1SA Angles. Exercice 1 - Mesure des angles 1) Déterminer la mesure principale de l angle orienté dont une mesure est :

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1 1SA Angles Exercice 1 - Mesure des angles 1) Déterminer la mesure principale de l angle orienté dont une mesure est : a) 7π b) 199π 6 c) 77π 3 d) 99π 8 e) 4π 5 2) Sur le cercle trigonométrique, placer le point M repéré par le réel 17π puis indiquer tous les réels de l intervalle ] 4π, 4π] repérant M. 3) Représenter en rouge l ensemble L des points du cercle trigonométrique repérés par les réels de l intervalle [ 5π 4, π 3 ]. 4) Déterminer tous les réels 5π + k π, k Z à 2π près. Placer les images de ces points sur le cercle 6 2 trigonométrique. Placer la mesure de l angle à côté du point correspondant. 3 Exercice 2 1) Sur le cercle trigonométrique, placer le point M repéré par le réel 5π, puis indiquer tous les réels 4 de l intervalle ] 3π, 3π] repérant M. 2) Représenter l ensemble L des points du cercle trigonométrique repérés par les réels de l intervalle [ 5π, π ]. 4 3 Exercice 3 Triangle équilatéral Soit ABC un triangle équilatéral direct. 2) Déterminer les angles suivants et en donner la mesure principale: a) (AB ; AC ) b) (CB ; CA ) c) (AB ; CB ) d) (BA ; AC ) e) (AB ; CA ) Exercice 4 Triangle isocèle rectangle Soit ABC un triangle isocèle rectangle en A et direct. Soit J le milieu de [AB] et I le milieu de [BC]. 2) Donner la mesure principale des angles orientés suivants : a) (IA, AC ) b) (JB, IA ) c) (JA, IB ) N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 1

2 Exercice 5 Triangle isocèle rectangle ABC est un triangle isocèle rectangle en B et direct. est la médiatrice de [AC]. Compléter les égalités suivantes pour que l équivalence soit vraie : a) M ]AC) (AM, AB ) = (2π) b) M ]BC) (, BC ) = (2π) c) M {B} (BM, A) = (π) d) M ]AB[ (, ) = (2π) e) M arc(bc) (MB, ) = (2π) Exercice 6 Triangle isocèle rectangle ABC est un triangle rectangle isocèle en B et direct. K est le point d intersection de [BC] avec la bissectrice de BAC 1) Déterminer une mesure en radians de : a) (BC, CA ) b) (AB, AK ) 2) Soit J le milieu du segment [AC]. c)(bc, KA ) a) Démontrer que (BJ, KA ) = (KA, CB ) b) Quelle est la nature du triangle BKI, où I désigne le centre du cercle inscrit dans ABC. Exercice 7 Triangle isocèle rectangle Sur la figure ci-contre, le triangle ABC est rectangle isocèle en B et les triangles ACM et ABN sont équilatéraux. Déterminer la mesure principale, en radians, des angles : a) (BC, AC ) b) (AN, AC ) c) (MA, AB ) d) (AN, AM ) N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 2

3 Exercice 8 Triangle isocèle Soit ABC un triangle isocèle en C. On donne (CA, CB ) = π 6 (2π). Soit J le point du segment [AC] tel que (BJ, BA ) = π (2π). 4 1) Déterminer la mesure principale en radian des angles orientés en justifiant soigneusement : a) (BJ, CA ) b) (JB, BC ) 2) Quelle est la nature du triangle BJC? Justifier les résultats. Exercice 9 - Triangle Un triangle ABC est tel que (AB ; AC ) = π (2π) 8 O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC et Ω est le centre du cercle circonscrit au triangle OBC. 1) Calculer (OB ; OC ) 2) Calculer (ΩB ; ΩC ) 3) Qu en déduit-on pour les droites (ΩB) et (ΩC)? Exercice 10 Triangle équilatéral ABC est un triangle équilatéral direct et I est le milieu de [BC]. 1) Déterminer l ensemble E des points M définis par la relation (MA, MB ) = 0 (2π) 2) Déterminer l ensemble F des points M définis par la relation (MC, IB ) = 5π 6 (2π) Exercice 11 - Parallélogramme ABCD est un parallélogramme tel que (AB, AD ) = 3π. 5 1) En utilisant les angles associés, donner une mesure des angles orientés suivants : a) (BC, DC ) a)(bc, BA ) 2) On suppose de plus que ABCD est un losange. Déterminer la mesure principale des angles suivants : a) (CA, CD ) b) (DC, BD ) c) (CA, AD ) N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 3

4 Exercice 12 - Carré ABCD est un carré direct de centre O. 2) Déterminer l ensemble E des points M du plan tels que (CM ; CA ) = 3π 4 3) Déterminer l ensemble F des points M du plan tels que (MB ; MD ) = π (2π) 2 (π) Exercice 13 Losange ABCD est un losange direct de centre O tel que BD = AD. Idésigne le milieu du segment [CD]. Déterminer la mesure principale, en radians, de chacun des angles orientés suivants : a) (AB, AD ) b)(bi, AD ) c) (DC, BO ) d) (BI, AC ) Exercice 14 Pentagone ABCDE est un pentagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique de centre O. A est diamétralement opposé à A. Donner la mesure principale, en radians, des angles suivants en justifiant soigneusement vos résultats: a) (OA, OB ) b) (BE, AO ) c) (BO, OE ) d) (EC, EO ) e) (CB, CD ) Exercice 15 - Décagone On considère un décagone régulier ABCDEFGHIJ de sens direct et de centre O. 1) Donner en justifiant soigneusement la mesure principale des angles : a) (OA ; OB ) b) (OA ; OG ) c) (FI ; FO ) d)(fi ; OC ) e) (EI ; EB ) f) (EF ; EA) 2) Montrer, en utilisant les propriétés des angles orientés, que les droites (AH) et (FC) sont parallèles. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 4

5 Exercice 4 Soit (AB) une droite, C un point n'appartenant pas à (AB), C le symétrique de C par rapport à (AB). On veut comparer les mesures des angles (CA ; CB ) et (C A ; C B ) 1. Exprimer (CA ; CB ) à l'aide des angles (AB ; AC ) et (BA ; BC). La somme des angles d un triangle vaut π. D où (CA ; CB ) = π (AB, AC ) (BC ; BA ) 2. Comparer (AB ; AC) et (AB ; AC ) d'une part et (BA ; BC ) et (BA ; BC ) d'autre part. (AB ; AC ) = (AB ; AC ) car (AB) est la médiatrice de [CC ]. Donc AC = AC. (AB) est aussi bissectrice de l angle A dans le triangle isocèle ACC De même (BA ; BC ) = (BA ; BC ) (2π) avec les mêmes considérations dans le triangle BCC 3. En utilisant les résultats des questions 1 et 2, comparer alors (C A ; C B ) et (CA ; CB ). (C A ; C B ) = (C A; AB ) + (AB ; C B)(2π) = π + (AC ; AB ) + (BA ; BC ) (2π) = π + (AB ; AC ) (BA ; BC ) = π + (AB ; AC ) (AB ; BC ) π(2π) = (AB ; AC ) + (BC ; AB )(2π) = (BC ; AC )(2π) = (CA ; CB )(2π) Exercice 3 ABC est un triangle équilatéral, I, J et K sont les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB]. Déterminer la mesure principale des angles orientés : a) (BC, CA ) = (BC,CB ) +( CB, CA ) = π π = 2π 3 3 (2π) b) (BC, JK ) = (BC, CJ ) + (CJ, JK ) = π + (CB, CJ ) + (JC, JK ) + π = π + (JC, JI ) + (JI, JK ) = π (2π) 3 3 c) (AI, CA ) = (AI,AC ) + π = π + π = 7π = π 6 5π 6 d où la mesure principale 5π 6 (2π) N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 5

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