Remlaçons ceci dans l exression de l énergie mécanique (equation (24)) : 2a E M = K 2a = K 2a (32) Ce résultat est imortant : dans une trajectoire ellitique, l énergie mécanique ne déend que du demi grand-axe de l ellise. Figure 8 Trajectoire ellitique Écrivons à résent l exression donnant l énergie mécanique : Donc : 1 2 mv2 + K r = K 2a Û 3 K 1 v = m a 2 4 r Û 3 2 = Gm O r 1 4 a Û 3 4 2a r = Gm O ar (33) (34) (35) (36) (37) Ainsi au érihélie et à l ahélie, on a : v P = Û Gm O 3 2a rp ar P 4 v A = Û Gm O 3 2a ra ar A 4 (38) On retrouve bien, comme r P <r A, le fait que v P >v A Troisième loi de Keler Cherchons à retrouver l exression de la troisième loi de Keler : T 2 a 3 = 4fi2 Gm O. 9

10 Mécanique 2 M22-Forces centrales 4.3 Trajectoire ellitique et lois de Keler La loi des aires établie récédemment a été exrimée mathématiquement sous la forme : A(t) = C 2 t (39) Donc sur la ériode T de arcourt de l ellise, le oint M a balayé une aire égale à l aire de l ellise soit A = fiab. On a donc : fiab= C 2 T T 2 a 2 = 4fi2 b 2 C 2 (40) Enfin, on eut démontrer que b 2 = a et on sait que = mc2 K. T 2 a 2 = 4fi2 amc 2 K C 2 T 2 a 3 = 4fi2 m K (41) Finalement sachant que K = Gm O m<0 dans le cas d un mouvement ellitique (force attractive), on obtient : T 2 a 3 = 4fi2 Gm O (42) qui est bien l exression de la troisième loi de Keler (qui ne déend que de masse du oint attracteur m O ). Cette loi de Keler est valable dans le cas de la trajectoire circulaire, on remlace alors a ar r 0, rayon de la trajectoire circulaire. Annexe 1 : établissement de l équation de la trajectoire L énergie mécanique s écrit : E m = E C + E P = 1 2 m r 2 + mc2 2 r 2 + K r (43) On cherche l exression de r( ), donc il faut transformer le r. On a : r = dr dt = dr d d dt = dr d = C r 2. Donc l exression de l énergie mécanique devient : E m = mc2 2 r dr 2 + mc2 d 2 r 2 + K r (44) Utilisons un changement de variable : osons u = 1 r (r = 1 dr ), on a alors u d = 1 du u 2 d. Alors : E m = mc2 u du 2 2 u 4 + mc2 u 2 + Ku (45) d 2 = mc2 2 A 3du 4 B 2 + u 2 + Ku (46) d 10

11 Mécanique 2 M22-Forces centrales 4.3 Trajectoire ellitique et lois de Keler Utilisons à résent la constance de l énergie mécanique : E m =cste de A m du d 2 u =0 mc2 d d d 2 + u du B + K du =0 (47) d d du A A d mc 2 2 B B u d d 2 + u + K =0 (48) Il y a donc deux ossibilités : Soit du =0ce qui conduit à une fonction u( ) (et donc r( )) constante : ceci est la d caractéristique d une trajectoire circulaire. A d Soit mc 2 2 B u d 2 + u + K =0qui est une équation di érentielle du second ordre que l on eut écrire : d 2 u d 2 + u = K mc 2 (49) On sait résoudre cette équation, la solution globale est une addition d une solution articulière et de la solution de l équation homogène. on obtient : u( ) = K mc 2 + A cos( 0) (50) où A et 0 sont deux constantes déterminées ar les conditions initiales. 0 définit l axe de la conique, généralement on rend 0 =0. On en déduit : Ce qui donne : 1 r = K mc 2 + A cos( 0)= K + mc2 A cos( 0 ) mc 2 (51) r = mc 2 K + mc 2 A cos( 0 ) = mc 2 K sign(k)+ AmC2 K cos( 0 ) (52) On note généralement cette équation de trajectoire de la manière suivante : r = + e cos( 0 ) avec = C2 K et e = AmC2 K (53) et = ±1 (selon le signe de K) (54) Annexe 2 : énergie mécanique en fonction de e A 3du 4 B 2 Pour obtenir cette exression, il faut reartir de E m = mc2 + u 2 + Ku et 2 d remlacer u( ) ar son exression, soit u( ) = K mc 2 + A cos( 0). On obtient : E M = K2 2 mc 2 (e2 1) 11

12 Mécanique 2 M22-Forces centrales 5. Références Annexe 3 : aramètres d une ellise Demi grand-axe a On a établi que a = Distance focale c 1 e 2 C est la distance entre le centre de l ellise et un des foyers (le centre de force) : Excentricité e c = a OP = a 1+e = 1 e 2 1+e = e 1 e 2 (55) L excentricité de l ellise eut alors s exrimer de la façon suivante : e = c a. Demi-etit axe b On cherche ici à relier b à a et. On connaît une relation générale des coniques qui donne : a 2 = b 2 + c 2. On eut alors écrire : b 2 = a 2 c 2 = 2 (1 e 2 ) 2 2 e 2 (1 e 2 ) 2 = 2 1 e 2 (56) D où : b = Ô 1 e 2 = a ale 1 e 2 = Ô a ou b 2 = a (57) 5 Références "Physique Tout-en-un MPSI PCSI PTSI" - Marie-Noëlle Sanz / Anne-Emmanuelle Badel / François Clausset - Editions Dunod 2008 ; "Précis Mécanique PCSI" - C.Clerc / P.Clerc - Bréal ; 12