TS DEVOIR n 3 lundi 13 novembre lim x. 1. Lire dans le tableau les limites de f en et en +. En déduire une asymptote à la courbe de f.

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1 TS DEVOIR 3 ludi 3 ovembre 207 sur 4,5 poits Calculer les trois ites suivates : a) 3x 4 x x 2 x b) 2si( x) x x c) 8x 5 x 2 x 3 2 sur 3,5 poits Soit f ue foctio défiie sur dot o doe ci-dessous le tableau de variatios x variatios de f Lire das le tableau les ites de f e et e + E déduire ue asymptote à la courbe de f 2 Soit g la foctio telle que g(x) = Cg est la courbe représetative de g f(x) a Détermier l esemble de défiitio de g b Détermier la ite de g e puis celle de g e 3 par valeurs iférieures à 3 c Iterpréter graphiquemet ces ites 3 sur 6 poits O dispose de deux ures et d u dé cubique bie équilibré dot les faces sot umérotées de à 6 L ure U cotiet trois boules rouges et ue boule oire L ure U 2 cotiet trois boules rouges et deux boules oires Ue partie se déroule de la faço suivate : le joueur lace le dé ; si le résultat est, il tire au hasard ue boule das l ure U, sio il tire au hasard ue boule das l ure U 2 O cosidère les évèemets suivats : : «obteir e laçat le dé» B : «obteir ue boule oire» a Costruire u arbre podéré traduisat cette expériece aléatoire b Motrer que la probabilité d obteir ue boule oire est 3 8 c Sachat que l o a tiré ue boule oire, calculer la probabilité d avoir obteu e laçat le dé

2 2 O coviet qu ue partie est gagée lorsque la boule obteue est oire Ue persoe joue dix parties idépedates e remettat, après chaque partie, la boule obteue das l ure d où elle proviet O ote X la variable aléatoire égale au ombre de parties gagées a Justifier que X suit ue loi biomiale dot o doera les paramètres b Ecrire l expressio de P(X=3) puis doer u résultat arrodi à 0-4 de cette probabilité c Détermier ( e expliquat le calcul ) la probabilité que la persoe gage au mois quatre parties O doera u résultat arrodi à 0-4 d O doe le tableau suivat : Soit N u etier compris etre et 0 O cosidère l évéemet : «la persoe gage au mois N parties» partir de quelle valeur de N la probabilité de cet évéemet est-elle iférieure à? ( justifier votre répose) 0 4 sur 3 poits O défiit sur la foctio f par f ( z) (3 4 i) z 5z + Calculer l image par f de + 2i 2 Das le pla complexe mui d u repère (O ; u, v ), détermier l esemble des poits M d affixe z tels que f(z) soit u réel 3 Résoudre das l équatio : f () z f z 5 sur 3 poits 23 La suite (u ) est défiie pour tout etier aturel par : u 0 = 2 et u u 3 27 a Soit v 23 = u b Exprimer v e foctio de puis u e foctio de c E déduire que la suite ( u 23 ) coverge vers 2 a Soit u etier aturel supérieur ou égal à Démotrer que k k b La suite ( w ) est défiie par avec décimales cosécutives égales à 7 Démotrer que la suite ( v ) est géométrique ( o précisera la raiso et le premier terme v 0 ) isi w 0 =,2 ; w =,27 et w 2 =,277 E utilisat le 2a démotrer que la ite de la suite (w ) est u ombre ratioel r (c est-à-dire le quotiet de deux etiers)

3 Correctio a) 3x 4 et x² 0 x x De plus, o sait que Doc ( par quotiet) 3x 4 x 2 x x b)pour tout réel x o a : si x d où x, 2 2si x 2 O cherche la ite lorsque x ted vers +, o peut doc cosidérer que x > ce qui etraîe que x est égatif strictemet O divise chaque membre de l iégalité précédete par x, o obtiet : 2 2si x 2 x, ( l ordre a chagé!) x x x 2 2 2si( x) Or, 0 et 0 doc, d après le théorème des gedarmes, 0 xx x x x x 8x5 8x c) 4 4 et X 4 2 doc ( par compositio ) x 2x 3 x 2x x X 4 2 O lit : f( x) et f( x) 0 x x 8x 5 2 x 2x 3 De la deuxième ite, o déduit que la droite d équatio «y=0» est asymptote horizotale à Cf e + 2 a La foctio g est pas défiie pour x =3 doc g est défiie sur \{3} b f( x) d où : g( x) 0 x x x f( x) 0 x 3 Le sige de f est doé par le tableau x + sige de x² Sige de f(x) + 0 N 3 D où gx ( ) x 3 x 3 c Des deux ites précédetes, o peut déduire que la droite d équatio «y = 0» est asymptote horizotale à Cg e la droite d équatio «x = 3» est asymptote verticale à Cg a Le texte doe P() ;P 2 (B) ;P (B) O peut doc établir u arbre de probabilités e complétat par déductio les probabilités maquates :

4 b D après la formule des probabilités totales o a P(B)= P( B) + P( B) = P( ) P ( B) P( ) P ( B) Doc la probabilité d obteir ue boule oire est bie égale à 3/8 P( B) c O cherche ici P B() P 6 4 B()= P(B) La probabilité d obteir u sachat qu o a obteu ue boule oire est /9 2 a Chaque partie a deux issues : gager avec ue probabilité p=3/8 ( succès) ou pas C est ue épreuve de Beroulli Et il y a 0 répétitios de faço idetique et idépedate de ces parties Doc la variable aléatoire X qui doe le ombre de parties gagées suit ue loi biomiale de paramètres =0 et p= 3/8 b La probabilité de gager exactemet trois parties est P(X=3)= ( 0 3 ) (3 8 )3 ( 3 8 )7 La calculatrice doe ue valeur arrodie à 0 4 près : 0,2357 c O cherche ici P( X 4) (Les calculatrices e doat que les probabilités de la forme P( X k) o utilise l évéemet cotraire) P( X 4) = P ( X < 4) = P( X 3) l aide de la calculatrice, o trouve La probabilité de gager au mois quatre parties sur dix est eviro 0,5533 d O cherche maiteat à partir de quel etier N o a P(X N) 0, P(X N) 0, P(X <N) 0, P(X < N) 0,9 D après le tableau doé o déduit que à partir de N =7, la coditio est remplie 4 f ( 2 i) (3 4 i)( 2 i) 5( 2 i) 2 O pose z= x+iy avec x et y réels f ( z) (3 4 i)( x iy) 5( x iy) 3x 4 y i(4x 3 y) 5x 5yi (8x 4y ) i(4x 2 y) f ( z) réel Im( f ( z)) 0 4x 2y 0 y 2x Coclusio : l esemble des poits M cherchés est la droite d équatio y = 2x (Remarque : le calcul fait au pour f (+2i) doait u réel ce qui est cohéret avec l esemble trouvé ) 3 f ( z) (3 4 i) z 5z et f ( z) (3 4 i) z 5z f ( z) f ( z ) (3 4 i) z 5z (3 4 i) z 5z 8iz 0 z 0 z 0

5 Coclusio : S = {0} Remarque : o peut aussi résoudre e utilisat les écritures algébriques de f(z) et de f() z, N a Pour tout etier, v u u u ( u ) v La suite ( v ) est doc géométrique de raiso q= /3 et de premier terme v0 u0 2 b Pour tout etier, v = v 0 q = 3 ( 3 ) et u = v + 23 = 3 ( 3 ) c Comme < /3 < o a 0 et doc u 3 La suite ( u ) est doc bie covergete vers 23 2 k a 0 k 2 k20 k ( car c est la somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique de premier terme / 0 ² et de raiso /0) 0 9 ( détails de calculs : 9 et et ) ) Et o a bie : k k b etcdoc w,2 ² w 2 7( ) 2 ( ) 2 e utilisat le résultat du a Or 0 car 0 doc 0 doc ( ) Et fialemet w La ite de la suite (w ) est doc 23/ et c est bie u ombre ratioel r Remarque :( hors programme de Ts actuel) Les deux suites ( u ) et ( w ) sot e fait «adjacetes» : la suite (u ) est décroissate la suite (w ) est croissate ( w - u ) = 0 Et les deux suites sot doc covergetes vers le même ombre

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