CHAPITRE 5. Champs de vecteurs

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1 CHAPITRE 5 Chmps de vecteurs Définition 5.1. Un chmp de vecteur est une ppliction F définie et continue sur un domine D( F ) de R 3 qui chque point (x, y, z) de R 3 ssocie une vecteur F (x, y, z) de R 3 : F : R 3 R 3 (x, y, z) F (x, y, z) = (F 1 (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z)) Ainsi se donner un chmps de vecteur revient à ce donner trois fonctions continues sur un domine de R 3 à vleurs réelles. Figure 1. Exemples : F (x, y, z) = (1,, ), F (x, y, z) = (2x 2 y 2, 2y, z 2 x) 57

2 58 5. CHAMPS DE VECTEURS Exemple.3.3. (Chmps de vecteurs constnts) On considére une ppliction qui ssocie tout point un vecteur constnt F (x, y, z) = v = (v 1, v 2, v 3 ) Exemple.3.4. On considére le chmp F (x, y, z) = (2x 2 y 2, 2y, z 2 x).4. Lignes de chmp. Définition 5.2. Soit F un chmp de vecteur. Une ligne de chmp (ssociée à F ) est une courbe prmétrée ϕ : [, b] R 3 telle que pour tout t le vecteur tngent ϕ (t) est colinéire u vecteur F (ϕ(t)). Exemple.4.1. Les lignes de chmp du chmp de vecteur constnt F = (,, 1) sont les droites verticles. Les lignes de chmp du chmp F = (x, y, z) sont les droites pssnt pr l origine. 1. Chmps de grdients Une clsse très importnte de chmps de vecteurs est celle des chmps de grdients encore ppelées chmp de potentiel : Définition 5.3. Soit V : D(V ) R 3 R une fonction différentible définie sur un domine D(V ). Le chmp de grdient ssocié à V (on dit ussi le chmp ssocié u potentiel V ) est le chmp définit sur D(V ) pr F (x, y, z) = V (x, y, z) = ( V V V (x, y, z), (x, y, z), (x, y, z)). x y z En d utres termes les coordonnées du chmp sont F 1 (x, y, z) = V x (x, y, z), F 2(x, y, z) = V y (x, y, z), F 3(x, y, z) = V (x, y, z) z Pr exemple, un chmp de vecteur constnt F (x, y, z) = v = (v 1, v 2, v 3 ) est le chmp de grdient ssocié à l fonction (u potentiel) V (x, y, z) = v 1 x + v 2 y + v 3 z = v.(x, y, z). Notons qu un tel potentiel n est ps unique : pour tout constnt C V = (V + C) cr C =. Notons que réciproquement si V = lors V = Constnte : en effet, si V (x, y, z) x lors V (x, y, z) = V (1, y, z) ne dépend ps de x, de même V ne dépend ps de y ni de z... Ainsi si V 1 = V 2 lors V 1 (x, y, z) V 2 (x, y, z) = Constnte : deux potentiels ssociés un même chmp de potentiel différent pr une constnte.

3 1. CHAMPS DE GRADIENTS 59 Figure 2. Le chmp de grvittion F = m V (x, y, z), V = MG (x 2 +y 2 +z 2 ) 1/ Exemple : le chmp de grvittion. Un corps ponctuel de msse M loclisé à l origine (,, ) crée un potentiel grvittionel dont l vleur u point P = (x, y, z) vut MG V (x, y, z) = x2 + y 2 + z = MG 2 r, r := x 2 + y 2 + z 2 = (x, y, z). Un corps ponctuel de msse m, situé u point (x, y, z) subitr lors une force de grvittion dont le vecteur est donné pr vec F (x, y, z) = m V (x, y, z) x = mmg( (x 2 + y 2 + z 2 ), y 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ), z 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) ) 3/2 = mmg r 2 u(x, y, z) x u(x, y, z) = ( (x 2 + y 2 + z 2 ), y 1/2 (x 2 + y 2 + z 2 ), z 1/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) ) 1/2

4 6 5. CHAMPS DE VECTEURS le vecteur unitire (ie. de longueur u = 1) colinéire u vecteur G = 6, l constnte grvittionelle. Le OP = (x, y, z). et 1.2. Surfces de potentiel. Etnt donné un potentiel V (x, y, z) et F (x, y, z) = V (x, y, z) le chmp de potentiel ssocié, les surfces de niveu S V (C) = {(x, y, z) D(V ), f(x, y, z) = C} pour C une constnte fixée sont encore ppelées les surfces de potentiel du chmp F. Fisnt vrier l constnte C on voit que l espce est prtitionné en une fmilles continue de surfces de potentiel. Dns le chpitre précédent on rencontré le phénomène suivnt : Soit P = (x, y, z ) un point de D(V ) et V = V (x, y, z ) ; le point P pprtient évidemment à l surfce de potentiel S V (V ). On vu que V (x, y, z ) est orthogonl u pln tngent à S V (V ) en P, ce que l on peut résumer insi Proposition 5.1. En tout point P = (x, y, z ), le chmp de potentiel F = V est perpendiculire à l surfce de potentiel S V (V ) pssnt pr P. On églement le résultt suivnt concernnt les courbes prmétréées contenues dns les surfces de potentiel : Proposition 5.2. Soit f un potentiel et F = V le chmp de potentiel ssocié. Soit Cst une constnte et ϕ : [, b] R 3 une courbe prmétrée qui est contenue dns l surfce de potentiel S f (Cst) (ϕ([, b]) S f (Cst)) lors pour tout t dns [, b], le vecteur tngent ϕ (t) est perpendiculire à F (ϕ(t)). 2. Trvil d un chmp de vecteurs Dns cette section on veut définir l notion de trvil exercé pr un chmp (de force) F lors du déplcement d un corps le long d une courbe prmétrée ϕ : t [, b] ϕ(t) D( F ) R 3. Pour ce simplifier l vie on v supposer que deux point quelconques du domine de definition D( F ) peuvent être reliés pr une courbe : Définition 5.4. Un domine D R n est connexe pr rcs si et seulement si pour tous points A et B de D il existe u moins une courbe telle que ϕ : t [, b] ϕ(t) D R n ϕ() = A, ϕ(b) = B. Exemple R 3 est connexe pr rcs, R 3 R 2 (R 2 = {(x, y, ), x, y R} le pln horizontl) ne l est ps (si on veut relier (,, 1) (,, 1) pr une courbe continue l courbe doit croiser le pln horizontl).

5 2. TRAVAIL D UN CHAMP DE VECTEURS 61 Figure 3. Le chmp F = m V (x, y, z), V = MG (x 2 +y 2 +z 2 ) 1/2 et des surfces de potentiel ssociées. Pour éviter une telle sitution on supposer toujours que D( F ) est connexe pr rcs Cs d un chmp constnt et d un segment de droite. On commence pr le cs le plus simple du trvil effectué pr un chmp constnt F = (F 1, F 2, F 3 ) dns un déplcement ϕ le long du segment de droite [A, B] en llnt du point A u point B (ϕ() = A, ϕ(b) = B). Dns ce cs le trvil est définit pr T ( F, ϕ([, b])) = T ( F, AB) = F. AB = F 1 (x B x A ) + F 2 (y B y A ) + F 3 (z B z A ). Remrque 2.1. Le trvil insi définit ne dépend ps de l vitesse le long du segment [A, B] (pr exemple le trvil ne dépend ps de ou b ou b ) ; si on llit de B à A (ϕ() = B, ϕ(b) = A), le trvil obtenu serit l opposé T ( F, ϕ([b, ])) = T ( F, BA) = T ( F, AB).

6 62 5. CHAMPS DE VECTEURS Figure 4. Le chmp constnt F = (,, 1) ssocié u potentiel f(x, y, z) = z et les surfces de potentiel ssociées. Figure 5. f = x 2 + y 2 z 2, trois surfces de potentiel et le chmp de grdient ssocié

7 2. TRAVAIL D UN CHAMP DE VECTEURS 63 Figure 6. Trvil d un chmp constnt le long d un segment 2.2. Cs générl. Pour définir le trvil dns le cs générl (où le déplcement n est ps rectiligne et le chmp n est ps forcement constnt), on procéde comme pour l définition de l longueur d une courbe : pour n très grnd, on subdivise l intervlle de prcourt [, b] en n sous-intervlles de longueur h n = (b )/n vec [, b] = [t 1, t 2 ] [t 2, t 3 ] [t n, t n+1 ] t 1 =, t n+1 = b, t k = + (k 1)(b )/n. pour chque k = 1... n, on : si n est grnd, l courbe prmétrée ϕ([t k, t k+1 ]) restreinte l intervlle [t k, t k+1 ] est proche du segment rectiligne [ϕ(t k ), ϕ(t k+1 )], en effet pr l formle d pproximtion linéire (2.1), cette courbe est représentée pr h [, h n ] ϕ(t k + h) = ϕ(t k ) + hϕ (t k ) + h ε(h) lors qu un prmétrge du segment [ϕ(t k ), ϕ(t k+1 )] est donné pr et si h n h [, h n ] ϕ(t k ) + h. ϕ(t k+1) ϕ(t k ) h n ϕ(t k+1 ) ϕ(t k ) h n ϕ (t k ). De plus qund h [, h n ] et que n est grnd (donc h n est petit) F (ϕ(t k + h)) F (ϕ(t k )) et le trvil de F le long de l rc ϕ([t k, t k+1 ]) est proche de celui effectué pr le chmp constnt F (ϕ(t k )) le long du segment rectiligne [ϕ(t k ), ϕ(t k+1 )] T ( F, ϕ([t k, t k+1 ])) T ( F (ϕ(t k )), [ϕ(t k ), ϕ(t k+1 )]).

8 64 5. CHAMPS DE VECTEURS Figure 7. trvil d un chmp constnt le long d une courbe Le trvil le long de l courbe ϕ([, b]) étnt l somme des trvux le long des souscourbes ϕ([t k, t k+1 ]) on obtient que le trvil totl est bien pproximé pr l somme n T ( F n b (ϕ(t k )), [ϕ(t k ), ϕ(t k+1 )]) = F n (ϕ(t k )).ϕ (t k ) k=1 k=1 On reconnit à nouveu une somme de Riemnn convergente n b F n (ϕ( + (k 1) b n )).ϕ ( + (k 1) b n ) Ceci justifie l k=1 F (ϕ(t)).ϕ (t)dt. Définition 5.5. Le trvil d un chmp de vecteur F le long d une courbe prmétrée ϕ : [, b] R 3 est donné pr l formule T ( F, ϕ([, b])) = F (ϕ(t)).ϕ (t)dt Exemple : segment de droite dns un chmp constnt. Soit F = (F 1, F 2, F 3 ) un chmp constnt. Considérons le cs d un segment de droite : On et donc ϕ(t) = ((1 t)x A + tx B, (1 t)y A + ty B, (1 t)z A + tz B ). ϕ (t) = (x B x A, y B y A, z B z A ) = AB T ( F, ϕ([, 1])) = On retrouve donc le résultt ttendu. 1 F. ABdt = F. AB.

9 2. TRAVAIL D UN CHAMP DE VECTEURS 65 Figure 8. Trvil d un chmp constnt sur un cercle Exemple : cercle. ϕ(t) = (x + R cos(t), y + R sin(t), z ) et ϕ (t) = ( R sin(t), R cos(t), ). Ainsi si F = (F 1, F 2, F 3 ) est un chmp constnt, on obtient T ( F, ϕ([, 2π])) = 2π F 1.( R(sin(t)) + F 2.R cos(t) + F 3.dt =. Supposons x = y = et F (x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 = r 2 (x/r, y/r, z/r), on en posnt R = R 2 + z 2 et on obtient F (ϕ(t)) = R 2 (R cos(t)/r, R sin(t)/r, z /R ) T ( F, ϕ([, 2π])) = R 2 R 3. 2π considérons mintennt le chmp F = (x, y, z). T ( F, ϕ([, 2π])) = 2π ( cos(t) sin(t)) + sin(t) cos(t) + dt =. (x + R cos(t)).( R(sin(t)) + (x + R sin(t)).r cos(t)dt =. On verr plus loin que ces nnultions ne sont ps des ccidents Propriétées du trvil.

10 66 5. CHAMPS DE VECTEURS Additivité pr juxtposition. Soit ϕ 1 : t [, b] (x 1 (t), y 1 (t), z 1 (t)) et ϕ 2 : t [b, c] (x 2 (t), y 2 (t), z 2 (t)) deux courbes prmétrées telles que ϕ 2 (b) = ϕ 1 (b) ; on forme une nouvelle courbe ϕ 3 : [, c] R 3 en posnt ϕ 3 (t) = ϕ 1 (t) si t b et ϕ 3 (t) = ϕ 2 (t) si b t c. On lors T ( F, ϕ 3 ([, c])) = T ( F, ϕ 3 ([, b])) + T ( F, ϕ 3 ([b, c])) = T ( F, ϕ 1 ([, b])) + T ( F, ϕ 2 ([b, c])). En effet c F (ϕ 3 (t)).ϕ 3(t)dt = = F (ϕ 3 (t)).ϕ 3(t)dt + F (ϕ 1 (t)).ϕ 1(t)dt Invrince pr chngement de prmètre. Soit ϕ : [, b] R 3 c b c b F (ϕ 3 (t)).ϕ 3(t)dt F (ϕ 2 (t)).ϕ 2(t)dt une courbe prmétrée et sur u : [, b ] [, b] un chngement de prmètre (u est dérivble strictement croissnte et u( ) =, u(b ) = b), on obtient donc une nouvelle courbe prmétrée ϕ 2 : s [, b ] ϕ(u(s)) R 3. Proposition 5.3. On T ( F, ϕ 2 ([, b ])) = T ( F, ϕ([, b])). utrement dit le trvil ne dépend ps du choix du prmètre. Preuve: T ( F, ϕ 2 ([, b ])) = vec (dérivée des fonctions composées) Ainsi pr chngement de vrible on F (ϕ2 (s)).ϕ 2(s)ds ϕ 2 (s) = ϕ(u(s)), ϕ 2(s) = u (s)ϕ (u(s)). t = u(s), dt = u (s)ds, = u( ), b = u(b ) F (ϕ2 (s)).ϕ 2(s)ds = F (ϕ(t)).ϕ (t)dt = T ( F, ϕ([, b])).

11 2. TRAVAIL D UN CHAMP DE VECTEURS Inversion du temps. Soit ϕ : t [, b] (x(t), y(t), z(t)) une courbe prmétrée relint A = ϕ() à B = ϕ(b). Posons lors ϕ 2 : s [, b] (x(b s + ), y(b s + ), z(b s + )); qund s vrie entre et b, b s + est une fonction décroissnte vrint entre b et ; on obtient donc une nouvelle courbe prmétrée ϕ 2 ([, b]) prcournt l même courbe géométrique mis en llnt de B à A : on peut noter cette nouvelle courbe ϕ([b, ]). On lors T ( F, ϕ([b, ])) = T ( F, ϕ 2 ([, b])) = T ( F, ϕ([, b])). En effet, ϕ 2(s) = ϕ (b s + ) et donc F (ϕ 2 (s)).ϕ 2(s)ds = F (ϕ(b s + )).ϕ (b s + )ds = F (ϕ(t)).ϕ (t)dt = F (ϕ(t)).ϕ (t)dt b où on fit le chngement de vrible t = b s + dt = ds. Ainsi le trvil s inverse lorsqu on prcours le chemin en sens inverse Nottion intrinsèque du trvil. Compte-tenu de l invrince du trvil effectué pr un chmp sous un chngement de prmétrge, on utiliser l nottion suivnte pour le trvil d un chmp le long d une courbe géométrique C prcourue dns un sens donné : si C = ϕ([, b]), on écrir T ( F, ϕ([, b])) := F.dϕ. Ainsi si on désigne pr C l même courbe prcourue en sens inverse ( C = ϕ([b, ])), on ur F.dϕ = F.dϕ C C Circultion d un chmp de vecteur. Si l courbe prmétrée ϕ vérifie A = ϕ() = ϕ(b) = B l courbe géométrique C est fermée : le trvil d un chmp le long d une telle courbe est ppelé circultion du chmp F le long de C et est noté F.dϕ. C C

12 68 5. CHAMPS DE VECTEURS Figure 9. circultion d un chmp constnt le long d un cercle. 3. Chmps conservtifs On vu précédemment que le trvil d un chmp le long d une courbe ne dépend ps du prmétrge de l courbe ; en revnche il dépend en générl de l courbe géométrique ssociée. On peut insi dire que : le trvil dépend du chemin suivi, mis ps de l mnière dont le chemin est suivi. Définition 5.6. On dir qu un chmps F est conservtif, si son trvil le long d une courbe ϕ([, b]) dns D( F ) ne dépend que des extrémités de l courbe A = ϕ() et B = ϕ(b) mis ps de l courbe elle-même ; ie. si le trvil reste le même pour toute courbe de D( F ) rélint A à B. Autrement dit un chmp de vecteurs est conservtif si le trvil effectué ne dépend que du point de déprt et du point d rrivée. Nottion. Si un chmp F est conservtif, on noter le trvil de F le long de tout chemin relint A à B pr AB On lors l reltion de juxtposition F.dϕ = T ( F, AB). Proposition 5.4. Soit F : D( F ) R 3 R 3 un chmp conservtif et A, B, C D( F ). On T ( F, AC) = T ( F, AB) + T ( F, BC).

13 3. CHAMPS CONSERVATIFS Exemple : Un chmp constnt F = (F 1, F 2, F 3 ) est conservtif. En effet soit A, B deux point et ϕ : [, b] R 3 tel que écrivons ϕ(t) = (x(t), y(t), z(t)). T ( F, ϕ([, b])) = ϕ() = A = (x A, y A, z A ), ϕ(b) = B = (x B, y B, z B ); F 1 x (t) + F 2 y (t) + F 3 z (t)dt = F 1 (x(b) x()) + F 2 (y(b) y()) + F 3 (z(b) z()) = F 1 (x B x A ) + F 2 (y B y A ) + F 3 (z B z A ) = F. AB. On retrouve insi l vleur du trvil le long du segment rectiligne AB Exemple : Le chmp F (x, y, z) = (y 2, xz, 1) n est ps conservtif. Considérons les courbes de [, 1] R 3 ϕ 1 (t) = (t, t, t), ϕ 2 (t) = (t, t 2, t 3 ) qui joignent les point A = (,, ) et B = (1, 1, 1) : on ϕ 1(t) = (1, 1, 1), ϕ 2 (t) = (1, 2t, 3t 2 ) T ( F, ϕ 1 ) = 1 1 t 2 + t 2 + 1dt = = 5 3. T ( F, ϕ 2 ) = t 4 + t 4.2t + 3t 2 dt = = On l crctéristion suivnte d un chmp conservtif Proposition 5.5. Un chmp F est conservtif si et seulement si, son trvil le long d une courbe fermée quelconque est nul : pour tout courbe C fermée F.dϕ =. C Preuve: Soit ϕ : [, b] R 3 une prmétristion de l courbe C. Notons ϕ() = ϕ(b) = A. Soit B = ϕ( +b ). L courbe C est réunion de deux courbes prmétrées 2 ϕ 1, ϕ 2 vec ϕ 1 : t [, + b 2 ] ϕ(t), ϕ 2 : t [ + b, b] ϕ(t) 2 qui relient A à B puis B à A respectivement. On T ( F, ϕ([, b])) = F (ϕ(t))ϕ (t)dt = +b 2 F (ϕ(t))ϕ (t)dt + +b 2 F (ϕ(t))ϕ (t)dt = T ( F, ϕ 1 ([, + b 2 ])) + T ( F, ϕ 2 ([ + b 2, b])). Mis l courbe ϕ 3 (t) = ϕ 2 (b t + +b ) relie A à B en suivnt l même courbe 2 géométrique que ϕ 2 et donc T ( F, ϕ 2 ([ + b 2, b])) = T ( F, ϕ 3 ([ + b 2, b])) = T ( F, ϕ 1 ([, + b 2 ]))

14 7 5. CHAMPS DE VECTEURS Figure 1. Les courbes ϕ 1 (t) = (t, t, t), ϕ 2 (t) = (t, t 2, t 3 ) cr le chmp est conservtif et ϕ 3 et ϕ 1 relient les mêmes points. Ainsi f.dϕ = T ( F, ϕ([, b])) = T ( F, ϕ 1 ([, + b C 2 ])) T ( F, ϕ 1 ([, + b 2 ])) =. On v mintennt crctériser les chmps de vecteurs conservtifs comme étnt les chmps de potentiels. Théorème 5.1. Soit un chmp de vecteur F. Alors F est conservtif si et seulement si F est un chmp de potentiel : ssi il existe une fonction V (x, y, z) différentible telle que F = V. Dns ce cs, pour toute courbe prmétrée ϕ à vleur dns D relint un point A à un point B on T ( F, AB) = f(ϕ(b)) f(ϕ()) = f(b) f(a). Preuve: Soit F = V un chmp de potentiel. Montrons que F est conservtif. Soient A, B D et ϕ : [, 1] D une courbe contenue dns D lint A à B (ϕ() = A, ϕ(1) = B). 1 1 F.dϕ = F (ϕ(t)).ϕ (t)dt = V (ϕ(t)).ϕ (t)dt. AB ϕ Soit ψ : t V (ϕ(t)); on vu précédemment (règle de dérivtion des fonctions composées) que et l intégrle précédente vut donc 1 V (ϕ(t)).ϕ (t)dt = 1 ψ (t) = V (ϕ(t)).ϕ (t) ψ (t)dt = ψ(1) ψ() = f(ϕ(1)) f(ϕ()) = f(b) f(a). Réciproquement, considérons un chmp conservtif F ; soit A = (x A, y A, z A ) D un point fixé du domine D. Pour tout point B = (x, y, z) de D posons V (B) = V (x, y, z) = T ( F, AB), le trvil étnt clculé en suivnt une courbe prmétrée quelconque relint A à B.

15 3. CHAMPS CONSERVATIFS 71 Remrque 3.1. Il est nturel de prendre V (B) de l forme T ( F, AB). En effet l rgument précédent montre que si F = V est un chmp de potentiel, lors On v montrer que Il s git de montrer que V (B) V (A) = T ( V, AB). F (x, y, z) = V (x, y, z). V V (x + h, y, z) V (x, y, z) (x, y, z) = lim = F 1 (x, y, z) x h h et que V y = F V 2, z = F 3. soit h R petit ; posons B = (x, y, z), B h = (x + h, y, z). On veut clculer Or, on et donc lim h T ( F, AB h ) T ( F, AB). h = T ( F, AA) = T ( F, AB) + T ( F, BB h ) + T ( F, B h A) = T ( F, AB) + T ( F, BB h ) T ( F, AB h ) T ( F, AB h ) T ( F, AB) = T ( F, BB h ) = 1 F (ϕ(t)).ϕ (t)dt h h h vec ϕ(t) = (x + t, y, z) l courbe prmétrée qui prcourt le segment [B, B h ] vitesse constnte : si h est ssez petit, on peut supposer qu un tel segment est entiérement contenu dns D. Ainsi, comme ϕ (t) = (1,, ), on 1 h h F (ϕ(t)).ϕ h(t)dt = 1 h h h F 1 (x + t, y, z)dt Soit G une primitive de l fonction (d une vrible réelle) g : t F 1 (x + t, y, z) lors l intégrle précédente vut et donc lim h 1 h T ( F, AB h ) T ( F, AB) h h g(t)dt = G(h) G() h = lim h G(h) G() h = G () = g() = F 1 (x, y, z).

16 72 5. CHAMPS DE VECTEURS On donc montré que V x (x, y, z) = F 1(x, y, z). Appliqunt le même risonnement pour V, V, on conclut que y z V (x, y, z) = (F 1 (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z)) = F (x, y, z). insi l fonction V est une fonction définie sur le domne D dmettnt des dérivées prtielles ( V x = F 1, V y = F 2, V z = F 3) continues (cr F est continu) en tout point de D.