Suites. 1 Notion de matrice-vocabulaire Exemple d utilisation Définitions et vocabulaire... 2

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1 Table des matières 1 Notion de matrice-vocabulaire Exemple d utilisation Définitions et vocabulaire Multiplication par un réel Exemple Addition-Multiplication par un réel Multiplication de deux matrices Produit par une matrice colonne Produit de deux matrices Définition Utilisation de la calculatrice 4 5 Inverse d une matrice 6 6 Systèmes linéaires 7 1 Notion de matrice-vocabulaire 1.1 Exemple d utilisation Quatre candidats a un examen ont obtenu les notes (sur 20) suivantes : Candidat mathématiques français anglais n o n o n o n o Exemple 1 : Notes à un examen Compléter ci-dessous pour représenter les données. Que représente la première ligne? la seconde colonne? M La première ligne représente les notes du candidat n o 1 la seconde ligne représente les notes de français des candidats. 1/8

2 1.2 Définitions et vocabulaire ( ) Une matrice est un tableau de nombres. A est une matrice à deux lignes et trois colonnes. Une matrice ligne est une matrice ne B ( ) est une matrice ligne. contenant qu une seule ligne. 1 Une matrice colonne est une matrice ne C 2 est une matrice ligne. contenant qu une seule colonne Une matrice carrée est une matrice D est une matrice carrée. ayant le même nombre de lignes et de colonnes. Une matrice symétrique est une matrice carrée dont les termes symétriques par rapport à la diagonale sont égaux. Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les seuls termes non nuls sont ceux de la diagonale. 2 Multiplication par un réel 2.1 Exemple E est une matrice symétrique E est une matrice diagonale Exemple 2 : Avec les données de l exemple 1 On décide de mettre ces notes sur 40 au lieu de 20. Donner la matrice correspondante. On multiplie les notes par 2 : M Addition-Multiplication par un réel Définition : Somme de deux matrices Soit M et M deux matrices ayant le même nombre de ligne et de colonnes, la matrice M +M s obtient en ajoutant terme à terme les coefficients de M et de M. Définition : Multiplication d une matrice par un réel Soit M une matrice et k un réel, la matrice km s obtient en multipliant tous les coefficients de la matrice M par le réel k Exemple 3 ( ) Soit la matrice A et la matrice B Donner A, 2A, A + B et A B ( 7 8 ) /8

3 ( ) A donc A A A + B A B ( 2 4 ) ( 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8 10 ) ( 6 6 ) Multiplication de deux matrices 3.1 Produit par une matrice colonne Exemple 4 Coefficients des disciplines Les trois disciplines ont pour coefficient 4 en mathématiques, 5 en français et 3 en anglais. Donner la matrice colonne donnant le nombre total de points (avec les notes sur 20) de chaque candidat On a M et la matrice colonne des coefficients est C La matrice colonne T donnant le nombre de points de chaque candidat est donc : T T est le produit de M par C noté M C 3.2 Produit de deux matrices Exemple 5 Produit de deux matrices ( ) Soit A et B Calculer le produite A B Technique : La matrice B est constituée de deux colonnes et il faut effectuer le produit de A par la 2 3 matrice colonne 2 (première colonne de B) puis par la matrice colonne 4 (deuxième colonne de 5 3 B). ( ) ( 2) ( 3) ( 2) ( 3) /8

4 ( 13 ) A est une matrice à n A lignes et p A colonnes et B une matrice à n B lignes et p B colonnes. Pour pouvoir calculer le produit A B, il faut que p A n B et on obtient une matrice à p a colonnes et n B lignes. Schématiquement on a : 3.3 Définition Définition : Produit d une matrice par une matrice colonne Soit A une matrice n p ( p lignes et n colonnes) et B une matrice colonne avec p lignes, a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b Le produit de A... par B a p1 a p2... a pn b n a 11 b 1 + a 12 b 2 + a 13 b a 1n b n a 21 b 1 + a 22 b 2 + a 23 b a 2n b n est A B.. a p1 b 1 + a p2 b 2 + a p3 b a pn b n 4 Utilisation de la calculatrice Avec les matrices M et la matrice colonne des coefficients est C 5 de l exemple : /8

5 5/8

6 6/8

7 5 Inverse d une matrice Définition : matrice unité La matrice unité d ordre n est la matrice carrée diagonale à n lignes et n colonnes dont les coefficients sont égaux à 1 I 2 ( ) 1 0 est la matrice unité d ordre Propriété : Produit d une matrice unité et d une matrice carrée Soit A une matrice carrée d ordre n, A I n I n A I n Définition : inverse d une matrice Soit A une matrice carrée d ordre n, A est un inversible s il existe une matrice carrée d ordre n notée A 1 telle que A A 1 I n Propriété : inverse d une matrice carrée d ordre 2 (admise) ( ) a b Une matrice carrée d ordre 2, A est inversible si et seulement si ad bc 0 c d Exemple 6 : inverse d une matrice carrée d ordre 2 ( ) 2 3 Soit A. 3 4 Déterminer si elle existe, la matrice inverse de la matrice de A ( 0 donc ) A est inversible. a b On cherche A 1 c d ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 a b 2a + 3c 2b + 3d 1 0 A A c d 3a + 4c 3b + 4d 0 1 Il faut résoudre les systèmes d équations 2a + 3c 1 3a + 4c 0 2a + 3c 1 3a + 4c 0 9c 8c 3 0 3L 1 2L 2 8a 9a 4 0 4L 1 3L 2 et 2b + 3d 0 3b + 4d 1 c 3 a 4 2b + 3d 0 9d 8d 0 2 3L 1 2L 2 d 2 3b + 4d 1 8b 9b 0 3 4L 1 3L 2 b 3 ( ) 4 3 donc A Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice en saisissant la matrice A et en calculant A 1 ou bien en saisissant A et A 1 et en calculant A A 1 6 Systèmes linéaires Exemple 7 : avec un système linéaire à deux inconnues 2x + 3y 5 On veut résoudre le système d équations (S) : 3x + 4y 6 7/8

8 ( ) ( ) ( ) 2 3 x 5 L écriture matricielle du système est A X B avec A, X et B 3 4 y donc A est inversible et le système admet donc une unique solution. ( ) 4 3 A 1 (voir section) 3 2 AX B A 1 AX A 1 B X ( A 1 B) ( ) ( ) X La solution est le couple ( 2; 3). Penser à vérifier avec la calculatrice en utilisant les matrices ou le MENU EQUA puis SIMUL 8/8