Les relations métriques dans le cercle et les relations trigonométriques

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1 Les relations métriques dans le cercle et les relations trigonométriques RÉVISION Réactivation 1 a. 1) Le rayon d un grand cercle est de 1,5 cm. ) L aire d un anneau est de 61,5π cm. b. 1) La longueur de AB 44 sur l anneau bleu est de π cm. ) La longueur de BC est de 0,75π cm. 9 c. DE sur l anneau noir mesure 56. d. Les angles au centre FO G et FO 5 G sont isométriques. Page 146 Réactivation Page 147 a. 1) ) ) AFFIRMATION FAB EAC Angle commun. m AF 0,5m AE Le point F est le point milieu du segment AE. m AB 0,5m AC Le point B est le point milieu du segment AC. ABF ACE Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables (CAC). AFFIRMATION BCD ACE Angle commun. m BC 0,5m AC Le point B est le point milieu du segment AC. m CD 0,5m CE Le point D est le point milieu du segment CE. BCD ACE Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables (CAC). AFFIRMATION FED AEC Angle commun. m EF 0,5m AE Le point F est le point milieu du segment AE. m ED 0,5m EC Le point D est le point milieu du segment EC. FDE ACE Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables (CAC). b. 1) Les angles homologues sont isométriques. ) Les mesures des côtés homologues sont proportionnelles. c. 0,5 ou. d. Puisque les triangles ABF, BCD et FDE sont semblables au triangle ACE, ces trois triangles sont nécessairement semblables entre eux. Leurs angles homologues sont donc isométriques. AFFIRMATION AF FE ABF FDE Le point F est le point milieu du segment AE. Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques sont isométriques (ACA). 66 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

2 AFFIRMATION AB BC ABF BCD AFFIRMATION ED DC FDE BCD Le point B est le point milieu du segment AC. Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques sont isométriques (ACA). Le point D est le point milieu du segment EC. Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques sont isométriques (ACA). e. 1) Les angles homologues sont isométriques. ) Les côtés homologues sont isométriques. f. 1) m EC ) m AE ) m BC g. 10 cm Mise à jour 1. a) 6,8π cm b),6π cm c) 50π cm. a) 80 b) 0 c) 10. a) 10 m ABC 145 m ABC 70 m ABC b) c) 60 π 4, 60 π, 60 π, m ABC 0 π cm m ABC 45 π cm m ABC 90 π cm 0 m ABC 15 m ABC 114 m ABC d) e) f) 60 4, 60 π 7 60 π π 11 m ABC 90 cm m ABC 15,7 cm m ABC 6,5 cm Page 151 Mise à jour (suite) Page a) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA). b) Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables (CAC). c) Deux triangles dont les mesures des côtés homologues sont proportionnelles sont semblables (CCC). d) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).,1,8,,8 5, y 5. a) b) c) d) x 6,,8 x x 5 y,8 4,4 x,5 4, 5,4 x,7 cm x,8 cm x,0 cm x 4 cm,7 y,1 y y,78 cm y 1,5 cm 4, 5,4 6, y,4 y 4,1 cm y,4 cm Mise à jour (suite) Page a) 1) AFFIRMATION ADE CBF DEA BFC DAE BCF AD BC ADE BCF Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques. Angle droit. m DAE 90 m ADE m BCF 90 m CBF et m ADE m CBF. Les côtés opposés d un parallélogramme sont isométriques. Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques sont isométriques (ACA). 010, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol. 1 67

3 ) AFFIRMATION ABE CDF AEB CFD DCF BAE AB CD ABE CDF Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques. Angle droit. m DCF 90 m CDF m BAE 90 m ABE et m ABE m CDF. Les côtés opposés d un parallélogramme sont isométriques. Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques sont isométriques (ACA). b) Non, car la diagonale d un parallélogramme n est pas la bissectrice des angles qu elle partage. Donc, m ADE m CDF. 7. a) 1) 10 ) 60 ) 10 b) AFFIRMATION DOC AOB Les angles opposés par le sommet sont isométriques. 8. AGF HFE (m HF) 6,4 8,4 m HF 5,6 m m GF m AF m HF m EF 6,4 5,6 OAB OCD OC OA ABO CDO m AF 6,4 Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques. Les rayons d un même cercle sont isométriques. Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques sont isométriques (ACA). m AF 6,9 m m AF m HF 6,9 5,6 1,1 m Non, car m AH 1,1 m et le diamètre de la trappe d aération est de 1,6 m. Mise à jour (suite) Page 154 5π 9. a) L arc intercepté mesure 0. b) La longueur de l arc intercepté est de cm L aire du carré qui correspond au fond de cette boîte est de 900 cm. 11. a) La mesure d un des deux arcs de cercle est de 60. b) L aire de l hélice est environ de 978, cm. Mise à jour (suite) Page a) 1) ) AFFIRMATION ACD EAB ADC BEA ACD ABE AFFIRMATION EAB EBC AEB BEC ABE BCE Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques. Angle droit. Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA). Les angles EAB et ABE sont complémentaires. Les angles ABE et EBC sont complémentaires. Donc, les angles EAB et EBC sont isométriques. Angle droit. Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA). 68 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

4 b) (m AC) m AC 75 cm 45 m EC 45 m EB 1) m BC 45 cm m EC 7 cm m EB 6 cm 60 m AE 60 m EB ) m AB 60 cm m AE 48 cm m EB 6 cm 1. Soit a, l altitude de l hélicoptère. 60 a a 180 a a 10,9 m L altitude de l hélicoptère est environ de 10,9 m πr πr πr πr πr ( ) πr r 1,89 m Les cercles qui ont servi à la conception de cette glissade ont tous un rayon d environ 1,89 m. 7 x 7 y 15. Longueur de la bordure extérieure : Longueur de la bordure intérieure : 60 π 5 60 π 0 x 4,98 m y 5,1 m Longueur de la bordure latérale : m 4,98 5, ,5 m La longueur de la bordure de ciment est environ de 97,5 m. section.1 Les relations mettant à profit des arcs, des angles et un cercle Problème La mesure du rayon du cercle qui supporte l arc BC est environ de 1,96 m. Page 156 Activité 1 4 a. 1) ) 4 b. Les pentes sont opposées et inverses. c. Si une droite est tangente à un cercle, alors elle est perpendiculaire à un rayon en son extrémité. Page 157 Activité 1 (suite) d. AFFIRMATION OE OE Côté commun. OB OD Les rayons d un même cercle sont isométriques. BE DE Par la relation de Pythagore : OB OE BE (m ) (m ) (m ) et (m ) (m ) (m ). Puisque OB OD, alors BE DE. OD OE DE Page , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol. 1 69

5 e. Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC). f. 1) Les angles BOE et DOE sont isométriques, alors les arcs BC et DC sont isométriques. ) Puisque AC est un diamètre, m ABC m ADC 180 ; Puisque m AOB 180 m BOE et m AOD 180 m DOE et que m BOE m DOE, les angles AOB et AOD sont isométriques. Les arcs AB et AD sont isométriques. g. 1) Les deux parties de la corde sont égales. ) Les deux parties de l arc sont égales. ) Les deux parties de l arc sont égales. h. Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC). i. Les hauteurs homologues de deux triangles isométriques sont isométriques. j. La distance qui sépare le centre d un cercle de chacune des cordes isométriques de ce cercle est toujours la même. k. Plusieurs réponses possibles. Exemple : AFFIRMATION OE OE Côté commun. OA OB Les rayons d un même cercle sont isométriques. AE EB Par la relation de Pythagore : OA OE AE OB OE Puisque OA OB, alors AE EB. AEO BEO (m ) (m ) (m ) et (m ) (m ) (m ). Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC). AFFIRMATION OF OF Côté commun. OC OD Les rayons d un même cercle sont isométriques. DF CF Par la relation de Pythagore : OC OF CF OD OF Puisque OC OD, alors DF CF. DOF COF AFFIRMATION OA OB OC OD (m ) (m ) (m ) et (m ) (m ) (m ). Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC). Les rayons d un même cercle sont isométriques. Les rayons d un même cercle sont isométriques. AOD BOC m AOE m AOD m DOF 180 m BOE m BOC m COF 180 Puisque AOE BOE et DOF COF, alors AOD BOC. AOD BOC Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC). l. Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues isométriques sont isométriques (CAC). m. Deux angles au centre isométriques interceptent deux arcs isométriques. n. Les mesures des arcs interceptés par deux droites parallèles sécantes à un cercle sont les mêmes. EB DF Activité a. 1) L angle. ) L angle 1. ) L angle. b. m 1 67,5, m,5 et m 45. c. 1) 15 ) La somme des mesures des arcs BH et DG est le double de celle de l angle 1. d. 1) 45 ) La mesure de l arc BC est le double de celle de l angle. Page Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

6 e. 1) 90 ) La différence des mesures des arcs DH et EG est le double de celle de l angle. f. 1) La mesure d un angle dont le sommet est situé sur un cercle correspond à la moitié de la mesure de l arc compris entre ses côtés. ) La mesure d un angle dont le sommet est situé entre un cercle et son centre correspond à la demi-somme des mesures des arcs compris entre ses côtés prolongés. ) La mesure d un angle dont le sommet est situé à l extérieur d un cercle correspond à la demi-différence des mesures des arcs compris entre ses côtés. Technomath a. 1) Écran 1 :m AB 7 Écran :m AB 170 ) Dans chaque cas, la mesure de l arc AB correspond au double de la mesure des angles ACB et ADB. b. La somme des mesures, en degrés, des arcs AC et DE correspond au double de la mesure de l angle ABC. c. La différence des mesures, en degrés, des arcs AC et DE correspond au double de la mesure de l angle ABC. d. 1) 84,5 ) 4 Page 160 Mise au point.1 Page a) Deux parallèles sécantes ou tangentes à un cercle interceptent sur le cercle deux arcs isométriques. b) Dans un même cercle ou dans deux cercles isométriques, deux cordes isométriques sont situées à la même distance du centre, et réciproquement. c) Toute perpendiculaire à l extrémité d un rayon est tangente au cercle et réciproquement. d) Tout diamètre perpendiculaire à une corde partage cette corde et chacun des arcs qu elle sous-tend en deux parties isométriques. e) Un angle inscrit a pour mesure la moitié de celle de l arc compris entre ses côtés. f) L angle dont le sommet est situé entre un cercle et son centre a pour mesure la demi-somme des mesures des arcs compris entre ses côtés prolongés. x 90 x 0,8 171 x. a) 10 b) 41,6 c) 60 x 150 x 5,4 x x (60 x ) d) x e) x f) 5 x 10 x 40 x Mise au point.1 (suite). a) x y x 16 y y y 60 x x b) y 145 x 110 c) m FD 0 60 y m BD 54 m BD 7 x d) m DAC m DB 9 58 y x x a) 4 tangentes. b) tangentes. c) tangentes. Page , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol. 1 71

7 5. a) 1) Figures 1, et : 180. ) Figures 1, et : 90. b) Un triangle inscrit dans un cercle dont le diamètre forme l un des côtés du triangle est un triangle rectangle. Mise au point.1 (suite) Page C Contre exemple : A B F E O C D BC et AD ne sont pas parallèles. 7. a) 8 cm b) 4π cm c) 90 d) 4 cm 8. a) cm b) 0,4 mm c) dm d) 4,5 cm Mise au point.1 (suite) 9. a), cm b) 4,5 cm c) 10 cm d) 6,7 cm e) cm f) 5,0 cm 10. a) 1) 90 ) 7 ) 67,5 b) 1) 1,1 cm ) 0,47 cm ) 1,45 cm c) a) 9,71 cm b) a) πr 57, b) 60 c) cm π Mise au point.1 (suite) Mesure de l angle dans le petit cercle : Mesure de l angle dans le grand cercle : 6 m AB m CD m AB 48 m CD C πr 1,6π πr r 0,8 m x cos 5 0,8 x 1,45 m y cos 0 0,8 y 1,5 m Page 166 Page Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

8 15. A C B D O 60 m OC 8 cm m OD cm m AOC 0 m AO m BO cos 0 cos 0 m OC m OD m AO m BO cos 0 cos 0 8 m AO 6,9 cm m BO,6 cm 6,9,6 4, cm La distance entre les deux segments en pointillé est environ de 4, cm. 16. La distance entre le centre O de cette douille et le segment qui relie les centres de deux boulons consécutifs est environ de 4,45 cm. Mise au point.1 (suite) 17. Soit r, le rayon du cercle. (r 1) (r 1,4) r 1 r r 1 r r,8r 1,96 r 0,5 4 r 0 1,8r 1,1 4 1,8 1,448 r 0,5 r 6,45 mm et r 0,75 mm (à rejeter). a) (6,45 1) 10,9 mm La distance entre les sommets A et D est environ de 10,9 mm. b) (6,45 1,4) 10,1 mm La distance entre les segments AB et DE est environ de 10,1 mm. 18. La mesure du segment AC est environ de 14 7,89 km. 19. a) Largeur extérieure du dôme : 80 (5,5 50) 85 m 85 4,5 m 5,5 4,5 x x 0,8 m 5,5 0,8 1,68 m 50 1,68 71,68 m La hauteur totale du stade est environ de 71,68 m. b) 80 (5,5 50) 85 m La largeur extérieure du dôme est de 85 m. 40 c) sin BAC 50 m BAC 5,1 La mesure de l angle BAC est environ de 5,1. Page , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol. 1 7

9 section. Les relations mettant à profit un point et un cercle Problème Longueur de la route 1 à :, x 1,6 5,8 x 4 km, 4 6, km Longueur de la route à 4 : 1,6 5,8 7,4 km Longueur de la route 4 à : m m m A ,8 4 y y 7,05 km Longueur totale : 6, 7,4 7,05 0,77 km Coût total : 0, ,87 $ Le coût total de la construction des routes de ce parc est environ de ,87 $. Page 169 Activité 1 Page 170 a. 1) Les segments OA et OB sont des rayons d un même cercle et tous les rayons d un même cercle sont isométriques. ) Ce sont des angles droits, car toute tangente d un cercle est perpendiculaire à un rayon en son extrémité. ) Par la relation de Pythagore, (m OP) (m OA) (m PA) et (m OP) (m OB) (m PB). Puisque OA OB, alors PA PB. b. Deux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC). c. 1) Le segment PO est la bissectrice de l angle APB. ) Les mesures des segments tangents l un à l autre sont les mêmes. d. 1) Deux angles inscrits dont les côtés interceptent un même arc sont isométriques. ) Deux angles inscrits dont les côtés interceptent un même arc sont isométriques. e. Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA). m AE m DE f. m BE m CE g. Le produit des mesures des segments de l une des cordes est égal au produit des mesures des segments de l autre. Activité 1 (suite) Page 171 h. 1) Deux angles inscrits dont les côtés interceptent un même arc sont isométriques. ) Il s agit d un angle commun. i. Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA). m PA m PC j. m PD m PB k. Le produit de la mesure d un segment sécant par celle de sa partie extérieure est égal au produit de la mesure de l autre segment sécant par celle de sa partie extérieure. l. 1) Deux angles inscrits dont les côtés interceptent un même arc sont isométriques. ) Il s agit d un angle commun. m. Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA). m PA n. m PC m PC m PB 74 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

10 o. Le produit de la mesure du segment sécant par celle de sa partie extérieure est égal au carré de la mesure du segment tangent. Technomath a. 1) Écran 1 :m AE m CE 1,96 cm Écran :m AE m CE 7,56 cm ) Écran 1 :m BE m DE 1,96 cm Écran :m BE m DE 7,56 cm b. Les produits des mesures des segments de chacune des cordes sont égaux. c. 1) Écran :m PB m PA 60 cm Écran 4 :m PB m PA 60 cm ) Écran :m PC m PD 91 cm Écran 4 :m PC m PD 91 cm d. Les produits de la mesure de chacun des segments sécants par celle de leur partie extérieure sont égaux. e. 1) Oui, la conjecture émise en d s applique. ) Oui, la conjecture émise en b s applique. Page 17 Mise au point. 1. a) 0,9 cm b),1 cm c),5 cm d) 7,7 cm e) 4,78 cm f) 0,8 cm. a) bc bc c(c d ) b) c) b d d b c c d) b b e) c f) cd b b c b Page 175 Mise au point. (suite) Page 176. a), cm b) 7 cm c),98 cm d),47 cm e) 4,55 cm f) 4,41 cm 4. a) x ( 7) x 5,48 cm b) (x 1)(x ) 6x x x 6x x x 0 1 x x 1 cm et x cm. c) ( x) ( x) 9 x 4 4x x 5 cm y,5(,5 5) y 5,59 cm d) x y x ( y) y 6 cm y y x 6 4 y x 4y 6 18y x 4 cm 4y 18y y 8 y 6 cm et y 1,5 cm (à rejeter). f) x (x )(x x ) x (x )(x 1) x x x 0 x x 17 x x,56 cm et x 0,56 cm (à rejeter). e) (x )(x 6) x(x 1) x 4x 1 x x x 1 x 4 cm 010, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol. 1 75

11 Mise au point. (suite) 5. a) Soit x, la distance entre le point B et le cercle. 6 7 (x 6) 6 49 x 1x 6 0 x 1x x x, cm et x 15, cm (à rejeter). 6. 7,9 cm 7. a) 6 cm b) 8 cm 8. 1,7 cm 7 b) tan AOB 6 m AOB 49,4 m AOC 49,4 98,8 m AC 98,8 Page 177 Mise au point. (suite) 9. a) 4,7 cm b) 4,47 cm c) 7,07 cm 10. Soit r, le rayon du cercle. 8 r 4 cm Soit x, le rayon de la surface engendrée par la rotation. 4 5 x x 41 Mesure de la surface : π 41 41π cm La mesure de la surface engendrée par la rotation de ce couteau est de 41π cm. 11. Terre 177 km Lune A y x z x B km Page y x(x 177) z ( x)( x 677) y x 474x z ( x)( x) Les deux triangles sont semblables x x x x 8114x x ,9 km y ,9 474(79 611,9) y 81 9,74 km z ( ,9)( ,9) z 98 58,6 km m AB y z, soit 79 91,6 km. La longueur du segment AB est environ de 79 91,6 km. 76 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

12 Mise au point. (suite) 1. Le diamètre de la roue est environ de 100,6 cm. 1. (x )x (x ) x x x 4 x 5x x x 4 dm et x 1 dm (à rejeter). Soit r, le rayon du cercle. 5 r r r r cos 14 5 r r cos 14 5 r (1 cos 14 ) r,64 dm Le diamètre du cercle est environ de 5,9 dm. 14. Le point le plus éloigné de la Terre que les astronautes peuvent observer se trouve à environ 180,05 km. 15. Non, car m HI m IE m FI m ID. Page 179 Mise au point. (suite) 16. a) Non. b) Oui. 17. a) La longueur totale de la lampe de poche est environ de 1,9 cm. b) La mesure associée à x est environ de 5,5 cm. 18. La longueur de la planche de bois est environ de 67,9 cm. Page 180 section. La loi des sinus et la loi des cosinus Problème La distance qui sépare le point A du point B est environ de 17,69 m. Page 181 Activité 1 a. L observation de Michèle est exacte car, dans le triangle ABC, 8,5 cm, 6 cm et 5 1, cm, et dans le triangle DEF, 107,5 cm, 41 1,6 cm et 7 1, cm. b. Ces égalités sont fausses (la propriété fondamentale des proportions n est pas respectée). c. Non, car les deux exemples mentionnés infirment cette conjecture. Page 18 Activité 1 (suite) Page 18 d. L observation de Félix-Olivier est exacte, car dans le triangle ABC, sin 8 0,99, sin 6 0,88 et sin 5 0,57 et dans le triangle DEF, sin 107 0,96, sin 41 0,66 et sin 0,5. e. Ces égalités sont vraies (la propriété fondamentale des proportions est respectée). f. Oui, car les deux exemples mentionnés vont dans le sens de la conjecture. g. 1) 0,6 et 0,6. ) 0,5 et 0,17. ) 0,71 et 0,71. 4) 0,87 et 0,87. 5) 1,00 et 0,94. h. 1) Non, car les résultats précédents montrent qu il y a plusieurs angles dont le sinus est inférieur ou égal à celui d un angle de plus petite mesure. 010, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol. 1 77

13 ) Oui, car les résultats précédents ne contiennent aucun contre-exemple qui infirmerait l observation de John. Activité Page 184 a. 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : sin 10 cos 10 1 sin 0 cos 0 1 sin 45 cos 45 1 sin 60 cos 60 1 sin 90 cos 90 1 ) La valeur de l expression sin x cos x est toujours égale à 1. m h n b. 1) cos B m a cos B ) sin A b h sin A ) cos A b n cos A a b b c. Pour passer de l étape 1 à l étape, substituer c n à m. Pour passer de l étape à l étape, substituer b sin A à h et b cos A à n. Pour passer de l étape à l étape 4, élever au carré chacune des expressions entre parenthèses. Pour passer de l étape 4 à l étape 5, effectuer une mise en évidence simple de b. Pour passer de l étape 5 à l étape 6, substituer 1 à l expression sin x cos x. d. Il faut connaître soit les valeurs des trois côtés d un triangle, ou la valeur d un des angles ainsi que les valeurs des côtés qui forment cet angle. a e. 1) A arc cos b c b c ) B arc cos a c ) C arc cos a b bc ac ab Technomath Page 185 a. 1) Rapport Valeur du rapport d après l écran Valeur du rapport d après l écran 4 m AC sin B m AB sin C m BC sin A 5,77 5,5 5,77 5,51 5,77 5,51 ) Les rapports de la mesure de chacun des côtés d un triangle au sinus de l angle opposé à chacun de ces côtés sont égaux. b. 1) Oui. La conjecture s applique. ) Oui. La conjecture s applique. Mise au point. 1. a) 7,9 b) 15,5 c) 5,7 d) 4,84 e) 108,1 f) 11,77. a) 5,1 b) 11,8 c) 108,1 d),61 cm e) 6,66 cm f) 95,0 Page 187 Mise au point. (suite) 5,6 4,8 7,8. a) P 9,1 cm A 9,1(9,1 5,6)(9,1 4,8)(9,1 7,8) 1,4 cm 4,45,5 b) sin 6 sin x x 7, , ,1 4,45,5 sin 90,1 A 5, cm Page Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

14 10 18,6 c) d) sin sin x 0 4 sin 46 x 44,17 A ,17 15,8 66,86 m ,8, ,6 sin,17 A 5,09 cm 4. a) 1) Vraie. ) Fausse. ) Vraie. 4) Vraie. b) 1) Le sinus d un angle et celui de son supplément sont égaux. ) Le cosinus d un angle et celui de son supplément sont opposés. ) La tangente d un angle et celle de son supplément sont opposées. 1 1 sin A triangle 70,91 cm (m AC) cos 80 m AC 15,4 cm 15,4 7,71 cm r tan 5 7,71 r,6 cm A disque π,6 40,64 cm L aire de la région bleue est 70,91 40,64 0,7 cm. Mise au point. (suite) 6. a) m EFD m JDC (les angles sont alternes-internes et EG DC) m EFD m FED Donc, ce sont tous des triangles isocèles. 60 m AGE 7 (la somme des angles extérieurs d un polygone convexe est égale à 60 ) 5 10 m JD sin 7 sin 6 m JD 6,18 cm 10 6,18,8 cm 60 b) m AGE 7 5 m EAG m AG 6 m EG sin 7 sin 46 sin 7 sin 6 m AG 19,67 cm m EG 4,14 cm 4,14 19,67 4,47 cm Page , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol. 1 79

15 7. a) A b) A 6 cm B 70 4 cm 4,5 cm x 50 D x 55 y B D (x 80) 10 C 5 x x x 60 C x 10 x sin 55 (m AC) 6 4,5 6 4,5 cos 50 4 x,8 cm m AC 4,64 cm y cos 55 (m BD) 6 4,5 6 4,5 cos 10 4 y,9 cm m BD 9,54 cm m AC,8, soit 6,55 cm. m DB,9, soit 4,59 cm. 8. (x ) x (x 4) x (x 4) cos 60 x 6x 9 x x 8x 16 (x cos 60 8x cos 60 ) x 6x 9 x 8x 16 x 4x x 6x 9 x 4x 16 x 7 x,5 cm Mise au point. (suite) 9. a) m B ,5 46,5 Puisque ABC est isocèle, m BC m AC 91,44 m. (m AB) 91,44 91,44 91,44 91,44 cos 87 m AB 15,89 m Les murs originaux du fort mesurent respectivement 91,44 m, 91,44 m et environ 15,89 m. 91,44 91,44 sin 87 b) A 4174,91 m La superficie initiale du fort est environ de 4174,91 m. 10. a) La mesure de cet angle d élévation est environ de 4,75. b) L alpiniste se trouve à environ 14,67 m du sommet. 11. a) 1) L angle d inclinaison de la benne est environ de 9,74. ) La longueur de la partie hydraulique mobile est environ de 0,94 m. b) La longueur de la benne est environ de,4 m. Page 190 Mise au point. (suite) 1. x 95,84 95,84 95,84 95,84 cos 104,5 x 151,56 pm La distance entre les centres des deux atomes d hydrogène est environ de 151,56 pm. 1. a) La distance est environ de 0,7 m. b) La distance est environ de 1,5 m. Page Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

16 Mise au point. (suite) Page a) 1) Avion 1 : 900 0,5 450 km Avion : ,5 6,5 km Distance : 450 6, ,5 cos 55 68,64 km ) Avion 1 : 900 0, km Avion : ,5 55 km Distance : cos ,85 km b) 1) Avion 1 : km Avion : ,75 787,5 km Distance : , ,5 cos ,56 km Mesure de l angle : 785,56 787,5 x 55, sin 55 sin x L angle formé par la trajectoire de vol de l avion 1 et le segment qui relie l avion 1 à l avion mesure environ 55,. ) Avion 1 : 900 1, km Avion : , km Distance : cos ,51 km Mesure de l angle : 1454, x 6,5 sin 55 sin x L angle formé par la trajectoire de vol de l avion 1 et le segment qui relie l avion 1 à l avion mesure environ 6,5. c) 1) Avion 1 : km Avion : 1050,75 887,5 km Distance : , ,5 cos ,8 km La distance entre les deux villes est environ de 585,8 km. ) Mesures des angles : 585,8 700 x 58,81 sin 55 sin x 585,8 887,5 y 66,19 sin 55 sin y Les angles mesurent respectivement 55, environ 58,81 et environ 66, a) 1) Le segment qui relie le centre de la poulie 1 au centre de la poulie mesure 405 cm. ) L angle formé par les segments qui relient le centre de la poulie 1 au centre de la poulie 4 ainsi que le centre de la poulie 4 au centre de la poulie mesure environ 9,74. b) Les mesures trouvées en a) deviennent respectivement cm et environ 0. Mise au point. (suite) 16. La distance qui sépare les yeux de cette personne de la pièce de monnaie est environ de 4,0 m. Page , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol. 1 81

17 a) sin 50 sin CAB m CAB 7, ,1 50 9,79 8 m AC sin 50 sin 9,79 m AC 49,55 m 18. m AD m m ADE tan ,87 m BD 40 5, 66,6 m m BDC tan , 6, ,87 6,87 46,6 (m AB) 50 66, ,6 cos 46,6 m AB 48, m L actuelle propriétaire a tort, car le côté AB de ce terrain mesure environ 48, m. b) 49, cos ADC m ADC 54,05 49,55 60 sin 54,05 sin DAC m DAC 78,6 m ACD ,6 54,05 47, RUBRIQUES PARTICULIÈRES Chronique du passé 1. a) 1) 90 ) 90 ) 90 b) La mesure d un angle inscrit dont les côtés interceptent un diamètre est toujours égale à 90.. a) m AE m CE m BE m DE b),5 cm. a) a b c. La loi d al-kashi correspond à la relation de Pythagore. b) m A 49,11 ; m B 70,89 ; m BC 1 cm, soit 1,75 cm. c) m BAC 44,4, m ABC 57, 1 et m BCA 78,46. Page 195 Le monde du travail 1. La mesure du rayon du cercle qui supporte l arc AB est environ de 68,17 m.. a) La mesure de chacun des cylindres hydrauliques est environ de,8 m. b) 1) La mesure de l angle formé par les deux cylindres est environ de 9,. ) L inclinaison par rapport au sol du segment qui relie les points d attache 1 et est environ de 6,4. Page 197 Vue d ensemble 1. a),75 cm b) 0,4 cm c) 0,58 cm d) 4,91 cm e),7 cm f) 7,98 cm. a) x 8 et y 41. b) x 47 et y 7,5. c) x 84 et y 17. d) x 4 et y 14. e) x 6 et y. f) x 40 et y 14. Page Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

18 Vue d ensemble (suite) Page 199. a) x 4,4, b),5(,5 5,5),6(,6 x) c) 6 ( x x) x 4,84 cm x 5,15 cm 6 ( x) x 4,5 cm d) x(x x) ( 7) e) 5 m HC f),6 (,6 4,) ( d) x(x) 9 10 m HC cm d 6,6 cm x 18 x cm 4,5 4,5 10 x,4 (,4 6,6) 5(5 x) x 5,76 cm x 4,75 cm 4. a) x 68,46 et y, cm. b) x 4,7 cm et y,09 cm. c) x 10,6 et y, cm. d) x,1 cm et y 4,04. e) x 76,5 et y 6,06. f) x 8,96 et y 104,48. Vue d ensemble (suite) 5. a) 1 : 76,74, : 19,91 et : 15,5. b) 1 : 11,7, : 15,17 et : 11, a),46 cm b),6 cm c),51 cm 7. a) 105 b) 15 c) 75 d) 0 8. a) 66 b) 74 c) 16 d) 94 Page 00 Vue d ensemble (suite) Page a) m DFE 65, m DEF 57,5 et m FDE 57,5. b) m DFE 6,5, m DEF 68 et m FDE 49, a) 7,15 cm b) 6,1 cm c) 4,1 cm d) 8,15 cm ,75 Vue d ensemble (suite) 1. a) 106,6 b) 77,88 1. L angle formé par l arbre et le flanc de la montagne est de h sin 49 sin 59 h 17,04 m La hauteur de cet arbre est environ de 17,04 m. 14. a) r r r r cos 0 9 r (1 cos 0 ) r 5,8 cm b) 0,5 5,8 5,8 5,8 5,8 cos θ θ 4, ,94 85,06 x sin 85,06 5,8 x 5,77 cm b 5,77 11,55 cm c) 4,94 Page 0 010, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol. 1 8

19 a) Longueur de l arc rouge : 4,5,4 1,7 cm 1,7 sin 4,5 r r cm 69 L 60 π L,61 cm La longueur de l arc rouge est environ de,61 cm. 6,5 La longueur de l arc bleu est environ de,49 cm b) Longueur de l arc rouge : sin Longueur de l arc bleu : sin r r r 5,16 cm r,6 cm 78 L 17 L 60 π 5,16 60 π,6 L 7,0 cm L 8,05 cm La longueur de l arc rouge est environ de 7,0 cm. La longueur de l arc bleu est environ de 8,05 cm., 45 1,7 Longueur de l arc bleu : sin r r 4,44 cm 45 L 60 π 4,44 L,49 cm 7 51 c) Longueur de l arc rouge : sin Longueur de l arc bleu : sin r r r,47 cm r,56 cm 7 L 51 L 60 π,47 60 π,56 L,4 cm L,7 cm La longueur de l arc rouge est environ de,4 cm. La longueur de l arc bleu est environ de,7 cm. 6,5, Vue d ensemble (suite) Page x x 4 10 y 60 x y x y 76 x Si y : Si y x : x x 76 x x 76 4x x 55 x 76 5x 55 x 9 x 110,4 Donc, y ,4 Donc, y 55,. m 1 55, ,6 m 1 56 Les mesures possibles de l angle 1 sont de 7,6 à a) cos DEB m DEB 6,8 La mesure minimale de l angle DEB est environ de 6,8. b) La plus grande longueur de pagaie que ce kayakiste peut utiliser est associée à la mesure de DE, lorsque le triangle DEB est rectangle en D car dans ce cas, la mesure de DB est minimale. On a donc m DB 150 sin 45, soit environ 106,07 cm, cette mesure est supérieure à la distance minimale sécuritaire. On en conclut que n importe quelle longueur de pagaie conviendra, car la distance entre le kayakiste et l extrémité de l autre kayakiste sera toujours supérieure à 75 cm, peu importe la longueur de la pagaie utilisée. 84 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

20 18. m ABG (les angles sont alternes-internes et AH BG) a) 1) (m BH) 1,5,5 1,5,5 cos 95 m BH,8 m,8 1,5 sin 95 sin ABH m ABH 19,04 m HBG 85 19,04, soit 65,96. (m HG),8 1,75,8 1,75 cos 65,96 m HG,49 m ) (m BF) 4,5 4,5 cos 85 m BF 4,415 m 4,415,5 sin 85 sin CBF m CBF 0,5 m FBG 95 0,5, soit 64,5. (m GF) 4,4 1,75 4,4 1,75 cos 64,5 m GF,99 m ) (m CE) cos 85 m CE 4,055 m 4,055 sin 85 sin DCE m DCE 47,5 m ECF 95 47,5 47,5 (m FE) 4,055,5 4,055,5 cos 47,5 m FE,0 m b) 1),8,49 1,75,49 1,75 cos BGH m BGH 86,8 ) 4,4,99,5,99,5 cos CFG m CFG 87,8 ) 4,05,0,0 cos DEF m DEF 80,7 Vue d ensemble (suite) 75 m BE 11,4 m BF 19. a) sin 5 sin 60 sin 40 sin 115 m BE 11,4 m m BF 159,66 m La distance entre les balises B et F est environ de 159,66 m. h 11,4 74,71 b) BDE : sin 85 A BDE, soit 40,4 m. 75 h 74,71 m 75 m BD BCD : sin 5 sin 85 m BD 10,6 m m CB sin 5 10,6 m CB 55,05 m m CD cos 5 10,6 118,06 55,05 m CD 118,06 m A BCD, soit 49,48 m. Page , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol. 1 85

21 h 159,66 47,86 BEF : sin 5 A BEF, soit 80,45 m. 11,4 h 47,86 m 159,66 m BG h 87,01 16,86 BFG : sin 59 A BFG, soit 5954,09 m. sin 88 sin 159,66 m BG 87,01 m h 16,86 m 87,01 m BA h 111,5 5,9 ABG : sin 4 A ABG, soit 1970,4 m. sin 48 sin ,01 m BA 111,5 m h 5,9 m Aire totale 40,4 49,48 80, , ,4, soit environ 19 4,7 m. L aire totale de ce terrain est environ de 19 4,7 m.,5 6,5 sin A ABD, soit 7,6 m. (m BD),5 6,5,5 6,5 cos 65 m BD 5,896 m 5,896 7 sin 50 sin DBC m DBC 114,57 m BDC ,57 50, soit 15,4. 5,896 7 sin 15,4 A BDC, soit 5,49 m. A ABCD 7,6 5,49, soit 1,85 m. V 1, ,5 m Le volume de minerai que le camion peut transporter est environ de 64,5 m tan 5 x x 1171,9 m 1500 tan 45 y y 1500 m Distance parcourue ,9, soit 671,9 m 671,9 m,6719 km min 0,05 h,6719 5,44 km/h 0,05 d,6719 Donc, v, soit 5,44 km/h. t 0,05 La montgolfière se déplace à une vitesse d environ 5,44 km/h.. a) m OD 6,6 5, soit 8,8 m. m ED 8,8, soit 7,7 m. 5 tan FOD 6,6 m FOD 7,15 7,7 tan DOE m DOE 68,76 m AOE 180 7,15 68,76, soit 74,09. m AE tan 74,09 m AE 10,5 m m AD 10,5 7,7, soit 18,5 m. La distance qui sépare le lampadaire d un des coins de la maison est environ de 18,5 m. 86 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

22 b) (90 74,09) 1,8 La mesure associée à x est environ de 1,8. Vue d ensemble (suite) sin 45 sin x x 6,11 y sin 6,11 4 y,54 m m AB,54 7,07 m La distance qui sépare le point A du point B est environ de 7,07 m. 60 x 4. a) 1) 40 ) sin x sin 0 x 5,98 m 0 x 10,6 m d(, 4 ) 5,98 51,96 m d( 1, ) 10,6 0,5 m La distance entre les monuments et est environ de 51,96 m. La distance entre les monuments 1 et est environ de 0,5 m b) 1) 40 ) 0 L angle d observation mesure 40. L angle d observation mesure 0. 0,5 d(a, ) x c) sin 40 sin 40 sin 60 0 d(a, ) 7,65 m x 19,8 m d( 1, 4 ) 8,57 m 8,57 d(b, 1 ) 0,5 111,05 11,57 m sin 0 sin100 d(b, 1 ) 111,05 m (m AB) 7,65 11,57 7,65 11,57 cos 80 m AB 19,66 m La distance qui sépare les deux personnes est environ de 19,66 m. 4 Page 05 Banque de problèmes 1. Le prolongement du segment qui mesure 55 m passe par le centre du cercle qui supporte l arc AB. Déterminer la hauteur à partir de ce segment ,9 m Déterminer la hauteur entre le sol et le segment de 55 m , m La hauteur de cet hôtel est environ de 19,15 m.. Déterminer la distance x entre les centres de la roue de rayon 0, m et de la roue de rayon 0,55 m à l aide de la loi des cosinus. x,,5,,5 cos 0 x 0,87 m Déterminer la longueur de chacune des parties rectilignes de la chaîne à l aide de la relation de Pythagore.,19 m,,495 m et 0,79 m. Page , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol. 1 87

23 Déterminer les mesures des angles formés par les centres des roues à l aide de la loi des sinus. Roue de rayon 0,4 m : 60,1 et roue de rayon 0, m : 99,9. Déterminer la mesure, en degrés, de l arc qui supporte la chaîne sur chacune des roues. Roue de rayon 0, m : 60 95, 11,78 99,9 51,1 Roue de rayon 0,4 m : 60 84,78 9, ,78 Roue de rayon 0,55 m : 60 86,56 66, 60,1 147,1 Déterminer la longueur de chacune des chaînes x 1, x et x sur l arc de chaque roue. 51,1 x 1 Roue de rayon 0, m : x 1 0,18 m 60 π 0, 161,78 x Roue de rayon 0,4 m : x 1,1 m 60 π 0,4 147,1 x Roue de rayon 0,55 m : x 1,41 m 60 π 0,55 La longueur d une chaîne est environ de 8, m. Banque de problèmes (suite) Page 07. Déterminer la mesure du segment CO. m CO 6, soit 5,65 cm. Déterminer la mesure de l angle COG. 1 m COG arc sin, soit 8,94. Déterminer la mesure de l angle COD ,94 m COD, soit,06. 5 Déterminer la mesure du segment AB. sin,06 sin 7,47 x 6,8 cm, où x représente le diamètre d un demi-cercle qui x 1 ceinture la bobine de film. E G A CD O B F 4. Déduire tous les angles du cadre du tandem et calculer, à l aide de la loi des sinus, les mesures des tiges du cadre. 8 cm 65,7 cm 8 cm 55,5 cm ,7 cm 1 51,76 cm ,9 cm,75 cm ,0 cm cm 65,7 cm 8,01 cm ,5 cm 65,7 cm La longueur minimale des tiges de fibres de carbone est environ de 609,6 cm. 88 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

24 Banque de problèmes (suite) 5. Deux dents consécutives forment un arc de E Page 08 D A C B Les mesures du triangle ABC sont indiquées ci-contre. Déterminer la mesure du segment BC. m BC 18 6 m DE m CD m A 54 m CD 54 m B 7 m C mm sin 99 m BC sin 54 m BC 90,1 mm L angle au centre COB mesure 6. Déterminer la mesure du rayon de la lame. sin 6 sin 7 x 145,79 mm 90,1 x La machiniste a tort, car la mesure du rayon de la lame est environ de 145,79 mm. O 110 mm B 6 A A C 7 7 C 90,1 mm B 6. Déterminer la mesure de l arc BC. Celle-ci correspond au double de la mesure de l angle BOA. 1 m BOA arc cos, soit 70,5. Donc, la mesure de l arc BC est environ de 141,06. Déterminer la mesure de l arc FI. Celle-ci correspond au double de la différence entre les mesures des angles BOA et BOF. 70,5 arc cos, Donc, l arc FI mesure environ 44,68. B O F C E I D A G H 7. (85 5) (65 5) 100 cm 1 m L ébéniste a tort. Le segment AE mesure 1 m et ce segment correspond à une corde plus petite que le diamètre. 010, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol. 1 89

25 Banque de problèmes (suite) Page Déterminer la mesure du segment BC. m BC 4 cm Déterminer la mesure de l angle à l aide de la loi des cosinus. 8,6 m arc cos 10,5 1, soit 44,. 10,5 1 Déterminer la mesure du segment AD à l aide de la loi des cosinus. m AD,5 10,5,5 10,5 cos 44,, soit 8,6 cm. Déterminer la mesure de l angle ADC à l aide de la loi des sinus. sin 44, sin x x 61,, où x représente la m ADC. 8,6 10,5 Puisqu il s agit d un angle obtus : m ADC 119,67 m ADE 61,. m 4 61,, car cet angle intercepte le même arc que l angle ADE. Déterminer la mesure de l angle 1 à l aide de la loi des sinus. sin 61, sin x x 41,54, où x représente la mesure de 1. 8,6 6,5 Déterminer la mesure de l arc BD. 119,67 x 44, x 1,0, où x représente la mesure de BD. Déterminer la mesure de l angle. 119,67 1,0 m 75,5 La personne B a raison, car la démarche mathématique ci-dessus permet de déterminer les mesures des angles 1 à Déterminer le rayon x du cercle qui supporte les arcs formant les lamelles. sin 0 sin 80 x 8,79 mm 10 x Déterminer la mesure x du segment qui relie deux pointes de lamelles consécutives. sin 6 sin 7 x 17,79 mm x 8,79 Chaque arc formé par deux pointes de lamelles sur le pourtour du diaphragme mesure 60. Le rayon du diaphragme est environ de 17,79 mm et le segment CF mesure environ 5,59 mm. 90 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel TS Vol , Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée