DISTRIBUTIONS D'ECHANTILLONNAGE et INTERVALLES DE VARIATION

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1 Chapitre 4 DISTRIBUTIONS D'ECHANTILLONNAGE et INTERVALLES DE VARIATION Bases de la statistique iféretielle PLPSTA0 119

2 Chapitre 4 (suite ) 1. Itroductio. Estimatio d'ue moyee Distributio d'échatilloage Itervalles de variatio 3. Estimatio d'ue proportio Distributio d'échatilloage Itervalles de variatio 4. Estimatio d'ue variace Distributio d'échatilloage Estimatio sas biais 10

3 Chapitre 4 (suite ) 4. Estimatio d'ue variace 4.1 Variable quatitative 4. Variace empirique : statistique et estimateur 4.3 Fluctuatios d'échatilloage de la variace empirique exemple théorique 4.4 Propriétés de la variace empirique 4.5 Variace empirique sas biais ou corrigée exemple théorique 4.6 Propriétés de la variace empirique sas biais 11

4 4. Estimatio d'ue variace X variable quatitative de P das E deux paramètres moyee de X = µ coue das P variace de X = σ coue das P (écart-type de X = σ cou das P) échatillo de X issu de P de taille étudier les propriétés de l'estimatio poctuelle du paramètre variace σ par la variace observée s ou la variace observée sas biais s * sur u échatillo de taille les variaces observées s et s * variet d'u échatillo à l'autre étudier les variatios (fluctuatios) des variaces observées s et s * sur tous les échatillos de même taille 1

5 4.1 Variable quatitative Exemple : âge des fraçais P = { fraçais recesés e 1999 } N = X = "âge" (e aées) variable quatitative cotiue µ = âge moye = 39 cou das P σ = écart-type de l'âge = 3 cou das P échatillo de X issu de P de taille = 50 la variace de l'âge est estimée par - la variace observée de l'âge s - la variace observée sas biais (corrigée) de l'âge s * quelles valeurs des variaces s et s * s'atted-o à observer sur l'échatillo de taille = 50? 13

6 4. Variace empirique : statistique et estimateur La variable qui représete toutes les valeurs observées s sur tous les échatillos possibles de taille est appelée variace empirique et otée S S est ue statistique : ue variable calculée à partir des observatios (x 1, x,, x ) qui permet de résumer umériquemet ces observatios les propriétés de la statistique dépedet de la taille de l'échatillo s est la valeur calculée sur l'échatillo observé de taille : c'est ue estimatio du paramètre σ ue estimatio est propre à l'échatillo observé S est l'esemble de toutes les estimatios possibles s sur tous les échatillos de taille : c'est u estimateur de σ 14

7 4.3 Fluctuatios d'échatilloage de la variace empirique populatio de tous les échatillos de taille u idividu est u échatillo de taille S = variace empirique variable quatitative défiie sur la populatio des échatillos de taille deux paramètres moyee de S écart-type de S forme de la distributio (loi) de S étudier les variatios (fluctuatios) de la variace empirique S étudier la "loi des variaces" 15

8 Exemple théorique (1) Exemple : ote à u exame P = { étudiats } N = 3 X = "ote à u exame" (e poits) variable quatitative discrète sur E = { 0, 1, 0 } variable X i i x i i x i total loi de X effectif ote Σ i x i = 30 Σ i x i = 318 deux paramètres cous das P µ = ote moyee = 10 σ = variace de la ote = 6 16

9 Exemple théorique () Exemple : ote à u exame P = { étudiats } N = 3 X = "ote à u exame" (e poits) variable quatitative discrète sur E = { 0, 1, 0 } deux paramètres cous das P µ = ote moyee = 10 σ = variace de la ote = 6 échatillos de X issu de P de taille = : il y e a 9 pour chacu des 9 échatillos la variace observée s varie échatillo (X 1,X ) X S S 1 (7, 7) 7,0 0,0 0,00 (7, 10) 8,5 1,5,5 3 (7, 13) 10,0 3,0 9,00 4 (10, 7) 8,5 1,5,5 5 (10, 10) 10,0 0,0 0,00 6 (10, 13) 11,5 1,5,5 7 (13, 7) 10,0 3,0 9,00 8 (13, 10) 11,5 1,5,5 9 (13, 13) 13,0 0,0 0,00 17 s

10 Exemple théorique (3) Exemple : ote à u exame populatio des échatillos de taille = de taille 9 u idividu est u échatillo de taille = S = "variace de la ote à l'exame" variable quatitative distributio (loi) de S : "loi des variaces" s variable S i i s i 0,00 3 0, ,00 18 total 9 7 s i i = 7 18

11 Exemple théorique (4) Exemple : ote à u exame populatio des échatillos de taille = de taille 9 S = "variace de la ote à l'exame" variable quatitative forme de la loi de S 4 lois de S et de S * S S * 3 effectif 1 0 0,5 4,5 6, ,5 13,5 15,75 18 variace des otes s deux paramètres pour la loi de S moyee de S = 7 / 9 = 3 = σ / variace de S 19

12 4.4 Propriétés de la variace empirique (1) La moyee de la variace empirique S est égale à 1 σ la variace empirique S est u estimateur biaisé de σ elle sous-estime systématiquemet σ la variace empirique S 'est pas u bo estimateur de σ "grad" biais faible 1 σ "petit" biais élevé s s σ σ 130

13 4.4 Propriétés de la variace empirique () Exemple : âge des fraçais P = { fraçais recesés e 1999 } N = X = "âge" (e aées) variable quatitative cotiue deux paramètres cous das P µ = âge moye = 39 as σ = variace de l'âge = 3 = 59 échatillo de X issu de P de taille = 50 la moyee de S = (49/50) σ = 0,98 59 = 518,4 o s'atted e moyee à observer ue variace de l'âge égale à 518,4 sur l'échatillo de taille = 50 ; cette quatité chage avec la taille de l'échatillo échatillo de X issu de P de taille = 100 la moyee de S = (99/100) σ = 0,99 59 = 53,71 o s'atted e moyee à observer ue variace de l'âge égale à 53,71 sur l'échatillo de taille =

14 4.4 Propriétés de la variace empirique (3) Le biais de la variace empirique S das l'estimatio de σ est égal à σ si la taille de l'échatillo augmete le biais dimiue e se rapprochat de 0 taille de l'échatillo 1 biais 0,5 0, ,9 0,1 1, ,95 0,05 1, ,9667 0,0333 1, ,98 0,0 1, ,99 0,01 1, ,999 0,001 1,

15 4.5 Variace empirique sas biais ou corrigée (1) X variable quatitative défiie de P das E moyee de X = µ écart-type de X = σ échatillo de X issu de P de taille S variace empirique moyee de S = σ ( 1)/ o corrige l'estimateur S e défiissat S * variace empirique sas biais variace empirique corrigée variable quatitative défiie sur E S * = S 1 moyee de S * = σ 133

16 Exemple théorique (1) Exemple : ote à u exame P = { étudiats } N = 3 X = "ote à u exame" (e poits) variable quatitative discrète sur E = { 0, 1, 0 } deux paramètres cous das P µ = ote moyee = 10 σ = variace de la ote = 6 échatillos de X issu de P de taille = : il y e a 9 pour chacu des 9 échatillos la variace observée sas biais s * varie échatillo (X 1,X ) X S S * 1 (7, 7) 7,0 0,00 0,0 (7, 10) 8,5,5 4,5 3 (7, 13) 10,0 9,00 18,0 4 (10, 7) 8,5,5 4,5 5 (10, 10) 10,0 0,00 0,0 6 (10, 13) 11,5,5 4,5 7 (13, 7) 10,0 9,00 18,0 8 (13, 10) 11,5,5 4,5 9 (13, 13) 13,0 0,00 0,0 134 s *

17 Exemple théorique () Exemple : ote à u exame P = { étudiats } N = 3 X = "ote à u exame" (e poits) variable quatitative discrète sur E = { 0, 1, 0 } deux paramètres cous das P µ = ote moyee = 10 σ = variace de la ote = 6 populatio des échatillos de taille = de taille 9 u idividu est u échatillo de taille = S * = "variace de la ote à l'exame" variable quatitative distributio (loi) de S * : "loi des variaces corrigées" s * variable S * i i s i * 0, , ,0 36 total 9 54 s * 54 i i = 135

18 Exemple théorique (3) Exemple : ote à u exame populatio des échatillos de taille = de taille 9 S * = "variace de la ote à l'exame" variable quatitative forme de la loi de S * 4 lois de S et de S * S S * 3 effectif 1 0 0,5 4,5 6, ,5 13,5 15,75 18 variace des otes s * deux paramètres pour la loi de S * moyee de S * = 54 / 9 = 6 = σ variace de S * 136

19 4.6 Propriétés de la variace empirique sas biais (1) La moyee de la variace empirique sas biais (corrigée) S * est égale à σ la variace empirique S * est u estimateur sas biais de σ la variace empirique sas biais S * est u bo estimateur de la variace σ de X das P : il est sas biais et coverget "grad" précisio élevée "petit" précisio faible s * s * σ σ 137

20 4.6 Propriétés de la variace empirique sas biais () X variable quatitative défiie de P das E moyee de X = µ écart-type de X = σ échatillo de X issu de P de taille e pratique, o utilisera : la variace observée sas biais s * sur l'échatillo comme estimatio poctuelle de σ s * = s 1 l'écart-type observé sas biais s* sur l'échatillo comme estimatio poctuelle de σ 138

21 4.6 Propriétés de la variace empirique sas biais (3) Exemple : âge des fraçais P = { fraçais recesés e 1999 } N = X = "âge" (e aées) variable quatitative cotiue deux paramètres cous das P µ = âge moye = 39 as σ = variace de l'âge = 3 = 59 échatillo de X issu de P de taille = 50 la moyee de S = 518,4 la moyee de S * = σ = 59 o s'atted e moyee à observer ue variace sas biais (corrigée) de l'âge égale à 59 sur l'échatillo de taille = 50, comme sur 'importe quel autre échatillo de taille quelcoque échatillo de X issu de P de taille = 100 la moyee de S = 53,71 la moyee de S * = σ =