Représentations modulaires et structure locale des groupes finis
|
|
- Ghislain Marchand
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Représentations modulaires et structure des groupes finis Thèse dirigée par Michel Broué et Claude Levesque Université Paris 7 - Université Laval 26 avril 2013
2 Organisation de l exposé p-sous-groupes, structure d un groupe fini. Blocs,, structure d un bloc., équivalences de Morita, équivalence stables. Variations autour du théorème Z p. Localisation d une équivalence stable, d équivalences de Morita s. Modules et catégories Brauer-compatibles, foncteurs de localisation. Construction d une équivalence stable motivée par le théorème Z p. 2/29
3 Les p-sous-groupes d un groupe fini Soit G un groupe fini, et p un nombre premier. Un p-sous-groupe de G est un sous-groupe dont l ordre (le nombre d éléments) est une puissance de p. L ensemble des p-sous-groupes de G est ordonné par l inclusion. Si P est un p-sous-groupe et g un élément de G, alors g P = gpg 1 est encore un p-sous-groupe. Le groupe G agit par conjugaison sur l ensemble de ses p-sous-groupes. Théorème (Sylow). Les p-sous-groupes maximaux de G sont tous conjugués. Leur ordre est la plus grande puissance de p qui divise l ordre de G. 3/29
4 La structure p- d un groupe fini D 1 D 2 D n p-ss-gr. de Sylow Q R. P P. 1 p-sous-groupe trivial Les flèches d inclusion entre p-sous-groupes sont en noir. 4/29
5 La structure p- d un groupe fini D 1 D 2 D n p-ss-gr. de Sylow Q R. P P. 1 p-sous-groupe trivial Les flèches d inclusion entre p-sous-groupes sont en noir. On ajoute l action de G par conjugaison, en bleu, 5/29
6 La structure p- d un groupe fini D 1 D 2 D n p-ss-gr. de Sylow Q R. P P. 1 p-sous-groupe trivial Les flèches d inclusion entre p-sous-groupes sont en noir. On ajoute l action de G par conjugaison, en bleu, puis tous les morphismes obtenus en composant inclusion et conjugaison, en rouge. 6/29
7 La catégorie de Frobenius On note Fr(G) la catégorie dans laquelle : un objet est un p-sous-groupe de G ; une flèche φ : P Q est un morphisme de groupes tel que x P, φ(x) = g x = gxg 1 pour un g G. On dit que deux groupes G et H ont la même structure p- si les catégories de Frobenius Fr(G) et Fr(H) sont équivalentes. On dit qu un sous-groupe H de G contrôle la p-fusion si l inclusion H G induit une équivalence de catégories Fr(H) Fr(G). 7/29
8 Contrôle de la p-fusion et factorisation de G Exemple. Soit O p (G) le plus grand sous-groupe distingué de G dont l ordre n est pas un multiple de p. Si G = O p (G)H, alors le sous-groupe H contrôle la p-fusion dans G. Question. Soit G un groupe fini, et H un sous-groupe qui contrôle la p-fusion dans G. A-t-on nécessairement la factorisation G = O p (G)H? Réponse. Non, en général. Oui, si H = P est un p-sous-groupe de G (Frobenius). Oui, si H = C G (P) est le centralisateur d un p-sous-groupe (Glauberman pour p = 2 ; classification GFS pour p impair). Question. Peut-on démontrer le cas H = C G (P), c est-à-dire le théorème Z p, pour p impair, sans utiliser la classification des groupes finis simples? 8/29
9 du groupe G Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique p. Un idempotent primitif central de l algèbre de groupe kg est appelé un bloc. On a la décomposition kg kge 1 kge n (e 1,..., e n blocs de kg). Soit e un bloc fixé et P un p-sous-groupe de G. Soit br P : (kg) P kc G (P) le morphisme de Brauer. Alors br P (e) est un idempotent central de l algèbre kc G (P). Définition (Alperin-Broué). Une e-sous-paire du groupe G est un couple (P, e P ), où P est un p-sous-groupe de G, e P est un bloc de l algèbre kc G (P) br P (e). 9/29
10 La structure d un bloc Il existe une relation d ordre sur l ensemble des e- de G. Le groupe G agit par conjugaison sur l ensemble de ses e-. Théorème (Brauer, first main theorem ). Les e-souspaires maximales de G sont toutes conjuguées. Si (D, e D ) est une e-sous-paire maximale, le p-sous-groupe D est un groupe de défaut du bloc e. 10/29
11 La structure d un bloc (D 1, e D1 ) (D 1, e D 1 ) (D n, e (i) D n ) (Q, e Q ) (R, e R ) (P, e P ) (P, e P ) 1 Les flèches d inclusion entre e- sont en noir. On ajoute l action de G par conjugaison, en bleu, puis tous les morphismes obtenus en composant inclusion et conjugaison, en rouge. 11/29
12 La catégorie de Brauer On note Br(G, e) la catégorie dans laquelle : un objet est une e-sous-paire de G ; une flèche φ : (P, e P ) (Q, e Q ) est un morphisme de groupes de P dans Q tel que, pour un g G, g (P, e P ) (Q, e Q ) et x P, φ(x) = g x. On dit que deux blocs e et f, issus de groupes G et H, ont la même structure si les catégories de Brauer Br(G, e) et Br(H, f ) sont équivalentes. On dit qu un bloc f d un sous-groupe H de G contrôle la e-fusion si l inclusion H G induit une équivalence de catégories Br(H, f ) Br(G, e). Théorème (Brauer, third main theorem ). Si e 0 est le bloc principal de G, alors Br(G, e 0 ) = Fr(G). 12/29
13 et équivalences de Morita On note kge Mod la catégorie des kge- (de type fini). Si M est un (kge, khf )-bimodule, il induit un foncteur M khf : khf Mod kge Mod. Théorème (Morita). Toute équivalence de catégories F : khf Mod kge Mod est isomorphe au foncteur M khf, pour un certain bimodule indécomposable M. On dit que le bimodule M induit une équivalence de Morita kge khf 13/29
14 Exemples d équivalences de Morita Théorème. Soit H un sous-groupe de G tel que G = O p (G)H. Alors le foncteur Res G H induit une équivalence de Morita kge 0 khf 0 (blocs principaux). Question. Si H est un sous-groupe de G tel que le foncteur Res G H induit une équivalence de Morita kge 0 khf 0, a-t-on toujours la factorisation G = O p (G)H? Réponse. Non dans le cas général (Dade, isomorphic blocks ). Oui si H = P est un p-sous-groupe. Oui si H = C G (P) est le centralisateur d un p-sous-groupe. 14/29
15 Exemples d équivalences de Morita Théorème (Robinson-Külshammer). Soit (P, e P ) une e-sous-paire de G telle que le centralisateur H = C G (P) vérifie G = O p (G)H. Alors il existe une équivalence de Morita kge khe P (blocs non principaux). Nouvelle démonstration (B.). J utilise un outil fonctoriel, le foncteur de Brauer, pour construire le bimodule M qui induit l équivalence de Morita. Ceci me permet de voir que ce bimodule est naturel en un sens très fort, c est-à-dire essentiellement unique. 15/29
16 Catégories stables et équivalences stables On note kge Stab la catégorie triangulée obtenue en annulant formellement les objets projectifs de la catégorie kge Mod. Si M est un (kge, khf )-bimodule, qui est de plus un kge-module projectif, alors il induit un foncteur M khf : khf Stab kge Stab. Remarque. Même si ce n est pas toujours le cas, nous nous intéressons seulement aux équivalences de catégories F : khf Stab kge Stab qui sont du type M khf, pour un certain bimodule indécomposable M. On dit alors que le bimodule M induit une équivalence stable de type Morita kge khf 16/29
17 Équivalence de Morita et structures s Théorème (Puig). S il existe une équivalence stable kge khf, induite par un bimodule M dont le vortex est diagonal, alors les blocs e et f ont la même structure : il existe une équivalence de catégories Br(H, f ) Br(G, e). Question. Soit f un bloc d un sous-groupe H de G qui controle la e-fusion, c est-à-dire Br(H, f ) Br(G, e). Existe-t-il une équivalence de Morita kge khf? Réponses. Non en général (ex. blocs à défaut cyclique). Mais peut-être existe-t-il toujours une équivalence stable? Oui si H = P est un p-groupe (Broué-Puig, Puig) /29
18 Une généralisation du théorème Z p? Théorème (Zp ). Soit P un p-sous-groupe de G tel que, en notant H = C G (P), l inclusion H G induise une équivalence Fr(H) Fr(G). Alors le foncteur Res G H induit une équivalence de Morita kge 0 khf 0 (blocs principaux). Question (B.). Soit (P, e P ) une e-sous-paire de G telle que, en notant H = C G (P), l inclusion H G induise une équivalence Br(H, e P ) Br(G, e). Existe-t-il toujours une équivalence de Morita kge khe P (blocs non principaux)? 18/29
19 Localisation des équivalences stables Théorème (Rickard, Puig, Linckelmann). Supposons que le bimodule M induit une équivalence stable kge khf, où e et f sont deux blocs qui ont la même structure. Alors, sous des hypos convenables, pour tout e-sous-paire (Q, e Q ) de G, il existe un bimodule localisé M (Q,eQ ) qui induit une équivalence de Morita kc G (Q)e Q kc H (Q )f Q, où (Q, f Q ) est une certaine f -sous-paire de H. 19/29
20 Du local au global (1) Théorème (Broué, Puig, Rouquier, Linckelmann). Soient e et f deux blocs qui ont la même structure. Soit M un (kge, khf )-bimodule raisonnable. Si, pour tout e-sous-paire (Q, e Q ), le bimodule localisé M (Q,eQ ) induit une équivalence de Morita kc G (Q)e Q kc H (Q )f Q, alors le bimodule M induit une équivalence stable kge khf. Théorème (Broué, sans le Zp ). Soit H = C G (P) le centralisateur d un p-sous-groupe. Si H contrôle fortement la fusion dans G, alors le foncteur Res G H induit une équivalence stable kge 0 khf 0 (blocs principaux). 20/29
21 Du local au global (1) M (D1,e D1 ) M (D1,e D 1 ) M (Dn,e (i) Dn ) M (Q,eQ ) M (R,eR ) M (P,eP ) M (P,e P ) M Les flèches représentent la procédure de localisation. 21/29
22 Du local au global (2) M (D1,e D1 ) M (D1,e D 1 ) M (Dn,e (i) Dn ) M (Q,eQ ) M (R,eR ) M (P,eP ) M (P,e P )? Y a-t-il un possible? 22/29
23 Du local au global (2) Idée (Puig, Rouquier) Soient e et f deux blocs qui ont la même structure. Soit, pour tout e-sous-paire (Q, e Q ), un bimodule local M (Q,eQ ) qui induit une équivalence de Morita kc G (Q)e Q kc H (Q )f Q. Si les M (Q,eQ ) sont raisonnablement compatibles, on devrait pouvoir les recoller en un bimodule M qui induirait une équivalence stable kge khf. Théorème (Puig). Soit (D, e D ) une e-sous-paire maximale, E = End Br(G,e) (D, e D ) et L = D E. Si D est abélien, E cyclique et L un groupe de Frobenius, alors il existe une équivalence stable kge khf. 23/29
24 Modules Brauer-compatibles Définition. Je dis qu un kge-module est Brauer-compatible (Brauer-friendly) s il est une somme directe de indécomposables dont les sources sont des d endopermutation fusion-stables et compatibles entre eux, relativement à la catégorie de Brauer Br(G, e). Cette définition transpose au niveau des algèbres de blocs une notion étudiée par Puig et Linckelmann au niveau des algèbres sources. Exemples. Les de p-permutation, les d endo-p-permutation sont Brauer-compatibles. Tout bimodule de vortex diagonal qui induit une équivalence stable est Brauer-compatible (Puig). 24/29
25 Foncteurs de localisation Définition. Je dis qu une sous-catégorie kge M de kge Mod est Brauer-compatible si ses objets sont des Brauer-compatibles et compatibles entre eux. Théorème (B.). Si kge M est une catégorie Brauer-compatible et (Q, e Q ) une e-sous-paire, il existe un foncteur slash Sl (Q,eQ ) : kge M k N G (Q,e Q )ē Q Mod, qui possède les bonnes propriétés connues pour le foncteur de Brauer Br Q et la catégorie kg Perm des kg- de p-permutation. Ce foncteur est presque unique. La construction slash était connue au niveau des algèbres sources (Dade, Puig, Linckelmann), mais pas sa fonctorialité. Ma formulation pourrait être commode pour localiser des complexes Brauer-compatibles. 25/29
26 Paramétrisation des indécomposables Théorème (B.). Soit kge M une catégorie Brauer-compatible assez grosse. Un module indécomposable M dans kge M est caractérisé par le triplet ( ) (P, e P ), V, Sl (P,eP )(M) où (P, e P ) est une sous-paire de vortex de M, V est une source de M, Sl (P,eP )(M) est un k N G (P, e P )e P -module projectif indécomposable. Cette paramétrisation est une version explicite et fonctorielle d une correspondance plus générale due à Puig. Elle généralise une paramétrisation semblable pour les indécomposables de p-permutation, basée sur le foncteur de Brauer Br P. 26/29
27 Recollement d équivalences de Morita Théorème (B.). Soit (P, e P ) une e-sous-paire, et soit H = C G (P). Si le bloc e P de H contrôle fortement la fusion dans G, alors il existe un bimodule Brauer-compatible qui induit une équivalence stable kge khf (blocs non principaux). Ce théorème généralise le résultat de Broué cité plus haut, en recollant les équivalences de Morita s dues à Külshammer-Robinson. Il justifie la question, déjà évoquée, d une généralisation du théorème Z p à des blocs non principaux : cette équivalence stable est-elle l ombre d une équivalence de Morita? 27/29
28 Fin Merci pour votre attention! 28/29
29 Annonce Une petite réception se tiendra (à Paris) juste après que le jury aura annoncé sa décision. À Québec, je serai heureux de vous retrouver le vendredi 3 mai, à 11h, dans la salle facultaire pour vous remercier de votre présence aujourd hui. Bienvenue à tous! 29/29
Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.
DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailpar Denis-Charles Cisinski & Georges Maltsiniotis
LA CATÉGORIE Θ DE JOYAL EST UNE CATÉGORIE TEST par Denis-Charles Cisinski & Georges Maltsiniotis Résumé. Le but principal de cet article est de prouver que la catégorie cellulaire Θ de Joyal est une catégorie
Plus en détailExemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions
Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4
Plus en détailL isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld et applications cohomologiques par Laurent Fargues
Préambule.................................... xv Bibliographie... xxi I L isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld et applications cohomologiques par Laurent Fargues Introduction...................................
Plus en détailRAPHAËL ROUQUIER. 1. Introduction
CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Trois exposés à la semaine «Géométrie algébrique complexe» au CIRM, Luminy, décembre 2003 1. Introduction On étudie dans un premier temps les propriétés internes
Plus en détailFeuille G1 RAPPEL SUR LES GROUPES
Université Joseph Fourier Licence de Mathématiques Année 2004/2005 Algèbre II Michael Eisermann Feuille G1 RAPPEL SUR LES GROUPES Mode d emploi. Tout énoncé portant un numéro est un exercice, parfois implicite.
Plus en détailLa Longue Marche à travers la théorie de Galois, Part Ib, 26-37
La Longue Marche à travers la théorie de Galois, Part Ib, 26-37 26. Groupes de Teichmüller profinis (Discrétification et prédiscrétification) Soit π un groupe profini à lacets de type g, ν, T le Ẑ-module
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détail1 Première section: La construction générale
AMALGAMATIONS DE CLASSES DE SOUS-GROUPES D UN GROUPE ABÉLIEN. SOUS-GROUPES ESSENTIEL-PURS. Călugăreanu Grigore comunicare prezentată la Conferinţa de grupuri abeliene şi module de la Padova, iunie 1994
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailAnalyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Plus en détailRésumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr
Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailDate : 18.11.2013 Tangram en carré page
Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailPremiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon
Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,
Plus en détailProblèmes de dénombrement.
Problèmes de dénombrement. 1. On se déplace dans le tableau suivant, pour aller de la case D (départ) à la case (arrivée). Les déplacements utilisés sont exclusivement les suivants : ller d une case vers
Plus en détailCORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»
Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.
Plus en détailRéalisabilité et extraction de programmes
Mercredi 9 mars 2005 Extraction de programme: qu'est-ce que c'est? Extraire à partir d'une preuve un entier x N tel que A(x). π x N A(x) (un témoin) (En fait, on n'extrait pas un entier, mais un programme
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailFEUILLETAGES PAR VARIÉTÉS COMPLEXES ET PROBLÈMES D UNIFORMISATION LAURENT MEERSSEMAN
FEUILLETAGES PAR VARIÉTÉS COMPLEXES ET PROBLÈMES D UNIFORMISATION LAURENT MEERSSEMAN Abstract. Ce texte est une introduction aux feuilletages par variétés complexes et aux problèmes d uniformisation de
Plus en détailEcran : Processeur : OS : Caméra : Communication : Mémoire : Connectique : Audio : Batterie : Autonomie : Dimensions : Poids : DAS :
SMARTPHONE - DUAL-CORE - NOIR 3483072425242 SMARTPHONE - DUAL-CORE - BLEU XXXX SMARTPHONE - DUAL-CORE - BLANC 3483072485246 SMARTPHONE - DUAL-CORE - ROSE 3483073704131 SMARTPHONE - DUAL-CORE - ROUGE XXXX
Plus en détailTemps et thermodynamique quantique
Temps et thermodynamique quantique Journée Ludwig Boltzmann 1 Ensemble Canonique Distribution de Maxwell-Boltzmann, Ensemble canonique ϕ(a) = Z 1 tr(a e β H ) Z = tr(e β H ) 2 La condition KMS ϕ(x x) 0
Plus en détailEteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :
MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailArithmetical properties of idempotents in group algebras
Théorie des Groupes/Group Theory Arithmetical properties of idempotents in group algebras Max NEUNHÖFFER Lehrstuhl D für Mathematik, Templergraben 64, 52062 Aachen, Allemagne E-mail: max.neunhoeffer@math.rwth-aachen.de
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailDéterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3
Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)
Plus en détailLes probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances
Chapitre 18 Les probabilités OBJECTIFS DU CHAPITRE Calculer la probabilité d événements Tester ses connaissances 1. Expériences aléatoires Voici trois expériences : - Expérience (1) : on lance une pièce
Plus en détailProblèmes arithmétiques issus de la cryptographie reposant sur les réseaux
Problèmes arithmétiques issus de la cryptographie reposant sur les réseaux Damien Stehlé LIP CNRS/ENSL/INRIA/UCBL/U. Lyon Perpignan, Février 2011 Damien Stehlé Problèmes arithmétiques issus de la cryptographie
Plus en détailLa transformée de Fourier sur un groupe fini et quelques-unes de ses applications. Elise Raphael Semestre d automne 2009-2010
La transformée de Fourier sur un groupe fini et quelques-unes de ses applications Elise Raphael Semestre d automne 009-010 1 Contents 1 Transformée de Fourier sur un groupe fini 3 1.1 Dual d un groupe
Plus en détail1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes.
Corrigé du Prétest 1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes. a) Obtenir un nombre inférieur à 3 lors du lancer d un dé. U= { 1, 2,
Plus en détailFONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.
FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons
Plus en détailIUT de Laval Année Universitaire 2008/2009. Fiche 1. - Logique -
IUT de Laval Année Universitaire 2008/2009 Département Informatique, 1ère année Mathématiques Discrètes Fiche 1 - Logique - 1 Logique Propositionnelle 1.1 Introduction Exercice 1 : Le professeur Leblond
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailChaînes de Markov au lycée
Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailCryptographie et fonctions à sens unique
Cryptographie et fonctions à sens unique Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes Mines ParisTech pierre.rouchon@mines-paristech.fr Octobre 2012 P.Rouchon (Mines ParisTech) Cryptographie et fonctions
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailNombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...
Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement
Plus en détailProduit semi-direct. Table des matières. 1 Produit de sous-groupes 2. 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3. 3 Produit semi-direct de groupes 4
Produit semi-direct Table des matières 1 Produit de sous-groupes 2 2 Produit semi-direct de sous-groupes 3 3 Produit semi-direct de groupes 4 1 1 Produit de sous-groupes Soient G un groupe et H et K deux
Plus en détailCHRISTOPHE REUTENAUER* Dédié à mon ami Xavier Viennot
Séminaire Lotharingien de Combinatoire 54 (2006), Article B54h MOTS DE LYNDON GÉNÉRALISÉS CHRISTOPHE REUTENAUER* Dédié à mon ami Xavier Viennot Abstract. By choosing for each position i of infinite words
Plus en détailSynthèse «Le Plus Grand Produit»
Introduction et Objectifs Synthèse «Le Plus Grand Produit» Le document suivant est extrait d un ensemble de ressources plus vastes construites par un groupe de recherche INRP-IREM-IUFM-LEPS. La problématique
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailTIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES
Bulletin de la SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES Bernard Host & Alejandro Maass Tome 135 Fascicule 3 2007 SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailFactorisation d entiers (première partie)
Factorisation d entiers ÉCOLE DE THEORIE DES NOMBRES 0 Factorisation d entiers (première partie) Francesco Pappalardi Théorie des nombres et algorithmique 22 novembre, Bamako (Mali) Factorisation d entiers
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailD'UN THÉORÈME NOUVEAU
DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME NOUVEAU CONCERNANT LES NOMBRES PREMIERS 1. (Nouveaux Mémoires de l'académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1771.) 1. Je viens de trouver, dans un excellent
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailChapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
Plus en détailLe contexte. Le questionnement du P.E.R. :
Le contexte Ce travail a débuté en janvier. Le P.E.R. engagé depuis fin septembre a permis de faire émerger ou de réactiver : Des raisons d être de la géométrie : Calculer des grandeurs inaccessibles et
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailLeçon N 4 : Statistiques à deux variables
Leçon N 4 : Statistiques à deux variables En premier lieu, il te faut relire les cours de première sur les statistiques à une variable, il y a tout un langage à se remémorer : étude d un échantillon d
Plus en détailLa Menace du Stéréotype
La Menace du Stéréotype Fabrice GABARROT Bureau M6158 - Uni Mail Université de Genève 40, Bld du Pont d'arve CH-1205 Genève SUISSE Courriel : Fabrice.Gabarrot@pse.unige.ch Les stéréotypes sont, pour simplifier,
Plus en détailTroisième projet Scribus
Sommaire 1. Réponse à la question du deuxième projet... 2 2. Présentation du projet... 2 2.1. Organiser son travail... 2 3. Réalisation... 2 3.1. Préparation du texte... 2 3.1.1. Les styles «Dys»... 3
Plus en détailENSAE - DAKAR BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA
ENSEA - ABIDJAN ENSAE - DAKAR ISSEA - YAOUNDÉ BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA CENTRE D APPUI AUX
Plus en détailL outillage du Plan de Continuité d Activité, de sa conception à sa mise en œuvre en situation de crise
Auteur : Robert BERGERON Consultant en Sécurité des Systèmes d Information et Management de la Continuité d Activité Quel outil pour le PCA? de sa conception à sa mise en œuvre en situation de crise Introduction
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailINF 4420: Sécurité Informatique Cryptographie II
: Cryptographie II José M. Fernandez M-3106 340-4711 poste 5433 Aperçu Crypto II Types de chiffrement Par bloc vs. par flux Symétrique vs. asymétrique Algorithmes symétriques modernes DES AES Masque jetable
Plus en détailFrancis BISSON (06 794 819) Kenny CÔTÉ (06 836 427) Pierre-Luc ROGER (06 801 883) IFT702 Planification en intelligence artificielle
Francis BISSON (06 794 819) Kenny CÔTÉ (06 836 427) Pierre-Luc ROGER (06 801 883) PLANIFICATION DE TÂCHES DANS MS PROJECT IFT702 Planification en intelligence artificielle Présenté à M. Froduald KABANZA
Plus en détailComprendre le financement des placements par emprunt. Prêts placement
Comprendre le financement des placements par emprunt Prêts placement Comprendre le financement des placements par emprunt Le financement des placements par emprunt consiste simplement à emprunter pour
Plus en détailObjectifs du cours d aujourd hui. Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet. Complexité d un problème (2)
Objectifs du cours d aujourd hui Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet Complexité des problèmes Introduire la notion de complexité d un problème Présenter
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailPRIX DE VENTE À L EXPORTATION GESTION ET STRATÉGIES
PRIX DE VENTE À L EXPORTATION GESTION ET STRATÉGIES Direction du développement des entreprises et des affaires Préparé par Jacques Villeneuve, c.a. Conseiller en gestion Publié par la Direction des communications
Plus en détailIntroduction à la théorie des graphes. Solutions des exercices
CAHIERS DE LA CRM Introduction à la théorie des graphes Solutions des exercices Didier Müller CAHIER N O 6 COMMISSION ROMANDE DE MATHÉMATIQUE 1 Graphes non orientés Exercice 1 On obtient le graphe biparti
Plus en détailStatistiques II. Alexandre Caboussat alexandre.caboussat@hesge.ch. Classe : Mardi 11h15-13h00 Salle : C110. http://campus.hesge.
Statistiques II Alexandre Caboussat alexandre.caboussat@hesge.ch Classe : Mardi 11h15-13h00 Salle : C110 http://campus.hesge.ch/caboussata 1 mars 2011 A. Caboussat, HEG STAT II, 2011 1 / 23 Exercice 1.1
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailSites web éducatifs et ressources en mathématiques
Sites web éducatifs et ressources en mathématiques Exercices en ligne pour le primaire Calcul mental élémentaire : http://www.csaffluents.qc.ca/wlamen/tables-sous.html Problèmes de soustraction/addition
Plus en détailTechnologie des contacteurs gaz liquide : cas des colonnes à plateaux et à garnissage. M. Prévost
Technologie des contacteurs gaz liquide : cas des colonnes à plateaux et à garnissage M. Prévost Version V2/ nov 2006 Structure du cours Partie 1 : Introduction Partie 2 : Mise en contact de Gaz et de
Plus en détail201-105-RE SOLUTIONS CHAPITRE 1
Chapitre1 Matrices 1 201-105-RE SOLUTIONS CHAPITRE 1 EXERCICES 1.2 1. a) 1 3 Ë3 7 3 2 Ë 1 16 pas défini d) 16 30 17 3 e) Ë 7 68 22 16 13 Ë 5 18 6 2. a) 0 4 4 4 0 4 Ë4 4 0 Ë 0 4 32 4 4 0 4 32 32 4 0 4 4
Plus en détailMAT 721: Algèbre non commutative. Chapitre I: Algèbres. 1.1 Définitions et exemples
MAT 721: Algèbre non commutative Chapitre I: Algèbres 1.1 Définitions et exemples Dans notre terminologie, un anneau R admet toujours un élément identité 1 R R-module à droite M est toujours unifère, c
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailCours d électricité. Circuits électriques en courant constant. Mathieu Bardoux. 1 re année
Cours d électricité Circuits électriques en courant constant Mathieu Bardoux mathieu.bardoux@univ-littoral.fr IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1 re année Objectifs du chapitre
Plus en détailAnalyse en Composantes Principales
Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées
Plus en détailPanorama de la cryptographie des courbes elliptiques
Panorama de la cryptographie des courbes elliptiques Damien Robert 09/02/2012 (Conseil régional de Lorraine) La cryptographie, qu est-ce que c est? Définition La cryptographie est la science des messages
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailLEMME FONDAMENTAL POUR LES ALGÈBRES DE LIE (D APRÈS NGÔ BAO-CHÂU)
LEMME FONDAMENTAL POUR LES ALGÈBRES DE LIE (D APRÈS NGÔ BAO-CHÂU) DAT JEAN-FRANÇOIS AND NGO DAC TUAN La formule des traces sur les corps de nombres a été introduite par Selberg, puis développée par Arthur.
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailSuivant les langages de programmation, modules plus avancés : modules imbriqués modules paramétrés par des modules (foncteurs)
Modularité Extensions Suivant les langages de programmation, modules plus avancés : modules imbriqués modules paramétrés par des modules (foncteurs) généricité modules de première classe : peuvent être
Plus en détailDistribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités
Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements
Plus en détailGUIDE DIDACTIQUE DU PLAN COMPTABLE DE L ETAT CEMAC TOME 2 RELATIF AUX FONCTIONNEMENT DES COMPTES DIVISIONNAIRES
COMMUNAUTE ECONOMIQUE ET MONETAIRE DE L AFRIQUE CENTRALE GUIDE DIDACTIQUE DU PLAN COMPTABLE DE L ETAT CEMAC TOME 2 RELATIF AUX DES COMPTES DIVISIONNAIRES Directive n 03/11-UEAC-195-CM-22 relative au plan
Plus en détail