CINEMATIQUE. I) Généralités : 1) Définition et champ d étude :

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1 CINEMATIQUE I) Généralités : 1) Définition et champ d étude : Définition : La cinématique a pour objet l étude du mouvement des solides (et des points) sans tenir compte des causes de ce mouvement. Champ d étude : - Il est d usage de travailler en cinématique du point puis du solide. - Cette étude nécessite 2 référentiels : Un spatiale, Un temporelle. - Nous étudierons uniquement les mouvements plans. 2) Dérivation dans différent repère : a) Dérivée d un vecteur de base : Soit ( 0 ; ; ; ), le repère de référence. Et ( 0 ; ; ; z), le repère mobile. Le repère est en rotation suivant l ae, par rapport à. Ce mouvement est caractérisé par le vecteur rotation : Ω /0 = ω. = θ. ω = dθ 0 θ En projetant et dans, il vient : = cos θ. + sin θ. = sin θ. + cos θ. appels : = =.. cos ;. +.. cos ;. = 1.1. cos θ cos π 2 θ. = cos θ. + sin (θ). = =.. cos ;. +.. cos ;. = 1.1. cos π 2 θ cos θ. = sin θ. + cos (θ). Les vecteurs de base et étant fies dans, il vient : d = 0 Donc : d Par suite : d = θ. sin θ. + θ. cos θ. (car θ = f(t) et d après u. v = u. v + u. v ) = θ.

2 Donc : d = 0 d Par suite : d = θ. cos θ. θ. sin θ. = θ. r on sait que : z = et z = et aussi que : Ω /0 = ω. z = θ. z (car z = ) D où : d = θ. (z ) d = θ. (z ) d d = Ω /0 = Ω /0 b) Dérivée d un vecteur dans différent repère : A Le repère est en rotation par rapport à. Ce mouvement est caractérisé par le vecteur Q z rotation : Ω /0 Posons : Q = Q. + Q. + Q z. z Eprimé dans dq Et dq = Q + Q + Q z z = Q + Q + Q z z + Q. d + Q. d + Q z. dz Donc : D où : dq dq = dq + Q. Ω 0 + Q. (Ω 0 ) + Q z. (Ω 0 z ) = dq + Ω (Q. + Q. + Q z. z ) Finalement : dq = dq + Ω Q emarque : Cette relation est vérifiée pour les vecteurs de base. II) Description du mouvement : 1) Trajectoire Vecteur position : a) Définition : M(t) (S) M (t) Définition : Ensemble de positions successives occupées par le point M au cours du mouvement de (S) par rapport au repère fie.

3 b) Coordonnées Cartésiennes : n repère M à l aide du vecteur position. Les coordonnées (; ; z) dépendent du temps : M t = t. + t. + z(t). emarques : en éliminant le paramètre «t», on obtient l équation de la trajectoire. c) Coordonnées Polaires : ρ u(t) θ M(t) M t = ρ t. u(t) M t = ρ t. (cos θ. + sin θ. ) 0 2) Vecteur vitesse : a) Définition : Il s eprime par la dérivée par rapport au temps du vecteur position par rapport au repère fie : V M(t)/0 = dm t V M(t)/0 = d (t). + d (t). + dz (t). V M(t)/0 = t. + t. + z t. b) Priorités : M(t) M(t+ t) V M(t)/0 = lim t 0 M t+ t M t t r M t + t M t = M t + M t + t = M t M(t + t) D où : V M(t)/0 = lim t 0 M t M(t+ t) t emarques : - V M(t)/0 est portée par la tangente à la trajectoire - L unité est le (m. s 1 ) - Il ne faut pas confondre avec la vitesse moenne : V = d t 3) Vecteur accélération : Définition : Il eprime par la dérivée seconde du vecteur position par rapport au temps par rapport au repère fie : a M(t)/0 = d²m t d²t III) Mouvement usuels : 1) Mouvement rectiligne : = dv M (t)/0 t = t. + t. + z t. La trajectoire de M est une droite dans : M M = t. V M(t)/0 = t. a M(t)/0 = t.

4 Mouvement rectiligne uniforme : V = = cste a = 0 Attention : La situation d équilibre et ce mouvement sont décrits par la même relation : - 1 Loi de Newton pour décrire l équilibre : F = 0-2 Loi de Newton pour le mouvement rectiligne uniforme. Mouvement rectiligne uniformément varié : a M(t)/0 = a. avec a = cste Si V M(t)/0 a M(t)/0 = V. a > 0 Mouvement uniformément accéléré Si V M t 0 a M t 0 = V. a < 0 Mouvement uniformément décéléré Vitesse Trajectoire : En intégrant a M(t)/0 = a., on peut trouver la vitesse, puis la position : dv M (t)/ dm t = a. V t = a. t + V 0 = V(t). M t = t = a. t V 0. t + 2) Mouvement circulaire : M θ Soit ( 0 ; ; ; ), le repère de référence. Et ( 0 ; ; ; z), le repère mobile M. - Ecrivons la position de M en coordonnées polaire : M =. ; V M(t)/0 = dm V M(t)/0 =. θ. θ. = d =. d emarque : =, d où : V M(t)/0 =. θ. ( ) V M(t)/0 = θ.. = Ω /0 M Avec : Ω /0 = ω. = θ. La vitesse angulaire s écrit : θ = ω Vecteur rotation de par rapport à - echerche de l accélération du point M : a M(t)/0 = dv M (t)/0 = d(.θ. ) =. d(θ. ) a M(t)/0 =. θ. + θ. d =. θ. + θ. Ω 0 a M(t)/0 =.[ θ. + θ. ] a M(t)/0 =.[ θ. + θ ². ]

5 emarque : a M(t)/0 = a + a Accélération centripète Ae radial Accélération tangentielle Ae tangent à la trajectoire Et θ² > θ : a M(t)/0 est toujours dirigée vers le centre. - Mouvement circulaire uniforme : θ = ω = cste V M(t)/0 =. ω. V =. ω a M(t)/0 =. ω². a =. ω² = V2 3) Mouvement plan sur plan : z Un solide (S) est en mouvement plan si à chaque instant (t) un plan (P) appartenant à (S) coïncide avec un plan (P 0 ). P 0 P 0 emarques : (P) glisse par rapport à (P 0 ), le mouvement se déroule dans la plan (P 0 ) : - 2 translations d ae et - 1 rotation d ae IV) Champ des vitesses d un solide : 0 (S) A B Soit (S) le solide en mouvement par rapport au repère et le repère associé à (S). Nous avons vu la dérivée d un vecteur dans différent repère. Ainsi décrivons la vecteur AB : D où : = + Ω AB, or (S) est fie dans. = 0 et Ω = Ω S 0 Puis : AB = A + B, donc : = db = Ω S 0 AB da Il vient : V B/0 V A/0 = Ω S 0 AB V B/0 = Ω S 0 AB + V A/0 Le champ du vecteur vitesse est équiprojectif Cette relation traduit le champ du vecteur vitesse d un solide (S) par rapport à un repère fie. emarques : cette relation est à rapprocher du champ du vecteur moment : M B = F AB + M A

6 Soit A et B appartenant à (S). V A/0 et V B/0 ont la même projection sur la droite (AB). n désigne par u, le vecteur unitaire de AB : A (S) V A/0 B V B/0 V A/0 u = V B/0 u u V) Composition des mouvements : Soit un mobile (M) en mouvement par rapport à, repère se déplaçant par rapport à : repère fie. 0 n distingue alors plusieurs mouvements du déplacement de M : - Mouvement absolu : mvt de M/ - Mouvement relatif : mvt de M/ - Mouvement d entrainement : mvt de M / Eemple : Mouvement relatif = vitesse du bateau Mouvement d entrainement = vitesse du courant

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