CHAPITRE 5. Champs de vecteurs

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1 CHAPITRE 5 Chmps de vecteurs Définition 5.1. Un chmp de vecteur est une ppliction ~ F définie et continue sur un domine D( ~ F ) de R 3 qui chque point (x,, z) de R 3 ssocie une vecteur ~F (x,, z) de R 3 : ~F : R 3 7! R 3 (x,, z) 7! F ~ (x,, z) =(F 1 (x,, z),f 2 (x,, z),f 3 (x,, z)) Ainsi se donner un chmps de vecteur revient à ce donner trois fonctions continues sur un domine de R 3 à vleurs réelles. Figure 1. Exemples : ~ F (x,, z) = (1,, ), ~ F (x,, z) = (2x 2 2, 2, z 2 x) 51

2 52 5. CHAMPS DE VECTEURS Exemple.3.3. (Chmps de vecteurs constnts) On considére une ppliction qui ssocie tout point un vecteur constnt ~F (x,, z) =~v =(v 1,v 2,v 3 ) Exemple.3.4. On considére le chmp ~ F (x,, z) =(2x 2 2, 2, z 2 x) 1. Chmps de grdients Une clsse trés importnte de chmps de vecteurs est celle des chmps de grdients encore ppelées chmp de potentiel : Définition 5.2. Soit f : D(f) R 3 7! R une fonction di érentible définie sur un domine D(f). Le chmp de grdient ssocié à f (on dit ussi le chmp ssocié u potentiel f) est le chmp définit sur D(f) pr ~F (x,, z) =rf(x,, En d utres termes les coordonnées du chmp (x,, z), (x,, F 1 (x,, (x,, z),f 2(x,, (x,, z),f 3(x,, (x,, z) Pr exemple, un chmp de vecteur constnt ~ F (x,, z) =~v =(v 1,v 2,v 3 ) est le chmp de grdient ssocié à l fonction (u potentiel) f(x,, z) =v 1 x + v 2 + v 3 z = ~v. (x,, z). Notons qu un tel potentiel n est ps unique : pour tout constnt C rf = r(f + C) cr rc = ~. Notons que réciproquement si rf = ~ lors f = Constnte :ene (x,, lors f(x,, z) =f(1,,z) ne dépend ps de x, de même f ne dépend ps de ni de z... Ainsi si rf 1 = rf 2 lors f 1 (x,, z) f 2 (x,, z) =Constnte : deux potentiels ssociés un même chmp de potentiel di érent pr une constnte Exemple : le chmp de grvittion. Un corps ponctuel de msse M loclisé à l origine (,, ) crée un potentiel grvittionel dont l vleur u point P =(x,, z) vut V (x,, z) = MG p x z 2 = MG r,r:= p x z 2 = k(x,, z)k.

3 1. CHAMPS DE GRADIENTS 53 Figure 2. Le chmp de grvittion ~ F = mrv (x,, z), V= MG (x z 2 ) 1/2. Un corps ponctuel de msse m, situé u point (x,, z) subitr lors une force de grvittion dont le vecteur est donné pr vec ~F (x,, z) = mrv (x,, z) x = mmg( (x z 2 ), 3/2 (x z 2 ), z 3/2 (x z 2 ) ) 3/2 = mmg r 2 ~u (x,, z) x ~u (x,, z) =( (x z 2 ), 1/2 (x z 2 ), z 1/2 (x z 2 ) ) 1/2 le vecteur unitire (ie. de longueur k~u k = 1) colinéire u vecteur ~ OP =(x,, z). et G =6, l constnte grvittionelle. Le 1.2. Surfces de potentiel. Etnt donné un potentiel f(x,, z) et ~ F (x,, z) = rf(x,, z) le chmp de potentiel ssocié, les surfces de niveu S f (C) ={(x,, z) 2 D(f), f(x,, z) =C}

4 54 5. CHAMPS DE VECTEURS pour C une constnte fixée sont encore ppelées les surfces de potentiel du chmp ~ F. Fisnt vrier l constnte C on voit que l espce est prtitionné en une fmilles continue de surfces de potentiel. Dns le chpitre précédent on rencontré le phénomène suivnt : Soit P =(x,,z ) un point de D(f) etf = f(x,,z ) ; le point P pprtient évidemment à l surfce de potentiel S f (f ). On vu que rf(x,,z ) est orthogonl u pln tngent à S f (f )enp, ce que l on peut résumer insi Proposition 5.1. En tout point P =(x,,z ), le chmp de potentiel ~ F = rf est perpendiculire à l surfce de potentiel S f (f ) pssnt pr P. On églement le résultt suivnt concernnt les courbes prmétréées contenues dns les surfces de potentiel : Proposition 5.2. Soit f un potentiel et ~ F = rf le chmp de potentiel ssocié. Soit Cst une constnte et ' :[, b] 7! R 3 une courbe prmétrée qui est contenue dns l surfce de potentiel S f (Cst) ('([, b]) S f (Cst)) lors pour tout t dns [, b], le vecteur tngent ' (t) est perpendiculire à ~ F ('(t)) Lignes de chmp. Définition 5.3. Soit ~ F un chmp de vecteur. Une ligne de chmp (ssociée à ~F ) est une courbe prmétrée ' :[, b] 7! R 3 telle que pour tout t le vecteur tngent ' (t) est colinéire u vecteur ~ F ('(t)). Exemple Les lignes de chmp du chmp de vecteur constnt ~ F = (,, 1) sont les droites verticles. Les lignes de chmp du chmp ~ F = r(x z 2 ) 1/2 sont les droites pssnt pr l origine. 2. Trvil d un chmp de vecteurs Dns cette section on veut définir l notion de trvil exercé pr un chmp (de force) lors du déplcement d un corps le long d une courbe prmétrée ' : t 2 [, b] 7! '(t) 2 R Cs d un chmp constnt et d un segment de droite. On commence pr le cs le plus simple du trvil e ectué pr un chmp constnt F ~ =(F 1,F 2,F 3 ) dns un déplcement ' le long du segment de droite [A, B] en llnt du point A u point B ('() =A, '(b) =B). Dns ce cs le trvil est définit pr T ( F,'([, ~ b])) = T ( F, ~! AB) = F. ~ AB! = F 1 (x B x A )+F 2 ( B A )+F 3 (z B z A ).

5 2. TRAVAIL D UN CHAMP DE VECTEURS 55 Figure 3. Le chmp ~ F = mrv (x,, z), V = MG (x z 2 ) 1/2 et des surfces de potentiel ssociées. Remrque 2.1. Le trvil insi définit ne dépend ps de l vitesse le long du segment [A, B] (pr exemple le trvil ne dépend ps de ou b ou b ) ; si on llit de B à A ('() =B, '(b) =A), le trvil obtenu serit l opposé T ( F,'([b, ~ ])) = T ( F, ~! BA) = T ( F, ~! AB) Cs générl. Pour définir le trvil dns le cs générl (où le déplcement n est ps rectiligne et le chmp n est ps forcement constnt), on procéde comme pour l définition de l longueur d une courbe : pour n trés grnd, on subdivise l intervlle de prcourt [, b] enn sous-intervlles de longueur h n =(b )/n vec [, b] =[t 1,t 2 ] [ [t 2,t 3 ] [ [[t n,t n+1 ] t 1 =, t n+1 = b, t k = +(k 1)(b )/n. pour chque k =1...n,on:sin est grnd, l courbe prmétrée '([t k,t k+1 ]) restreinte l intervlle [t k,t k+1 ] est proche du segment rectiligne ['(t k ),'(t k+1 )], en

6 56 5. CHAMPS DE VECTEURS Figure 4. Le chmp constnt ~ F = (,, 1) ssocié u potentiel f(x,, z) = z et les surfces de potentiel ssociées. Figure 5. f = x z 2, trois surfces de potentiel et le chmp de grdient ssocié

7 2. TRAVAIL D UN CHAMP DE VECTEURS 57 Figure 6. Trvil d un chmp constnt le long d un segment e et pr l formle d pproximtion linéire (2.1), cette courbe est représentée pr h 2 [,h n ] 7! '(t k + h) ='(t k )+h' (t k )+h~"(h) lors qu un prmétrge du segment ['(t k ),'(t k+1 )] est donné pr h 2 [,h n ] 7! '(t k )+h. '(t k+1) '(t k ) h n et si h n! '(t k+1 ) '(t k ) ' (t k ). h n De plus qund h 2 [,h n ] et que n est grnd (donc h n est petit) ~F ('(t k + h)) ~ F ('(t k )) et le trvil de ~ F le long de l rc '([t k,t k+1 ]) est proche de celui e ectué pr le chmp constnt ~ F ('(t k )) le long du segment rectiligne ['(t k ),'(t k+1 )] T ( ~ F,'([t k,t k+1 ])) T ( ~ F ('(t k )), ['(t k ),'(t k+1 )]). Le trvil le long de l courbe '([, b]) étnt l somme des trvux le long des souscourbes '([t k,t k+1 ]) on obtient que le trvil totl est bien pproximé pr l somme nx T ( F ~ nx b ('(t k )), ['(t k ),'(t k+1 )]) = F n ~ ('(t k )).' (t k ) k=1 On reconnit à nouveu une somme de Riemnn convergente nx b F n ~ ('( +(k 1) b n )).' ( +(k 1) b n )! k=1 Ceci justifie l k=1 ~F ('(t)).' (t)dt.

8 58 5. CHAMPS DE VECTEURS Figure 7. trvil d un chmp constnt le long d une courbe Définition 5.4. Le trvil d un chmp de vecteur F ~ le long d une courbe prmétrée ' :[, b] 7! R 3 est donné pr l formule T ( ~ F,'([, b])) = ~F ('(t)).' (t)dt Exemple : segment de droite dns un chmp constnt. Soit ~ F =(F 1,F 2,F 3 ) un chmp constnt. Considérons le cs d un segment de droite : On et donc '(t) =((1 t)x A + tx B, (1 t) A + t B, (1 t)z A + tz B ). ' (t) =(x B x A, B A,z B z A )=! AB T ( ~ F,'([, 1])) = On retrouve donc le résultt ttendu Exemple : cercle. et Z 1 ~F.! ABdt = ~ F.! AB. '(t) =(x + R cos(t), + R sin(t),z ) ' (t) =( R sin(t),rcos(t), ). Ainsi si ~ F =(F 1,F 2,F 3 ) est un chmp constnt, on obtient T ( ~ F,'([, 2 ])) = Z 2 F 1.( R(sin(t)) + F 2.R cos(t)+f 3.dt =.

9 2. TRAVAIL D UN CHAMP DE VECTEURS 59 Figure 8. Trvil d un chmp constnt sur un cercle Supposons x = =et ~ F (x,, z) =r(x z 2 ) 1/2 = r 2 (x/r, /r, z/r), on en posnt R = p R 2 + z 2 et on obtient ~F ('(t)) = R 2 (R cos(t)/r,rsin(t)/r,z /R ) T ( ~ F,'([, 2 ])) = R 2 R 3. Z 2 considérons mintennt le chmp ~ F =(x,, z). T ( ~ F,'([, 2 ])) = Z 2 ( cos(t)sin(t)) + sin(t)cos(t)+dt =. (x + R cos(t)).( R(sin(t)) + (x + R sin(t)).r cos(t)dt =. On verr plus loin que ces nnultions ne sont ps des ccidents. et 2.3. Propriétées du trvil Additivité pr juxtposition. Soit ' 1 : t 2 [, b] 7! (x 1 (t), 1 (t),z 1 (t)) ' 2 : t 2 [b, c] 7! (x 2 (t), 2 (t),z 2 (t)) deux courbes prmétrées telles que ' 2 (b) =' 1 (b) ; on forme une nouvelle courbe ' 3 :[, c] 7! R 3 en posnt ' 3 (t) =' 1 (t) si 6 t 6 b et ' 3 (t) =' 2 (t) sib 6 t 6 c. On lors T ( ~ F,' 3 ([, c])) = T ( ~ F,' 3 ([, b])) + T ( ~ F,' 3 ([b, c])) = T ( ~ F,' 1 ([, b])) + T ( ~ F,' 2 ([b, c])).

10 6 5. CHAMPS DE VECTEURS En e et Z c ~F (' 3 (t)).' 3(t)dt = = ~F (' 3 (t)).' 3(t)dt + ~F (' 1 (t)).' 1(t)dt Invrince pr chngement de prmètre. Soit ' :[, b] 7! R 3 Z c b Z c b ~F (' 3 (t)).' 3(t)dt ~F (' 2 (t)).' 2(t)dt une courbe prmétrée et sur u :[,b ] 7! [, b] un chngement de prmètre (u est dérivble strictement croissnte et u( )=, u(b )=b), on obtient donc une nouvelle courbe prmétrée ' 2 : s 2 [,b ] 7! '(u(s)) 2 R 3. Proposition 5.3. On T ( ~ F,' 2 ([,b ])) = T ( ~ F,'([, b])). utrement dit le trvil ne dépend ps du choix du prmètre. Preuve: T ( ~ F,' 2 ([,b ])) = vec (dérivée des fonctions composées) Ainsi pr chngement de vrible on F ~ ('2 (s)).' 2(s)ds = Inversion du temps. Soit ~ F ('2 (s)).' 2(s)ds ' 2 (s) ='(u(s)), ' 2(s) =u (s)' (u(s)). t = u(s), dt= u (s)ds, = u( ),b= u(b ) ~F ('(t)).' (t)dt = T ( ~ F,'([, b])). ' : t 2 [, b] 7! (x(t),(t),z(t)) une courbe prmétrée relint A = '() àb = '(b). Posons lors ' 2 : s 2 [, b] 7! (x(b s + ),(b s + ),z(b s + )); qund s vrie entre et b, b s + est une fonction décroissnte vrint entre b et ; on obtient donc une nouvelle courbe prmétrée ' 2 ([, b]) prcournt l même courbe géométrique mis en llnt de B à A : on peut noter cette nouvelle courbe '([b, ]). On lors T ( F,'([b, ~ ])) = T ( F,' ~ 2 ([, b])) = T ( F,'([, ~ b])).

11 3. CHAMPS CONSERVATIFS 61 En e et, ' 2(s) = ' (b s + ) et donc ~F (' 2 (s)).' 2(s)ds = ~F ('(b s + )).' (b s + )ds = Z b ~F ('(t)).' (t)dt = ~F ('(t)).' (t)dt où on fit le chngement de vrible t = b s + dt= ds. Ainsi le trvil s inverse lorsqu on prcours le chemin en sens inverse Nottion intrinsèque du trvil. Compte-tenu de l invrince du trvil effectué pr un chmp sous une chngement de prmétrge, on utiliser l nottion suivnte pour le trvil d un chmp le long d une courbe géométrique C prcourue dns un sens donné :sic = '([, b]), on écrir Z T ( F,'([, ~ b])) := ~F.d'. Ainsi si on désigne pr C l même courbe prcourue en sens inverse ( C = '([b, ])), on ur Z Z ~F.d' = ~F.d' C Circultion d un chmp de vecteur. Si l courbe prmétrée ' vérifie A = '() ='(b) =B l courbe géométrique C est fermée : le trvil d un chmp le long d une telle courbe est ppelé circultion du chmp F ~ le long de C et est noté I ~F.d'. C C C 3. Chmps conservtifs On vu précédemment que le trvil d un chmp le long d une courbe ne dépend ps du prmétrge de l courbe ; en revnche il dépend en générl de l courbe géométrique ssociée. On peut insi dire que : le trvil dépend du chemin suivi, mis ps de l mniére dont le chemin est suivi. Définition 5.5. On dir qu un chmps ~ F est conservtif, si son trvil le long d une courbe '([, b]) dns D( ~ F ) ne dépend que des extrémités de l courbe A = '() et B = '(b) mis ps de l courbe elle-même ; ie. si le trvil reste le même pour toute courbe de D( ~ F ) rélint A à B. Autrement dit un chmp de vecteurs est conservtif si le trvil e ectué ne dépend que du point de déprt et du point d rrivée.

12 62 5. CHAMPS DE VECTEURS Figure 9. circultion d un chmp constnt le long d un cercle. Nottion. Si un chmp F ~ est conservtif, on noter le trvil de F ~ le long de tout chemin relint A à B pr Z AB ~F.d' = T ( F, ~ AB) Exemple : Un chmp constnt ~ F =(F 1,F 2,F 3 ) est conservtif. En e et soit A, B deux point et ' :[, b] 7! R 3 tel que écrivons '(t) =(x(t),(t),z(t)). T ( ~ F,'([, b])) = '() =A =(x A, A,z A ),'(b) =B =(x B, B,z B ); F 1 x (t)+f 2 (t)+f 3 z (t)dt = F 1 (x(b) x()) + F 2 ((b) ()) + F 3 (z(b) z()) = F 1 (x B x A )+F 2 ( B A )+F 3 (z B z A )= F. ~ AB.! On retrouve insi l vleur du trvil le long du segment rectiligne AB.! Exemple : Le chmp F ~ (x,, z) =( 2,xz,1) n est ps conservtif. Considérons les courbes de [, 1] 7! R 3 ' 1 (t) =(t, t, t), ' 2 (t) =(t, t 2,t 3 ) qui joignent les point A =(,, ) et B =(1, 1, 1) : on ' 1(t) =(1, 1, 1), ' 2 (t) =(1, 2t, 3t 2 ) T ( ~ F,' 1 )= Z 1 t 2 + t 2 +1dt = = 5 3.

13 3. CHAMPS CONSERVATIFS 63 Figure 1. Les courbes ' 1 (t) =(t, t, t), ' 2 (t) =(t, t 2,t 3 ) Z 1 T ( F,' ~ 2 )= t 4 + t 4.2t +3t 2 dt = = 6 3 6= 5 3. On l crctéristion suivnte d un chmp conservtif Proposition 5.4. Un chmp F ~ est conservtif si et seulement si, son trvil le long d une courbe fermée est nul : pour tout courbe C fermée I ~F.d' =. C Preuve: Soit ' :[, b] 7! R 3 une prmétristion de l courbe C. Notons '() = '(b) =A. Soit B = '( +b ). L courbe C est réunion de deux courbes prmétrées 2 ' 1,' 2 vec ' 1 : t 2 [, + b 2 ] 7! '(t), ' 2 : t 2 [ + b,b] 7! '(t) 2 qui relient A à B puis B à A respectivement. On T ( ~ F,'([, b])) = Mis l courbe ' 3 (t) = ' 2 (b géométrique que ' 2 et donc ~F ('(t))' (t)dt = Z +b 2 ~F ('(t))' (t)dt + = T ( ~ F,' 1 ([, + b 2 ])) + T ( ~ F,' 2 ([ + b 2,b])). +b 2 ~F ('(t))' (t)dt t + +b ) relie A à B en suivnt l même courbe 2 T ( F,' ~ 2 ([ + b 2,b])) = T ( F,' ~ 3 ([ + b 2,b])) = T ( F,' ~ 1 ([, + b 2 ])) cr le chmp est conservtif et ' 3 et ' 1 relient les mêmes points. Ainsi I ~f.d' = T ( F,'([, ~ b])) = T ( F,' ~ 1 ([, + b C 2 ])) T ( F,' ~ 1 ([, + b 2 ])) =. On v mintennt crctériser les chmps de vecteurs conservtifs comme étnt les chmps de potentiels. Nous urons d bord besoin de l définition suivnte : Définition 5.6. Un domine D R 3 est connexe pr rcs si et seulement si deux points quelconques A et B peuvent toujours être reliés pr une courbe prmétrée.

14 64 5. CHAMPS DE VECTEURS Théorème 5.1. Soit un chmp de vecteur ~ F, définit sur domine D R 3 connexe pr rcs. Alors ~ F est conservtif si et seulement si ~ F est un chmp de potentiel : ssi il existe une fonction f(x,, z) di érentible telle que ~F = rf. Dns ce cs, pour toute courbe prmétrée ' à vleur dns D relint un point A à un point B on T ( F, ~ AB) =f('(b)) f('()) = f(b) f(a). Preuve: Soit F ~ = rf un chmp de potentiel. Montrons que F ~ est conservtif. Soient A, B 2Det ' :[, 1] 7! D une courbe contenue dns D lint A à B ('() = A, '(1) = B). Z 1 Z 1 F.d' ~ = ~F ('(t)).' ZAB' (t)dt = rf('(t)).' (t)dt. Soit : t 7! f('(t)); on vu précédemment (règle de dérivtion des fonctions composées) que et l inégrle précédente vut donc Z 1 rf('(t)).' (t)dt = Z 1 (t) =rf('(t)).' (t) (t)dt = (1) () = f('(1)) f('()) = f(b) f(a). Réciproquement, considérons un chmp conservtif ~ F ; soit A =(x A, A,z A ) 2D un point fixé du domine D. Pour tout point B =(x,, z) de D posons f(b) =f(x,, z) =T ( F, ~ AB), le trvil étnt clculé en suivnt une courbe prmétrée quelconque relint A à B. Notons qu une telle courbe existe cr D est supposé connexe pr rcs ; d utre prt le trvil ne dépend ps de l courbe choisie cr le chmp est conservtif. En prticulier prennt une courbe fermée llnt de A à A, on, pr l proposition précédente f(a) =T ( F, ~ AA) =. Remrque 3.1. Il est nturel de prendre f(b) de l forme T ( F, ~ AB). En e et l rgument précédent montre que si ~ F = rf est un chmp de potentiel, lors f(b) f(a) =T (rf, AB).

15 On v montrer que Il s git de montrer que 3. CHAMPS CONSERVATIFS 65 ~F (x,, z) =rf(x,, f(x + h,, z) f(x,, z) (x,, z) =lim = F 1 (x,, h! h = = F 3. soit h 2 R petit ; posons B =(x,, z), B h =(x + h,, z). On veut clculer Or, on et donc lim h! T ( F, ~ AB h ) T ( F, ~ AB). h =T ( F, ~ AA) =T ( F, ~ AB)+T ( F, ~ BB h )+T( F, ~ B h A) = T ( F, ~ AB)+T ( F, ~ BB h ) T ( F, ~ AB h ) T ( F, ~ AB h ) T ( F, ~ AB) = T ( F, ~ BB h ) = 1 ~F ('(t)).' (t)dt h h h vec '(t) =(x + t,, z) l courbe prmétrée qui prcourt le segment [B,B h ] vitesse constnte : si h est ssez petit, on peut supposer qu un tel segment est entiérement contenu dns D. Ainsi, comme ' (t) =(1,, ), on 1 h Z h ~F ('(t)).' h(t)dt = 1 h Z h Z h F 1 (x + t,, z)dt Soit G une primitive de l fonction (d une vrible réelle) g : t 7! F 1 (x + t,, z) lors l intégrle précédente vut et donc 1 h T ( F, lim ~ AB h ) T ( F, ~ AB) h! h On donc montré que Z h g(t)dt = G(h) G() h =lim h! G(h) (x,, z) =F 1(x,, z). Appliqunt le même = G () = g() = F 1 (x,, z)., on conclut que rf(x,, z) =(F 1 (x,, z),f 2 (x,, z),f 3 (x,, z)) = ~ F (x,, z).

16 66 5. CHAMPS DE VECTEURS insi l fonction f est une fonction définie sur le domne D dmettnt des dérivées = = = F 3) continues (cr F ~ est continu) en tout point de D. Pr le Théorème 2.1 f est di érentible.