P(X> ) = f(..) + f(...).. MAIS si on ne sait pas le max à 1-P(X< )* P(X< ) = f(..) + f( ).. Type de donnée Ex Main Excel

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1 Les lois discrètes Réalisatios déombrables Poits portet probabilités P(X> ) = f(..) + f(...).. MAIS si o e sait pas le max à -P(X< )* P(X< )= f(..) + f(...).. P(X> ) = *-P(X< ) = F( ) è soit f( ) f( ) f( ) ou F( ) /F( ) = f( )+f( ) P(X< ) = f(..) + f( ).. P(X= ) = f( ) Type de doée Ex Mai Excel Loi biomiale = tirage avec remise à = ombre total d épreuves idividuelles à p = probabilité de succès = épreuves avec ou sas succès = variable aléatoire X comptat le ombre de succès Poser X ~B( ;p). Poser la formule géérale : x f x P X x C i xi xi ( ) = ( = ) = p ( p) x =,,!, i i 3. Poser la probabilité cumulée, les coditios de succès, etre combie et combie? (p. ex au mois 5 sur : P ( X 5) = f (5) + f (6) + f (7) + f (8) + f (9) + f ()) 4. Calculer la probabilité de succès des épreuves idividuelles idépedates (avec le même exemple : = C ( ) ( ) + C!! ( ) ( ) + C! ( ) ( ) + C! ( ) ( ) + C! ( ) ( ) + C! ( ) ( ) ! 3! C r = Si r et sot idetiques =, si r est =, si r est = ( r)! r! Ø Si N est pas défii, ou est u grad ombre, comme das l ex. 3 et 5b, au lieu de faire de 6 à N car P(X>6), faire l iverse, càd rapporter à - P(X<5) i Excel : toujours rameer formule à P X x ) ( i Doc si das otre ex c était au mois 5, doc = ou + que 5, alors c est de toute maière plus grad que 4 : P(X>5)=P(X>4)=- P(X<4) = F(4) Formule = loi.biomiale.(4;;/ 3;) (X i ; ;p ; si ue probabilité et si plusieurs cumulée) Patricia Fly

2 Coefficiet de variatio avec Biomiale (expliquer différeces etre probabilités, comparer la dispersio de plusieurs distributios) Espérace mathématique E(X) Et variace Var(X) pour la loi hypergéométrique P. ex motrer pourquoi H est plus précis que B 5c 8e 8c 8d 9 Ø Si la probabilité se situe das u itervalle, comme das l ex 4 o avait itervalle de 5'8 et 6', alors trasformer P( 5'8 X 6') = P(5'799 < X 6') = F(6') F(5'799) Soit F(b)-F(a), bie trop log à calculer à la mai Si mois gros chiffres : P(3< X > 5) = f(3) + f(4) + f(5) Attetio : P(3< X > 5) = f(4) où variace Var(X) = p(-p) et espérace mathématique E(X) = p = moyee Plus la valeur du coefficiet de variatio est élevée, plus la dispersio autour de la moyee est grade aisi, mois cocetrée autour de sa moyee, ce qui permet des probabilités plus fortes E ( X ) = p et N Var ( X ) = p( p). N Si o compare les résultats obteus etre B et H, o peut calculer leur variaces respectives puis de quel % ue des deux est plus élevée, p. ex celle de B (var(x)b var(x)h / var(x)h Si x < = LOI.BINOMIALE.N( x i ; ; p; ) =LOI.BINOMIALE.N(b ; ;p ;)- LOI.BINOMIALE.N(a ; ;p ;) Patricia Fly

3 Loi hypergéométrique = tirage sas remise à = échatillo aléatoire à N = populatio totale à k = ombre possédat la caractéristiques, soit succès X ~H(N ; ;p) xi xi Ck CN k f ( xi ) = P( X = xi ) = xi =,,,!,. CN 3. Quelle probabilité cherche-t-o? Combie sur doivet être u succès = f(x i ) et calculer si P(X<) o calcule P(x=) + P(x=) Suit les mêmes règles que la Biomiale, soit si P(x>7) o fait F(7) Plus N est grad, plus la variable aléatoire hypergéométrique X ted à se comporter comme ue variable aléatoire biomiale à si N est grad et est petit par rapport à N => utilisatio loi biomiale, car tirages avec / sas remises sot proches =LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N(x i ; ;k ;N ;O) si ue probabilité et si plusieurs cumulée) loi.hypergeometrique.( x i ; ;k ;N ;) à p = probabilité d avoir la caractéristique lors du premier tirage = k/n Loi de poisso = prévisio du ombre d évéemets susceptibles de se produire sur ue période de temps détermiée (trafic, files d attetes) 3. X ~ P( λ) xi λ -λ. f ( xi ) = P( X = xi ) = e λ >, xi =,,,! x! 4 coditios : i à λ, ombre moye de succès das l itervalle ], t] est cou seul paramètre à probabilité d avoir plus d u succès das u itervalle très petit est presque ulle = LOI.POISSON.N( x ;λ; ) i Patricia Fly 3

4 = variable aléatoire X compte le ombre de fois où l évéemet (succès) se produit das u itervalle de temps Les lois cotiues Réalisatios o déombrables Itervalles portet probabilités à probabilité d obteir u succès das u petit itervalle est proportioelle à la logueur de l itervalle àsuccès aléatoires et idépedats les us des autres Foctio de desité sur l axe horizotal ous idique où la variable aléatoire a le plus de chace de tomber f ( x) f ( x) dx = ((la surface sous le graphe de la foctio de desité égale (ou %)) Probabilité que X tombe exactemet sur u poit de l itervalle = ulle. Doc calculer P(X=,89889) si X obéit à ue loi cotiue (ormale) =! a P ( X = a) = f ( x) dx = P ( a X b) = f ( x) dx a Mode de la variable aléatoire cotiue X = maximum de la foctio de desité Médiae de X (Md ou C 5 ) = ombre réel Q défii par l itégrale b a Type de doée Ex Mai Excel Loi ormale à Paramètres : E(X) µ et Var(X) σ Si de ombreuses variables aléatoires idépedates s additioet, leur somme est ue Courbe de la desité ormale à ue cloche qui s éted idéfiimet à gauche et à droite de µ. Foctio de desité : f(x) = σ e π E (X ) = µ et (x µ) σ x R Var ( X ) = σ (σ =écart-type) R = esemble des ombres réels - La courbe s approche de plus e plus de l axe horizotal sas jamais l atteidre Cette loi e possède pas de foctio de répartitio explicite et o e peut procéder à la mai. Probabilités : X ~ N( µ, σ ) et a est u ombre réel quelcoque (u pt quelcoque sur l axe horizotale) : = LOI.NORMALE.N(a ; µ ; σ ;) = c est la foctio de répartitio Patricia Fly 4

5 variable aléatoire dot la loi de probabilité est ormale Elle est symétrique par rapport à µ ; qui lui est le cetre de la distributio, la médiae, la moyee et l espérace mathématique - poits d iflexio d abscisses : µ σ et µ + σ - Aire totale sous la courbe = - Si µ dimiue, courbe se déplace horizotalemet vers la gauche, si µ augmete, vers la droite - Siσ dimiue, courbe se codese, si σ augmete, courbe se disperse Calculer ue probabilité : das u itervalle etre poits P(a< X < b) : a µ X µ b µ. Poser X ~ N( µ, σ ) -- > P ( a < X < b) = P( < < ) σ σ σ µ. Cetrer et réduire la variable aléatoire ormale : Z = X pour avoir σ ue variable aléatoire stadard. ; µ = et σ = a µ 3. doc Z ~ N(,) = ( ) ( µ b P a < X < b = P < Z < ) σ σ 4. O a os ouvelles valeurs a et b pour calculer avec Excel Calculer ue probabilité : X > a. P(X > a) =P( > ) = P(Z > résultat*) Trouver la valeur du cetile Z : La cetile d ordre tat = poit sur l axe horizotal tel que tat de % est à sa gauche. Si o ous dit que P(Z < Z ) =. par exemple, cela veut dire que % de la surface sous la courbe ormale se situe à gauche de Z. Et cela veut dire aussi que Z = C. à doc Excel C. =LOI.NORMALE.INVERSE.N(. ; ;) qui doe u résultat égatif. F(X) = P(X<a) qui est évaluée au poit a et o pas la foctio de desité f(x). Ce qui calcule la probabilité F(a) = P(X<a) (= P ( < X < a) ). Ce P(X<a) représete la surface sous le graphe de la foctio de desité f(x), à gauche du poit a. C est aussi le rag de cetile de a. P(a< X < b) : =LOI.NORMALE.N( b; µ ; σ ;) - LOI.NORMALE.N( a ; µ ; σ ;) P(X>a) = P(X<a) = F(a) doc : =-LOI.NORMALE.N( a* ; µ ; σ ;) Cetiles : X ~ N( µ, σ ) et o veut le cetile d ordre a : (C a ) =LOI.NORMALE.INVERSE.N ( α ; µ ; σ ) Patricia Fly 5

6 5 6 Si P(Z> Z ) =.44 par exemple, cela veut dire que 44% de la surface sous la courbe ormale est à droite de Z et aisi comme c est la surface à sa gauche qui ous itéresse et qu o sait que la surface totale est de %, o fait -.44=.56 et o cherche doc C.56 Si P(Z < Z < ) =. alors c est la zoe etre Z et qui fait %, comme le est la moitié de la cloche, les deux parties à gauche et droite de fot 5% chacue. Et Z C. mais 5-=8% doc il s agit de C.8 que l o cherche. Doc si o cherche u poit précis (par ex résultat miimal d u exame pour réussir, ote, durée, etc, o cherche la cetille et si o veut ue proportio, u itervalle, o cherche la probabilité. Patricia Fly 6

7 Echatilloage et equête Echatillo Processus d equête pour collecter doées relatives à échatillo = equête d échatilloage Méthode de base assurat la représetativité d u échatillo : tirages équiprobables avec/sas remise das la populatio = Echatilloage aléatoire simple Processus de faire estimatios et tests d hypothèses sur caractéristiques d ue populatio à partir d u échatillo = iférece statistique Populatio d échatillos = pour doé, l esemble éorme de tous les échatillos possibles de taille das ue populatio Esemble de tous les échatillos possibles pour ue taille doée = populatio d échatillo Gradeur caractérisat u échatillo = statistique = toute foctio des X, X etc Moyee = Ecart-type = Proportio = à biomiale Distributio d échatilloage de la moyee X O e coaît i la distributio de X (variable statistique de départ) i la moyee ou la variace. Pour l estimatio de la moyee, o utilise la moyee échatilloale (= estimateur). Pour mesurer la précisio Populatio Processus d equête pour collecter doées relatives à populatio = recesemet Gradeur caractérisat ue populatio = paramètre Moyee = Ecart-type = Proportio = Pour le calcul des probabilités cocerat P X das le cas où 3, P = et X est biomiale à se référer à la loi biomiale! Patricia Fly 7

8 de cet outil, o s itéresse à la variace : plus elle est faible, plus l outil est précis. Avec remise = = Sas remise = plus précis Mais quad la taille de la populatio est ettemet plus élevée que celle de l échatillo, le facteur de correctio (N- sur N-) est très proche de, doc peu importe que l échatilloage se fasse avec ou sas remise, mais utiliser avec remise. Distributio de X lorsque X est ormale = théorème de la ormalité exacte Avec remise σ = X σ Sas remise 9 σ X = σ N N Patricia Fly 8

9 Doc pour trouver ue probabilité, il ous faut : - La moyee de x µ x - La variace de X Var(X) σ ECHANTILLONNAGE AVEC REMISE - et Grads échatillos - Puis - Se référer à la loi ormale mais avec les valeurs de X Distributio de X lorsque est grad >3 = théorème cetral limite 3 (ormale) Itervalle de cofiace pour la moyee x ± marge d erreur (Erreur d Estimatio Maximale) à x ± z α / s s = zα / avec remise X Très semblable au théorème de ormalité exacte sauf que la variable X de départ est pas supposée ormale et peut répodre à importe quelle loi. Quad la taille de l échatillo ted vers l ifii, la distributio de X est ormale (>3 alors ormale) Avec remise σ X ~ N( µ, ) Sas remise σ X ~ N( µ, N ) N INTERVALLES DE CONFIANCES Comme o a pas les doées pour calculer les moyees et variaces exactes, o évalue approximativemet par ue statistique adéquate ommée estimé. Itervalle de cofiace avec remise EEM = s s x zα /, x + zα / pour z, α / predre la valeur du cetile calculé! s zα / avec remise EEM avec remise = INTERVALLE.CONFIANCE.NORMAL(α ; s ; ) a = risque d erreur, s = écart-type O estime doc : Si pas idiqué avec ou sas, faire avec remise Patricia Fly 9

10 - La moyee échatilloalle par - La proportio échatilloale par - La variace échatilloale σ par s ECHANTILLONNAGE SANS REMISE Estimatio poctuelle θ = u paramètre de la distributio de X( µ σ π ) Doc faire ue estimatio poctuelle de θ est faire ue approximatio de θ par l estimé θˆ. Mais le problème : e doe pas d iformatio sur l erreur d estimatio ˆ θ θ (distace etre θˆ et θ ). (doc o met u chapeau pour dire que c est l estimé) Estimatio par itervalle θ = paramètre d ue populatio sur laquelle est défiie ue variable statistique x L itervalle de cofiace est u itervalle [ a, b] (bores aléatoires) qui cotiet la cible avec ue probabilité élevée de α. Niveau de cofiace = Risque d erreur = α α Cetiles de la loi ormale - z = à C α / -a/ - la surface de -a/ sous la foctio de desité N(,) se trouve à gauche de z α / - - z = C α / a/ Itervalle de cofiace sas remise x z α / s N, x + z N α / s N N Doe u itervalle plus petit, car plus précis! Costruire u itervalle de cofiace :. Poser les ifos qu o a :, s, -a, a, etc. Poser les ormes de la loi ormale : X ~ N( µ, σ ) 3. Calculer : a/= z =C α / -a/ 4. =loi.ormale.iverse(cetille ; ;) 5. Créer l itervalle de cofiace (plus haut avec / sas remise) Patricia Fly

11 Petits échatillos (studet) Itervalle de cofiace pour la moyee x ± marge d erreur (Erreur d Estimatio Maximale) à ± t s x α / X Distributio de X lorsque est petit = loi de Studet - variable aléatoire = T - paramètre l = degré de liberté - plus le degré de liberté l augmete, desité de Studet ted vers desité de la loi ormale stadard - distributio det est E ( T ) = ( ) - variace Var( T ) = ( > 3) 3 - foctio de desité est aussi e forme de cloche et est symétrique autour de ; de fortes réalisatios positives ou égatives ot des chaces d être prises par T T ~ Studet( l) Degré de liberté : l = - Cetiles : t α/ : cetile d ordre α / = à C -a/ Itervalle de cofiace avec remise x t s x + t α /, α / s s EEM = t α /. avec remise EEM avec remise = INTERVALLE.CONFIANCE.STUDENT(α ; s ; ) Si pas idiqué avec ou sas, faire avec remise Itervalle de cofiace sas remise x t α / s N, x + t N α / s N N Costruire u itervalle de cofiace :. Poser les ifos qu o a :, s, -a, a,, degré de liberté (-). Calculer : a/= t α/ =C -a/ 3. Calcul du cetile t α/ : 4. =LOI.STUDENT.INVERSE.N(cetille; degré de liberté) 5. Créer l itervalle de cofiace (plus haut avec / sas remise) Patricia Fly

12 Itervalle de cofiace pour la proportio p ± marge d erreur à p ± zα / s 3, π 5 et ( π) 5 p 4a Itervalle de cofiace avec remise p z α / p( p), p + z α / p( p) p( p) s P = = estimé de l écart-type de la proportio échatilloale Itervalle de cofiace sas remise p( p) N p zα /, p + zα / N p( p) N N Costruire u itervalle de cofiace :. Poser les ifos qu o a et détermier p (ceux qui ot la caractéristique/ total). Calculer : a/= t ou z α/ =C -a/ 3. Calcul du cetile t ou z α/ : 6. Petit échatillo =LOI.STUDENT.INVERSE.N(cetille; degré de liberté) et grad échatillo =loi.ormale.iverse(cetille ; ;) 4. Créer l itervalle de cofiace (avec / sas remise) s P = p( p) N N z = cetile d ordre α / de la loi ormale stadard. α / Plus l échatillo est grad, plus l estimatio est précise. O vérifie doc la taille d échatillo miimale pour ue précisio défiie à l avace : :. Estimer s avec u pré-échatillo d ue 3aie de doées. Avec ce s, détermier le défiitif avec les équatios : (calculer Cetile) Patricia Fly

13 Taille de l échatillo (>3) avec remise La taille de l échatillo : s EEM = z α / à Doc : EEM = zα / z s z s α / α / = = EEM EEM pred la valeur supérieure) Plus a dimiue, plus gradit. s (Et si tombe sur chiffre avec virgule, o sas remise La taille de l échatillo : N z s α / = ( N ) EEM + z s α / avec remise 4b 6 5 avec remise. Estimer avec u pré-échatillo d ue 3aie de doées. Avec ce, détermier le défiitif avec les équatios (calculer Cetile) : La taille de l échatillo : p( p) EEM = z α à / EEM p( p) Doc : = z + α / EEM o pred la valeur supérieure) = z α p( p) / (Et si tombe sur chiffre avec virgule, Patricia Fly 3

14 Tests d hypothèse. Affirmatio mise sur la sellette : hypothèse ulle H. Affirmatio cotraire : hypothèse alterative H O accepte de rejeter H que si otre échatillo recueille assez de preuve cotre elle et das ce cas c est H qui est acceptée (mais H est jamais «acceptée», juste coservée. - Outil du test = statistique à S = f ( X, X,..., X ) - S se calcule à partir de l échatillo - La loi L de S lorsque H est vraie est coue - L peut être loi ormale, de studet ou du khi-carré - Si la valeur de S est icompatible avec les réalisatios que la loi L produit, H a des chaces d être fausse - Pour être compatible, la distributio de S doit être das ue zoe de forte desité de L Erreur de première espèce = rejeter H quad H est vraie (à tort) Probabilité de commettre l erreur de première espèce = iveau de sigificatio = α, habituellemet fixé à 5% (si o veut vérifier foctioemet actuel, o peut baisser α à %) Erreur de secode espèce = coserver H à tort, alors qu elle est fausse. Probabilité de commettre cette erreur : β «Les doées récoltées grâce à l échatilloage aléatoire sot-elles compatibles avec ue hypothèse d itérêt faite sur la populatio dot proviet l échatillo?»! Plus α est petit, plus β augmete! Doc, il faut augmeter taille de l échatillo pour réduire β sas que α augmete à o augmete la puissace sas que α augmete! - β = puissace du test et puissace = P(Rejeter H quad H est vraie, à bo esciet). 7 7, 8,9 Probabilité critique / valeur p (p-valeur) de H = degré de cocordace etre H et les doées à dispositio à plus elle est petite, mois H est plausible! Iférieure à 5% : H peu plausible, devrait être rejetée et mois d % : fort rejet de H Patricia Fly 4

15 Procédure classique Procédure modere 7, 4. Détermier variable X. Formuler H et H au iveau de la populatio 3. Choisir le iveau α (arbitrairemet, par ex.5) et calculer Z a (grads échatillos) / t a (petits échatillos) à cetile -a / -a/ pour bilatéral 4. Détermier la zoe de rejet R α 5. Se reseiger sur la statistique du test S à utiliser (coaître la distributio de S sous H ) (S ~ ) 6. Calculer S à partir de l échatillo 7. Rejeter H si S tombe das la zoe de rejet. Détermier variable X. Formuler H et H au iveau de la populatio 3. Se reseiger sur la statistique du test S à utiliser (coaître la distributio de S sous H ) 4. Calculer S 5. Calculer la probabilité critique à partir de S 6. Rejeter H si p-valeur α, coserver H Avatage de la modere : évite tâtoemet et probabilité critique ous doe directemet le plus petit iveau de sigificatio a auquel H serait rejetée. Patricia Fly 5

16 Test sur la moyee 3 faços de ier l hypothèse ulle : H : µ = µ cotre : H : µ < µ µ > µ µ µ (test à gauche) (test à droite) (test bilatéral) Le choix de gauche ou droite déped des circostaces. Si rie e ous permet à priori de détermier das quel ses la moyee s éloige de o fait u test bilatéral. Grads échatillos >3 8 X µ S = S est vraie ~ N(,) de maière approximative lorsque H Test à droite : H : > Probabilité critique : Probabilité critique à droite : =-LOI.NORMALE.N( S ; ; ;) p-valeur = S f ( x) dx et f = desité de N(,) H rejetée au iveau de α si : S Zα ( S R α, DONC R a = [ Zα, [) ou si p-valeur α. Patricia Fly 6

17 Test à gauche : H : < Probabilité critique : S P-valeur = f ( x) dx et f = desité de N(,) H rejetée au iveau de α si : S Zα (S R α, DONC R a = ], Zα ]) ou si p-valeur α. Probabilité critique à gauche : =LOI.NORMALE.N(S ; ; ;) 7 4 Test bilatéral : H à à gauche et à droite Cette fois, ce est plus a mais a/. S peut être égative ou positive, alors o pred la valeur absolue Les deux zoes de rejet sot symétriques. Probabilité critique : S f ( x) dx + f ( x) dx Doc : * S S f ( x) dx, f = desité de N(,) H rejetée au iveau de α si S Zα/ (S R α, DONC R a = ]-, - Zα/ ] [ Zα/, [)ou si p-valeur α. Probabilité critique bilatérale : =*( - loi.ormale.(abs(s ) ; ; ;) ) Patricia Fly 7

18 Petits échatillos S = X µ s S ~ Studet ( ) lorsque H est vraie Zoe de rejet à droite : Surface sous la courbe à droite : P(T l > α) = -F(α) = LOI.STUDENT.DROITE(α ; l) Probabilité critique à droite : Test à droite : H : > Probabilité critique : p-valeur = S f ( x) dx f = desité de studet à - degré de liberté = LOI.STUDENT.DROITE(S ; -) α de liberté p valeur α Distributio de S sous Studet à -degrés H H rejetée au iveau de α si : S tα (S R α, DONC R a = [ tα, [) ou si p-valeur α. t α S α Zoe de rejet Z 7 Test à gauche : H : < Probabilité critique : Zoe de rejet à gauche : Surface sous la courbe à gauche : F(α) = P(T l < α) S P-valeur = f ( x) dx f = desité de studet à - degré de liberté H rejetée au iveau de α si : S tα (S R α, DONC R a = ], tα ]) ou si p-valeur α. Test bilatéral : H à à gauche et à droite =LOI.STUDENT.N(α ;l ;) Probabilité critique à gauche : =LOI.STUDENT.N(S ; - ;) Distributio de S sous Studet à degrés de liberté H Probabilité critique : * f ( x) dx, p-valeur α S t α Z S Zoe de rejet H rejetée au iveau de α si S tα/ (S R α, DONC R a = ]-, - tα/ ] [ tα/, [)ou si p-valeur α. Probabilité critique bilatérale : =*loi.studet.droite(abs(s ) ;-) ) Patricia Fly 8

19 α p-valeur/ α / α/ α / S t α / S t α / Loi de S Studet à Zoe de rejet Zoe de rejet Test sur ue proportio Grad échatillo 3, π 5 et ( π) H : π = π cotre : H : S = π < π π > π π π ( (test à gauche) (test à droite) (test bilatéral) P π ~ N(,) de maière approximative lorsque H est vraie π π ) R a et valeur p sot détermiés comme das le cas des tests de la moyee sur grads échatillos. H est rejetée au iveau α si : test à gauche : R α = ], Zα ] ou valeur p = S f ( x) dx Patricia Fly 9

20 test à droite : R α = [ Zα, [ ou valeur p = S f ( x) dx test bilatéral : R α = ], Zα/ ] [ Zα/, [ ou valeur p = S f ( x) dx ou si p-valeur α! Populatio P P Test sur la différece de deux moyees Cela sert à tester si la moyee d ue populatio est égale, iférieure ou supérieure à la moyee d ue autre populatio. échatillos aléatoires sot tirés, das chaque populatio, puis o compare les deux moyees d échatilloage et : la différece est-elle suffisammet importate pour coclure à différece réelle? Oui à différece = sigificative (structurelle et o due au hasard), discerable. Hypothèses géérales H : H : µ µ = d (d = ombre réel cou) cotre : µ µ < d µ µ > d µ µ d (test à gauche) (test à droite) (test bilatéral) moyee de X µ µ Ecart-type de X σ σ Valeurs icoues au début Echatillo E E Taille ( 3 ) ( 3 ) Moyee x x Ecart-type s s «Différece etre les moyees = valeur test» Patricia Fly

21 Hypothèses fréquetes à d = H : µ = µ ( + = ) H : µ < µ µ > µ µ µ S = X X s (test à gauche) (test à droite) (test bilatéral) s + d S ~ N(,) de maière approximative lorsque H est vraie. R a et valeur p sot détermiés comme das le cas des tests de la moyee sur grads échatillos. Populatio Proportio de «succès» das la populatio P P π π Test sur la différece de deux proportios Cela sert à tester si la proportio des idividus possédat ue certaie caractéristique varie d ue populatio par rapport à ue autre populatio. échatillos aléatoires sot tirés, das chaque populatio et proportios sot comparées. La différece est-elle suffisammet importate pour coclure à différece réelle? à différece = sigificative, discerable. Echatillo E E Taille ( 3 ) ( 3 ) Proportio de «succès» das l échatillo P P Patricia Fly

22 Hypothèses géérales H : π - π = d ou: π = π (d = ombre réel cou, gééralemet ) cotre : π π < d H : π π > d π π d (test à gauche) (test à droite) (test bilatéral) P P d S =, P ( P ) P ( P ) + S ~ N(,) de maière approximative lorsque H est vraie. R a et valeur p sot détermiés comme das le cas des tests de la moyee sur grads échatillos. Patricia Fly