CONCOURS COMMUN 2002

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1 CONCOURS COMMUN DES ECOLES DES MINES D ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mahémaiques (oues filières) Problème d analyse.. f es coninue sur R en an que quoien de foncions coninues sur R don le dénominaeur ne s annule pas sur R Arcan. D aure par, il es connu que lim = e donc, Ainsi, f es coninue en e finalemen sur R. Pour R, f( ) = Arcan( ) = Arcan lim f() = = f(). = Arcan f es coninue sur R e paire. = f(), ce qui monre que f es paire.. Quand end vers ; f() = + o( ) = +. + o(). f es coninue en e adme en un développemen limié d ordre. On en dédui que f es dérivable en avec f () =.. f es dérivable sur R en an que quoien de foncions dérivables sur R don le dénominaeur ne s annule pas sur R. De plus, pour, f () = + Arcan = ( + ) Arcan()..4 Soi R. Les deu foncions w w e w ( + w ) son de classe C sur [, ] si > e [, ] si <. On peu donc effecuer une inégraion par paries qui fourni : w ( + w ) dw = [ w w ( + w ) dw = w ( + w ) ] + ( + w ) dw) = ( ) + + Arcan = f (). R, w ( + w ) dw = f (). Donc, si, f () = w ( + w ) dw. Si >, la foncion w w ( + w dw es coninue sur [, ], posiive e non nulle sur [, ]. On en dédui que ) w ( + w ) dw > e donc que f () <. hp :// c Jean-Louis Rouge, 7. Tous drois réservés.

2 w Si <, la foncion w ( + w dw es coninue sur [, ], posiive e non nulle sur [, ]. On en dédui que ) w w ( + w dw > ou encore que ) ( + w ) dw < e donc que f () >. Ainsi, f es sricemen posiive sur ], [, sricemen négaive sur ], + [ (e s annule en ). Donc f es donc sricemen croissane sur ], ] e sricemen décroissane sur [, + [..5 Quand end vers +, f() π e donc lim f() =. + y = f().. f es coninue sur R. Donc la foncion f() d es définie e dérivable sur R e en pariculier, coninue sur R. On en dédui que φ es coninue sur R en an que quoien de foncions coninues sur R don le dénominaeur ne s annule pas sur R. Pour R, posons F() = dérivable sur R e F = f). Pour, on a f() d. F es la primiive de la foncion f sur R qui s annule en (F es en pariculier φ() = F() Quand end vers, cee dernière epression end vers Ainsi, φ es donc coninue en e donc sur R. Soi R. En posan u =, on obien (f éan paire) F() F() =. F () = f() = = Φ(). φ es donc paire. φ( ) = f() d = f( u). du = f(u) du = φ(). φ es coninue sur R e paire.. Le résula es clair pour = (f() = φ() = ). Soi >. D après la quesion.4, f es décroissane sur [, ]. Par suie, pour ou réel [, ], f() f() f() =. Par croissance de l inégrale, on a alors f() = Ainsi, si >, f() Φ(). f() d f() d = φ() d =. Si <, alors > e donc f( ) Φ( ). Mais f e Φ son paires, e donc de nouveau, f() Φ(). Finalemen, R, f() Φ(). hp :// c Jean-Louis Rouge, 7. Tous drois réservés.

3 . φ es dérivable sur R en an que quoien de foncions dérivables sur R don le dénominaeur ne s annule pas sur R e pour réel non nul on a, φ () = f() f() d = ( f() ) f() d = (f() Φ()). D après la quesion.., f adme un développemen limié d ordre en à savoir f() = + o(). F adme donc en un développemen limié d ordre obenu par inégraion, à savoir Finalemen, F() = F() + + o( ) = + o( ). φ() = F() = + o(). Ainsi, en enan compe de φ() =, φ adme un développemen limié d ordre en. On en dédui que φ es dérivable en e φ () =. D après la quesion., pour >, on a f() φ(). Par suie, φ () = (f() φ()). φ es négaive sur ], + [ e par parié, φ es posiive sur ], [. Donc φ es donc décroissane sur [, + [ e croissane sur ], ]..4 Soi >. Par suie, pour >, Arcan d π/ d = π ln. D après un héorème de croissances comparées, lim + f() d =. D aure par, lim + vers +. Finalemen, f() d = e finalemen, f() d π ln. π ln lim + f() d = lim Φ() =. + =, e donc, d après le héorème des gendarmes, f() d + f() d end vers quand end.5 y = Φ() y = f() hp :// c Jean-Louis Rouge, 7. Tous drois réservés.

4 .. Soi. De l inégalié ( ), on dédui + e donc, puisque + >,, Finalemen,. Soi >. + d = + + d = Mais alors, d après les quesions. e., ( ) + d = f() ( Arcan ) = = f(). Avec la quesion., on en dédui que Ainsi, >, φ () 4. φ () = f() φ() = (φ() f()) ( f()) = φ () d = 4 = 4. + d. Mainenan, φ es paire e donc φ es impaire, e l inégalié proposée rese vraie pour < par parié. Enfin, pour =, d après la quesion., φ () = 4. Finalemen, R, φ () 4.. Pour réel, posons ψ() = φ(). D après., φ es dérivable sur R e donc ψ es dérivable sur R. Pour réel, d après la quesion., on a ψ () = φ () 4 = 4 >. ψ es donc coninue e sricemen croissane sur R. On en dédui que ψ réalise une bijecion de R sur ψ(r) = ] lim ψ(), lim ψ()[. Mainenan, d après la quesion.4, lim φ() = e donc, lim ψ() = e lim ψ() = + ± + +. ψ réalise une bijecion de R sur R. En pariculier, l élémen de R = ψ(r) a un e un seul anécéden par ψ dans R, ou encore l équaion φ() = a une e une seule soluion dans R, noée α. ψ() = φ() = < = ψ(α) e puisque ψ es sricemen croissane sur R, α >. D aure par, puisque f es décroissane sur [, ] d après la quesion.4, ψ() = Finalemen, f() d α ], ]. f() d = = = ψ(α). Par suie, α..4 φ es définie sur R e donc, par récurrence, pour ou choi de u, u n eise pour ou enier naurel n. Soi n N. D après la quesion. e l inégalié des accroissemens finis, pour ous réels a e b, on a Par suie, φ(b) φ(a) b a. 4 u n+ α = φ(u n ) φ(α) 4 u n α. hp :// 4 c Jean-Louis Rouge, 7. Tous drois réservés.

5 Mais alors, par récurrence, on a immédiaemen n N, u n α 4 n u α. n N, u n α 4 n u α. Comme 4 n end vers quand n end vers +, on en dédui que la suie (u n) converge e que lim u n = α. n + 4. On noe (E) l équaion proposée e (E H ) l équaion homogène associée. 4. Soi I l un des deu inervalles ], [ ou ], + [. Les foncions Arcan e son coninues sur I. On sai alors que les soluions de (E) son de la forme λf + f où f es une soluion pariculière non nulle de (E H ) e f es une soluion pariculière de (E). Soi g une foncion dérivable sur I. g soluion de (E) sur I I, g () + g() = Arcan I, (g) () = f() λ R/ I, g() = λ R/ I, g() = λ + f() d + λ f() d = λ + φ(). Les soluions de (E) sur I son les foncions de la forme λ + φ(), λ R. 4. Soi g une évenuelle soluion de (E) sur R. La resricion de g à ], + [ (resp. ], [) es soluion de (E) sur ce inervalle e donc de la forme précédene. Par suie, il eise une consane λ (resp. λ ) elle que >, (resp. < ), g() = λ + φ() (resp. λ + φ()). g devan êre soluion sur R, g doi en pariculier avoir une limie réelle en. Or, d après la quesion., φ a une limie réelle en e d aure par, λ a une limie réelle en si e seulemen si λ =. Il es donc nécessaire que λ = λ = e donc que, g() = Φ(). g doi encore êre coninue en ce qui impose g() = lim g() = lim φ() = φ() (puisque φ es elle même coninue en ). Finalemen, (E) adme au plus une soluion sur R, à savoir la foncion φ. Réciproquemen, d après la quesion., φ es dérivable sur R e pour réel, φ () + φ() = (f() φ()) + φ() = f() = Arcan, ce qui monre que φ es effecivemen soluion de (E) sur R. (E) adme une e une seule soluion sur R, à savoir la foncion φ. hp :// 5 c Jean-Louis Rouge, 7. Tous drois réservés.

6 Problème d analyse.. La marice dans la base B de l endomorphisme 4 ψ es 4 A ou encore. Noons C, C e C les rois colonnes de cee marice. Ces colonnes vérifien C = C = = e C.C = 9 ( + 4) =. 9 Enfin, C C = 9 = = = C. Donc 4 A es une marice orhogonale posiive. Puisque la base B es orhonormée, on en dédui que 4 ψ es un auomorphisme orhogonal posiif e donc une roaion (disince de l idenié). Déerminons l ae D de 4 ψ. Soi (, y, z) R. e + ye + ze D y = z ( + y + z) = ( y + z) = y ( + y z) = z z = y y + ( y) = + y ( y) = y z { y = z = + y + z = y + z = + y z = = y = z. 4 ψ es une roaion d ae la droie vecorielle d équaion = y = z. D es la droie vecorielle engendrée par le veceur u = e + e + e. D es dorénavan orienée par u. Déerminons l angle θ de la roaion 4 ψ. On sai que e donc que cosθ = ou encore θ = π (π). cosθ + = Tr( 4 ψ) = ( ) =, 4 ψ es le demi-our d ae la droie D = Vec(e + e + e ).. Si on noe r le demi-our 4 ψ, on a ψ = r. Donc 4 ψ es la composée commuaive de l homohéie de rappor 4 e du demi-our d ae D = Vec(e + e + e )... Puisque 4 ψ es un auomorphisme orhogonal, 4 ψ es en pariculier dans GL(E) e il en es de même de ψ. D aure par, Pour dans E, ψ() = 4 r() = 4 4, hp :// 6 c Jean-Louis Rouge, 7. Tous drois réservés.

7 ce qui monre que ψ es dans S. Finalemen, ψ S GL(E).. Pour ou réel k [, [, Id(e ) = e = > k = k e. Donc, k [, [, E/ Id() > k ce qui monre que Id / S.. Soien ϕ e ϕ deu élémens de S. Il eise deu réels k e k élémens de [, [ els que, pour ou de E, ϕ() k e ϕ () k. Mais alors, pour ou élémen de E, ϕ ϕ () = ϕ(ϕ ()) k ϕ () kk. Puisque le réel kk es encore dans [, [, on a monré que ϕ ϕ es dans S. En résumé, (ϕ, ϕ ) (L(E)), ((ϕ, ϕ ) (S) ϕ ϕ S). Donc S es sable pour. D après la quesion., S ne conien pas Id qui es l élémen neure de GL(E) pour. Donc S n es pas un sous-groupe de (GL(E), )..4 Soi ϕ S. Il eise k [, [ el que, pour ou de E, ϕ() k. Soi alors E. Ker(ϕ Id) (ϕ Id)() = E ϕ() = ϕ() = k ( k) (car k > ) = E. Réciproquemen, Ker(ϕ Id) es un sous-espace vecoriel de E e donc conien E. Finalemen, ϕ L(E), (ϕ S Ker(ϕ Id) = { E }). On en dédui encore que si ϕ S, ϕ Id es injecif. Puisque ϕ Id es un endomorphisme d un espace vecoriel de dimension finie, ϕ Id es un auomorphisme de E. ϕ L(E), (ϕ S ϕ Id GL(E))..5 Soi ϕ S. Par définiion, il eise k [, [ el que, pour ou de E, ϕ() k. Si mainenan es un veceur uniaire, on a ϕ() k = k. Donc ϕ L(E), (ϕ S k [, [/ E, ( = ϕ() k). Réciproquemen, soi ϕ un endomorphisme de E el que k [, [/ E, ( = ( ϕ() ) k)). Soi un veceur non nul quelconque. Le veceur es uniaire e donc ϕ k. Ceci s écri encore ϕ() k ou aussi ϕ() k e finalemen ϕ() k. Cee dernière inégalié rese valable quand = car ϕ( E ) = E. On a ainsi fourni k [, [ el que pour ou de E, ϕ() k ce qui monre que ϕ S. Finalemen, ϕ L(E), (( k [, [/ E, ( = ϕ() k)) ϕ S). ϕ L(E), (ϕ S k [, [/ E, ( = ϕ() k)). hp :// 7 c Jean-Louis Rouge, 7. Tous drois réservés.

8 .6 Soi ϕ L(E). Soi B = (e, e, e ) une base orhonormée dans laquelle la marice de ϕ es diagonale à élémens diagonau sricemen inférieurs à en valeur absolue. Il eise donc rois réels a, a e a élémens de ], [ els que ϕ(e ) = a e, ϕ(e ) = a e e ϕ(e ) = a e. Soi un veceur de norme. Posons = e + e + e. Alors, ϕ() = ϕ(e ) + ϕ(e ) + ϕ(e ) = a e + a e + a e. Posons k = Ma{ a, a, a }. Puisque la base B es orhonormée, on a ϕ() = k a + a + a ( + + ) = k + + = k. Comme k [, [, on a monré (d après la quesion.5) que ϕ S... D une par, e d aure par, e = + + =, e = + = e e = =, e.e = 6 ( ) =, e.e = 8 ( + ) = e e.e = ( ) =. Donc, B es une famille orhonormée e puisque card(b ) = = dim(e),.. = 6 6. = 6 6. = B es une base orhonormée de E. Ma B (µ) = =. Donc µ(e ) = e. =. Donc µ(e ) = e. =.. Donc µ(e ) =.e. Finalemen, 6 / / = diag(,, ). Puisque B es orhonormée e que les nombres, e son dans ], [, la quesion.6 monre que µ S Soi E el que =. Posons = e + e + e où, e son rois réels els que + + =. On a ϕ α () = ϕ α (e ) + ϕ α (e ) + ϕ α (e ) = α( (e + e ) + ( e + e ) + (e e )) = α(( )e + ( + )e + ( )e ). Puisque la base B es orhonormée, on a alors ϕ α () = α ( ( ) + ( + ) + ( ) ) = α ( ) = α ( ) (puisque + + = ) = α ( + ( ) ) hp :// 8 c Jean-Louis Rouge, 7. Tous drois réservés.

9 4. Les formules de changemen de bases s écriven X = PB B X ou encore plus epliciemen = / / / 6 / / / 6 / / 6 = Mais alors, = =. Puis ϕ α() = α ( + ( ) ) = α ( + ). La base B es orhonormée e donc on a aussi + + = =. Par suie,. Donc, + + = avec égalié si e seulemen si + = c es-à-dire = =. ϕ α () = α + α + = α avec égalié si e seulemen si = = e = ou enfin = ±e. E, ( = ϕ α () α ). De plus, si =, ϕ α () = α = e ou = e. 4. Si α <, posons k = α. On a donc k [, [ e, d après la quesion 4., pour ou veceur uniaire, on a ϕ α () k. Dans ce cas, d après la quesion.6, ϕ α S. Si α, alors e es un veceur uniaire el que e donc Dans ce cas,,ϕ α / S. ϕ α (e ) = α, k [, [, ϕ α (e ) > k. α R, (ϕ α S α < ) Soi M un poin de E. f(m) = M f(o)f(m) = f(o)m f(o)f(m) = f(o)o + OM ϕ( OM) OM = f(o)o (ϕ Id)( OM) = f(o)o M E, (f(m) = M (ϕ Id)( OM) = f(o)o. 5. Puisque ϕ es dans S, la quesion.4 monre que ϕ Id es dans GL(E). Par suie, pour ou poin M de E, f(m) = M (ϕ Id)( OM) = f(o)o OM = (ϕ Id) ( f(o)o) M = O + (ϕ Id) ( f(o)o). si ϕ S, f adme un e un seul poin invarian, le poin Ω = O + (ϕ Id) ( f(o)o). 5. Pour ou poin M de E, Ωf(M) = f(ω)f(m) = ϕ( ΩM). hp :// 9 c Jean-Louis Rouge, 7. Tous drois réservés.

10 Soi k [, [ un réel el que E, ϕ() k. Pour ou enier naurel n, on a e donc ΩM n+ = ϕ( ΩM n ) k ΩM n, ΩM n k n ΩM. Comme k [, [, k n end vers quand n end vers + e donc lim ΩM n =. n Soi f l applicaion affine d epression analyique = 4 4 y + y = 4 y + 4 z + z = 4 4 z +. La parie linéaire de f es l endomorphisme ϕ de E don la marice dans la base B es = M /4 (M α a éé définie à la quesion 4). 4 Puisque 4 <, la quesion 4. monre que ϕ S. Mais alors, la quesion 5. monre que l applicaion f a un poin invarian Ω e un seul e la quesion 5.4. monre que si M n es le poin de coordonnées ( n, y n, z n ), la suie (M n ) converge vers Ω. Déerminons alors le poin Ω. Soi (, y, z) R. = 4 4 y + y = 4 y + 4 z + z = 4 4 z + + y = 4 y z = + 5z = 4 = z = y =. y = + 4 ( + 4) z = + 5z = 4 y = z = + 5z = 4 Les suies ( n ), (y n ) e (z n ) convergen e lim n = lim y n = lim z n =. n + n + n + hp :// c Jean-Louis Rouge, 7. Tous drois réservés.

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