1. Vérifier sur quelques exemples la propriété annoncée. Quel nombre doit-on écrire en face de 1? Quel nombre doit-on écrire en face de 21? de 22?

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1 Introduction L invention des logarithmes, en réduisant le temps passé aux calculs de quelques mois à quelques jours, double pour ainsi dire la vie des astronomes (Laplace). La fin du XVIe siècle est l époque des grands voyages maritimes et de la découverte des lois régissant le mouvement des planètes (Copernic, Kepler...). Les mesures astronomiques, nécessaires pour la navigation, impliquent des calculs compliqués. Les multiplications, divisions et extractions de racines sont particulièrement longues et pénibles. Pour simplifier ces calculs, on cherche à construire des tables numériques à deux colonnes, mettant en correspondance les nombres de telle manière qu à la multiplication de deux nombres de la colonne de gauche corresponde l addition de deux nombres de la colonne de droite. La première table de ce type est publiée par l écossais John Neper en 64, après quarante ans de travail! En voici un extrait (ci-contre).. Vérifier sur quelques exemples la propriété annoncée. Quel nombre doit-on écrire en face de? Quel nombre doit-on écrire en face de 2? de 22? 2. Quand on divise deux nombres de la colonne de gauche, que peut-on dire de ceux de la colonne de droite? En déduire les nombres à écrire en face de,5 ; 0,5; 0,. 3. Pour désigner les nombres de la colonne de droite on invente le mot logarithme, forgé à partir des deux mots grecs logos (rapport) et arithmos (nombre entier naturel) : en effet si les nombres de gauche sont dans un rapport constant (c est à dire en progression géométrique), alors ceux de droite sont à différence constante (c est a? dire en progression arithmétique). Vérifier cette propriété en considérant dans la première colonne les nombres,2,4,8,6. 4. Quand on élève un nombre au carré, que peut-on dire de son logarithme? En déduire le logarithme de Quand on prend la racine carrée d un nombre, que peut-on dire de son logarithme? En déduire le logarithme de 5. Ainsi, cette table ramène les multiplications à des additions, les divisions à des soustractions, les extractions de racine carrée à des divisions par 2. Un disciple de Neper, Briggs, publie en 67 une autre table ayant les mêmes propriétés, mais plus commode pour les calculs : les logarithmes décimaux. Le Suisse Bürgi construit également, de façon indépendante, une table de logarithmes, qu il publie en 620. Cinquante ans plus tard, l invention du calcul différentiel (dérivées et intégrales) par Newton et Leibniz permettra de découvrir que, en plus de ses propriétés pratiques, la fonction logarithme de Neper a un intérêt théorique considérable : non seulement elle a une dérivée remarquable, mais elle a un lien étroit avec la fonction exponentielle! 0, 0,5,5 2 0,6935 3,0986 4, , ,7976 7, , , , , , , , , , , , , ,

2 Lycée Paul Doumer TS Cours Fonction Logarithme Contents Introduction 2 Définition 2 3 Propriétés algébriques 3 4 Étude de la fonction logarithme 4 4. Variations Limites Dérivabilité Croissances comparées 5 6 Dérivées d une composée 5 2 Définition La fonction exponentielle est strictement croissante sur [ ; + ]. d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation exp(x) = k possède une unique solution pour tout réel k strictement positif. Définition On appelle logarithme népérien du réel strictement positif k l unique solution de l équation exp(x) = k. On note cette solution ln(k). La fonction logarithme népérien est donc la fonction qui à tout réel strictement positif x associe le réel y = ln(x). On note : ln : ]0; + [ R x ln(x) Propriété : relation entre les fonctions exponentielle et logarithme Pour tout réel x strictement positif et tout réel y on a :. x = e y y = ln(x) 2. e ln(x) = x et ln (e y ) = y 3. ln() = 0 car e 0 = et ln(e) = car e = e 2

3 Conséquences : Les courbes C exp et C ln, représentatives des fonctions exponentielle et logarithme, sont symétriques par rapport a la droite d équation y = x. En effet : y = ln(x) x = e y N (x; y) C ln x > 0 M (y; x) C exp x > 0 y R y R Représentation graphique : 3 Propriétés algébriques Les relations suivantes sont fondamentales et caractérisent la fonction logarithme. Théorème - Relation fonctionnelle Pour tout réels a et b strictement positifs : ln(a b) = ln(a) + ln(b) Remarque : La fonction logarithme transforme un produit en somme. Preuve : e ln(ab) = ab = e ln(a) e ln(b) = e ln(a)+ln(b) 3

4 Corollaire : Pour tout réel a et b strictement positifs et pour tout entier naturel n : ( ). ln = ln(b) b ( a ) 2. ln = ln(a) ln(b) b 3. ln (a n ) = n ln(a) 4. ln ( a) = 2 ln(a) 4 Étude de la fonction logarithme 4. Variations Théorème La fonction logarithme est strictement croissante sur ]0; + [. Corollaire : Soient aet b deux réels strictement positifs : a < b ln(a) < ln(b) En particulier : a < ln(a) < 0 et < a 0 < ln(a) 4.2 Limites Propriété - Limites lim x 0 x>0 ln(x) = et lim ln(x) = + x + Remarque : La droite d équation x = 0 est asymptote verticale à la courbe représentative de ln. 4.3 Dérivabilité Propriété : Dérivabilité la fonction x ln(x) est dérivable sur ]0; + [ et sa dérivée est définie par : ln (x) = x Conséquence : sur ]0; + [. Pour tout x > 0, f (x) = x > 0. Donc la fonction ln est strictement croissante 4

5 Remarque : On peut définir la fonction logarithme de la façon suivante : c est l unique fonction qui s annule en et telle que sa dérivée soit la fonction x x. Propriété : Tableau de variations x 0 + x ln(x) Propriété : ln ( + h) lim = h 0 h 5 Croissances comparées Propriété : ln(x). lim = 0 x + x 2. lim x 0 + xln(x) = 0 6 Dérivées d une composée Propriété : Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction x ln (u(x)) est dérivable sur I et sa dérivée est égale à u (x) u(x). 5

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