I. Variable aléatoire continue

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1 BTS Systèmes électroniques Loi proilités 06/0/203 Cmpus Sint Joseph Pierre Rouge I. Vrile létoire continue Définition : Une vrile létoire réelle à densité (ou continue) est une ppliction définie sur un ensemle Ω et prennt les vleurs d un intervlle I de R. Exemple : Ainsi on peut dire que l fonction Rnd() de l clcultrice ou l fonction le(), suit l loi uniforme sur [0 ; ]. Elle renvoie de fçon létoire létoire un nomre dns l intervlle [0 ; ]. Définition : Soit f une fonction continue est positive sur un intervlle I = [ ; ] telle que : f(t)dt. On dit que X est une vrile létoire réelle continue de densité f si pour tout x et x 2 de I vec x x 2 : x 2 P(x X x 2 ) = f(t)dt x. On définit ici une loi de proilité P continue sur I, et f est ppelée densité de proilité de P sur I. Exemple : L fonction de densité de l loi uniforme sur [0 ; ] est l fonction définie sur l intervlle [0 ; ] pr f(x). Ainsi, f(x)dx 0 = dx 0 C est ire du crré de côté. = [x] 0 0. Donc on définit ien une loi de proilité. Exercices : - Progrmmer un lgorithme qui simule une loi uniforme sur : [0 ; 2], [0 ; 3], sur [0 ; ]. - Ecrire un lgorithme simulnt l loi uniforme sur [ ; 3], sur [4 ; 6] et sur [ ; ].

2 BTS Systèmes électroniques Loi proilités 06/0/203 Cmpus Sint Joseph Pierre Rouge II. Loi uniforme sur [ ; ]. Définition : Soit [ ; ] un intervlle de R (vec ). Une vrile létoire X suit une loi uniforme sur [ ; ] si, pour tout intervlle I inclus dns [ ; ], l proilité de l évènement «X I» est l ire du domine {M(x ; y) ; x I et 0 y f(x)}, f est l fonction constnte définie sur [ ; ] pr f(x). En prticulier, pour tout intervlle [c ; d] inclus dns [ ; ], on P(c X d) = dx. L fonction f définie sur [ ; ] pr f: x est ppelée fonction de densité de l loi uniforme sur [ ; ]. c d P(c X d) d dx c [x] c d d c =. Propriété : Si une vrile létoire X suit une loi uniforme sur [ ; ], lors d c P(c X d) =. Définition : Soit X une vrile létoire qui suit une loi uniforme sur ;. On ppelle espérnce de X le réel noté E(X), défini pr E(X) = x f(x)dx, où f: x est l fonction de densité de l loi uniforme sur [, ]. E(X) = x f(x)dx = x + = 2. dx xdx x = ( )( + ) ( )2 Propriété : L espérnce d une vrile létoire X suivnt une loi uniforme sur [ ; ] est : + E(X) = 2.

3 BTS Systèmes électroniques Loi proilités 06/0/203 Cmpus Sint Joseph Pierre Rouge Définition : Soit X une vrile létoire qui suit une loi uniforme sur ;. On ppelle : * Vrince de X le réel, noté V(X), défini pr : V(X) = x E(X) 2 f(x) dx. * écrt-type de X, le réel noté σ(x), égle à l rcine crrée de l vrince de X : V(X) 2 + x 2 dx σ(x) = V(X). 3 + x ( )2 d ' où V(X) = Propriété : L espérnce d une vrile létoire X suivnt une loi uniforme sur [ ; ] est : III. Loi normle V(X) =. Loi normle N(m, σ) Définition : Soient m R et σ R +. ( )2 2 et 2 σ(x) =. 2. Une vrile létoire X suit une loi normle d espérnce m et d écrt-type σ si, pour tout intervlle I inclus dns R, l proilité de l évènement «X I» est l ire du domine {M(x ; y) ; x I et 0 y f(x)} où f est l fonction définie sur R pr : f(x) σ 2π e 2 x m σ 2. Cette fonction est l densité de l loi normle d espérnce m et d écrt-type σ. Remrque : L proilité de l événement «X» est : P( X ) = f(x)dx. Exemple : On représenté une loi normle de moyenne m = 5,3 et d écrt-type s = 2,5. L proilité est l ire sous l coure dessinée en leu ci-contre.

4 BTS Systèmes électroniques Loi proilités 06/0/203 Cmpus Sint Joseph Pierre Rouge Propriété : Si une vrile létoire X suit une loi normle d espérnce m et d écrt-type σ de fonction de densité f lors : l coure représenttive de f est symétrique pr rpport à l droite d éqution x = m et l ire entre cette coure et l xe des scisses est finie égle à ; pour tout réel, l limite lim σ 2π e 2 x m σ 2 dx existe et est finie ; cette limite est l proilité de l évènement «X» ; P(X m) = P(X m) = 0,5. Exemple de représenttion grphique de l loi normle. ( Fichier géogér) Clcul de proilités d une loi normle à l ide de l clcultrice : Lorsque X suit une loi normle d espérnce m et d écrt-type σ, N(m; σ), Pour otenir l proilité P( X ) : - Avec les TI en llnt dns le menu DIST, on utilise l 2 ème fonction : normlfrèp(,, m, σ). - Avec les Csio dns le menu Stt puis DIST et NORM et enfin Cdp, Le prolème qui se pose pour le clcul des proilités des événements du type «X» est que l clcultrice ne donne que l proilité des évènements de l forme «X». Première méthode : Pour se fire, on utilise le fit que P(X m) = P(X m) = 0,5. Donc pour clculer P(X ) il fut fire deux cs : - Si > m on clculer P(X ) = P(X m) + P(m X ) = 0,5 + P(m X ). - Si < m on clculer P(X ) = P(X m) P( X m) = 0,5 P( X m). Autre méthode : sns fire de découpge à l ide l moyenne, il suffit de rentrer dns l clcultrice : P(X ) P( 0 99 X ) ou P(X ) P( X 0 99 ). Donne des pproximtions suffismment fines pour résoudre les prolèmes posés.. Les intervlles à «, 2 ou 3 sigm» Théorème : Si une vrile létoire X suit une loi normle d espérnce m et d écrt-type σ lors : P(m σ X m + σ) 0,68 (rrondis u centième) P(m 2σ X m + 2σ) 0,95 (rrondis u centième) P(m 3σ X m + 3σ) 0,997 (rrondis u millième)

5 BTS Systèmes électroniques Loi proilités 06/0/203 Cmpus Sint Joseph Pierre Rouge c. Approximtion de l loi inomile pr l loi normle Théorème : Pour n «ssez grnd» n 30 et une proilité vérifint : np 5 et n( p) 5, lors on peut pprocher l loi inomile de prmètre B(n, p) pr l loi normle d espérnce m = np et d écrt-type σ = np( p). IV. Théorème centrle limite. Théorème : Soient X, X 2 X n, n vriles létoires indépendntes et de même loi, dmettnt une moyenne μ et un écrt-type σ non nul. Pour n suffisment grnd, l vrile létoire X n = X +X 2 + +X n suit pproximtivement une loi normle N μ, σ. n n