Chapitre IX. Cinématique du solide. Axe instantané de rotation

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1 Chapitre IX ÉLÉMENTS DE DYNAMIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE IX.A. Cinématique du solide Un solide indéformable est un corps dont les distances entre les points matériels qui le constituent sont indépendantes du temps. Considérons un solide S un référentiel R fixe par rapport au solide. Notons O l origine de R Ω R /R la vitesse instantanée de rotation de S par rapport à un référentiel R. Pour tout point M de S (ou fixe par rapport à S, on a soit v M/R = v M/R } {{ } + v O /R + Ω R /R O M, v M/R = v O /R + Ω R /R O M. Le mouvement de tout point du solide est donc la combinaison du mouvement de translation de l ensemble du solide ( v O /R de son mouvement de rotation ( Ω R /R. Six paramètres, ou degrés de liberté, (trois pour v O /R trois pour Ω R /R sont nécessaires pour décrire le mouvement du solide, donc deux équations vectorielles suffisent : le théorème du centre d inertie le théorème du moment cinétique. On aura souvent intérêt à utiliser le théorème du centre d inertie dans un référentiel galiléen, puis le théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique du solide. Remarquons que si R est galiléen. Ω R /R = Ω R /R + Ω R /R = Ω } {{ } R /R Axe instantané de rotation À un instant t, on appelle axe instantané de rotation (t de S dans R le lieu géométrique des points fixes par rapport à S dont la vitesse par rapport à R est parallèle à Ω R /R(t. Soit A un point de. On a v A/R = v O /R + Ω R /R O A,, pour tout point M fixe par rapport à S, v M/R = v A/R + ΩR /R AM. }{{}} {{ } Ω R /R Ω R /R Le mouvement des points du solide se compose donc d une translation selon Ω R /R, à la même vitesse v A/R pour tous, d une rotation autour de Ω R /R. Si M fait partie de, on doit avoir v M/R Ω R /R, soit Ω R /R AM =, c.-à-d. AM Ω R /R : l axe instantané est donc une droite dirigée selon Ω R /R, dont tous les points se déplacent à la vitesse v A/R. 9

2 Michel FIOC Dynamique des systèmes IX.B. Moment d inertie, moment cinétique, énergie cinétique Soient A(t un point de l axe instantané de rotation (t u z (t un vecteur unitaire dirigé selon (t. Choisissons deux vecteurs u x (t u y (t de telle sorte que (A, u x, u y, u z soit un repère orthonormé direct. Posons v A/R = v A/R u z calculons le moment cinétique du solide par rapport à à l aide des coordonnées cylindriques. La quantité L /R = L A/R u z = (m AM v /R u z = ( m [ρ u ρ + z u z ] [v A/R u z + Ω R /R u z (ρ u ρ + z u z ] u z } {{ } ρ u φ = m ( ρ v A/R u φ + Ω R /R ρ 2 u z z Ω R /R ρ u ρ u z = Ω R /R m ρ 2. I = m ρ 2 porte le nom de moment d inertie par rapport à. On a L /R = I Ω R /R. Ceci ne présente d intérêt que si est fixe par rapport au solide (sinon I doit être recalculé à chaque instant si la direction de est fixe dans R. Calculons de même l énergie cinétique d un solide. E c/r = = 2 m v 2 /R = ( 2 m v A/R u z + Ω R /R u z 2 AM 2 2 m (v A/R u z + Ω R /R ρ u φ = ( 2 m v 2 A/R + Ω2 R /R ρ2, E c/r = 2 m v2 A/R + 2 I Ω 2 R /R. Cas particulier du référentiel barycentrique Le centre d inertie G d un solide est fixe par rapport à R. Comme v G/R = est parallèle à Ω R /R, G est un point de l axe instantané de rotation dans le référentiel barycentrique,,, d après le second théorème de Koenig, IX.C. E c/r = 2 I Ω2 R /R E c/r = 2 m v2 G/R + 2 I Ω2 R /R. Théorème de l énergie cinétique Calculons la puissance des forces exercées sur le solide. On a P( F = F v /R = F ( v O /R + Ω R /R O M = F v O /R + Ω R /R ( O M F, soit P( F = v O /R F + Ω R /R MO ( F. 92

3 Chapitre IX. Éléments de dynamique du solide indéformable En sommant sur toutes les forces en distinguant forces intérieures forces extérieures, on obtient P( F = ( v O /R F ext + Ω R /R M O [ F ext ] + ( v O /R F int } {{ } = v O /R + Ω R /R M O [ F int ] } {{ } F ext + Ω R /R M O ( F ext. On constate que, pour un solide indéformable, les forces intérieures ne travaillent pas, donc de c = δw( F ext, que le référentiel soit galiléen ou qu il s agisse du référentiel barycentrique. Dans le référentiel barycentrique, P /R ( F ext = v G/R F ext + Ω } {{ } R /R M G ( F ext = Ω R /R M ( F ext. En posant Ω R /R = dφ/ en multipliant par, on en déduit que δw ( F ext = M ( F ext dφ, où dφ est l angle dont a tourné le solide autour de son axe instantané de rotation dans R pendant. IX.D. IX.D.. Calcul du moment d inertie Théorème de Huygens Soient un axe quelconque passant par G, un axe parallèle à situé à une distance d de. Introduisons les repères orthonormés directs suivants : (G, u x, u y, u z, où u z est parallèle à u x est dirigé de vers ; (O, u x, u y, u z, où GO = d u x, u x = u x, u y = u y u z = u z. IX.D.2. I = = m ρ 2 = ( m x 2 + y 2 + d 2 Moment d inertie d un cylindre ( m x 2 + y 2 = m m + 2 d m x, } {{ } 0 I = I + m d 2. ( [x + d] 2 + y 2 Calculons le moment d inertie d un cylindre homogène de masse m, de rayon R de hauteur h par rapport à son axe de révolution,. Notons µ sa masse volumique. L élément de volume vaut dv = ρ dρ dφ dz. On a m = R 2 π h R 2 π h ρ=0 µ dv = ρ=0 µ ρ dρ dφ dz = π µ R 2 h 93

4 Michel FIOC Dynamique des systèmes I = R ρ=0 2 π h µ ρ 2 dv = R ρ=0 2 π h µ ρ 3 dρ dφ dz = π µ R4 h 2, I = 2 m R2. IX.D.3. Moment d inertie d une sphère Calculons le moment d inertie d une sphère homogène de masse m de rayon R par rapport à un de ses axes de révolution,. Notons µ sa masse volumique. L élément de volume a pour expression dv = r 2 sin θ dr dθ dφ la distance à l axe vaut ρ = r sin θ. On a m = µ dv = µ r 2 sin θ dr dθ dφ = 4 π µ R3 3 I = = 2 π µ R5 5 π µ ρ 2 dv = sin 3 θ dθ. µ r 4 sin 3 θ dr dθ dφ Or, π sin 3 θ dθ = π ( cos 2 θ d(cos θ = I = 2 5 m R2. [ ] π cos θ + cos3 θ = 4 3 3, IX.E. IX.E.. Solide en rotation autour d un axe fixe Axe fixe dans un référentiel galiléen Intéressons-nous au cas où l axe instantané de rotation est fixe dans un référentiel galiléen R. On a alors L /R = I Ω R /R dl /R = M ( F ext. Si l axe instantané de rotation est fixe dans R, il l est également dans R. Le moment d inertie par rapport à c axe est donc constant. On en déduit que I dω R /R = M ( F ext. 94

5 Chapitre IX. Éléments de dynamique du solide indéformable Application au pendule pesant Considérons un pendule pesant pouvant tourner autour d un axe horizontal,, fixe dans R. On repère la position du pendule par l angle φ entre la verticale une droite perpendiculaire à passant par le centre d inertie G du pendule. Notons m sa masse I son moment d inertie par rapport à. Les forces exercées sur le pendule sont la réaction R de l axe le poids P. On a M ( R = 0 où l est la distance de G à. M ( P = m g l sin φ, dω R /R =. φ, I.. φ = m g l sin φ. Dans le cas où toute la masse est concentrée en G, I = m l 2, d après le théorème de Huygens, on rrouve l équation du pendule simple : IX.E.2. l.. φ + g sin φ = 0. Axe fixe dans le référentiel barycentrique Si l axe instantané de rotation n est pas fixe dans R, mais que sa direction l est, on a intérêt à se placer dans R. L axe instantané de rotation est alors fixe dans R. On a L /R = I Ω R /R dl /R = M ( F ext, I dω R /R = M ( F ext. Application : roulement sans glissement Étudions le mouvement d une boule homogène roulant sans glissement sur un plan incliné d un angle α par rapport à l horizontale. Notons r son rayon, m sa masse, I son moment d inertie par rapport à l axe de rotation instantané = (G, u z dans R, C le point de la boule en contact avec le plan à un instant t (cf. figure ci-dessous pour les autres notations. Le roulement étant sans glissement, la vitesse v C/R de C par rapport au plan (fixe dans le référentiel terrestre R, supposé galiléen est nulle : v C/R = v G/R + Ω GC = ẋg u x + Ω R /R u z ( r u y = (ẋ G + Ω R /R r u x =, soit. x G + Ω R /R r = 0. ( La boule est soumise à son poids P, exercé en G, à la réaction du plan, R + R, exercée en C. On a P = m g (sin α u x cos α u y, R = R u y R = R u x, où R = R R = R. Dans le cas d un roulement sans glissement, on a R f s R, où f s est le coefficient de frottement statique. Noter que «roulement sans glissement» ne veut pas dire qu il n y a pas de frottements : au contraire, c est précisément parce qu il y a des frottements que la boule ne glisse pas sur le plan. En appliquant le théorème du centre d inertie à la boule en le proant sur u x, on obtient m.. x G = m g sin α R. (2 95

6 Michel FIOC Dynamique des systèmes G R R C P u y α u x En appliquant le théorème du moment cinétique à la boule dans le référentiel barycentrique de celle-ci en proant sur son axe de rotation = (G, u z, on obtient I. Ω R /R = ( M G [ P] + M G [ R ] + M G [ R ] u z. M G ( P = GG P =. De même, MG ( R = GC R = puisque GC R sont alignés. Enfin, donc M G ( R = GC R = r u y ( R u x = r R u z, En combinant les équations (, (2 (3, on obtient finalement I.. x G = u z. Ω R /R = r R. (3 g sin α + I /(m r 2. 96