Nombre dérivé d une fonction (1) Plan du chapitre. Le I. Exemple. Fiche sur tangente surtout au début

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1 Le Nombre dérvé d une foncton (1) Fce sur tangente surtout au début ben donner le dfférentes motvatons du captre aspect TICE Introducton : Dans le captre précédent, nous avons défn la tangente à la courbe d une foncton comme poston lmte des sécantes. Nous allons approfondr l étude en ntrodusant un nombre fondamental, le nombre dérvé d une foncton, dont l étude sera poursuve durant pluseurs captres. Il ne faut pas perdre de vue l axe de traval (l axe d étude) des captres qu est de savor détermner avec précson une tangente. n rentre dans la matématsaton (modélsaton matématque) du problème des tangentes évoquées dans le captre précédent, notamment avec la mse en œuvre des dées de Fermat. Plan du captre I. Exemple..... a pour but de modélser l dée de Fermat sur un exemple II. Nombre dérvé d une foncton a pour but de donner une «défnton» du nombre dérvé III. Tangente. a pour but de donner la défnton d une tangente à l ade du nombre dérvé IV. Rapport de Newton. a pour but de donner la défnton du rapport de Newton qu est très mportant V. btenton du nombre dérvé. a pour but de précser des moyens permettant d obtenr un nombre dérvé 1

2 I. Exemple n reprend un exemple déjà étudé avec Geogebra dans le captre précédent. Nous allons cercer à modélser la stuaton étudée «avec les mans» dans le captre précédent. 1 ) Notatons n note C la courbe de la foncton f : x n s ntéresse à la tangente au pont de C d abscsse 1. ) Étude x y 1 1 (pont fxe) n note un pont moble de C dstnct de. Pour modélser le problème, on va devor travaller en lttéral. x («foncton carré») dans un repère. Pour cela, on note 1 l abscsse de où est un réel non nul. x Le 1 de l abscsse du pont se réfère à l abscsse du pont (autrement dt, le 1 de l abscsse du pont est donné en foncton de l abscsse du pont ). Le est non nul, postf ou négatf. 1 y 1 1 avec 0 La drote () est appelée une sécante à la courbe. Elle est sécante aux ponts et. n dt auss que c est une corde. n va calculer le coeffcent drecteur de la drote (). n peut ans effectuer le tracé précs de cette tangente pusque l on sat qu elle passe par et qu elle a pour coeffcent drecteur L. n peut alors tracer T avec précson sur le grapque (en oublant d alleurs le pont ). n peut noter que le résultat obtenu précédemment par le calcul coïncde avec l observaton sur Geogebra. 3 ) Vocabulare Le nombre L qu est le nombre vers lequel se rapproce le coeffcent drecteur de () et qu correspond au coeffcent drecteur de la tangente à C au pont d abscsse 1 est appelé nombre dérvé de f en 1. n dra que : «le nombre dérvé de la foncton f en 1 est égal à» (ou, comme dsent les élèves en raccourc : «le dérvé de f en 1 est égal à»). L étude de ce nombre qu aura une grande mportance dans tout le captre sera poursuve dans les captres suvants. 4 ) Généralsaton La métode se généralse : - en tous les ponts de la courbe C ; - à d autres fonctons. II. Nombre dérvé d une foncton Dans ce paragrape, nous allons passer à un cadre plus général et plus abstrat dans lequel l expresson de f n est pas connue. 1 ) Défnton f est une foncton défne sur un ntervalle I. C est la courbe représentatve de f dans un repère. est un pont fxe de C d abscsse a ( a I ). y y 1 1 x x 1 1 Les «s évanoussent» 0 est un pont varable de C dstnct de. y C Lorsque se rapproce de 0, se rapproce du nombre L (cela revent à remplacer par 0 en quelque sorte). utrement dt, lorsque se rapproce de, le coeffcent drecteur de la drote () se rapproce de. Donc la drote () se rapproce de la drote passant par et de coeffcent drecteur. Cette drote, que nous nommerons T (pusque nous ne pouvons la nommer par un autre pont), s appelle la tangente à C au pont d abscsse 1. 3 j x 4

3 III. Tangente Dans les stuatons que nous rencontrerons dans ce captre, le coeffcent drecteur de la drote moble () se rapproce d un nombre L. n dt alors que : - la foncton f est «dérvable» en a ; - le nombre L est le «nombre dérvé» de f en a. vec la noton de nombre dérvé, l est possble de donner une défnton précse de la tangente à la courbe en un pont. Du même coup, on obtent une nterprétaton concrète du nombre dérvé d une foncton en un réel. 1 ) Défnton n reprend les notatons du paragrape précédent avec la condton de dérvablté de la foncton f en a. n appelle tangente à C en la drote T passant par et de coeffcent drecteur L (nombre dérvé de f en a). ) Remarques L expresson «nombre dérvé» est à prendre d un bloc. C Cette défnton sera reprse dans le captre suvant. Il s agt donc d une défnton provsore et non de la défnton «offcelle» qu sera donnée plus tard. C est pourquo l faudrat mettre le mot défnton entre gullemets. T n notera que l on ne vot pas L apparaître sur le grapque. Dans le paragrape suvant, nous allons donner une nterprétaton «concrète» de L avec la noton de tangente. Les élèves dsent parfos à l oral «le dérvé de f en a». C est un abus qu l vaut meux ne pas s autorser. n dot dre «nombre dérvé» de f en a. Le réel L peut être postf, négatf ou nul. 3 ) Retour sur l exemple du I L étude que nous avons menée en 1 pour la foncton «carré» peut être adaptée en tout autre réel autre que 1. La foncton «carré» admet un nombre dérvé en tout réel. n obtendra caque fos un nombre dfférent. Très vte nous allons cercer des formules générales permettant d obtenr le nombre dérvé en n mporte quel réel. Cette deuxème remarque peut être nsérée dans nombre dérvé (1) ou nombre dérvé (). 4 ) btenton du nombre dérvé La noton de nombre dérvé sera précsée à la fn du captre et dans les captres ultéreurs. Dans le paragrape V, nous verrons dfférents moyens d obtenr le nombre dérvé. Dans le captre suvant, nous reprendrons la tecnque mse en œuvre dans l exemple du paragrape I. Cette défnton permet d établr une conséquence de la dérvablté d une foncton en un réel : la courbe possède une tangente non parallèle à l axe des ordonnées. ) Len entre nombre dérvé et coeffcent drecteur de la tangente Cette défnton sera reprse dans les captres suvants lorsque nous précserons la noton de nombre dérvé. n retendra cependant dès à présent le len fondamental très fort entre nombre dérvé et coeffcent drecteur qu résulte de la défnton. nombre dérvé de f en a = coeffcent drecteur de la tangente au pont d abscsse a Ce len très mportant sera constamment utlsé. 3 ) Quelques remarques S l on connaît la tangente, alors on connaît le nombre dérvé. S l on connaît le nombre dérvé, alors on peut tracer la tangente. 5 6

4 4 ) Tracé d une tangente connassant le nombre dérvé n se ramène à la constructon d une drote connassant un pont et son coeffcent drecteur n peut par alleurs noter que le tracé approxmatf de la tangente permet de connaître une valeur approcée du nombre dérvé. IV. Rapport de Newton Dans ce paragrape, nous allons nous placer dans une optque où l expresson de f est connue. Nous allons nous ntéresser de plus près au rapport de Newton qu aura un grand rôle pour détermner le nombre dérvé. 1 ) Défnton (un quotent mportant) Le quotent de f en a). ) Utlsaton f a f a est appelé le taux de varaton de f entre a et a (ou «rapport de Newton» Ce quotent aura une grande mportance dans les captres suvants. Il nous servra à détermner par le calcul (c est-à-dre à calculer) un nombre dérvé «à la man» comme nous l apprendrons dans le captre suvant. 3 ) Interprétaton géométrque Le rapport de Newton s nterprète asément dans le cadre géométrque. f a f a En effet, représente le coeffcent drecteur de la drote () où est le pont de C d abscsse a et le pont d abscsse a. 4 ) utres nterprétatons du rapport de Newton Ce rapport de Newton peut s nterpréter autrement dans d autres contextes avec des grandeurs (notamment la vtesse en pysque, comme nous le verrons plus tard). 5 ) Smplfcaton («évanoussement des») Dans le paragrape I avec la «foncton carré», on a constaté que les se smplfaent dans le quotent. Cette observaton se généralse. f a f a En pratque, pour des fonctons polynômes ou ratonnelles, le quotent peut être smplfé de sorte que le du dénomnateur dsparasse par smplfcaton. n dt alors que l on a obtenu la forme smplfée de ce quotent. C est à partr de cette forme que nous travallerons (vor exercces). n dsat au XVII e sècle que les «s évanoussent» (cela a beaucoup frappé les gens à l époque à tel pont qu ls ont employé ce terme et ont parlé de «quanttés évanescentes» à la sute de Lebnz ; Newton parlaent quant à lu de «quanttés fluentes»). 7 utre formulaton : f a f a Pour beaucoup de fonctons (polynômes ou ratonnelles en partculer), le quotent peut être smplfé (par les moyens algébrques ordnares : développements, factorsatons ) de sorte que le du dénomnateur dsparasse (le calcul peut être plus ou mons long et plus ou mons dffcle). n dt que les dsparassent mas l en reste quand même! 6 ) Calcul et smplfcaton d un rapport de Newton n travalle en lttéral. n dot respecter une organsaton rgoureuse des calculs. En pratque, on applque le prncpe de séparaton des calculs. f a f a n calcule séparément f a pus f a, pus enfn Comme nous venons de le dre, on observe un «évanoussement» des pour les fonctons algébrques étudées dans ce captre permettant d obtenr une expresson smplfée du rapport de Newton (c est-à-dre avec smplfcaton du au dénomnateur). L expresson smplfée se présente de manère plus ou mons complquée, l peut s agr d un quotent ou non. Dans les captres suvants, nous travallerons toujours à partr de la forme smplfée de ce rapport. V. btenton d un nombre dérvé 1 ) «À la man» Il s agt d un calcul à partr du rapport de Newton. Nous verrons ce calcul dans les captres suvants. ) À la calculatrce n peut tracer la courbe pus la tangente ou utlser drectement une commande spécale pour le nombre dérvé. n dot respecter la syntaxe. n va cercer le nombre dérvé de la foncton «carré» en 1 (qu est égal à ). - Pour les modèles TI : 1 ère métode : n tape mat pus 8. Selon les modèles, on obtent : nombredérvé(,, ) ou nderv(,, ) (TI 83-Plus) foncton varable nombre en lequel on cerce le nombre dérvé nombredérvé( X, X, 1) ou nderv( X, X, 1). 8

5 ou d d X avec des petts carrés en pontllés qu l faut compléter. X expresson de la foncton (avec X) un nombre réel d X X 1 d X Cette notaton provent de la notaton de Newton qu sera explquée plus tard (pour l nstant, ne pas cercer à comprendre). n écrt la lettre X en appuyant sur les touces alpa et sto. n peut utlser une autre lettre que X (Y, T ). Par exemple, nderv( Y, Y, 1). En effet, l s agt d une varable «muette» qu on peut remplacer par n mporte quelle autre lettre. En pysque, la varable est souvent le temps t ; nous le verrons plus tard dans le captre sur l applcaton de la dérvaton à la cnématque (vtesse et accélératon). e métode : n trace d abord la courbe représentatve de la foncton. n fat nde trace (calculs) pus on cost 6 : dy/dx. n appue sur entrer pus on rentre le nombre. - Pour les modèles Caso : En fasant PTN F4 (CLC) F (d/dx) d/dx ( x, x, 1) on obtent le nombre dérvé de la foncton «carré» en 1 (qu est égal à ). Remarques : Il faut sgnaler que le résultat obtenu n est pas toujours précs. La calculatrce donne en général une valeur approcée du nombre dérvé d une foncton en un réel. n peut fare le len avec le tracé de la tangente sur la calculatrce ( nde prgm ). Celle-c permet d obtenr l équaton rédute en bas de l écran. Le nombre dérvé est égal a coeffcent drecteur. C est donc un autre moyen d obtenr le nombre dérvé, qu nécesste cependant d avor tracé préalablement le courbe de la foncton. 3 ) Logcel de calcul formel 9 10

6 C f D Résumé du captre C f D C f T Extrat du lvre «Les mots et les mats» de Bernard Haucecorne page 69 Dérvée n peut dre qu l exste deux verbes dérver en franças. La confuson des deux a modfé leur sens respectfs et l n est pas toujours facle de savor lequel on emploe. L un vent du latn dervare. n y retrouve le préfxe de- et la racne rvus d où découle notre russeau et notre rve. Il sgnfe détourner un cours d eau. n a conservé ce sens dans le mot franças dérvaton. L autre est emprunté vers 1400 par le gascon à l anglas. Déformaton de to drve, l sgnfe passer devant so, condure. Il passe en franças au mleu du XVI e sècle. Par nfluence du premer mas auss du mot rve, l prend le sens d emporté par le vent ou par le courant. Il semble que la dérvée en matématques découle plutôt du premer. L ntroducton de ce terme sous tend l dée que la dérvée provent de la foncton elle-même. L accepton matématque du mot est ntrodute par Lebnz en L utlsaton du mot dérvaton et du verbe dérver sut peu après. Le vendred décembre 016 Nous avons parlé des «produts dérvés». Un élève a donné l exemple de peluces à l occason de la sorte d un flm. () est sécante à la courbe Coeffcent drecteur de () f a f a n est plus statque mas moble. () pvote autour de. Quand se rapproce de. La drote () tend à être tangente en à la courbe. n observera le jeu de cadre omnprésent dans ce captre : passage du cadre numérque-algébrque au cadre géométrque-grapque. Nombre dérvé d une foncton Le nombre dont se rapproce le coeffcent drecteur de la drote () quand se rapproce de. Défnton de la tangente drote passant par admettant pour coeffcent drecteur le nombre dérvé de f en a Len entre nombre dérvé d une foncton et coeffcent drecteur de la tangente Le nombre dérvé de f en a est le coeffcent drecteur de la tangente à la courbe de la foncton f au pont d abscsse a. Taux de varaton de f entre a et a (rapport de Newton) Ce rapport aura un rôle central dans les captres suvants. Ce rapport nous permettra de détermner un nombre dérvé par un calcul «à la man». btenton du nombre dérvé sur calculatrce ou sur logcel de calcul formel 11 1