Représentations modulaires et structure locale des groupes finis

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1 Représentations modulaires et structure des groupes finis Thèse dirigée par Michel Broué et Claude Levesque Université Paris 7 - Université Laval 26 avril 2013

2 Organisation de l exposé p-sous-groupes, structure d un groupe fini. Blocs,, structure d un bloc., équivalences de Morita, équivalence stables. Variations autour du théorème Z p. Localisation d une équivalence stable, d équivalences de Morita s. Modules et catégories Brauer-compatibles, foncteurs de localisation. Construction d une équivalence stable motivée par le théorème Z p. 2/29

3 Les p-sous-groupes d un groupe fini Soit G un groupe fini, et p un nombre premier. Un p-sous-groupe de G est un sous-groupe dont l ordre (le nombre d éléments) est une puissance de p. L ensemble des p-sous-groupes de G est ordonné par l inclusion. Si P est un p-sous-groupe et g un élément de G, alors g P = gpg 1 est encore un p-sous-groupe. Le groupe G agit par conjugaison sur l ensemble de ses p-sous-groupes. Théorème (Sylow). Les p-sous-groupes maximaux de G sont tous conjugués. Leur ordre est la plus grande puissance de p qui divise l ordre de G. 3/29

4 La structure p- d un groupe fini D 1 D 2 D n p-ss-gr. de Sylow Q R. P P. 1 p-sous-groupe trivial Les flèches d inclusion entre p-sous-groupes sont en noir. 4/29

5 La structure p- d un groupe fini D 1 D 2 D n p-ss-gr. de Sylow Q R. P P. 1 p-sous-groupe trivial Les flèches d inclusion entre p-sous-groupes sont en noir. On ajoute l action de G par conjugaison, en bleu, 5/29

6 La structure p- d un groupe fini D 1 D 2 D n p-ss-gr. de Sylow Q R. P P. 1 p-sous-groupe trivial Les flèches d inclusion entre p-sous-groupes sont en noir. On ajoute l action de G par conjugaison, en bleu, puis tous les morphismes obtenus en composant inclusion et conjugaison, en rouge. 6/29

7 La catégorie de Frobenius On note Fr(G) la catégorie dans laquelle : un objet est un p-sous-groupe de G ; une flèche φ : P Q est un morphisme de groupes tel que x P, φ(x) = g x = gxg 1 pour un g G. On dit que deux groupes G et H ont la même structure p- si les catégories de Frobenius Fr(G) et Fr(H) sont équivalentes. On dit qu un sous-groupe H de G contrôle la p-fusion si l inclusion H G induit une équivalence de catégories Fr(H) Fr(G). 7/29

8 Contrôle de la p-fusion et factorisation de G Exemple. Soit O p (G) le plus grand sous-groupe distingué de G dont l ordre n est pas un multiple de p. Si G = O p (G)H, alors le sous-groupe H contrôle la p-fusion dans G. Question. Soit G un groupe fini, et H un sous-groupe qui contrôle la p-fusion dans G. A-t-on nécessairement la factorisation G = O p (G)H? Réponse. Non, en général. Oui, si H = P est un p-sous-groupe de G (Frobenius). Oui, si H = C G (P) est le centralisateur d un p-sous-groupe (Glauberman pour p = 2 ; classification GFS pour p impair). Question. Peut-on démontrer le cas H = C G (P), c est-à-dire le théorème Z p, pour p impair, sans utiliser la classification des groupes finis simples? 8/29

9 du groupe G Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique p. Un idempotent primitif central de l algèbre de groupe kg est appelé un bloc. On a la décomposition kg kge 1 kge n (e 1,..., e n blocs de kg). Soit e un bloc fixé et P un p-sous-groupe de G. Soit br P : (kg) P kc G (P) le morphisme de Brauer. Alors br P (e) est un idempotent central de l algèbre kc G (P). Définition (Alperin-Broué). Une e-sous-paire du groupe G est un couple (P, e P ), où P est un p-sous-groupe de G, e P est un bloc de l algèbre kc G (P) br P (e). 9/29

10 La structure d un bloc Il existe une relation d ordre sur l ensemble des e- de G. Le groupe G agit par conjugaison sur l ensemble de ses e-. Théorème (Brauer, first main theorem ). Les e-souspaires maximales de G sont toutes conjuguées. Si (D, e D ) est une e-sous-paire maximale, le p-sous-groupe D est un groupe de défaut du bloc e. 10/29

11 La structure d un bloc (D 1, e D1 ) (D 1, e D 1 ) (D n, e (i) D n ) (Q, e Q ) (R, e R ) (P, e P ) (P, e P ) 1 Les flèches d inclusion entre e- sont en noir. On ajoute l action de G par conjugaison, en bleu, puis tous les morphismes obtenus en composant inclusion et conjugaison, en rouge. 11/29

12 La catégorie de Brauer On note Br(G, e) la catégorie dans laquelle : un objet est une e-sous-paire de G ; une flèche φ : (P, e P ) (Q, e Q ) est un morphisme de groupes de P dans Q tel que, pour un g G, g (P, e P ) (Q, e Q ) et x P, φ(x) = g x. On dit que deux blocs e et f, issus de groupes G et H, ont la même structure si les catégories de Brauer Br(G, e) et Br(H, f ) sont équivalentes. On dit qu un bloc f d un sous-groupe H de G contrôle la e-fusion si l inclusion H G induit une équivalence de catégories Br(H, f ) Br(G, e). Théorème (Brauer, third main theorem ). Si e 0 est le bloc principal de G, alors Br(G, e 0 ) = Fr(G). 12/29

13 et équivalences de Morita On note kge Mod la catégorie des kge- (de type fini). Si M est un (kge, khf )-bimodule, il induit un foncteur M khf : khf Mod kge Mod. Théorème (Morita). Toute équivalence de catégories F : khf Mod kge Mod est isomorphe au foncteur M khf, pour un certain bimodule indécomposable M. On dit que le bimodule M induit une équivalence de Morita kge khf 13/29

14 Exemples d équivalences de Morita Théorème. Soit H un sous-groupe de G tel que G = O p (G)H. Alors le foncteur Res G H induit une équivalence de Morita kge 0 khf 0 (blocs principaux). Question. Si H est un sous-groupe de G tel que le foncteur Res G H induit une équivalence de Morita kge 0 khf 0, a-t-on toujours la factorisation G = O p (G)H? Réponse. Non dans le cas général (Dade, isomorphic blocks ). Oui si H = P est un p-sous-groupe. Oui si H = C G (P) est le centralisateur d un p-sous-groupe. 14/29

15 Exemples d équivalences de Morita Théorème (Robinson-Külshammer). Soit (P, e P ) une e-sous-paire de G telle que le centralisateur H = C G (P) vérifie G = O p (G)H. Alors il existe une équivalence de Morita kge khe P (blocs non principaux). Nouvelle démonstration (B.). J utilise un outil fonctoriel, le foncteur de Brauer, pour construire le bimodule M qui induit l équivalence de Morita. Ceci me permet de voir que ce bimodule est naturel en un sens très fort, c est-à-dire essentiellement unique. 15/29

16 Catégories stables et équivalences stables On note kge Stab la catégorie triangulée obtenue en annulant formellement les objets projectifs de la catégorie kge Mod. Si M est un (kge, khf )-bimodule, qui est de plus un kge-module projectif, alors il induit un foncteur M khf : khf Stab kge Stab. Remarque. Même si ce n est pas toujours le cas, nous nous intéressons seulement aux équivalences de catégories F : khf Stab kge Stab qui sont du type M khf, pour un certain bimodule indécomposable M. On dit alors que le bimodule M induit une équivalence stable de type Morita kge khf 16/29

17 Équivalence de Morita et structures s Théorème (Puig). S il existe une équivalence stable kge khf, induite par un bimodule M dont le vortex est diagonal, alors les blocs e et f ont la même structure : il existe une équivalence de catégories Br(H, f ) Br(G, e). Question. Soit f un bloc d un sous-groupe H de G qui controle la e-fusion, c est-à-dire Br(H, f ) Br(G, e). Existe-t-il une équivalence de Morita kge khf? Réponses. Non en général (ex. blocs à défaut cyclique). Mais peut-être existe-t-il toujours une équivalence stable? Oui si H = P est un p-groupe (Broué-Puig, Puig) /29

18 Une généralisation du théorème Z p? Théorème (Zp ). Soit P un p-sous-groupe de G tel que, en notant H = C G (P), l inclusion H G induise une équivalence Fr(H) Fr(G). Alors le foncteur Res G H induit une équivalence de Morita kge 0 khf 0 (blocs principaux). Question (B.). Soit (P, e P ) une e-sous-paire de G telle que, en notant H = C G (P), l inclusion H G induise une équivalence Br(H, e P ) Br(G, e). Existe-t-il toujours une équivalence de Morita kge khe P (blocs non principaux)? 18/29

19 Localisation des équivalences stables Théorème (Rickard, Puig, Linckelmann). Supposons que le bimodule M induit une équivalence stable kge khf, où e et f sont deux blocs qui ont la même structure. Alors, sous des hypos convenables, pour tout e-sous-paire (Q, e Q ) de G, il existe un bimodule localisé M (Q,eQ ) qui induit une équivalence de Morita kc G (Q)e Q kc H (Q )f Q, où (Q, f Q ) est une certaine f -sous-paire de H. 19/29

20 Du local au global (1) Théorème (Broué, Puig, Rouquier, Linckelmann). Soient e et f deux blocs qui ont la même structure. Soit M un (kge, khf )-bimodule raisonnable. Si, pour tout e-sous-paire (Q, e Q ), le bimodule localisé M (Q,eQ ) induit une équivalence de Morita kc G (Q)e Q kc H (Q )f Q, alors le bimodule M induit une équivalence stable kge khf. Théorème (Broué, sans le Zp ). Soit H = C G (P) le centralisateur d un p-sous-groupe. Si H contrôle fortement la fusion dans G, alors le foncteur Res G H induit une équivalence stable kge 0 khf 0 (blocs principaux). 20/29

21 Du local au global (1) M (D1,e D1 ) M (D1,e D 1 ) M (Dn,e (i) Dn ) M (Q,eQ ) M (R,eR ) M (P,eP ) M (P,e P ) M Les flèches représentent la procédure de localisation. 21/29

22 Du local au global (2) M (D1,e D1 ) M (D1,e D 1 ) M (Dn,e (i) Dn ) M (Q,eQ ) M (R,eR ) M (P,eP ) M (P,e P )? Y a-t-il un possible? 22/29

23 Du local au global (2) Idée (Puig, Rouquier) Soient e et f deux blocs qui ont la même structure. Soit, pour tout e-sous-paire (Q, e Q ), un bimodule local M (Q,eQ ) qui induit une équivalence de Morita kc G (Q)e Q kc H (Q )f Q. Si les M (Q,eQ ) sont raisonnablement compatibles, on devrait pouvoir les recoller en un bimodule M qui induirait une équivalence stable kge khf. Théorème (Puig). Soit (D, e D ) une e-sous-paire maximale, E = End Br(G,e) (D, e D ) et L = D E. Si D est abélien, E cyclique et L un groupe de Frobenius, alors il existe une équivalence stable kge khf. 23/29

24 Modules Brauer-compatibles Définition. Je dis qu un kge-module est Brauer-compatible (Brauer-friendly) s il est une somme directe de indécomposables dont les sources sont des d endopermutation fusion-stables et compatibles entre eux, relativement à la catégorie de Brauer Br(G, e). Cette définition transpose au niveau des algèbres de blocs une notion étudiée par Puig et Linckelmann au niveau des algèbres sources. Exemples. Les de p-permutation, les d endo-p-permutation sont Brauer-compatibles. Tout bimodule de vortex diagonal qui induit une équivalence stable est Brauer-compatible (Puig). 24/29

25 Foncteurs de localisation Définition. Je dis qu une sous-catégorie kge M de kge Mod est Brauer-compatible si ses objets sont des Brauer-compatibles et compatibles entre eux. Théorème (B.). Si kge M est une catégorie Brauer-compatible et (Q, e Q ) une e-sous-paire, il existe un foncteur slash Sl (Q,eQ ) : kge M k N G (Q,e Q )ē Q Mod, qui possède les bonnes propriétés connues pour le foncteur de Brauer Br Q et la catégorie kg Perm des kg- de p-permutation. Ce foncteur est presque unique. La construction slash était connue au niveau des algèbres sources (Dade, Puig, Linckelmann), mais pas sa fonctorialité. Ma formulation pourrait être commode pour localiser des complexes Brauer-compatibles. 25/29

26 Paramétrisation des indécomposables Théorème (B.). Soit kge M une catégorie Brauer-compatible assez grosse. Un module indécomposable M dans kge M est caractérisé par le triplet ( ) (P, e P ), V, Sl (P,eP )(M) où (P, e P ) est une sous-paire de vortex de M, V est une source de M, Sl (P,eP )(M) est un k N G (P, e P )e P -module projectif indécomposable. Cette paramétrisation est une version explicite et fonctorielle d une correspondance plus générale due à Puig. Elle généralise une paramétrisation semblable pour les indécomposables de p-permutation, basée sur le foncteur de Brauer Br P. 26/29

27 Recollement d équivalences de Morita Théorème (B.). Soit (P, e P ) une e-sous-paire, et soit H = C G (P). Si le bloc e P de H contrôle fortement la fusion dans G, alors il existe un bimodule Brauer-compatible qui induit une équivalence stable kge khf (blocs non principaux). Ce théorème généralise le résultat de Broué cité plus haut, en recollant les équivalences de Morita s dues à Külshammer-Robinson. Il justifie la question, déjà évoquée, d une généralisation du théorème Z p à des blocs non principaux : cette équivalence stable est-elle l ombre d une équivalence de Morita? 27/29

28 Fin Merci pour votre attention! 28/29

29 Annonce Une petite réception se tiendra (à Paris) juste après que le jury aura annoncé sa décision. À Québec, je serai heureux de vous retrouver le vendredi 3 mai, à 11h, dans la salle facultaire pour vous remercier de votre présence aujourd hui. Bienvenue à tous! 29/29

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