Code_Aster Version 6.4

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1 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6 Organisme(s) : EDF-R&D/AMA Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales Document : R.0.0 Fonctions de forme et points d'intégration des éléments isoparamétriques Résumé : On décrit la géométrie et la topologie des éléments isoparamétriques pour les milieu continus implantés dans le Code_Aster, l'epression des fonctions de forme et les différentes familles de points d'intégration et les poids associés sont détaillés. Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

2 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6 Tale des matières Les trois étapes de l'introduction d'un élément fini isoparamétrique.... Initialisation de l'élément.... Calcul des termes élémentaires.... Inscription de l'élément au catalogues des éléments du Code.... Données relatives au éléments de "référence"... Les éléments de référence D, D et D-Aismétrique.... Dénominations.... Géométries, topologie et fonctions de formes..... Triangle de référence (élément de face)..... Quadrangle de référence (élément de face)..... Segment de référence (élément de ord)...7 Les éléments de référence D...7. Dénominations...7. Géométries, topologie et fonctions de forme..... Tétraèdres Tétraèdre à nœuds Tétraèdre à 0 nœuds Pentaèdres Pentaèdre à 6 nœuds Pentaèdre à nœuds..... Heaèdres Heaèdre à nœuds Heaèdre à 0 nœuds Heaèdre à 7 nœuds.... Éléments de face..... Triangles Triangle à nœuds Triangle à 6 nœuds..... Quadrangles Quadrangle à nœuds Quadrangles à nœuds Quadrangles à nœuds... Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

3 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6 Les trois étapes de l'introduction d'un élément fini isoparamétrique. Initialisation de l'élément Elle consiste à nommer l'élément de référence et à décrire sa géométrie et sa topologie. Ainsi, sont déterminées à cette étape, entre autres, les coordonnées des nœuds et des points d'intégration, les valeurs des fonctions de formes et de leurs dérivées au points d'intégration, les valeurs des poids d'intégration.. Calcul des termes élémentaires A partir des caractéristiques élaorées à l'étape précédente, sont calculés pour chaque tpe d'élément de référence les termes élémentaires nécessaires pour modéliser un phénomène mécanique ou thermique (masse, rigidité, chargement, contrainte). Ce sont les options de calcul.. Inscription de l'élément au catalogues des éléments du Code Les catalogues des éléments du Code sont alors complétés pour permettre à celui-ci d'effectuer les liens entre le nouvel élément et l'ensemle de la structure de données associée au éléments finis : maille support, options de calcul, tpe de modélisation, tpe des champs et des grandeurs.. Données relatives au éléments de "référence" Les étapes et sont réalisées par des sous programmes FORTRAN. L'étape est actuellement réalisée en rédigeant un ou plusieurs tetes qui sont intégrés au catalogue par la procédure de mise à jour. On énumère ici toutes les données relatives au éléments D et D de "référence", (ainsi qu'au éléments de ord associés utilisés pour imposer les conditions au limites), sur lesquels seront effectuées les intégrations numériques après transformation à partir de l'élément courant. Pour chaque élément, on donnera : la description de sa géométrie (coordonnées des nœuds Ni) sa topologie (numérotation locale des nœuds) les fonction de forme w i associées (telles que w i (Nj) δ ij ) les formules d'intégration numérique implantées dans le Code_Aster. Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

4 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6 Les éléments de référence D, D et D-Aismétrique. Dénominations Les noms des éléments finis sont codés sur caractères et respectent les conventions suivantes : les caractères en position et désignent le phénomène modélisé : on a par eemple ME : mécanique, TH : thermique, MZ : métallurgie. les caractères en position et désignent le tpe de modélisation : PL : plan, DP : déformations planes, CP : contraintes planes, AX : aismétrie, FO : Fourier, etc... les caractères en position à désignent la maille support : SE : segment à nœuds SE : segment à nœuds TR : triangle à nœuds TR6 : triangle à 6 nœuds QU : quadrangle à nœuds QU : quadrangle à nœuds QU : quadrangle à nœuds On otient par eemple les cominaisons suivantes : MECPTR : triangle à nœuds mécanique en contraintes planes, THAXQU : quadrangle à nœuds thermique en aismétrique. (segment de droite), (segment de droite), (à ords droits), (à ords coures), (à ords droits), (à ords coures), (à ords coures). Le même nom désigne à la fois l'élément et le chapître correspondant dans le catalogue des éléments.. Géométries, topologie et fonctions de formes.. Triangle de référence (élément de face) N N N N N N N N N6 N N N Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

5 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6 fonctions de forme du triangle à nœuds : w (, ) 0. ( + ) w ( ) 0. ( + ) w (, ) 0. ( + ) fonctions de forme du triangle à 6 nœuds : w(, ) 0. ( + ) w( ) 0. ( + )( + + ) w(, ) 0. ( + ) w (, ) ( + )( + ) w (, ) ( + )( + ) w (, ) ( + )( + ) 6 N de pts Point Poids d'intégr. -/ -/.0 -/ / / -/ -/ / / -/ / - - p - - p p - a a - p a - - a p 6 a - a - p avec p , p , a 0.06, Quadrangle de référence (élément de face) N N N N.0.0 N N N N N N N N N N N7 N N6 N Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

6 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : 6/6 fonctions de forme du quadrangle à nœuds : w (, ) 0. ( + )( ) w (, ) 0. ( )( ) w (, ) 0. ( + )( ) w (, ) 0. ( + )( + ) fonctions de forme du quadrangle à nœuds : w (, ) 0. ( + )( )( ) w (, ) 0. ( )( )( ) w (, ) 0. ( )( + )( + ) w (, ) 0. ( + )( + )( + ) w (, ) 0. ( )( )( + ) w (, ) 0. ( )( )( + ) 6 w (, ) 0. ( + )( )( + ) 7 w (, ) 0. ( + )( )( + ) fonctions de forme du quadrangle à nœuds : w (, ) 0. ( + )( ) w (, ) 0. ( )( + ) w (, ) 0. ( )( + ) w (, ) 0. ( + )( + ) w (, ) 0. ( )( )( + ) w (, ) 0. ( )( + )( ) 6 w (, ) 0. ( )( + )( + ) 7 w (, ) 0. ( + )( + )( ) w (, ) ( + )( + )( )( ) N de pts Point Poids d'intégr. -a a.0 -a -a.0 a -a.0 a a.0 a / -a a / -a -a / a -a / a a / -a 0.0 0/ a 0/ 7 a 0.0 0/ 0.0 a 0/ / a Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

7 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : 7/6.. Segment de référence (élément de ord) N -.0 N.0 N 0.0 N N N fonctions de forme du segment à nœuds : w ( ) 0. ( ) w ( ) 0. ( + ) fonctions de forme du segment à nœuds : w ( ) 0. ( ) w ( ) 0. ( + ) w ( ) ( + )( ) N de pts d'intégr. Point Poids Les éléments de référence D. Dénominations Les noms des éléments finis sont codés et respectent les conventions suivantes : les caractères en position à désignent le phénomène modélisé : MECA : THER : META : mécanique thermique métallurgie le caractère en position est _ (lanc souligné), Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

8 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6 à partir du caractère 6, le nom de la maille support : TETRA : TETRA0 : PENTA6 : PENTA : HEXA : HEXA0 : HEXA7 : FACE : FACE6 : FACE : FACE : FACE : tétraèdre à nœuds tétraèdre à 0 nœuds pentaèdre à 6 nœuds pentaèdre à nœuds heaèdre à nœuds heaèdre à 0 nœuds heaèdre à 7 nœuds face triangulaire à nœuds face triangulaire à 6 nœuds face quadrangulaire à nœuds face quadrangulaire à nœuds face quadrangulaire à nœuds Eemple : MECA_PENTA : THER_FACE : pentaèdre à nœuds en mécanique élément de ord triangulaire à nœuds en thermique. Géométries, topologie et fonctions de forme.. Tétraèdres... Tétraèdre à nœuds z N N N N z N N N N Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

9 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6 Formules d'intégration numérique : (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) Formule à points, d'ordre en,, z : w z w z z w z z w z Point z Poids a a a / a a / a a / a a / avec : a Formule à points, d'ordre en,, z : Point z Poids a a a - / /0 c /0 c /0 c /0 avec : a 0. c 0. 6 familles initialisées : ère famille : formule à points, ème famille : formule à points. Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

10 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : 0/6... Tétraèdre à 0 nœuds z N N6 N N N N7 N N0 N N z N N N N N N N N N N Fonctions de forme : ( ) w w z( z ) ( )( ) w z z w ( ) w z ( ) ( ) w z z w z w w 6 7 z ( ) w z 0 Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

11 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6 Formule d'intégration numérique : Formule à points, d'ordre en,, z : avec : Point z Poids a a a /0 c c c c d d e d e e c d e d e d e c e d d e e d a c c + d e familles initialisées : ère famille : formule à points, ème famille : formule à points (même formule), ème famille : formule à points (voir [...]). Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

12 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6.. Pentaèdres... Pentaèdre à 6 nœuds z N N N N N6 N z N N N N.. 0. N. 0.. N w ( ) w ( + ) w z( ) w z( + ) w ( z)( ) w6 ( z)( ) + Formules d'intégration numérique à 6 points (ordre en, ordre en et z ) Point z Poids / / / / / /6 familles initialisées : ère famille : formule à 6 points, ème famille : formule à 6 points (même formule). Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

13 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6... Pentaèdre à nœuds z N N N N7 N N N N N N N0 N N6 N N z N N N N.. 0. N. 0.. N N N N N N N N N N Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

14 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6 Fonctions de ase : ( )( ) w / w z( )( z ) / ( )( )( ) ( )( )/ w z + + z / w + + w z( + )( z + ) / ( )( )( ) w6 z + + z / w7 z( ) w z( z)( ) w ( z)( ) w 0 w z ( ) ( ) ( )( ) w z w z( + ) w z( z)( + ) w ( z)( + ) Formule d'intégration numérique à points : points de Gauss en (ordre ). 7 points de Hammer en et z (ordre en et z ). Point z Poids -α / / c α -α -α -α -α -α a -a a - a a -a - 0. / / a -a a - a a -a - α / / α α α α α α a -a a - a a -a - + c 00 c 00 c 0 + c 00 c 00 c 0 + c 00 c 00 Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

15 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6 avec : α a 6+ c c 6 familles initialisées : ère famille : formule à points, ème famille : formule à points (même formule), ème famille : formule à points pour les fonctions de forme du PENTA6 (sert au calcul des contraintes au nœuds)... Heaèdres... Heaèdre à nœuds z N N N6 N7 N N N N z N N N.. -. N N N N7... N -... w ( )( )( z) w ( )( )( z) + w ( )( )( z) + w6 ( )( )( z) + + w ( )( )( z) + + w7 ( )( )( z) w ( )( )( z) + w ( )( )( z) + + Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

16 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : 6/6 Formule de quadrature de Gauss à points dans chaque direction (ordre ) Point z Poids familles initialisées : ère famille : formule à points, ème famille : formule à points (même formule).... Heaèdre à 0 nœuds z N N0 N N7 N N6 N N7 N N6 N N N N N N N N N0 N Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

17 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : 7/6 Fonctions de forme : z N N N.. -. N N N N7... N -... N N N N N N N.. 0. N N N. 0.. N 0... N w z z w + z + z w + + z + + z w + z + z w + z + z w6 + + z + + z w7 ( )( )( z) z w + + z + + z w ( )( )( z) w0 ( )( )( z) + ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) w + z w ( )( )( z) w ( z )( )( ) w ( z )( )( ) + w ( z )( )( ) + + w6 ( z )( )( ) + w7 ( )( )( z) + w ( )( )( z) + + w ( )( )( z) + + w0 ( )( )( z) + Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

18 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6 Formule de quadrature de Gauss à points dans chaque direction (ordre ) : Point z Poids α α α c α α 0. α α α α 0. α α α 0. α 7 α α α α α 0. α α α c c c c c c c c c c c c c 0 0. α α 0. α α α α α 6 0. α α 7 0. α α α c c c c c c c c c c c c c c c c c avec : α α α α 0 α α 0. α α α α 0. α α α 0. α α α α 6 α α 0. 7 α α α c c c c c c c c c c c c c c c c Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

19 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6 familles initialisées : ère famille : formule à 7 points (ci-dessus), ème famille : formule à 7 points (même formule), ème famille : formule à points (voir [...]).... Heaèdre à 7 nœuds z N N N6 N6 N N N7 N N N7 N N N N N N Nœuds N à N0 : mêmes coordonnées que l'heaèdre à 0 nœuds [...]. z N N N N N N N Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

20 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : 0/6 Fonctions de forme : w ( ) ( ) z( z ) w ( + ) ( ) z( z ) w ( + ) ( + ) z( z ) w ( ) ( + ) z( z ) w ( + ) ( ) z( z+ ) w6 ( + ) ( ) z( z+ ) w7 ( + ) ( + ) z( z+ ) w ( ) ( + ) z( z+ ) w ( ) ( ) z( z ) w0 ( + )( ) z( z ) w ( ) ( ) z( z ) + w ( )( ) z( z ) w ( ) ( )( z ) w ( + ) ( )( z ) w + + z w6 + z w7 z z+ w + z z+ w + z z+ w0 z z+ w z z w z w + z w + z w z w6 z z+ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) w z 7 Formules d'intégration numérique : familles initialisées : ère famille : formule à 7 points (voir [...]), ème famille : formule à 7 points (même formule), ème famille : formule à points (voir [...]). Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

21 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6. Éléments de face.. Triangles... Triangle à nœuds N N N N N. 0. N 0.. Fonctions de forme : w w w formule d'intégration numérique : formule de Hammer à points d'ordre en et. Point Poids / / /6 Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

22 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6... Triangle à 6 nœuds N N6 N N N N N N. 0. N 0.. N N N Fonctions de forme : ( )( ) w w ( ) ( ) w ( ) w w ( ) w 6 formule d'intégration numérique : formule de Hammer à points d'ordre en et. Point Poids / / -7/ / / /6 Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

23 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6.. Quadrangles... Quadrangle à nœuds N N N N N N. -. N.. N -. Fonctions de forme : w w + ( )( ) ( )( ) w + + w + ( )( ) ( )( ) formule d'intégration numérique : formule de quadrature de Gauss à points (ordre en et ). Point Poids.... Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

24 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6... Quadrangles à nœuds N N7 N N N6 N N N N N. -. N.. N -. N N6. 0. N7 0.. N Fonctions de forme : w w + + w w + + ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) w w6 ( )( ) + w7 ( )( ) + w ( )( ) formule d'intégration numérique : formule de quadrature de Gauss à points (ordre en et en ). Point Poids α α c α 0 cc α α c 0 α cc 0 0 c 6 0 α cc 7 α α c α 0 c c α α c Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

25 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : /6 avec : α c c... Quadrangles à nœuds N N7 N N N N6 N N N N N. -. N.. N -. N N6. 0. N7 0.. N N Fonctions de forme : w w + w + + w + w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w6 + w7 + ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) w w formule d'intégration numérique : formule de quadrature de Gauss à points (ordre en et en ). Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

26 Auteur(s) : J.P. LEFEBVRE, X. DESROCHES Clé : R.0.0-B Page : 6/6 Point Poids α α c α 0 c c α α c 0 α c c 0 0 c 6 0 α c c 7 α α c α 0 c c α α c avec : α c c Manuel de Référence Fascicule R.0 : Références générales HT-66/0/00/A

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