Calculer l inverse d une matrice

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1 Méthodes et techniques des exercices Calculer l inverse d une matrice Définition. On dit qu une matrice A carrée n n à cœfficients dans un corps K est inversible si il existe une matrice carrée n n, B telle que AB = BA = Id. Il est facile de voir que, la matrice A est inversible si et seulement si l application linéaire qui peut lui être associée f : K n K n, dans la base canonique de K n est un isomorphisme. On peut utiliser plusieurs méthodes pour savoir si une matrice carrée A est inversible et calculer son inverse : Résoudre un système Opérer sur les lignes des matrices A et Id Utiliser un polynôme annulateur de A Utiliser des déterminants. Résoudre le système Av = w d inconnues les composantes de v Si le système Av = w, a une solution v, unique, la matrice A est inversible et l on a v = A w. Nous illustrerons cette méthode par un exemple : 2 A = 5 2 x X notons v = y et w = Y. z Z Résolvons le système x y z = A X Y Z x +2y z = X 5x y 2z = Y x +y z = Z en s aidant de la méthode de Gauss.

2 La disposition, alignant bien en colonnes les variables, facilitent les calculs. On peut choisir comme premier pivot le x de la troisième équation (cela facilite les calculs) pour opérer sur les deux premières équations : y = X Z 6y +z = Y 5Z x +y z = Z E E E E 2 E 2 5E La première équation nous donne y et permet de l éliminer des deux autres : y = X Z +z = 6X +Y +Z x z = X 2Z E 2 E 2 6E E E + E On en déduit y = X + Z et z = 2X + Y + Z, puis, x = X + Y + 7 Z. le système a une solution unique. La matrice A est donc inversible. En présentant le résultat sous forme matricielle on obtient son inverse. x 7 X y = 0 Y z Z 2 2. Opérer sur les lignes des matrices A et Id Cette méthode est identique à la précédente. Ce sont les mêmes calculs. Simplement on n écrit pas les lettres x, y, z, X, Y, Z mais seulement les coefficients bien rangés dans une colonne pour chaque lettre. On économise ainsi l écriture et donc le temps. Mais, le risque est de perdre le fil des calculs réalisés On peut choisir comme premier pivot le de la ligne (cela facilite les calculs) pour opérer sur les deux premières lignes : L L L L 2 L 2 5L 0 0 2

3 On permute les lignes des deux matrices On prends le de la deuxième ligne comme second pivot pour faire apparaître des 0 dans la deuxième colonne : L L + L 2 L L 6L 2 Pour aboutir à une matrice diagonale à gauche, il suffit d utiliser le comme pivot : 7 L 0 0 L + L Pour finir on divise chaque ligne par le coefficient adapté pour obtenir la matrice identité à gauche : La matrice de droite est la matrice inverse de A. Utiliser un polynôme annulateur de A Lorsque l on connaît un polynôme annulateur de A on peut parfois en déduire que A est inversible et obtenir son inverse. Sur un exemple très simple, on peut bien comprendre cette méthode et les limites de celle-ci. Prenons ( ) 0 A = 0 Cette matrice vérifie A 2 + I = 0. D où A( A) = I. Elle annule le polynôme X 2 +, de terme constant non nul. Elle est donc inversible et son inverse, obtenu en isolant la matrice identité I d un côté de l égalité vérifiée, est A.

4 Mais cette matrice annule aussi le polynôme X +X, de terme constant nul. Un polynôme annulateur de terme constant nul ne permet pas de conclure. 4. Utiliser des déterminants Cette méthode nécessite d avoir vu le cours sur les déterminants. Elle nécessite un nombre d opérations beaucoup plus important que les précédentes et est donc peu efficace sur le plan du calcul. Mais il est indispensable de la connaître pour les nombreux résultats qui en découlent. Définition. Soit A une matrice carrée n n, et (i, j) un couple d entiers entre et n. On appelle mineur de A ij le déterminant de la matrice (n ) (n ) obtenue en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne de A. On note A ij le mineur de A ij. On appelle cofacteur de A ij le scalaire ( ) i+j A ij. On appelle comatrice de A, notée Com(A), la matrice des cofacteurs de A. Théorème. Soit A une matrice carrée n n. Alors A. t Com(A) = t Com(A).A = (deta).i Ce théorème montre que A est inversible si et seulement si son déterminant est inversible c est-à dire non nul pour des matrices à cœfficients dans un corps et A = t Com(A). det(a) Dans la pratique, pour ne rien oublier il peut être bon de faire le calcul en étapes, Nous les illustrerons avec le même exemple : 2 A = 5 2 On calcule dét(a). Si dét(a) = 0 la matrice A n est pas inversible. Si dét(a) 0 A est inversible et l on peut commencer le calcul de la matrice inverse. Pour notre exemple dét(a) = et A est inversible. On commence à remplir la «coquille» de la matrice inverse avec les signes alternés, l inverse du déterminant sans oublier la transposition t

5 On complète avec les mineurs pour obtenir l inverse : + ( ) ( 7) 9 +( ) t 7 = 0 2 On voit sur cet exemple simple que cette méthode occasionne plus de calculs. 5

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