Stabilité matérielle et structurelle de lamifiés élastomère-métal

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1 Stabilité matérielle et structurelle de lamifiés élastomère-métal Stéphane Lejeunes, Adnane Boukamel, Bruno Cochelin Laboratoire de Mécanique et d Acoustique de Marseille École Supérieure d Ingénieurs de Marseille École Généraliste d Ingénieurs de Marseille CCI Marseille Provence Groupe ESIM conférence utilisateurs zebulon p./22

2 Introduction Introduction Stabilité Matérielle Macro Energétique Réduction Conclusion Stabilité matérielle de loi de comportement hyperélastique incompressible. Critères de stabilité Méthodes d identification avec contraintes de stabilité Macro-élément pour la modélisation de lamifié élastomère-métal, approche énergétique. Démarche Comparaison du comportement global avec un modèle E.F. complet Approche par réduction de modèle. Principe et formulation Comparaison du comportement global et local avec un modèle E.F. complet Conclusion. conférence utilisateurs zebulon p.2/22

3 Introduction Introduction Stabilité Matérielle Macro Energétique Réduction Conclusion Application : Butée de Force Centrifuge Fonction : liaison mécanique palerotor, rigide en compression, souple en cisaillement. Caractéristiques : une cinquantaine PSfrag replacements de lamelles (planes ou non). Butée lamifiée de FC Objectif : prédiction du flambement. Difficultés : taille du problème 3D (plus de 2 noeuds), intégration dans l environnement mécanique. PSfrag replacements Butée lamifiée de FC Modélisation 3D non linéaire très lourde -> simplification du problème conférence utilisateurs zebulon p.3/22

4 Stabilité matérielle Conditions d admissibilité et/ou de stabilité d une énergie hyperélastique incompressible L énergie libre ψ doit être positive ou nulle quel que soit l état de déformation. Inégalité de HILL (97) : «Le produit scalaire d un taux de déformation objectif par un taux de contrainte objectif doit être positif» L énergie ψ doit également vérifier la condition de poly-convexité (BALL 977) Ainsi que les conditions de coercivité : lim ψ = λ,λ 2 lim ψ = λ,λ 2 lim ψ = F Id avec λ, λ 2 dilatations principales conférence utilisateurs zebulon p.4/22

5 Stabilité matérielle Forme polynomiale (RIVLIN ET SAUNDERS (95)) eψ(i, I 2 ) = ψ(λ, λ 2 ) = mx i= j= mx i= j= nx a ij (I 3) i (I 2 3) j nx a ij (λ 2 + λ (λ λ 2 ) 2 3)i (λ 2 λ λ 2 + λ 2 2 3) j avec I, I 2 les deux er invariants d un tenseur des déformations λ, λ 2 dilatations principales (λ λ 2 λ 3 = ) Identification Méthode de minimisation de l écart (moindres carrés,... ) sur une combinaison d essais (traction, double-cisaillement, torsion, biaxial) Méthode de HARTMANN (2), minimisation avec contraintes de positivité des paramètres (condition suffisante de stabilité) conférence utilisateurs zebulon p.5/22

6 Stabilité matérielle Identification avec contraintes locales de stabilité 8 >< >: Trouver u U = {v R n vérifiant : det( 2 ψ(λ, λ 2 )) (λ, λ 2 ), λ imin λ i λ imax } er(u) = inf v U {er(v)} u est le jeu de paramètres à identifier, er() est la fonction mesurant l écart entre les valeurs d essais et le modèle hyperélastique. Etapes de la méthode Fixer un domaine de travail, dans l espace des dilatations principales. Ecrire la convexité de l énergie hyperélastique ψ(λ, λ 2 ) en quelques points du domaine. Construire la fonction d écart essais-modèle, ajouter les contraintes de convexité (multiplicateurs de Lagrange). Résolution itérative à l aide d une méthode d UZAWA. conférence utilisateurs zebulon p.6/22

7 Stabilité matérielle Sfrag replacements Résultats d identification (modèle d énergie de MOONEY-RIVLIN) frag replacements ψ λ λ 2 Identification sans contrainte 3 PSfrag replacements.5 ψ λ 3.5 λ 2 PSfrag replacements Identification avec contrainte de positivité des coefficients 4 ψ ψ.5 λ λ 2 Identification avec contrainte de convexité (dans le domaine) λ λ 2 Identification avec contrainte de convexité (hors du domaine) 6 conférence utilisateurs zebulon p.7/22

8 Stabilité matérielle Résultats d identification, modèle d énergie de HAUPT ET SEDLAN (5 TERMES) Double cisaillement Traction Positivite coeffs Convexite locale Sans contraintes Essais.9.8 Positivite coeffs Convexite locale Sans contraintes Essais Contrainte Contrainte Taux de cisaillement Elongation Erreur (somme des écarts au carré) sans contrainte=.34 positivité coeffs=.953 convexité locale=.43 conférence utilisateurs zebulon p.8/22

9 Stabilité matérielle Bilan PSfrag replacements Utiliser une loi de comportement hyperélastique «stable» permet d éviter certains problèmes de non convergence. La méthode proposée permet de prendre directement en compte des conditions nécessaires et suffisantes de stabilité (seulement en quelques points du domaine). Cette méthode s adapte à d autres modèles. PSfrag replacements contrainte normalisée Rivlin N=2 Essai contrainte normalisée Rivlin N=2 Essai déformation déformation conférence utilisateurs zebulon p.9/22

10 Introduction Stabilité Matérielle Macro Energétique Réduction Conclusion Macro Energétique Approche macro-élément PSfrag replacements 2 M 2 N T PSfrag replacements = Q M N T 2 2 Approche énergétique Identifier l énergie de déformation d une strate à partir d une forme analytique. conférence utilisateurs zebulon p./22

11 Macro Energétique Démarche (en déformation planes) Q Cinématique de départ : U F comp = 6 V Fcis 4 V + 5 = 4 5 Fflex = 6 xtan(θ) ytan(θ) xtan(θ) + 5 Forme analytique de l énergie de déformation ; Ed = j+k+l=5 X j,k,l= a jkl (γ j ε k χ l ) On minimise l écart suivant : Ed(γ, ε, χ, a jkl) Z ω Ed ef (u)dω En tenant compte des symétries, on a 35 termes à identifier. conférence utilisateurs zebulon p./22

12 Macro Energétique Cisaillement sur une lamelle 25 2 Macro 2D Abaqus Macro 2D Abaqus 35 3 Macro 2D Abaqus T(N) 5 N(N) M(Nmm) v(mm) v(mm) v(mm) Flexion sur une lamelle 6 5 Macro 2D Abaqus - Macro 2D Abaqus 9 8 Macro 2D Abaqus M(Nmm) N(N) T(N) teta(radians) teta(radians) teta(radians) conférence utilisateurs zebulon p.2/22

13 Macro Energétique Stabilité d un lamifié plan de 2 lamelles Détection de la première bifurcation en compression à l aide d une analyse modale avec pré-chargement..8 Macro 2D Abaqus.6.4 w 2 /w Fc(N) conférence utilisateurs zebulon p.3/22

14 Réduction de modèles 2D-D Point de départ compression cisaillement flexion Régularité de la cinématique à l interieur d une lamelle. Présence d effet de bord sur les extremités de la lamelle. Cinématique rigide des lamelles d aciers. conférence utilisateurs zebulon p.4/22

15 Réduction de modèles 2D-D Démarche Décomposition de la cinématique et de la pression (en déformations planes) : u (x, y) = u a (x). u b (y) p(x, y) = p a (x)p b (y) Décomposition des champs fonction de x suivant une base polynomiale de Legendre : Xn u u (x, y) = i= L i (x) u i b(y) p(x, y) = n p X i= L i (x)p i b(y) avec L (x) =, L (x) = x, L i (x) = (2i + )xli (x) il i (x) i + conférence utilisateurs zebulon p.5/22

16 Réduction de modèles 2D-D Formulation éléments-finis Approximation des champs fonction de y (polynômes de Lagrange) : u(x, y) = p(x, y) = n u X i= n p X i= L i (x) < N u (y) > {u i } L i (x) < N p (y) > {p i } Forme variationnelle des équations d équilibre en formulation mixte : 8 >< >: Z Z Z π : δ F (δ u)dv f. δudv T. δuds = ZΩ Ω Ω F (log(j) (p p ) )δpdv = Ω k v conférence utilisateurs zebulon p.6/22

17 Réduction de modèles 2D-D Formulation éléments-finis Systeme matriciel découlant de la formulation variationnelle au cours des itérations de NEWTON-RAPHSON : " [k t ] [g] [g] t [m p ] # ( { U e } { P e } Condensation statique de la pression : ) = ( {f ext } {r} {i} { P e } = [m p ] ([g] t { U e } + {i}) Le nombre de degré de liberté par noeud du système est donc de : ) n ddl = n u n dim par noeud Post-traitement : on peut écrire l approximation des grandeurs mécaniques (déplacements, contraintes,...) en chaque point d une lamelle sans avoir à raffiner le maillage. conférence utilisateurs zebulon p.7/22

18 Réduction de modèles 2D-D Comparaison de la cinématique sur une lamelle Pour un élément cubique en déplacement et quadratique en pression (suivant y) : modèle 2D modèle 2D modèle 2D modèle réduit (n u = 3, n p = 5) modèle réduit (n u = 3, n p = 5) modèle réduit (n u = 3, n p = 5) conférence utilisateurs zebulon p.8/22

19 Réduction de modèles 2D-D Comparaison du comportement global (sur une lamelle) macro 2D -.5 macro 2D 7 6 macro 2D N(N) N(N) N(N) V(mm) effort normal Theta(degres) effort normal U(mm) effort normal compression T(N) macro 2D T(N) macro 2D V(mm) effort tranchant cisaillement Theta(degres) effort tranchant flexion conférence utilisateurs zebulon p.9/22

20 Réduction de modèles 2D-D Comparaison du comportement local en cisaillement (sur une lamelle) modèle 2D modèle 2D modèle 2D modèle réduit σ 2 modèle réduit σ 22 modèle réduit p p conférence utilisateurs zebulon p.2/22

21 Réduction de modèles 2D-D Stabilité d un lamifié plan de 2 lamelles Comparaison des résultats ABAQUS (2D) et ZéBuLoN (modèle réduit) pour une méthode de continuation de type RIKS ZeBuLoN T= abaqus T= abaqus T= ZeBuLoN T= ZeBuLoN T= abaqus T= abaqus T= ZeBuLoN T=3 T(N) 3 T(N) Incr Incr Sur ZéBuLoN la bifurcation est detectée mais pas traversée. conférence utilisateurs zebulon p.2/22

22 Conclusion Introduction Stabilité Matérielle Macro Energétique Réduction Conclusion Bilan L approche par réduction de modèle permet d obtenir le comportement global et les différents couplages d un lamifié (sur une lamelle). Elle offre la possibilité de post-traiter des informations locales, (contrainte, déformation,...) sur une lamelle avec un faible nombre de ddls. Les résultats sont fortement dépendant de l ordre des polynômes de Legendre (pour la cinématique et la pression). Perspectives Valider cette aproche pour différentes géomètries de lamifié. L étendre à des réductions 3D-2D, 3D-D. Réalisation d une campagne expérimentale. conférence utilisateurs zebulon p.22/22