CHAPITRE. Résolution d équations et d inéquations avec logarithmes et puissances. Échauffez-vous! Lorsque x 0, log(x) existe. Vrai. Faux. Faux.
|
|
- Huguette Charpentier
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 CHAPITRE 7 Résolution d équations et d inéquations avec arithmes et puissances Échauffez-vous! 1 Rayez l encadré inexact Soit a, x et y des nombres réels a) On suppose a 0 Si ax y alors x / y a ; si ax y alors x / y a b) On suppose a 0 Si ax y alors x / y a ; si ax y alors x / y a 2 Cochez la case correspondant à la réponse exacte Lorsque x 0, (x) existe Vrai Faux Lorsque x 0, (x) existe Vrai Faux 3 Rayez l encadré inexact a) La courbe représentative de la fonction x (x) a l allure de celle tracée ci-dessous en : rouge / bleu y b) La courbe représentative de la fonction x q x a l allure de celle tracée ci-dessous en: rouge / bleu lorsque 0 q 1; rouge / bleu lorsque q 1 y x 1 4 Cochez la case correspondant à la réponse exacte Soit q un nombre réel strictement positif et différent de 1 Pour tout nombre réel x, q x 0 Vrai Faux 0 x 85 91
2 1 Résolution d équations (x) = a et d inéquations (x) a (ou (x) a, ou (x) a, ou (x) a) 1 Examiner graphiquement une telle résolution On donne un tracé de la courbe représentative f de la fonction f, définie sur [0,1; 20] par f(x) = (x) 1,6 1,4 1,2 0,8 1 0,6 0,4 0,2 0,2 0 0,4 0,6 0,8 y f x Activité 1 Tracez sur le graphique les traits montrant que, dans [0,1 ; 20] : l équation (x) = 0,8 a une seule solution, que l on notera x 0 (En lire sur le graphique une valeur approchée : x 0 6 ) 2 Associez à chaque inéquation son ensemble de solutions, dans [0,1; 20] (x) 0,8 [0,1 ; x 0 [ (x) 0,8 ] x 0 ; 20] (x) 0,8 [x 0 ; 20] 2 Comment résoudre, dans un intervalle I, une équation (x) = a, avec x 0, où a est un nombre réel? Méthode 1 Étape 1 Puisque (10 a ) = a, examiner si 10 a I ou si 10 a I Étape 2 Si 10 a I, écrire que 10 a est la solution, dans I, de l équation (x) = a; si 10 a I, écrire que cette équation n a pas de solution dans I Résoudre dans I = [1; 30] chacune des équations: a) (x) = 1,2 ; b) (x) = 5 Solution a) Étape ,2 15,8, donc 10 1,2 [1 ; 30] Étape 2 On en déduit que 10 1,2 est la solution, dans [1 ; 30], de l équation (x) = 1,2 b) Étape = 0,000 01, donc 10 5 [1 ; 30] Étape 2 On en déduit que l équation (x) = 5 n a pas de solution dans [1 ; 30] 92 86
3 3 Comment résoudre, dans un intervalle I, une inéquation (x) a (ou (x) a, ou (x) a, ou (x) a), où x 0 et a? Méthode 2 Étape 1 Cas d une inéquation (x) a (ou (x) a) écrire que (x) a (ou (x) a) équivaut à x 10 a (ou x 10 a ) Cas d une inéquation (x) a (ou (x) a) écrire que (x) a (ou (x) a) équivaut à x 10 a (ou x 10 a ) Étape 2 Examiner si 10 a I ou si 10 a I, puis déterminer les solutions de l inéquation: ce sont les nombres x obtenus à l étape 1 et appartenant à I Pour se guider: tracer sur calculatrice la courbe représentative de la fonction Résoudre chacune des inéquations suivantes, dans l intervalle I indiqué a) (x) 0,5, avec I = ]0 ; 20] ; b) (x) 1, avec I = [0,05; 10] ; c) (x) 0, avec I = [2; 3] ; d) (x) 2, avec I = [50; 100] Solution a) Étape 1 (x) 0,5 équivaut à x 10 0,5 Étape 2 Puisque 10 0,5 3,2, 10 0,5 ]0 ; 20], l ensemble des solutions, dans ]0 ; 20], de l inéquation (x) 0,5 est l intervalle ]0 ; 10 0,5 ] b) Étape 1 (x) 1 équivaut à x > 10 1, c est-à-dire à x 0,1 Étape 2 0,1 [0,05 ; 10], donc l ensemble des solutions, dans [0,05; 10], de l inéquation (x) 1 est l intervalle ]10 1 ; 10] c) Étape 1 (x) < 0 équivaut à x 1 Étape 2 1 2, donc l inéquation (x) < 0 n a pas de solution dans [2; 3] d) Étape 1 (x) 2 équivaut à x 10 2, soit x 100 Étape [50 ; 100], donc 100 est la solution, dans [50 ; 100], de l inéquation (x) 2 87 CHAPITRE 7 RÉSOLUTION D ÉQUATIONS ET D INÉQUATIONS AVEC LOGARITHMES ET PUISSANCES 93
4 2 Résolution d équations q x = a et d inéquations q x a (ou q x a, ou q x a, ou q x a), q 0 et q 1, où a 1 Examiner graphiquement une telle résolution On donne un tracé des courbes représentatives f et g des fonctions f et g, définies sur [ 2; 6] par f (x) = 1,3 x et g(x) = 0,4 x 8 y 7 g 6 5 f x 2 x x Activité 1 Tracez sur le graphique les traits montrant que, dans [ 2 ; 6] : a) l équation 1,3 x = 2 a une seule solution, que l on notera x 0 ; b) l équation 0,4 x = 4 a une seule solution, que l on notera x 1 2 Associez à chaque inéquation son ensemble de solutions, dans [ 2; 6] 1,3 x 2 [ 2 ; x 0 [ 1,3 x 2 [x 1 ; 6] 0,4 x 4 [x 0 ; 6] 0,4 x 4 [ 2 ; x 1 [ 2 Comment résoudre, dans un intervalle I, une équation q x = a? Méthode 3 Étape 1 Identifier le signe de a Étape 2 a 0, conclure que l équation n a pas de solution (En effet, pour tout x, q x 0) a 0, en appliquant la fonction aux deux membres de l égalité, écrire que q x = a équivaut à (q x ) = (a), c est-à-dire à x(q) = (a), ou encore à x = (a) (car (q) est non nul) (q) Conclure: si (a) (q) I, alors (a) (q) est la solution, dans I, de l équation qx = a; sinon, cette équation n a pas de solution dans I Résoudre dans I = [ 1; 5] chacune des équations : a) 3 x =5;b) 0,3 x = 7 Solution a) Étape 1 a = 5, donc a 0 Étape 2 3 x = 5 équivaut successivement à (3 x ) = (5), x (3) = (5) et, puisque (3) 0, à x = (5) (5) Or, 1,5, (3) (3) donc (5) (5) [ 1 ; 5] Conclusion: est la solution de l équation (3) (3) b) Étapes 1 et 2 Puisque a < 0, l équation 0,3 x = 7 n a pas de solution 94 88
5 3 Comment résoudre, dans un intervalle I, une inéquation q x a (ou q x a, ou q x a, ou q x a)? Méthode 4 Étape 1 Identifier le signe de a Étape 2 Cas d une inéquation q x a (ou q x a) a 0, conclure que l inéquation n a pas de solution (En effet, pour tout x, q x 0) a 0, en appliquant la fonction, strictement croissante, aux deux membres de l inégalité, écrire que q x a équivaut successivement à (q x ) (a), x(q) (a), c est-à-dire à : x (a) (q) (a) si 0 q 1; x (q) si q 1 (Pour l inéquation q x a, suivre la même démarche avec des inégalités strictes) Cas d une inéquation q x a (ou q x a) a 0, conclure que l ensemble des solutions de l inéquation est I (En effet, pour tout x, q x 0) a 0, en appliquant la fonction, strictement croissante, aux deux membres de l inégalité, écrire que q x a équivaut successivement à (q x ) (a), x(q) (a), c est-à-dire à : x (a) (q) (a) si 0 q 1; x (q) si q 1 (Pour l inéquation q x > a, suivre la même démarche avec des inégalités strictes) Étape 3 Pour a 0, examiner si (a) (q) I ou si (a) (q) I, puis déterminer les solutions de l inéquation: nombres x obtenus à l étape 2 et appartenant à I Pour se guider: tracer sur calculatrice la courbe représentative de la fonction x q x Résoudre dans l intervalle I = [ 10 ; 50] chacune des inéquations: a) 3 x 1,5; b) 0,5 x 4 Solution a) Étape 1 a = 1,5, donc a 0 Étape 2 3 x 1,5 équivaut successivement à (3 x ) (1,5), x(3) (1,5) et, puisque (3) > 0, à x (1,5) (3) Étape 3 Puisque (1,5) 0,4, (1,5) [ 10 ; 50], donc l ensemble des (3) (3) solutions, dans I, de l inéquation 3 x 1,5 est l intervalle (1,5) ; 50 (3) b) Étape 1 a = 4, donc a 0 Étape 2 0,5 x 4 équivaut successivement à (0,5 x ) (4), x(0,5) (4) et, puisque (0,5) < 0, à x (4) (0,5) (4) Étape 3 Puisque (0,5) = 2, (4) [ 10 ; 50], donc l ensemble des (0,5) solutions, dans I, de l inéquation 0,5 x 4 est l intervalle (4) (0,5) ; CHAPITRE 7 RÉSOLUTION D ÉQUATIONS ET D INÉQUATIONS AVEC LOGARITHMES ET PUISSANCES 95
6 Exercices et problèmes 1 a) 10 0,5 3,2, donc 10 0,5 ]0 ; + [ On en déduit que 10 0,5 est la solution, dans ]0 ; + [, de l équation (x) = 0,5 b) 10 0,5 3,2, donc 10 0,5 [1 ; 2] On en déduit que l équation (x) = 0,5 n a pas de solution dans [1 ; 2] 2 a) 10 3 = 0,001, donc 10 3 ]0 ; + [ On en déduit que 10 3 est la solution, dans ]0 ; + [, de l équation (x) = 3 b) 10 2 = 0,01, donc 10 2 [0,5 ; 1] On en déduit que l équation (x) = 2 n a pas de solution dans [0,5 ; 1] 3 a) 10 0 = 1, donc 10 0 ]0 ; 1] On en déduit que 1 est la solution, dans ]0 ; 1], de l équation (x) = 0 b) 10 0 = 1, donc 10 0 ]0 ; 0,5[ On en déduit que l équation (x) = 0 n a pas de solution dans ]0 ; 0,5[ 4 a) 10 1 = 10, donc 10 [1 ; 2] On en déduit que l équation (x) = 1 n a pas de solution dans [1 ; 2] b) 10 1 = 10, donc 10 [1 ; + [ On en déduit que 10 est la solution, dans [1 ; + [, de l équation (x) = 1 5 a) 10 1 = 0,1, donc 10 1 ]0 ; 10] On en déduit que 10 1 est la solution, dans ]0 ; 10], de l équation (x) = 1 b) 10 3 = 1 000, donc 10 3 [1 000 ; 2 000] On en déduit que est la solution, dans [1 000 ; 2 000], de l équation (x) = 3 6 a) (x) + 3 = 0 équivaut à (x) = = 0,001, donc 10 3 [1 ; 100] On en déduit que l équation (x) + 3 = 0 n a pas de solution dans [1 ; 100] b) (x) 2 = 0 équivaut à (x) = = 100, donc 10 2 [1 ; 100] On en déduit que 100 est la solution, dans [1 ; 100], de l équation (x) 2 = 0 7 a) 10 0,1 1,3, donc 10 0,1 ]0 ; 2] On en déduit que 10 0,1 est la solution, dans ]0 ; 2], de l équation (x) = 0,1 b) 3 (x) = 6 équivaut à (x) = = 100, donc 10 2 ]0 ; 200] On en déduit que 100 est la solution, dans ]0 ; 200], de l équation 3 (x) = 6 8 a) 2(x) = 4 équivaut à (x) = = 100, donc 10 2 ]0 ; 10] On en déduit que l équation 2 (x) = 4 n a pas de solution dans]0 ; 10] b) 2 (x) = 8 équivaut à (x) = = 0, , donc 10 6 ]0 ; 10] On en déduit que 10 6 est la solution, dans ]0 ; 10], de l équation 2 (x) = 8 9 a) 3(x) 1 = 8 équivaut à (x) = = 1 000, donc 10 3 [5 ; 10] On en déduit que l équation 3(x) 1 = 8 n a pas de solution dans [5 ; 10] b) 0,5(x) + 1 = 2 équivaut à (x) = = 100, donc 10 2 [5 ; 10] On en déduit que l équation 0,5 (x) + 1 = 2 n a pas de solution dans [5 ; 10] 10 a) (x) = (1) équivaut à x = 1 1 [0,5 ; 1] On en déduit que 1 est la solution, dans [0,5 ; 1], de l équation (x) = (1) b) (x) = (10) équivaut à x = [0,5 ; 20] On en déduit que 10 est la solution, dans [0,5 ; 20], de l équation (x) = (10) 11 a) (x) 3 équivaut x 10 3 Puisque 10 3 = 1 000, 10 3 ]0 ; + [, donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; + [, de l inéquation (x) 3 est l intervalle ]0 ; 1 000] b) (x) 3 équivaut à x 10 3 Puisque 10 3 = 1 000, 10 3 [10 ; 2 000], donc l ensemble des solutions, dans [10 ; 2 000], de l inéquation (x) 3 est l intervalle [10 ; 1 000] 12 a) (x) > 0,6 équivaut à x > 10 0,6 Puisque 10 0,6 0,3, 10 0,6 ]0 ; + [, donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; + [, de l inéquation (x) > 0,6 est l intervalle ]10 0,6 ; + [ b) (x) > 0,6 équivaut à x > 10 0,6 Puisque 10 0,6 0,3, 10 0,6 ]0 ; 10], donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 10], de l inéquation (x) > 0,6 est l intervalle ]10 0,6 ; 10] 13 a) (x) < 0,2 équivaut à x < 10 0,2 Puisque 10 0,2 0,6, 10 0,2 ]0 ; 1], donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 1], de l inéquation (x) < 0,2 est l intervalle ]0 ; 10 0,2 [ b) (x) < 0,2 équivaut à x < 10 0,2 Puisque 10 0,2 0,6, 10 0,2 [0,5 ; 1], donc l ensemble des solutions, dans [0,5 ; 1], de l inéquation (x) < 0,2 est l intervalle [0,5 ; 10 0,2 [ 14 a) (x) 0 équivaut à x 10 0 Puisque 10 0 = 1, 10 0 ]0 ; 10], donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 10], de l inéquation (x) 0 est l intervalle [1 ; 10] b) (x) 0 équivaut à x 10 0 Puisque 10 0 = 1, 10 0 ]0 ; 0,1], donc l inéquation (x) 0 n a pas de solution 15 a) (x) 3 équivaut à x 10 3 Puisque10 3 = 1 000, 10 3 ]0 ; 1 000], donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 1 000], de l inéquation (x) 3 est l intervalle ]0 ; 1 000] 90
7 b) (x) > 1 équivaut à x > 10 1 Puisque 10 1 = 0,1, 10 1 ]0 ; + [, donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; + [, de l inéquation (x) > 1 est l intervalle ]0,1 ; + [ 16 a) (x) < 5 équivaut à x < 10 5 Puisque 10 5 = 0,000 01, 10 5 ]0 ; 2], donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 2], de l inéquation (x) < 5 est l intervalle ]0 ; 10 5 [ b) (x) 2 équivaut à x 10 2 Puisque 10 2 = 0,01, 10 2 ]0 ; + [, donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; + [, de l inéquation (x) 2 est l intervalle [0,01 ; + [ 17 a) (x) équivaut à (x) 2, soit x 10 2 Puisque 10 2 = 100, 10 2 ]0 ; 1 000], donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 1 000], de l inéquation (x) est l intervalle ]0 ; 100] b) (x) 4 < 3 équivaut à (x) < 7, soit x < 10 7 Puisque 10 7 = , 10 7 > 1, donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 1], de l inéquation (x) 4 < 3 est l intervalle ]0 ; 1] 18 a) 3 (x) < 1 équivaut à (x) < 1 3, soit x < Puisque ,5, ]0 ; 15], donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 15], de l inéquation 3 (x) < 1 est l intervalle 0 ; b) (x) 10 équivaut à (x) 10, soit x ]0 ; 1], donc l ensemble des solutions, dans ]0 ; 1], de l inéquation (x) 10 est l intervalle ]0 ; ] 19 a) 2 x = 0,5 équivaut successivement à (2 x ) = (0,5), x (2) = (0,5) et, puisque (2) 0, à x = (0,5) (2) = 1 Conclusion : 1 est la solution, dans, de l équation 2 x = 0,5 b) (0,5) = 1 1 [ 1 ; 1], donc 1 est la solution, (2) dans [ 1 ; 1] de l équation 2 x = 0,5 20 a) 1,5 x = 2 équivaut successivement à (1,5 x ) = (2), x (1,5) = (2) et, puisque (1,5) 0, à x = (2) (1,5) Conclusion : (2) est la solution, dans, de l équation (1,5) 1,5 x = 2 b) (2) (1,5) 1,7, donc (2) [ 1 ; 1] (1,5) Conclusion: l équation 1,5 x = 2 n a pas de solution dans [ 1 ; 1] 21 a) 0,2 x = 1 équivaut successivement à (0,2 x ) = (1), x (0,2) = 0 et, puisque (0,2) 0, à x = 0 0 [0 ; 1], donc 0 est la solution, dans [0 ; 1] de l équation 0,2 x = 1 b) 0,2 x = 2 équivaut successivement à (0,2 x ) = (2), x (0,2) = (2) et, puisque (0,2) 0, à x = (2) (0,2) Or, (2) (0,2) 0,4, donc (2) [0 ; 1] (0,2) Conclusion : l équation n a pas de solution dans [0 ; 1] 22 a) L équation 2,5 x = 1 n a pas de solution b) 0,1 x = 1 équivaut successivement à 0,1 x = 1, (0,1 x ) = (1), x (0,1) = 0 et, puisque (0,1) 0, à x = 0 0 [1 ; 2], donc l équation n a pas de solution dans [1 ; 2] 23 a) 3 x = 0,1 équivaut successivement à (3 x ) = (0,1), x (3) = (0,1) = 1 et, puisque (3) 0, à x = 1 (3) Or, 1 (3) 2,1, donc 1 [ 1 ; 0] (3) Conclusion : l équation n a pas de solution [ 1 ; 0] b) 0,4 x = 3 équivaut successivement à (0,4 x ) = (3), x (0,4) = (3) et, puisque (0,4) 0, à x = (3) (0,4) Or, (3) (0,4) 1,2, donc (3) [ 10 ; 10] (0,4) Conclusion : (3) est la solution, dans [ 10 ; 10], de (0,4) l équation 0,4 x = 3 24 a) 10 x 3 = 0 équivaut successivement à 10 x = 3, (10 x ) = (3), x (l0) = (3), x = (3) (3) 0,5, donc (3) [ 5 ; 0] et l équation n a pas de solution dans [ 5 ; 0] b) 10 x + 2 = 0 équivaut à 10 x = 2 ; l équation n a pas de solution dans [0 ; + [ 25 a) 2 10 x = 10 équivaut successivement à 10 x = 5, (10 x ) = (5), x (10) = (5), x = (5) (5) 0,7, donc (5) [ 5 ; 5] et (5) est la solution de l équation 2 10 x = 10 b) 3 10 x = 6 équivaut successivement à 10 x = 2, (10 x ) = (2), x (10) = (2), x = (2) (2) 0,3, donc (2) [0 ; 2] et (2) est la solution de l équation 3 10 x = 6 26 a) 2 5 x = 4 équivaut successivement à 5 x = 2, (5 x ) = (2), x (5) = (2) et, puisque (5) 0, à x = (2) (5) Or, (2) 0,4, donc (2) [ 100 ; 0] et l équation (5) (5) 2 5 x = 4 n a pas de solution dans [ 100 ; 0] b) 2 + 0,5 x = 8 équivaut successivement à 0,5 x = 6, (0,5 x ) = (6), x (0,5) = (6) et, puisque (0,5) 0, à x = (6) (0,5) Or, (6) (0,5) 2,6, donc (6) [5 ; 10] et l équation (0,5) 2 + 0,5 x = 8 n a pas de solution dans [5 ; 10] 91 CHAPITRE 7 RÉSOLUTION D ÉQUATIONS ET D INÉQUATIONS AVEC LOGARITHMES ET PUISSANCES 91
8 27 a) 3 10 x 1 = 5 équivaut successivement à 10 x = 2, (l0 x ) = (2), x (10) = (2), x = (2) (2) 0,3, donc (2) [0 ; 1] et (2) est la solution de l équation dans [0 ; 1] b) 0,5 1,5 x + 1 = 2 équivaut successivement à 1,5 x = 2, (1,5 x ) = (2), x (1,5) = (2) et, puisque (1,5) 0, à x = (2) 1,7 (1,5) (2) [ 1 ; 0], donc l équation n a pas de solution dans (1,5) [ 1 ; 0] 28 a) L équation 2 x = 2 n a pas de solution dans ] ; 0] b) 2 0,5 x = 0 équivaut successivement à 0,5 x = 2, (0,5 x ) = (2), x(0,5) = (2) et, puisque (0,5) 0, à x = (2) (0,5) = 1 1 [0 ; 1], donc l équation n a pas de solution dans [0 ; 1] 29 a) 2 x 3 équivaut successivement à (2 x ) (3), x (2) (3) et, puisque (2) > 0, à x (3) (2) L ensemble des solutions de l inéquation 2 x 3 est l intervalle ; (3) (2) b) Puisque (3) 1,6, (3) [0 ; 10], donc l ensemble (2) (2) des solutions, dans [0 ; 10], de l inéquation 2 x 3 est l intervalle 0 ; (3) (2) 30 a) 1,5 x > 0,5 équivaut successivement à (1,5 x ) > (0,5), x(1,5) > (0,5) et, puisque (1,5) > 0, à x > (0,5) L ensemble des solutions, dans, (1,5) de l inéquation 1,5 x > 0,5 est l intervalle (0,5) (1,5) ; + b) Puisque (0,5) 1,7, (0,5) < 1, donc l ensemble (1,5) (1,5) des solutions, dans [ 1 ; 1], de l inéquation 1,5 x > 0,5 est l intervalle [ 1 ; 1] b) L ensemble des solutions de l inéquation 0,1 x > 1 est l intervalle [0 ; 100] 34 a) 2 10 x > 8 équivaut successivement à 10 x > 4, (10 x ) > (4), x (10) > (4), x > (4) Puisque (4) 0,6 > 0, l inéquation n a pas de solution dans [ 50 ; 10] b) 0,5 3 x 1 équivaut successivement à 3 x 2, (3 x ) (2), x (3) (2), et, puisque (3) > 0, à x (2) (3) Puisque (2) 0,6, l ensemble des solutions, dans [0 ; 2], (3) de l inéquation 0,5 3 x 1 est l intervalle (2) (3) ; 2 35 a) 2 x équivaut successivement à 2 x 2, (2 x ) (2), x (2) (2), et, puisque (2) > 0, à x 1 L ensemble des solutions, dans [0 ; 1], de l inéquation 2 x est l intervalle [0 ; 1] b) 10 x 4 < 5 équivaut successivement à 10 x < 9, (10 x ) < (9), x (10) < (9), x < (9) Puisque (9) 0,95, l ensemble des solutions, dans [0 ; 1], de l inéquation 10 x 4 < 5 est l intervalle [0 ; (9)[ 36 a) 0,8 x 2 équivaut successivement à (0,8 x ) (2), x (0,8) (2) et, puisque (0,8) < 0, à x (2) (0,8) Puisque (2) 3,1 < 0, l ensemble des solutions, (0,8) dans [0 ; 1], de l inéquation est l intervalle [0 ; 1] b) 1,2 x + 2 > 3 équivaut successivement à 1,2 x > 1, (1,2 x ) > (1), x (1,2) > 0 et, puisque (2) > 0, à x > 0 L inéquation n a pas de solution dans [ 1 ; 0] 31 a) 10 x < 5 équivaut successivement à (10 x ) < (5), x (10) < (5), x < (5) Puisque (5) 0,7, l ensemble des solutions, dans [0 ; 10], de l inéquation 10 x < 5 est l intervalle [0 ; (5)[ b) (5) < 1, donc dans l intervalle I = [1 ; 10], l inéquation n a pas de solution 32 a) 0,5 x 1 équivaut successivement à (0,5 x ) (1), x (0,5) 0 et, puisque (0,5) < 0, à x 0 L ensemble des solutions, dans [ 10 ; 10], de l inéquation 0,5 x 1 est l intervalle [ 10 ; 0] b) Dans l intervalle I = [1 ; 10], l inéquation n a pas de solution 33 a) L inéquation 0,1 x 1 n a pas de solution 37 a) p(x) = 173 équivaut successivement à (x) = 173, 44 (x) = 21, (x) = , donc [1 ; 12] 21 On en déduit que est la solution de l équation p(x) = 173 ; sa valeur arrondie à l unité est 3 b) Le client a acheté 3 caisses de bouteilles de produit ménager 38 1 a) u 0 = ; u 1 = (1 + 0,02)u 0 = 1,02u 0 ; u 2 = (1 + 0,02)u 1 = 1,02u 1 ; u 3 = (1 + 0,02)u 2 = 1,02u 2 ; u n+1 = (1 + 0,02)u n = 1,02u n 92
9 (u n ) est une suite géométrique de terme initial et de raison 1,02 b) u n = u 0 1,02 n = ,02 n 2 Tracé de la courbe représentative de la fonction f f(40) = 40 (40) 10 54,08, soit 54,08, f(60) = 40 (60) 10 61,13, soit 61,13 et f(80) = 40 (80) 10 66,12, soit 66,12 2 a) Tracé sur tableur de la courbe représentative de la fonction f La courbe est située au-dessus de la droite d équation y = pour x 4, donc le salaire mensuel du salarié deviendra supérieur à à partir de la quatrième année 4 a) On résout l inéquation ,02 x > 1 600, successivement équivalente à 1,02 x > 16 15, (1,02x ) > 16 15, x (1,02) > 16 et, puisque (1,02) > 0, à x > (1,02) Puisque 3,3, on retrouve donc (1,02) le résultat de la question précédente b) On résout l inéquation ,02 x > 1 800, successivement équivalente à 1,02 x > 6 5, (1,2x ) > 6 5, x (1,02) > et, puisque (1,02) > 0, à x > (1,02) Puisque 9,2, le salaire mensuel du salarié (1,02) deviendra supérieur à à partir de la dixième année c) La courbe est située au-dessus de la droite d équation y = pour x 10, on retrouve donc le résultat de la question précédente b) La courbe est au-dessus de la droite d équation y = 60 pour les abscisses x de l intervalle [57 ; 100] ; les frais de déplacement seront au moins de 60 à partir de 57 km parcourus 3 f(x) 60 équivaut successivement à 40 (x) 10 60, (x) 7 7 4, x Or, ,2, soit 57 arrondi à l unité, ce qui vérifie le résultat précédent 41 1 L = ,01 4πR 2 L = ((0,01) (4πR 2 )) L = (0,01) 10((4π) + (R 2 )) L = (4π) 10 (R 2 ) L = ((4) + (π)) 20 (R) Or (4) 10 (π) 89, donc L peut s écrire approximativement L = (R) 2 a) f(x) 69 équivaut successivement à (x) 69, (x) 1, x 10 L ensemble des solutions, dans [1 ; 50], de l inéquation f(x) 69 est l intervalle [10 ; 50] b) Tracé sur tableur de la courbe représentative de f 39 1 f(14) = 5 1, ,60, soit environ 6,60 millions d habitants 2 On résout l inéquation f(t) > 7,3, successivement équivalente à 5 1,02 t > 7,3, 1,02 t > 7,3 5, (1,02t ) > 7,3 5, t (1,02) > 7,3 5 et, puisque (1,02) > 0, 7,3 5 à t > (1,02) 7,3 5 Or, 19,1, donc la population de la ville dépassera (1,02) 7,3 millions d habitants au bout de 20 ans, soit en a) À partir de 10 m de la source, le niveau d intensité sonore devient inférieur ou égal à 69 db b) La courbe est située au-dessous de la droite d équation y = 69 pour x 10, ce qui vérifie le résultat précédent 93 CHAPITRE 7 RÉSOLUTION D ÉQUATIONS ET D INÉQUATIONS AVEC LOGARITHMES ET PUISSANCES
10 42 Partie A 1 Tracé sur tableur de la courbe représentative de f b) La valeur acquise par le capital du placement Q dépassera à partir de la dixième année, soit à partir de a) Tracé sur tableur des courbes représentatives des fonctions p et q 2 La solution de l équation f(x) = est l abscisse du point d intersection de la courbe et de la droite d équation y = 5 000, on lit x 10,3 3 On résout l équation ,8 x = successivement équivalente à 0,8 x = 0,1, (0,8 x ) = (0,1), x (0,8) = (0,1) et, puisque (0,8) 0, à x = (0,1) (0,8) Or, (0,1) 10,3, donc (0,1) [0 ; 15] (0,8) (0,8) Conclusion : (0,1) est la solution de l équation, dans (0,8) [0 ; 15] On retrouve le résultat de la question précédente Partie B On doit résoudre l inéquation f(x) < 0, , soit f(x) < : en utilisant la partie A, on en conclut que la valeur de la machine devient inférieure au dixième de sa valeur initiale au bout de 11 ans 43 1 a) p(x) > équivaut successivement à ,04 x > 2 000, 1,04 x > 20 13, (1,04x ) > 20 13, x (1,04) > 20 et, puisque (l,04) > 0, à x > (1,04) De plus, 10,98, donc (1,04) l ensemble des solutions, dans [0 ; 20], de l inéquation ,04 x > est l intervalle (1,04) ; b) La valeur acquise par le capital du placement P dépassera à partir de la onzième année, soit à partir de a) q(x) > équivaut successivement à ,03 x > 2 000, 1,03 x > 4 3, (1,03x ) > 4 3, x (1,03) > 4 et, puisque (1,03) > 0, à x > De plus, 9,7, donc l ensemble (1,03) (1,03) des solutions de l inéquation ,03 x > est l intervalle (1,03) ; b) La courbe représentative de la fonction p est située audessus de la droite d équation y = pour x > 10 et la courbe représentative de la fonction q est située au-dessus de la droite d équation y = pour x > 9 ; ce qui vérifie les résultats précédents c) La courbe représentative de la fonction p est située audessus de celle de la fonction q pour x > 14 ; la valeur acquise par le capital du placement P sera plus élevée que la valeur acquise par le capital du placement Q à partir de la quinzième année, c est-à-dire à partir de d(i v ) = 10((10 6 I 0 ) (I 0 ) d(i v ) = I 0 I 0 d(i v ) = 10 (10 6 ) = 60 db 2 a) d(i) = 120 équivaut successivement à 10((I) (I 0 )) = 120, (I) (I 0 ) = 12, I I 0 = 12 b) d(i) = 120 équivaut successivement à I I 0 = 12, I I 0 = 1012, I = I 0 L intensité I d un son de 120 db est égale à I 0 3 Tableau I = Niveau sonore, en db Fusée au décollage I Avion au décollage I F1 en course I Concert I Baladeur à puissance maximale I Moto 10 9 I 0 90 Voiture 10 8 I 0 80 Aspirateur 10 7 I 0 70 Rue calme 10 4 I 0 40 Vent dans les arbres 10I
11 4 a) d(i 2 ) d(i 1 ) = 10((I 2 ) (I 0 )) (10((I 1 ) (I 0 )) d(i 2 ) d(i 1 ) = 10((I 2 ) (I 1 )) d(i 2 ) d(i 1 ) = 10 I 2 I1 b) d(i 2 ) d(i 1 ) = 7 équivaut successivement à 10 I 2 I1 = 7, I 2 I1 = 7 10, I 7 2 I1 = , I 2 = I 1 7 c) , donc si d(i 2 ) d(i 1 ) = 7 alors I 2 5 I 1 Ainsi, lorsque le niveau sonore augmente de 7 db, l intensité est 5 fois plus forte! Le père a raison! 95 CHAPITRE 7 RÉSOLUTION D ÉQUATIONS ET D INÉQUATIONS AVEC LOGARITHMES ET PUISSANCES 95
12 COMME À L ÉCRAN Résoudre une équation et une inéquation Lors de l étude de la progression d une épidémie de grippe, on modélise le nombre d individus ayant été contaminés à la date t, exprimée en jours, par f (t) = 500(1 0,75 t ), avec 0 t 20 Voici un tableau de valeurs ( f (t) à l unité près) et un tracé obtenus avec un tableur 1 a) Expliquez comment remplir la colonne A sans saisir les valeurs une à une On entre 0 dans la cellule A2 et 1 dans la cellule A3 On sélectionne ces deux cellules, que l on recopie vers le bas jusqu à la valeur 20 b) Entourez la formule écrite dans la cellule B2, puis recopiée jusqu en B22 =500*(1 0,75^A2) =500*(1 0,75)(A2)) =500*(1 0,75)^A2 2 a) Écrire une équation à résoudre dans [0; 20] pour déterminer au bout de combien de jours le nombre de personnes contaminées est égal à 450 On résout l équation f(t) = 450, soit 500(1 0,75 t ) = 450 b) Indiquez la cellule du tableau où lire une valeur approchée de la solution de cette équation, puis donner cette valeur La cellule A10 ; la solution est 8 c) Vérifiez ce résultat sur le graphique, en traçant les traits appropriés 3 a) Écrire une inéquation à résoudre dans [0 ; 20] pour déterminer à partir de combien de jours le nombre d individus contaminés sera supérieur ou égal à 479 On résout l inéquation f(t) 479, soit 500(1 0,75 t ) 479 b) Indiquez la cellule du tableau où lire une valeur approchée de la borne inférieure de l intervalle des solutions de cette inéquation, puis donner cet intervalle, avec cette valeur approchée La cellule A13 ; les solutions sont les réels de [11 ; 20] c) Contrôler sur le graphique, en marquant l intervalle des solutions
13 Évaluation Nom Prénom Classe Date Exercice 1 5 points 1 Résoudre dans ]0 ; 200] l équation (x) = 2,1 (Donner la valeur exacte de la solution, puis sa valeur décimale arrondie à 0,1 près) 10 2,1 125,9, donc 10 2,1 ]0 ; 200] On en déduit que 10 2,1 125,9 est la solution, dans ]0 ; 200], de l équation (x) = 2,1 2 Résoudre dans ]0 ; 50] l inéquation (x) 1,5 (x) 1,5 équivaut à x 10 1,5 10 1,5 31,6, donc 10 1,5 ]0 ; 50] L ensemble des solutions, dans ]0 ; 50], est l intervalle [10 1,5 ; 50] 3 Résoudre dans ]0 ; 10] l inéquation (x) 0,5 Log(x) < 0,5 équivaut à x < 10 0,5 10 0,5 0,3, donc 10 0,5 ]0 ; 10] L ensemble des solutions, dans ]0 ; 10], est l intervalle ]0 ; 10 0,5 [ Exercice 2 5 points 1 Résoudre dans [ 10; 10] l équation 2,5 x = < 0, donc l équation n a pas de solution dans [ 10 ; 10] 2 Résoudre dans [ 20; 10] l inéquation 0,5 x < 10 0,5 x < 10 équivaut successivement à (0,5 x ) < (10), x (0,5) < (10) et, puisque (0,5) < 0, à x > (10) (0,5) (10) (0,5) 3,3, donc l ensemble des solutions est (10) (0,5) ; 10 3 Résoudre dans [ 20; 100] l inéquation 1,05 x 12 1,05 x 12 équivaut successivement à (1,05 x ) (12), x (1,05) (12) et, puisque (1,05) > 0, à x (12) (1,05) (12) (1,05) 50,9, donc l ensemble des solutions est Exercice 3 10 points (12) (1,05) ; 100 La population d une ville s accroît de 3 % par an Le nombre d habitants en ( x) est donné par l égalité p(x) = ,03 x 1 Déterminer le nombre d habitants de cette ville en 2010, puis en 2016, en arrondissant le dernier résultat à la centaine près p(0) = , p(6) En 2010 et 2016, les populations seront respectivement de et habitants 97 CHAPITRE 7 RÉSOLUTION D ÉQUATIONS ET D INÉQUATIONS AVEC LOGARITHMES ET PUISSANCES
14 2 a) Montrer que p(x) = équivaut à 1,03 x = 1,35 p(x) = équivaut à ,03 x = , soit 1,03 x = = 1,35 b) Résoudre l inéquation p(x) , c est-à-dire 1,03 x 1,35 1,03 x > 1,35 équivaut successivement à (1,03 x ) > (1,35), x (1,03) > (1,35) et puisque (1,03) > 0, à x > (1,35) (1,03) L ensemble des solutions est (1,35) (1,03) ; + c) En déduire l année à partir de laquelle la population dépassera habitants (1,35) 10,2, donc la population dépassera habitants à partir (1,03) de Déterminer l année à partir de laquelle la population dépassera le double de celle de 2010 On résout l inéquation ,03 x > successivement équivalente à 1,03 x > 2, (1,03 x ) > (2), x (1,03) > (2) et puisque (2) (1,03) > 0, à x > (1,03) (2) 23,4, donc la population (1,03) dépassera le double de celle de 2010 à partir de On se propose de vérifier avec un tableur les résultats obtenus aux questions 2 c) et 3 Entrer dans les cellules A1 à A40 les valeurs de x avec le pas de calcul 1 a) Expliquer comment procéder pour ne pas saisir les valeurs une à une On entre les valeurs 0 et 1 dans les cellules A1 et A2, on sélectionne ces deux cellules, puis on les recopie vers le bas jusqu en A40 b) Entrer dans les cellules B1 à B40 les valeurs de p(x) associées à celles de x Donner la formule entrée dans la cellule B1, puis copiée jusqu à la cellule B40 =40000*1,03^A1 c) Utiliser l assistant graphique du tableur pour obtenir un tracé de la courbe représentative de la fonction p d) Le graphique obtenu à la question précédente est anaue au suivant Résoudre graphiquement dans [0; 40] les inéquations p(x) > et p(x) > (Faire apparaître les traits utiles sur le graphique) La courbe est au-dessus de la droite d équation y = pour x > 10 et au-dessus de la droite d équation y = pour x > 23 Les solutions sont respectivement les intervalles ]10 ; + [ et ]23 ; + [ Le résultat est-il cohérent avec ceux des questions 2 c) et 3? Oui
a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailBaccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailBaccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailLes devoirs en Première STMG
Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailCorrection du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014
Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 EXERCICE 1 Cet exercice est un Q.C.M. 4 points 1. La valeur d une action cotée en Bourse a baissé de 37,5 %. Le coefficient multiplicateur associé
Plus en détailLogistique, Transports
Baccalauréat Professionnel Logistique, Transports 1. France, juin 2006 1 2. Transport, France, juin 2005 2 3. Transport, France, juin 2004 4 4. Transport eploitation, France, juin 2003 6 5. Transport,
Plus en détailTP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options
Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce
Plus en détailNotion de fonction. Série 1 : Tableaux de données. Série 2 : Graphiques. Série 3 : Formules. Série 4 : Synthèse
N7 Notion de fonction Série : Tableaux de données Série 2 : Graphiques Série 3 : Formules Série 4 : Synthèse 57 SÉRIE : TABLEAUX DE DONNÉES Le cours avec les aides animées Q. Si f désigne une fonction,
Plus en détailNotion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.
TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailBACCALAURÉAT PROFESSIONNEL SUJET
SESSION 203 Métropole - Réunion - Mayotte BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE E4 CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE : MATHÉMATIQUES Toutes options Durée : 2 heures Matériel(s) et document(s) autorisé(s)
Plus en détailLa maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES. Ce qui est demandé. Les étapes du travail
La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES Suites géométriques, fonction exponentielle Copyright c 2004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence L objectif de cet exercice
Plus en détailFonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme
Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailBaccalauréat technique de la musique et de la danse Métropole septembre 2008
Baccalauréat technique de la musique et de la danse Métropole septembre 008 EXERCICE 5 points Pour chacune des cinq questions à 5, trois affirmations sont proposées dont une seule est exacte. Pour chaque
Plus en détailLes fonction affines
Les fonction affines EXERCICE 1 : Voir le cours EXERCICE 2 : Optimisation 1) Traduire, pour une semaine de location, chaque formule par une écriture de la forme (où x désigne le nombre de kilomètres parcourus
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailProbabilités conditionnelles Exercices corrigés
Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.
Plus en détailBaccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailFctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines
FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html
Plus en détailBACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES. EXEMPLE DE SUJET n 2
Exemple de sujet n 2 Page 1/7 BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES EXEMPLE DE SUJET n 2 Ce document comprend : Pour l examinateur : - une fiche descriptive du sujet page 2/7 - une fiche
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détail315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux
Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité
Plus en détailIntensité sonore et niveau d intensité sonore
ntensité sonore et niveau d intensité sonore Dans le programme figure la compétence suivante : Connaître et exploiter la relation liant le niveau d intensité sonore à l intensité sonore. Cette fiche se
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailmathématiques mathématiques mathématiques mathématiques
mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailTD 3 : suites réelles : application économique et nancière
Mathématiques Appliquées Cours-TD : K. Abdi, M. Huaulmé, B. de Loynes et S. Pommier Université de Rennes 1 - L1 AES - 009-010 TD 3 : suites réelles : application économique et nancière Exercice 1 Calculer
Plus en détailU102 Devoir sur les suites (TST2S)
LES SUITES - DEVOIR 1 EXERCICE 1 L'objectif de cet exercice est de comparer l'évolution des économies de deux personnes au cours d'une année. Pierre possède 500 euros d'économies le 1 er janvier. Il décide
Plus en détailChapitre 4 : cas Transversaux. Cas d Emprunts
Chapitre 4 : cas Transversaux Cas d Emprunts Échéanciers, capital restant dû, renégociation d un emprunt - Cas E1 Afin de financer l achat de son appartement, un particulier souscrit un prêt auprès de
Plus en détailFORD C-MAX + FORD GRAND C-MAX CMAX_Main_Cover_2013_V3.indd 1-3 22/08/2012 15:12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 12 14 16 1 12 7 3 1 6 2 5 4 3 11 9 10 8 18 20 21 22 23 24 26 28 30
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailREPRESENTER LA TERRE Cartographie et navigation
REPRESENTER LA TERRE Seconde Page 1 TRAVAUX DIRIGES REPRESENTER LA TERRE Cartographie et navigation Casterman TINTIN "Le trésor de Rackham Le Rouge" 1 TRIGONOMETRIE : Calcul du chemin le plus court. 1)
Plus en détailLes pourcentages. Un pourcentage est défini par un rapport dont le dénominateur est 100. Ce rapport appelé taux de pourcentage est noté t.
Les pourcentages I Définition : Un pourcentage est défini par un rapport dont le dénominateur est 100. Ce rapport appelé taux de pourcentage est noté t. Exemple : Ecrire sous forme décimale les taux de
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailExercice du cours Gestion Financière à Court Terme : «Analyse d un reverse convertible»
Exercice du cours Gestion Financière à Court Terme : «Analyse d un reverse convertible» Quand la trésorerie d une entreprise est positive, le trésorier cherche le meilleur placement pour placer les excédents.
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailCONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un
Plus en détailEXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE
EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par
Plus en détailSéquence 3. Expressions algébriques Équations et inéquations. Sommaire
Séquence 3 Expressions algébriques Équations et inéquations Sommaire 1. Prérequis. Expressions algébriques 3. Équations : résolution graphique et algébrique 4. Inéquations : résolution graphique et algébrique
Plus en détailSuites numériques Exercices
Première L 1. Exercice 9 2 2. Exercice 10 2 3. Exercice 11 2 4. Exercice 12 3 5. Exercice 13 3 6. France, septembre 2001 4 7. Asie juin 2002 5 8. Centres étrangers juin 2002 6 9. Pondichery, juin 2001
Plus en détailIndications pour une progression au CM1 et au CM2
Indications pour une progression au CM1 et au CM2 Objectif 1 Construire et utiliser de nouveaux nombres, plus précis que les entiers naturels pour mesurer les grandeurs continues. Introduction : Découvrir
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailAtelier «son» Séance 2
R IO 2 0 0 9-2 0 1 0 Animateur : Guy PANNETIER Atelier «son» Séance 2 A) 1. Rappels Mathématiques En physique, les hommes ont été confrontés à des nombres très grands ou très petits difficiles à décrire
Plus en détailHERAKLES Page 1 sur 6 COMMENT CREER DES FACTURES D ACCOMPTE FICHE 051-01 COMMENT CREER DES FACTURES D ACCOMPTE?
HERAKLES Page 1 sur 6 COMMENT CREER DES FACTURES D ACCOMPTE? OBJECTIFS L objectif est d établir automatiquement des factures d acompte directement associées aux commandes clients. Les montants d acompte
Plus en détailL ALGORITHMIQUE. Algorithme
L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques
Plus en détail1 Savoirs fondamentaux
Révisions sur l oscillogramme, la puissance et l énergie électrique 1 Savoirs fondamentaux Exercice 1 : choix multiples 1. Quelle est l unité de la puissance dans le système international? Volt Watt Ampère
Plus en détailFeuille TD n 1 Exercices d algorithmique éléments de correction
Master Sciences, Technologies, Santé Mention Mathématiques, spécialité Enseignement des mathématiques Algorithmique et graphes, thèmes du second degré Feuille TD n 1 Exercices d algorithmique éléments
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailBTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL
BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailExercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2
Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la
Plus en détailExercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailChapitre 5. Calculs financiers. 5.1 Introduction - notations
Chapitre 5 Calculs financiers 5.1 Introduction - notations Sur un marché économique, des acteurs peuvent prêter ou emprunter un capital (une somme d argent) en contrepartie de quoi ils perçoivent ou respectivement
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailFonction quadratique et trajectoire
Fonction quadratique et trajectoire saé La sécurité routière On peut établir que la vitesse maimale permise sur une chaussée mouillée doit être inférieure à celle permise sur une chaussée sèche La vitesse
Plus en détailManuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2
éducalgo Manuel d utilisation 26 juin 2011 Table des matières 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 2 Comment écrire un algorithme? 3 2.1 Avec quoi écrit-on? Avec les boutons d écriture........
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailF7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ
Auteur : S.& S. Etienne F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ TI-Nspire CAS Mots-clés : représentation graphique, fonction dérivée, nombre dérivé, pente, tableau de valeurs, maximum, minimum. Fichiers associés
Plus en détailElectricité : caractéristiques et point de fonctionnement d un circuit
Electricité : caractéristiques et point de fonctionnement d un circuit ENONCE : Une lampe à incandescence de 6 V 0,1 A est branchée aux bornes d une pile de force électromotrice E = 6 V et de résistance
Plus en détailEquations cartésiennes d une droite
Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la
Plus en détailMathématiques Première L, ES, S, Concours Post-Bac Equations et inéquations du second degré FORMAV
Mathématiques Première L, ES, S, Concours Post-Bac Equations et inéquations du second degré Méthode et exercices corrigés générés aléatoirement Pour un meilleur rendu ouvrir ce document avec TeXworks FORMAV
Plus en détailBaccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008
Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation
Plus en détailCalculs de probabilités avec la loi normale
Calculs de probabilités avec la loi normale Olivier Torrès 20 janvier 2012 Rappels pour la licence EMO/IIES Ce document au format PDF est conçu pour être visualisé en mode présentation. Sélectionnez ce
Plus en détail- LOGICIEL DE SAISIE DES NOTES DE FRAIS
- LOGICIEL DE SAISIE DES NOTES DE FRAIS 1 SOMMAIRE I. LA CONNEXION 3 II. PRESENTATION GENERALE 5 A. Zones Figées par le logiciel 5 B. Zones Actives 5 III. LES DIFFERENTES ETAPES DE LA SAISIE 6 A. Saisie
Plus en détailPROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de
Plus en détail