Calcul propositionnel

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1 Arnaud Labourel Courriel : arnaud.labourel@lif.univ-mrs.fr Université de Provence 29 novembre 2011

2 Principe Connexions Formes propositionnelles But du calcul propositionnel Objectif Formaliser le raisonnement mathématique. Cela permet de : passer sous forme abstraite un raisonnement logique vérifier un raisonnement de manière automatique

3 Principe Connexions Formes propositionnelles Propositions On exprime nos idées sous forme d affirmations. La proposition est l objet mathématique qui formalise l idée intuitive d affirmation. Quelques propositions 2 plus 3 font 5 π est compris entre 6 et 7 La décimale de π qui porte le numéro est un 9 Remarque Une proposition n est pas forcément vraie

4 Principe Connexions Formes propositionnelles Première définition d une proposition Définition provisoire Une proposition est une affirmation qui est soit vraie, soit fausse, mais qui n est pas les deux à la fois. Valeurs de vérité Les proposition se répartissent en deux classes : Les propositions vraies de valeur de vérité V Les propositions fausses de valeur de vérité F Remarque Une affirmation n est pas forcément une proposition

5 Principe Connexions Formes propositionnelles Exemple d affirmations qui ne sont pas des propositions Paradoxe La présente affirmation est fausse Si elle est fausse, elle est vraie. Si elle est vraie, elle est fausse. Pas assez précise tout nombre réel strictement négatif est le carré d un nombre Elle est trop imprécise pour être une proposition car elle peut être interprétée de deux façons : tout nombre réel strictement négatif est le carré d un nombre réel (fausse) tout nombre réel strictement négatif est le carré d un nombre complexe (vraie)

6 Démarche scientifique Principe Connexions Formes propositionnelles Le but de toute activité scientifique est de distinguer parmi les propositions celles qui sont vraies de celle qui sont fausses. Calculer les valeurs de vérité Raisonner = calculer les valeurs de vérité de propositions obtenue en en combinant entre elles des propositions dont les valeurs de vérité sont connues. Les lois qui régissent ces combinaisons on la précision du calcul algébrique On parle de calcul propositionnel

7 Principe Connexions Formes propositionnelles Etude de la façon dont les les propositions sont liées entre elles. On ne va pas s intéresser à des propositions explicites comme : 2 plus 3 font 5. On représentera les propositions par des lettres : proposition P, Q,... Définition Une proposition est n importe quel objet mathématique auquel est associée une valeur de vérité unique (V ou F).

8 Les connexions Propositions Principe Connexions Formes propositionnelles De la même façon qu en algèbre on peut ajouter, retrancher ou multiplier pour obtenir de nouveaux nombres, il nous faut des opérations (appelées connexions) pour créer de nouvelles propositions. Définition : Connexion On appelle connexion tout procédé permettant de fabriquer une proposition Q à partir de propositions données P 1,..., P k, pourvu que la valeur de vérité de la proposition Q ne dépende que des valeurs de vérité des propositions P 1,..., P k. On représente les connexions par des symboles appelés connecteurs (similaire aux opérateurs, +, pour les entiers).

9 Principe Connexions Formes propositionnelles Les trois principales connexions Il y a trois connexions principales : la négation : connecteur la conjonction : connecteur la disjonction : connecteur Remarque A chaque connexion, on va associer une table de vérité : tableaux indiquant la valeur de vérité de la proposition construite en fonction des valeurs de vérité des propositions utilisées.

10 La négation Propositions Principe Connexions Formes propositionnelles Si l on modifie une affirmation en la précédent de Il est faux que on obtient une nouvelle affirmation qu on appelle négation de la première affirmation. Exemple : La négation de 2 plus 3 font 5 est Il est faux que 2 plus 3 font 5. Quand l affirmation possède une valeur de vérité, sa négation possède aussi une valeur de vérité qui est le contraire de celle de l affirmation originale.

11 Table de vérité de la négation Principe Connexions Formes propositionnelles Définition On définit la négation d une proposition P, comme étant la proposition notée P ayant la table de vérité suivante : P P V F F V

12 La conjonction Propositions Principe Connexions Formes propositionnelles Si on prend deux affirmations P et Q et qu on les relie avec le mot et, on obtient une nouvelle affirmation qu on appelle la conjonction. Exemple : La conjonction de 6 est divisible par 2 et 6 est divisible par 3 est 6 est divisible par 2 et 6 est divisible par 3. Quand les deux affirmations possèdent une valeur de vérité, la conjonction possède aussi une valeur de vérité qui est vraie si et seulement si les deux affirmations sont vraies.

13 Table de vérité de la conjonction Principe Connexions Formes propositionnelles Définition On définit la conjonction de deux propositions P et Q, comme étant la proposition notée P Q ayant la table de vérité suivante : P Q P Q F F F F V F V F F V V V

14 La disjonction Propositions Principe Connexions Formes propositionnelles Si on prend deux affirmations P et Q et qu on les relie avec le mot ou, on obtient une nouvelle affirmation qu on appelle la disjonction. Exemple : La conjonction de 6 est divisible par 2 ou 6 est divisible par 3 est 6 est divisible par 2 ou 6 est divisible par 3. Quand les deux affirmations possèdent une valeur de vérité, la disjonction possède aussi une valeur de vérité qui est vraie si et seulement si une des deux affirmations sont vraies (aussi vraie dans le cas où les deux sont vraies).

15 Table de vérité de la disjonction Principe Connexions Formes propositionnelles Définition On définit la disjonction de deux propositions P et Q, comme étant la proposition notée P Q ayant la table de vérité suivante : P Q P Q F F F F V V V F V V V V

16 Exemple de calcul propositionnel Principe Connexions Formes propositionnelles Soient P, Q et R trois propositions. S = P Q est une nouvelle proposition. T = S R est une nouvelle proposition. U = T est une nouvelle proposition. Beaucoup de possibilités pour créer de nouvelles propositions. Peut-on avoir d autres connexions?

17 Principe Connexions Formes propositionnelles Implication Lorsqu on cherche à démontrer qu une proposition est vraie, on fait souvent un raisonnement en deux parties : la proposition P est vraie. P Q : la proposition Q se déduit de la proposition P On peut dire : P entraîne Q P implique Q Si P, alors Q Pour démontrer que l affirmation P entraîne Q est vraie, on suit l idée suggéré par la formulation Si..., alors... : On suppose P vraie et on détermine la valeur de vérité de Q. Si dans ce cas Q est vraie alors P entraîne Q est vraie.

18 Exemple d implication Principe Connexions Formes propositionnelles P entraîne Q P = à partir de 4 tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers Q = à partir de 7 tout nombre impair est la somme de trois nombres premiers On suppose P vraie. Si n est un nombre entier impair plus grand que 7, le nombre (n 3) est pair et plus grand que 4. Puisque P est vraie, (n 3) est la somme de deux nombres premiers x et y. n est la somme x + y + 3 de trois nombres premiers : x, y et 3. On a donc bien P entraîne Q

19 Principe Connexions Formes propositionnelles Attention Remarque Tant qu on a pas prouvé que P est vraie, le fait que P entraîne Q ne prouve pas que Q est vraie. Dans l exemple précédent, personne ne connait la valeur de vérité de P. Conjecture de Goldbach Tout nombre pair n 4 est la somme de deux nombres premiers Vraie pour n

20 Le cas où P est fausse Principe Connexions Formes propositionnelles P entraîne Q P = 2 est égal à 1 Q = Napoléon et Jules César sont une seul et même personne On obtient Si 2 est égal à 1 alors Napoléon et Jules César sont une seul et même personne P entraîne Q est vraie Preuve : Napoléon et Jules César sont deux personnes : mais deux personnes n en font qu une si 2 est égal à 1. Par conséquent, si 2 est égal à 1 alors Napoléon et Jules César sont une seule et même personne

21 Principe Connexions Formes propositionnelles Définition de P entraîne Q Dans un raisonnement, quand on cherche à prouver que Si P, alors Q est vraie, on suppose que P est vraie puis on essaye de prouver que Q est vraie. Deux cas possibles : P est vraie : l hypothèse ne change rien : un raisonnement qui donnait la valeur de vérité de Q donnera toujours la même valeur. P entraîne Q a la même valeur que Q. P est fausse : On convient que P entraîne Q est toujours vraie.

22 Principe Connexions Formes propositionnelles Table de vérité de l implication Définition On définit l implication de deux propositions P et Q, comme étant la proposition notée P Q ayant la table de vérité suivante : Remarque P Q P Q F F V F V V V F F V V V P Q et ( P) Q ont la même valeur de vérité.

23 Exemples Propositions Principe Connexions Formes propositionnelles Exemple La proposition si 1 2 est un nombre entier alors 1 2 est vraie. n est pas un nombre entier P = si 1 2 est un nombre entier est fausse Q = 1 2 n est pas un nombre entier est vraie P Q est donc vraie

24 Principe Connexions Formes propositionnelles De l utilité du parenthéses Remarque Il est indispensable de toujours mettre des parenthèses dans une expression de calcul propositionnel. Exemple : P Q peut se comprendre comme : (P Q) ( P) Q

25 Principe Connexions Formes propositionnelles Variables Les nombres seuls ne suffisent pas à exprimer les fonctions. Il faut utiliser des variables Exemple Si x et y sont deux variables, le résultat du calcul : (((2x)x)y) + (((3y)y)y) est le polynôme 2x 2 y + 3y 3.

26 Principe Connexions Formes propositionnelles Variables propositionnelles On adjoint des variables p, q, r,... qu on appelle variables propositionnelles aux propositions. On obtient des formes propositionnelles. Exemple (p 2 et 2 font 4 ) (( q) ( r)) est une forme propositionnelle qui dépend des variables p, q et r. Les formes (ou formule) propositionnelles sont aux propositions ce que sont les expression polynomiales aux nombres.

27 Principe Connexions Formes propositionnelles Règles de construction Les formules propositionnelles se construisent à partir des 4 règles suivantes : R1 : Une proposition est une formule propositionnelle (constante). R2 : Une variable p est une formule propositionnelle. R3 : Si u et v sont deux formules propositionnelles, u v et u v sont aussi des formules propositionnelles R4 : Si u est une formule propositionnelle, u est aussi une formule propositionnelle Une suite de symboles est une formule propositionnelle quand sa construction dépend uniquement de ces 4 règles.

28 Table de vérité Propositions Principe Connexions Formes propositionnelles La valeur de vérité d une formule propositionnelle ne dépend que des valeurs de vérité de ses variables. On peut représenter ses valeurs dans une table de vérité Exemple : table de vérité de ( p) (q r) p q r ( p) (q r) F F F V F F V V F V F V F V V V V F F F V F V F V V F F V V V V

29 Principe Connexions Formes propositionnelles Quelques définitions Définition : modèle Modèle : choix de valeurs des variables pour une proposition (correspond à une ligne de la table de vérité) Définition : compatibilité Deux formes propositionnelles sont compatibles si elles ont au moins un modèle en commun. Dans le cas contraire, elles sont incompatibles.

30 Principe Connexions Formes propositionnelles Quelques définitions Définition : tautologie Une forme propositionnelle qui a toujours V comme valeur de vérité est une tautologie. Définition : contradiction Une forme propositionnelle qui a toujours F comme valeur de vérité est une contradiction (ou antilogie).

31 Quelques exemples Propositions Principe Connexions Formes propositionnelles La forme propositionnelle ( p) p est une tautologie. La forme propositionnelle ( p) p est une contradiction. ( p) p et ( p) p sont incompatibles. ( p) et ( p) p sont compatibles. p F V ( p) p V V p F V ( p) p F F p F V ( p) V F

32 Principe Connexions Formes propositionnelles Connecter deux formes propositionnelles p q r p q p ( r) (p q) (p ( r)) F F F F F F F F V F F F F V F F F F F V V F F F V F F F V V V F V F F F V V F V V V V V V V F V Méthode Pour connecter deux formes propositionnelles, il faut faire comme si les formes dépendaient de toutes les variables.

33 Conséquence Propositions Principe Connexions Formes propositionnelles Définition Soient f et g deux formes propositionnelles. Quand f g = ( f ) g est une tautologie, on dit que g est une conséquence de f noté g f. On peut aussi dire que g se déduit de f.

34 Modèle et conséquence Principe Connexions Formes propositionnelles Définition Un choix des valeurs de vérité des variables qui donne une proposition vraie s appelle un modèle de la forme propositionnelle. Théorème La forme propositionnelle g est une conséquence de la forme propositionnelle f si chaque modèle de f est un modèle de g.

35 Exemple de conséquence Principe Connexions Formes propositionnelles p r est une conséquence de (p q) (p r) p q r p q p r (p q) (p r) p r F F F V V V V F F V V V V V F V F V F F V F V V V V V V V F F F V F F V F V F V F V V V F V F F F V V V V V V V

36 Modus ponens Propositions Principe Connexions Formes propositionnelles q est une conséquence de p (p q) Modus ponens : p (p q) q p q (p q) p (p q) q F F V F F F V V F V V F F F F V V V V V

37 Modus tollens Propositions Principe Connexions Formes propositionnelles ( p) est une conséquence de ( q) (p q) Modus tollens : ( q) (p q) ( p) p q ( q) (p q) ( q) (p q) ( p) F F V V V V F V F V F V V F V F F F V V F V F F

38 Synonymes Propositions Principe Connexions Formes propositionnelles Définition Deux formes propositionnelles sont synonymes quand elles ont la même table de vérité. Théorème La relation sur les formes propositionnelles définie par est synonyme de est une relation d équivalence.

39 Principe Connexions Formes propositionnelles Exemple de synonymes Contraposée p q et ( q) ( p) sont synonymes. p q (p q) ( q) ( p) ( q) ( p) F F V V V V F V V F V V V F F V F F V V V F F V

40 Prédicat L affirmation n est pair n est pas une proposition car sa valeur de vérité dépend de n. A chaque fois que l on remplace n par une entier particulier on obtient une proposition : 2 est pair est vraie 23 est pair est fausse Définition Cette sorte d affirmation qui porte sur des symboles représentant des éléments variables ou inconnus d un ensemble fixé s appelle un prédicat

41 Univers On peut voir un prédicat comme une application P qui associe une proposition P(x) à chaque élément x d un ensemble U. Définition U est l univers du prédicat P. Exemples Le nombre complexe z a pour module 3 (Univers : C) Le triangle T est isocèle (Univers : ensemble des triangles) Le relation R est réflexive (Univers : ensemble des relations) L application f : N N est bijective (Univers : N N )

42 Poids d un prédicat Propositions Quand l univers d un prédicat est un produit d ensembles, le prédicat apparaît comme une fonction de plusieurs variables. Définition Le nombre de variables est appelé le poids du prédicat. Exemple : Le prédicat a + b = 5 porte sur un objet le couple (a, b) donc il a un poids 1 sur N 2. Le prédicat a + b = 5 porte sur deux objets : les entiers a et b donc il a un poids 2 sur N. Le poids dépends de l ensemble de définition.

43 Assigner des valeurs Assigner une variable En assignant une valeur à l une des variables d un prédicat de poids n, on obtient un prédicat de de poids n 1 Par convention on convient que les propositions sont les prédicats de poids 0, pour que la règle s applique aussi pour n = 1. Exemple Le prédicat a + b = 5 est de poids 2. En remplaçant a par 3, on obtient un nouveau prédicat de poids 1 : 3 + b = 5. En remplaçant ensuite b par 9, on obtient un nouveau prédicat de poids 0 : = 5 (proposition fausse).

44 Ajouter des variables A partir d un prédicat de P de poids n dont l univers est A 1 A 2 A n et d un ensemble B, on peut créer un prédicat Q de poids n + 1 dont l univers est A 1 A 2 A n B. Il suffit de dire que Q(A 1, A 2,..., A n, B) est la même chose que P(A 1, A 2,..., A n ). Cette opération étends le nombre de variables sur lesquelles porte P en déclarant que les nouvelles variables n ont pas d influence sur les propositions obtenues. Exemple A partir de P(n) = le nombre a est positif prédicat sur N de poids 1, on obtient un prédicat Q de poids 2 sur N B en déclarant : Q(n, b) = dans le couple (a, b), le nombre a est positif

45 Connecter des prédicats On peut connecter les prédicats qui portent sur le même univers : Exemples Le prédicat P associe P(x) à x Le prédicat P Q associe à x la proposition P(x) Q(x). Le prédicat P Q associe à x la proposition P(x) Q(x). Avec les prédicats : P = n est pair Q = n est le carré d un entier naturel On peut obtenir : P = il est faux que n soit pair P Q = n est pair ou il est le carré d un nombre premier P Q = n est pair et il est le carré d un nombre premier

46 Connexions de prédicats Pour énoncer un prédicat, on donne un nom à ses variables. A priori, le choix du nom de la variable n a pas d importance : le triangle T est isocèle représente le même prédicat que le triangle K est isocèle. Attention Lorsqu on connecte les prédicats, les noms des variables sont importants.

47 Connexions de prédicats Exemple P(n) = l entier n est pair Q(m) = l entier m est divisible par 3 Pour faire la connexion entre les deux, on les transforme en prédicat de taille 2 : R(n, m) = l entier n est pair S(n, m) = l entier m est divisible par 3 pour obtenir : R(n, m) S(n, m) = l entier n est pair ou l entier m est divisible par 3

48 Prédicat sur un univers U Soit P un prédicat de poids 1 sur l univers U. Puisqu un prédicat associe une proposition P(x) à tout élément x de U, les élémént de U sont triés en deux sous-ensembles : ceux pour lesquels P(x) est vraie et ceux pour lesquelles P(x) est fausse. Le prédicat P permet de construire une application f : U {V, F} qui associe la valeur de vérité de P(x) à x. Généralement, on appelle prédicat une application de U vers B avec F = 0 et V = 1.

49 Quantificateur universel Définition L affirmation : l ensemble des x U pour lesquels P(x) est vraie est l ensemble U tout entier est une proposition (elle est soit vraie soit fausse). On la note en abrégé xp(x) et on lit Quel que soit x, P(x). Remarque : Le symbole s appelle le quantificateur universel

50 Quantificateur existentiel Définition L affirmation : l ensemble des x U pour lesquels P(x) n est pas vide est une proposition (elle est soit vraie soit fausse). On la note en abrégé xp(x) et on lit il existe x tel que P(x). Remarque : Le symbole s appelle le quantificateur existentiel

51 Exemples A partir du prédicat P(n) = l entier n est pair on peut fabriquer deux propositions : Une proposition vraie : np(n) il existe un entier pair Une proposition fausse : np(n) tout entier est pair

52 Valeur de vérité Propositions Soit P un prédicat sur U = {e 1, e 2,..., e n }. np(n) se confond avec P(e 1 ) P(e 2 ) P(e k ) np(n) se confond avec P(e 1 ) P(e 2 ) P(e k ) Quand U est infini, on peut toujours voir np(n) comme une conjonction infinie de propositions et np(n) comme une disjonction infinie de propositions. Si (U) = alors np(n) est fausse et np(n) est vraie.

53 Lier des variables Dans le prédicat P(n) la variable n est libre car on peut encore lui attribuer une valeur. Dans les propositions np(n) et np(n), la variable n est liée. Fait Dans un prédicat de poids n, on peut toujours lier une variable libre à l aide de ou pour obtenir un nouveau prédicat de poids n 1. Exemple A partir d un prédicat P(a, b, c) (prédicat de poids 3) on peut obtenir bp(a, b, c) (prédicat de poids 2) puis a bp(a, b, c) (prédicat de poids 1) et finalement c a bp(a, b, c) (prédicat de poids 0=proposition). Remarque Si les quantificateurs sont différents leur ordre est important.

54 Associations de prédicats Théorème Soit P(a, b) un prédicat de poids 2 ; Alors : Les valeurs de vérité de a bp(a, b), b ap(a, b) et (a, b)p(a, b) sont les mêmes. Les valeurs de vérité de a bp(a, b), b ap(a, b) et (a, b)p(a, b) sont les mêmes. Si b ap(a, b) est vraie alors a bp(a, b) est vraie (la réciproque n est pas forcément vraie) Si a bp(a, b) est vraie alors b ap(a, b) est vraie (la réciproque n est pas forcément vraie)

55 Exemple P(a, b) avec A = 3 et B = 4 On considère un univers A B avec A = 3 et B = 4. On représente le prédicat par un tableau dans lequel les cases correspondent aux valeurs des variables. On remplie le tableau avec les valeurs de vérités associées.

56 a bp(a, b) Propositions L affirmation a bp(a, b) dit que dans chaque ligne, toutes les cases sont à V et donc toutes les cases du tableau sont à V. L affirmation b ap(a, b) dit que dans chaque colonne, toutes les cases sont à V et donc toutes les cases du tableau sont à V. Les deux propositions sont équivalentes. a b V V V V V V V V V V V V

57 a bp(a, b) Propositions L affirmation a bp(a, b) dit qu il existe une ligne dans laquelle on trouve une case V. L affirmation a bp(a, b) dit qu il existe une colonne dans laquelle on trouve une case V. Les deux propositions sont équivalentes. a b F F F F F V F F F F F F

58 b ap(a, b) et a bp(a, b) L affirmation b ap(a, b) dit qu il existe une colonne dans laquelle toutes les cases sont V. L affirmation a bp(a, b) dit que dans chaque ligne, on trouve une case V. La première proposition entraîne la seconde mais elles ne sont pas sont équivalentes. a b F V F F F V F F F V F F a b V F F F F V F F F F V F b ap(a, b) a bp(a, b)

59 a bp(a, b) et b ap(a, b) L affirmation a bp(a, b) dit qu il existe une ligne dans laquelle toutes les cases sont V. L affirmation b ap(a, b) dit que dans chaque colonne, on trouve une case V. La première proposition entraîne la seconde mais elles ne sont pas sont équivalentes. a b F F F F V V V V F F F F a b V F F F F V F V F F V F a bp(a, b) b ap(a, b)

60 Exemple : P(a, b) : a + b = 5 On considère le prédicat P(a, b) de poids 2 sur l univers Z 2 défini par : le couple d entiers relatifs (a, b) est tel que a + b = 5. proposition interprétation valeur (a, b)p(a, b) tout couple (a,b) vérifie a + b = 5 F (a, b)p(a, b) il existe couple (a,b) tel que a + b = 5 V b ap(a, b) il existe b tel que pour tout a on ait a + b = 5 F a bp(a, b) quel que soit a il existe b tel que a + b = 5 V a bp(a, b) il existe a tel que pour tout b on ait a + b = 5 F b ap(a, b) quel que soit b il existe a tel que a + b = 5 V

61 Négation de quantificateur Théorème Soit P(x) un prédicat de poids 1. xp(x) et x P(x) ont la même valeur de vérité. xp(x) et x P(x) ont la même valeur de vérité. Exemple La négation de tout entier n est divisible par 3 est Il existe au moins un entier n qui n est pas divisible par 3.

62 Négation de quantificateurs Soit Q(x) = yp(x, y) un prédicat de poids 1. La négation de Q(x) est : Q(x) = y P(x, y) La négation de xq(x) est x Q(x) = x y P(x, y) Méthode générale Pour obtenir la négation d une proposition, il suffit de remplacer les quantificateurs par des, les quantificateurs par des, et le prédicat par sa négation. Exemple La négation de quel que soit l entier relatif a il existe un entier relatif b tel que a + b = 5 est Il existe un entier relatif a tel que quel que soit l entier b, on ait a + b 5.

63 Connexions de quantificateurs Théorème Soient P et Q deux prédicat sur le même univers. Les propositions x(p(x) Q(x)) et ( xp(x)) ( xq(x)) ont la même valeur de vérité. Si la proposition x(p(x) Q(x)) est vraie alors ( xp(x)) ( xq(x)) est vraie (la réciproque peut être fausse). Les propositions x(p(x) Q(x)) et ( xp(x)) ( xq(x)) ont la même valeur de vérité. Si la proposition ( xp(x)) ( xq(x)) est vraie alors x(p(x) Q(x)) est vraie (la réciproque peut être fausse).

64 Idée de preuve Propositions Soit A l ensemble des x U tel que P(x) est vraie et B l ensemble des x U tel que Q(x) est vraie. A B est l ensemble pour lequel P(x) Q(x) est vraie. A B est l ensemble pour lequel P(x) Q(x) est vraie. ( xp(x)) ( xq(x)) signifie que A = U = B. x(p(x) Q(x)) signifie que A B = U. les deux ont bien la même valeur. ( xp(x)) ( xq(x)) signifie que A ou B n est pas vide. x(p(x) Q(x)) signifie que A B n est pas vide. les deux ont bien la même valeur.

65 Idée de preuve Propositions R 1 : x(p(x) Q(x)) affirme que l on peut trouver un x tel que P(x) et Q(x) soient vraie et donc que A B. R 2 : ( xp(x)) ( xq(x)) affirme que ni A ni B ne sont vides. Il est clair que R 1 entraîne R 2 mais la réciproque peut être fausse. R 3 : ( xp(x)) ( xq(x)) affirme qu un des ensembles A ou B est égal à U. R 4 : x(p(x) Q(x)) affirme que pour tout x dans U, P(x) ou Q(x) est vraie et donc que A B = U. Il est clair que R 3 entraîne R 4 mais la réciproque peut être fausse.

66 Exemple Propositions P(x) = x est un entier pair Q(x) = x est un entier impair proposition interprétation valeur x(p(x) Q(x)) tout entier est à la fois pair et impair F ( xp(x)) ( xq(x)) tout entier est pair et tout entier est impair F x(p(x) Q(x)) il existe un entier à la fois pair et impair F ( xp(x)) ( xq(x)) il existe un entier pair et il existe un entier V impair x(p(x) Q(x)) tout entier est pair ou impair V ( xp(x)) ( xq(x)) tout entier est pair ou tout entier est impair F x(p(x) Q(x)) il existe un entier pair ou impair V ( xp(x)) ( xq(x)) il existe un entier pair ou il existe un entier impair V

67 Propriétés sur N De nombreuses propositions qui concernent les entiers sont construites au moyen d un prédicat de poids 1 et du quantificateur. Exemple Pour tout entier n 0 : P(n) : n = Cette affirmation se note np(n). n(n + 1) 2 Souvent on prouve ces affirmations par récurrence en utilisant le principe de récurrence

68 Principe d induction faible Principe d induction faible Soit P(n) un prédicat de poids 1 sur N. Si la proposition n(p(n) P(n + 1)) est vraie et que P(0) est vraie alors np(n) est vraie. Attention Ne pas oublier de prouver P(0) Méthode : prouver que P(0) est vraie. supposer que P(n) est vraie (hypothèse de récurrence) pour prouver que P(n + 1) est vraie.

69 Exemple Propositions P(n) : n = n(n+1) 2 P(0) est vraie car 0 = 0 On suppose que P(n) est vraie : n = On ajoute (n + 1) aux deux membres : n + (n + 1) = = n(n + 1) 2 n(n + 1) + (n + 1) 2 (n + 1)((n + 1) + 1) 2 P(n + 1) est vraie et donc np(n).

70 Attention Propositions Il faut prouver P(0) est vraie. Q(n) : n = (n+3)(n 2) 2 On suppose que Q(n) est vraie et on ajoute (n + 1) aux deux membres : n + (n + 1) = = (n + 3)(n 2) + (n + 1) 2 ((n + 1) + 3)((n + 1) 2) 2 n(q(n) Q(n + 1)) mais nq(n) est fausse.

71 Variante facile Théorème Soit P(n) un prédicat de poids 1 sur N. Si la proposition n(p(n) P(n + 1)) est vraie et que P(d) est vraie alors quel que soit n d P(n) est vraie. Pour démontrer ce théorème il suffit d introduire le prédicat Q(n) = P(n + d) et d appliquer le principe d induction faible à Q.

72 Principe d induction forte Principe d induction forte Soit P(n) un prédicat de poids 1 sur N. Si la proposition P(0) est vraie et si : n ((P(0) P(1) P(n)) P(n + 1)) est vraie alors np(n) est vraie. Théorème Chacun des deux principes d induction est une conséquence de l autre.

73 Preuve d équivalence Prouvons que le principe d induction faible est une conséquence du principe d induction forte. Supposons acquis le principe d induction forte et considérons un prédicat P(n). Si nous savons que n(p(n) P(n + 1)) est vraie alors on sait que n ((P(0) P(1) P(n)) P(n + 1)) car C A B est une conséquence de A B. Si P(0) est vraie, on peut appliquer le principe d induction forte et obtenir que P(n) est toujours vraie ce qui prouve la validité du principe d induction faible

74 Preuve d équivalence Prouvons que le principe d induction forte est une conséquence du principe d induction faible. Supposons acquis le principe d induction faible et considérons un prédicat P(n). Posons Q(n) = P(0) P(1) P(n), Si P(0) est vraie alors Q(0) est vraie car P(0) = Q(0).

75 Preuve d équivalence n ((P(0) P(1) P(n)) P(n + 1)) est vraie si et seulement si n(q(n) P(n + 1)) est vraie. Cette proposition a pour conséquence n(q(n) Q(n) P(n + 1)) car (A A B) est une conséquence de (A B). Puisque Q(n) P(n + 1) = Q(n + 1), cela donne n(q(n) Q(n + 1)). En utilisant le principe d induction faible, on peut prouver que Q(n) est toujours vraie. Par conséquent np(n) est vraie et le principe d induction forte est prouvé.

76 Variante facile Théorème Soit P(n) un prédicat de poids 1 sur N. Si la proposition n ((P(d) P(d + 1) P(n)) P(n + 1)) est vraie et que P(d) est vraie alors quel que soit n d P(n) est vraie. Pour démontrer ce théorème il suffit d introduire le prédicat Q(n) = P(n + d) et d appliquer le principe d induction forte à Q.

77 Exemple d utilisation du principe d induction forte Montrons que P(n) = l entier naturel n est un nombre premier ou un produit de nombres premiers est vraie pour tout n 2. P(2) est vraie car 2 est un nombre premier. Hypothèse de récurrence : P(2) P(3) P(n) est vraie. Si (n + 1) est premier alors P(n + 1) est vraie. Si (n + 1) n est pas premier il est le produit de deux nombre p et q compris entre 2 et n. L hypothèse de récurrence dit que p et q sont soit premiers ou produit de nombres premiers, ce qui fait que P(n + 1) est vraie. n ((P(2) P(3) P(n)) P(n + 1)) est vraie pour tout n et donc P(n) est vraie pour tout n 2.

78 Quelques théorèmes 1 Théorème Le principe de récurrence équivaut au fait que N est bien ordonné. Ensemble bien ordonné : ensemble dans lequel chaque sous-ensemble a un plus petit élément.

79 Quelques théorèmes 2 Axiomes de Peano L application s : N N définie par s(x) = x + 1 possède trois propriétés : 1 s est injective. 2 Il n existe pas d élément x dans N tel que s(x) = 0 3 La seule partie A N qui contient 0 et qui est telle que s(a) A est N tout entier. Théorème Le troisième axiome de Peano équivaut au principe d induction faible.

80 Quelques théorèmes 3 On emploie le mot axiome car ces propriétés définissent N Théorème Considérons un ensemble N muni d un élément particulier α N et d un application σ : N N qui possède trois propriétés : 1 σ est injective. 2 Il n existe pas d élément x dans σn tel que σ(x) = α 3 La seule partie A N qui contient α et qui est telle que σ(a) A est N tout entier. Alors il existe une bijection entre N et N qui fait correspondre α à 0 et σ à s.