ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

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1 CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Direcio des Admissios e cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS D ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUES II Aée 25 La préseaio, la lisibilié, l orhographe, la qualié de la rédacio, la claré e la précisio des raisoemes erero pour ue par imporae das l appréciaio des copies. Les cadidas so iviés à ecadrer das la mesure du possible les résulas de leurs calculs. Ils e doive faire usage d aucu docume : l uilisaio de oue calcularice e de ou maériel élecroique es ierdie. Seule l uilisaio d ue règle graduée es auorisée. L obje du problème es d éudier quelques propriéés d u esimaeur du paramère p d ue loi géomérique. Parie I. Formule du biôme égaif. Pour ou couple (,r) d eiers aurels els que 6 r 6, o rappelle la formule du riagle de Pascal : ( ) = +. Morer que pour ou eier r de [[; ]], o a : ( r ) = P r. 2. Soi (,r) u couple d eiers aurels, els que 6 r 6. Pour ou réel x de ],[, o dé i la focio P f r; par : f r; (x) = r x. (a) Morer, pour ou réel x de ]; [, l égalié : ( x)f r; (x) = xf r ; (x) ( ) x+. (b) O suppose l eier r xé. Morer, lorsque ed vers +, l équivalece : ( r )!+ 3. Soi x u réel xé de ]; [ e soi r u eier aurel xé. O veu éablir l exisece de la limie de f r; (x) lorsque ed vers +, e déermier la valeur de cee limie. (a) Jusi er l exisece e doer la valeur de lim f ;(x) e lim f ;(x).!+!+ (b) Soi r u eier aurel o ul. O suppose que, pour ou réel x de ]; [, o a : Morer que, pour ou réel x de ]; [, lim f r ;(x) = xr!+ ( x) r : lim f r;(x) =!+ x r + ( x) r+. Aisi, X r x = r r!. x r ( x) r+. /5

2 Parie II. Développeme e série de l( x) Soi x u réel de ]; [:. Morer, pour ou eier de N, l égalié : 2. À l aide d u ecadreme simple, morer que : lim xr d = X xr!+ = x. d =. 3. E déduire la covergece de la série de erme gééral x aisi que l égalié + X = x = l( x). Parie III. Loi biomiale égaive. Toues les variables aléaoires qui ierviee das cee parie so dé ies sur u même espace probabilisé (; A; P ). Soi p u réel de ]; [. O pose q = p, e o cosidère ue variable aléaoire X à valeurs das N, qui sui la loi géomérique de paramère p. O rappelle que pour ou eier de N, P (X = ) = pq.. Calculer la valeur de l espérace E(X) e de la variace V (X) de la variable aléaoire X. 2. O cosidère la variable aléaoire Y dé ie par Y = X. (a) Déermier l esemble des valeurs prises par Y aisi que la loi de probabilié de Y. (b) Morer que Y adme ue espérace E(Y ), que l o calculera e focio de p e q. (c) Pour ou eier i supérieur ou égal à 2, éablir l exisece du mome E(Y i ) d ordre i de Y. 3. Soi X e X 2 deux variables aléaoires idépedaes, à valeurs das N, qui suive la même loi géomérique de paramère p. O pose : S = X, S 2 = X + X 2, Y 2 = 2 S 2 : (a) Déermier la loi de probabilié de chacue des variables aléaoires S 2 e Y 2. (b) Éablir l exisece de l espérace E (Y 2 ) de la variable aléaoire Y 2. (c) Calculer cee espérace e focio de p e q. 4. O cosidère ue suie (X ) 2N de variables aléaoires à valeurs das N, idépedaes, de même loi X géomérique de paramère p. Pour ou eier de N, o pose S = X. (a) Calculer l espérace E(S ) e la variace V (S ) de la variable aléaoire S. (b) Morer que la loi de probabilié de la variable aléaoire S es doée, pour ou eier s de N par : si s <, P (S = s) = si s >, P (S = s) = s p q s. 5. Pour ou eier de N, o pose Y = S. = (a) Préciser l esemble des valeurs prises par la variable aléaoire Y aisi que la loi de probabilié de Y. (b) Soi u réel quelcoque de [; [. Morer que, pour ou m de Z, la série de erme gééral s m X s m s A, es covergee. E déduire, e pariculier, l exisece des momes d ordre e 2, E(Y ) s> e E(Y 2 ) de la variable aléaoire Y. 2/5

3 Parie IV. Ue esimaio pocuelle du paramère p. Soi p u réel de ]; [. Das cee parie, o cosidère ue variable aléaoire réelle X à valeurs das N, qui sui ue loi géomérique de paramère p icou. O pose q = p. Pour ou eier aurel o ul, o cosidère u -échaillo (X ; X 2 ; ::::; X ) de variables aléaoires à valeurs das N, idépedaes, de même loi que X. Les variables aléaoires X; X ; X 2 ;...; X so dé ies sur u même espace probabilisé (; A; P ). O pose X = S =. Y. Morer que X es u esimaeur sas biais pour le paramère p. Quel es le risque quadraique de X e p? 2. Pour ou eier de N, o oe h e ' les applicaios dé ies sur [; [ à valeurs das R elles que : 8 2 [; [; h () = +X s= s s +X s ; ' () = s= s 2 s s O adme das oue la suie du problème, que h es de classe C e que pour ou réel de [; [, la dérivée h de h véri e : h () = +X s= s s : O adme égaleme que la focio ' es dérivable sur ]; [, de dérivée ', e que pour ou de ]; [, ' () = h (). (a) Morer que E(Y ) = p h (q). q Éablir que, pour ou q de [; [, o a : h (q) = (b) À l aide du chageme de variable y = Z h (q) = q=p y + y dy. Z q ( ) d., que l o jusi era, morer que pour ou q de [; [, E déduire, e uilisa ue iégraio par paries, que l o peu écrire pour ou q de [; [, h (q) = q p + Zq=p y ( + y) 2 dy. 3. Pour ou eier de N, soi b la focio dé ie sur ]; [ à valeurs réelles qui, à ou réel p de ]; [ associe b (p) = E(Y ) p. ( b représee le biais de Y pour esimer p ) (a) Morer que b ( p) = p Zq=p y q ( + y) 2 dy. (b) E déduire que la suie (b (p)) 2N es covergee e préciser sa limie. Calculer lim E(Y ).!+ (c) À l aide d ue iégraio par paries, morer l égalié : b (p) = pq + o. 3/5

4 Parie V. Limie de la variace de Y. Le coexe de cee parie es ideique à celui de la parie IV.. (a) E uilisa la formule éablie das la quesio IV.2.b, morer que, pour ou eier de N, h () lorsque ed vers par valeurs supérieures. h () h () (b) E déduire que pour ou réel q de ]; [, l iégrale d es covergee e que ' (q) = d. 2. (a) Pour ou eier de N, e pour ou réel de ]; [, o pose H () = Morer que, pour ou de ]; [, o a ' () = ( ) + H () (b) Éablir l exisece de l iégrale 3. (a) Éablir l ecadreme suiva : 6 H () d, e e déduire l égalié ' (q) = H () (b) Morer, pour ou réel q de ]; [, l égalié p q E déduire que lim R!+ q (c) O désige par V (Y ) la variace de Y. Calculer d 6 h +(q). E déduire + lim d = q p d = p 2 lim V (Y ).!+ =( R ) q R!+ Zq=p y ( + y) 2 dy. q ( ) d + R p q y ( + y) 3 dy: H () H () d = : d. Parie VI. U iervalle de co ace du paramère p Das cee parie, le coexe es ideique à celui des deux paries précédees.. (a) E uilisa le résula de la quesio IV.3.c, morer que, lorsque ed vers + : (E(Y )) 2 = p 2 + 2p2 q + o (b) O adme que, lorsque ed vers + : E(Y 2 ) = p 2 + 3p2 q Éablir que, lorsque ed vers +, V (Y ) p2 q. : + o 2. Pour ou eier de N, o pose T = Y p r. p 2 q O adme que la suie de variables aléaoires (T ) 2N coverge e loi vers ue variable aléaoire T qui sui la loi ormale cerée, réduie. Cee quesio a pour objecif la déermiaio, pour assez grad, d u iervalle de co ace du paramère icou p, au risque doé. Aureme di, il s agi de rouver des variables aléaoires I e J, focios de Y elles que P (I 6 p 6 J ) =. (a) Soi a, le réel sriceme posiif el que P (T > a ) =. Pour assez grad, o peu cosidérer que 2 : P ( a 6 T 6 a ) = : r q E déduire l égalié : P Y r q a p 6 p 6 Y + a p 4/5 =.

5 (b) Morer que l o peu choisir les saisiques I e J de la faço suivae : I = Y 2a 3 p p e J = Y + 2a 3 3 p p : 3 (c) O suppose que = 9. U échaillo observé x ; x 2 ;...; x 9 de réalisaios des variables aléaoires X ; X 2 ;...; X 9 a fouri le résula suiva : x 9 = X9 x i = 4. 9 i= Calculer la réalisaio y 9 de la variable aléaoire Y 9. O se doe u iveau de risque =,5; le ombre a ;5 es à peu près égal à 2. 2 Sacha que 45 p,26, rouver u iervalle de co ace réalisé qui coiee le paramère icou 3 p avec u iveau de co ace au mois égal à,95. 5/5

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