Fiche sur suites et calculatrices pour les calculatrices TI

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1 Fiche sur suites et calculatrices pour les calculatrices TI Objectifs : O doe ue suite. O veut obteir : - u tableau de valeurs des termes de la suite ; - ue représetatio graphique des termes de la suite. Pla : Suites du type u Suites du type u f u f.. pages 2 à 4 Quelques suites particulières :.. pages 5 à 7 Suites défiies par des sommes ou des produits.. page 8 Suites récurretes doubles... pages 8 à 0 Suites «imbriquées».. pages 0 et Suites auxiliaires (suite défiie e foctio d ue autre) page 2 Exercices. pages 3 à 7

2 Suites du type u f Exemple : O se propose de tabuler et de représeter graphiquemet la suite u défiie sur par 2 u 5 4 pour tout etier aturel. La suite u est défiie e mode explicite : o coaît l expressio du terme gééral e foctio de. Deux remarques pour s adapter aux otatios et au foctioemet de la calculatrice : La suite est défiie sur. La plus petite valeur de est doc 0. O peut utiliser la otatio foctioelle avec parethèses pour écrire 2 Cette otatio est utilisée par la calculatrice. u 5 4. O appuie sur la touche mode puis o sélectioe l optio Seq ou Suit. O appuie esuite sur la touche f x. U écra s affiche permettat de défiir la suite u. Mi u u Mi 2

3 O remplit la première lige : Mi 0. E effet, la suite u est défiie sur doc la plus petite valeur de est 0. O remplit la deuxième lige e tapat l expressio de la suite u. O utilise la touche x, t,, pour. O obtiet doc à l écra : Mi 0 u 5 4 u 2 Mi o écrit rie Pour obteir le tableau de valeurs de la suite, o procède de la même faço que pour ue foctio : 2de graphe. Paramétrer au préalable das déf table (e tapat sur les touches 2de feêtre ) de maière à ce que le début de la table commece à 0 et que l o ait u pas de. Pour obteir u terme particulier de la suite, il y a deux méthodes : ère méthode : O sélectioe Ask (au lieu du Auto) ou o tape 2de 7 et o tape l idice du terme dot o veut obteir la valeur. u 0 46 Exemple : 2 e méthode : itéressate O écrit simplemet " u" (e faisat 2de 7 ) puis " 0 " ) " à l écra ormal. Pour obteir la représetatio graphique sous la forme d u uage de poits, o appuie sur trace (adapter au préalable la feêtre graphique). O obtiet u «uage» de poits. Ce uage de poits sert à visualiser graphiquemet la suite. Ce type de représetatio graphique est surtout itéressat lorsque l o a plusieurs suites. 3

4 Précisio : le problème de l esemble de défiitio L esemble de défiitio a ue grade importace. C est lui qui coditioe la valeur du Mi que l o doit doer à la calculatrice. Exemple : O cosidère la suite u défiie par u 2. La suite u est défiie à partir de l idice 2 (car ). O doit doc retrer la valeur Mi 2. Si o retre ue autre valeur (comme ou 0), la suite e sera pas défiie. O aura «error». Autre moye pour obteir des valeurs sas utiliser le mode suite Pour obteir des valeurs d ue suite e partat de 0 avec u pas de. u défiie par ue relatio du type u f, o peut tout simplemet retrer la foctio f puis défiir le tableau de valeurs Pour avoir u tableau de valeurs de suite : Défiir table : DébTbl 0 Pas Idpt : Auto Calculs : Auto 4

5 Suites du type u f u Il s agit d ue suite défiie par ue relatio de récurrece simple (suite récurrete d ordre ). Exemple : O se propose de tabuler et de représeter la suite u défiie sur par so premier terme u0 0 (terme iitial) et la relatio de récurrece u 0,5u pour tout etier aturel. La suite u est défiie e mode récurret : o e coaît pas l expressio du terme gééral e foctio de. Deux remarques pour s adapter aux otatios et au foctioemet de la calculatrice : La suite est défiie sur. La plus petite valeur de est doc 0. La relatio de récurrece peut s écrire : u 0,5u (pour ). O peut utiliser la otatio foctioelle avec des parethèses pour écrire les termes de la suite. u 0,5 u. O obtiet aisi la relatio de récurrece sous la forme : u désige l image de par la foctio u. u désige l image de par la foctio u. O appuie sur la touche mode puis o sélectioe l optio Seq ou Suit. O tape esuite la relatio de récurrece sous la forme metioée ci-dessus ( u 0.5u ) avec la touche f x, e utilisat la touche x, t,, pour. 5

6 O obtiet doc à l écra : Mi 0 u 0.5u u Mi 0 o tape 0, puis etrer, les accolades se mettet automatiquemet. Il faut oter que, comme la suite est défiie sur, la plus petite valeur de est 0 ce qui apparaît à l écra sous la forme Mi 0. Il faut compléter la lige u Mi e tapat 0 puisque c est la valeur du premier terme de la suite (ou terme iitial). Il faut respecter scrupuleusemet la sytaxe avec des parethèses telle qu elle est metioée das l ecadré (aisi que la sytaxe des calculs propre à la calculatrice). La lettre u s obtiet e appuyat sur les touches 2de 7. Pour obteir le tableau de valeurs de la suite, o procède de la même faço que das le cas d ue suite défiie e mode explicite : 2de graphe. Pour obteir u terme particulier de la suite (par exemple u 3 ), il y a deux méthodes : ère méthode : O sélectioe Ask (au lieu du Auto) ou o tape 2de 7 et o tape l idice du terme dot o veut obteir la valeur. 2 e méthode : itéressate O écrit simplemet " u" (e faisat 2de 7 ) puis l idice du terme dot o veut obteir la valeur à l écra ormal. 6

7 Pour obteir la costructio e «toile d araigée» ou e «marches d escalier» ou «e escargot», o va das format (touches 2de et zoom ) et sur la première lige, sélectioer le choix Esc (escalier) ou Web (toile). Régler la feêtre d affichage. Puis touche graphe. La calculatrice affiche alors les droites d équatios y 0,5x et y x. Activer la foctio trace. Chaque appui sur la touche permet de visualiser ue étape de la costructio des termes de la suite u. La suite semble coverger vers l abscisse du poit d itersectio des droites. La lecture du terme u se fait e y lors de l affichage de la valeur de. Pour effacer ue costructio, istructio dessi (touches 2de et prgm ) et choix : EffDessi. Attetio, la costructio e «marches d escalier» e foctioe que pour ue suite récurrete d ordre (c est-à-dire où chaque terme est exprimé e foctio du précédet). O retiedra que pour les modèles de calculatrice TI, o doit toujours doer la relatio de récurrece sous la forme u... : «u e foctio de u» ou «u e foctio de u et u 2». Il est souvet écessaire de mettre la relatio de récurrece sous ue ouvelle forme. Pour passer d ue relatio de récurrece de la forme «u e foctio de u» à ue relatio de récurrece sous la forme «u e foctio de u», o elève à chaque. E cas de message ERROR : DIM INVALID : Faire secode Y ou secode Plot NAff f x. 7

8 Quelques suites particulières Suites défiies par des sommes ou des produits Exemple : O cosidère la suite u défiie sur par u k k 0 k 2 pour tout etier aturel. 2 O tape : u somme suitek, K, 0,. Suites récurretes doubles Exemple : O cosidère la suite u défiie sur par ses premiers termes u0 et u aisi que par la relatio de récurrece u2 u u. 2 4 La suite u est ue suite défiie par ses deux premiers termes et ue relatio de récurrece d ordre 2 (chaque terme, sauf les deux premiers, s exprime e foctio des deux précédets). Pour retrer la suite das la calculatrice, o doit commecer par trasformer la relatio de récurrece e l écrivat sous la forme : u u 0,25u2 (pour 2 ). 8

9 Esuite, o retrera : 0 pour valeur miimale de ; la relatio de récurrece u u 0.25 u 2 ; u Mi 0.5, (il faut utiliser le «bo», c est-à-dire le «petit» -). Attetio, o tape d abord la valeur de u puis la valeur de u 0. Les deux valeurs sot écrites etre accolades, séparées par ue virgule, das l ordre décroissat des idices (o peut dire qu o écrit les valeurs das u «esemble»). Pour les accolades, o tape 2de (. O doit taper ue accolade au début et ue accolade à la fi, car cotrairemet au cas d ue suite récurrete d ordre, les accolades e se placet pas automatiquemet. O obtiet doc à l écra : Mi 0 u u 0.25 u 2 u Mi 0.5, O peut alors observer avec le tableau de valeurs que la suite est croissate de «0 à 2» (les termes sot, 0,5 et 0,75) et qu elle semble décroissate à partir de l idice 2. Elle est doc pas mootoe. Cette méthode e marche pas pour les suites défiies par ue relatio récurrete d ordre supérieur à 2. O peut évetuellemet observer le uage de poits mais la costructio e «marche d escaliers» e foctioe plus (pas de graphique e marche d escaliers e dehors du cas d ue suite défiie par ue relatio de récurrece d ordre ). 9

10 Pour et 2, o utilise le «grad» (et o le «petit» ). Ue élève m a sigalé qu il faut aussi modifier le format. Il faut choisir f et o Esc. Suites «imbriquées» Exemple : O cosidère les suites v u v. u et O veut obteir u tableau de valeurs de ces deux suites. v défiies sur par ses premiers termes u0 2 et v0 3 aisi que par les relatios de récurrece u u v et O retre la suite u : Mi 0, u u v, u Mi 2. O retre la suite v : v u v, vmi 3. Mi 0 u u v u Mi 2 v u v vmi 3 0

11 Idicatio : La lettre u s obtiet e appuyat sur les touches 2de 7. La lettre v s obtiet e appuyat sur les touches 2de 8. Idicatio 2 : Attetio à bie défiir la «table» (c est-à-dire le tableau de valeurs). Pour défiir les paramètres du tableau, faire 2de feetre (déf table). Régler : Déb Tbl 0 et Pas. O obtiet le tableau de valeurs suivat : u v

12 Suites auxiliaires (suite défiie e foctio d ue autre) Exemple : O cosidère la suite u défiie sur par u0 et la relatio u 2u 5. O ote v la suite défiie sur par v 5 u. O veut obteir les termes de ces deux suites sur la calculatrice. O retre la suite u : Mi 0 O retre la suite v : v 5 u O obtiet doc à l écra :, u 2u 5, u Mi. (o observera cette sytaxe tout à fait particulière) et v Mi 4. Mi 0 u 2u 5 u Mi v 5 u v Mi 4 O obtiet le tableau suivat : u v

13 Exercices O cosidère la suite u arithmétique de premier terme u0 3 et de raiso 2. Détermier u tableau de valeurs de la suite u aisi que sa représetatio graphique sous forme d u uage de poits. 2 O cosidère la suite u géométrique de premier terme u0 3 et de raiso 2. Détermier u tableau de valeurs de la suite u aisi que sa représetatio graphique sous forme d u uage de poits. 3 O cosidère la suite u défiie sur par l égalité u. Détermier u tableau de valeurs de la suite u aisi que sa représetatio graphique sous forme d u uage de poits. 2 4 O cosidère la suite u défiie sur par l égalité u. Détermier u tableau de valeurs de la suite u aisi que sa représetatio graphique sous forme d u uage de poits. 5 O cosidère la suite u défiie sur par so premier terme 0 «Retrer» la suite das la calculatrice. Doer les valeurs de u 0 et de u 20. u et la relatio de récurrece u 2u 5 pour tout etier aturel. 3

14 6 Das chaque cas, faire apparaître sur la calculatrice la costructio e «marches d escalier», «e escargot» ou «e toile d araigée» des termes de la suite u. a. u est défiie sur par so premier terme 0 u et la relatio de récurrece u 2 u u u u 2 2. b. u est défiie sur par so premier terme u0 0 et la relatio de récurrece 2 c. u est défiie sur par so premier terme 0 3 d. u est défiie sur par so premier terme 0 0 u et la relatio de récurrece u u. u et la relatio de récurrece u u. 7 O cosidère la suite u défiie sur par ses deux premiers termes u0 0 et Fiboacci). Calculer les premiers termes de la suite à l aide de la calculatrice. u aisi que par la relatio de récurrece u2 u u (suite de 8 O cosidère la suite u défiie sur par ses deux premiers termes u0 0 et etier aturel. Calculer les premiers termes à l aide de la calculatrice. u aisi que par la relatio de récurrece u2 u u pour tout 4

15 Solutios : ère méthode : O utilise l expressio explicite du terme gééral de la suite u : u 3 2. Il y a pas besoi de retrer le premier terme. 2 e méthode : * O utilise la relatio de récurrece : u u 2. Il est écessaire de retrer le premier terme. 2 ère méthode : O utilise l expressio explicite du terme gééral de la suite u : u 3 2. Il y a pas besoi de retrer le premier terme. 2 e méthode : * O utilise la relatio de récurrece : u 2 u. Il est écessaire de retrer le premier terme. 3 O e peut passer par la foctio f défiie par f x x Attetio à predre le bo sige - («petit» mois). car cette foctio existe pas pour des valeurs de x autres que des etiers. x 5

16 5 Mi 0 u 2u 5 u Mi u0 409 u O écrit simplemet " u" (e faisat 2de 7 ) puis " ( " puis 0 puis " ) " à l écra ormal. 6 a. O écrit la relatio de récurrece u 2 u 2 sous la forme u 2 u 2. Mi 0 u Mi ou u 2 u 2 O retre doc la formule u 2 u 2 (attetio aux parethèses) u 2 u 2. Sur l écra, la calculatrice trace automatiquemet la courbe d équatio y 2 x 2 aisi que la droite d équatio y x. 6

17 c. Calculatrice u u X 0 ; 4 ; Y 0 ; 4 Mi 0 Max 0 xmi 0, / 8 O écrit la relatio de récurrece u2 u u sous la forme u u u2 2. O tape : Mi 0 (attetio ici) u u u 2 2 u Mi, 0 O obtiet : etc. 7

18 Somme des termes cosécutifs d ue suite sur calculatrice TI Aller das Liste e faisat 2de stat. Choisir MATH sum( (choix 5) puis etrer. Retourer das Liste e faisat 2de stat. Choisir OPS (deuxième coloe), seq( (touche 5) puis etrer. U écra va apparaître. Voici ce qui s affiche : Exp : (taper l expressio du terme gééral de la suite) Variable : (retrer la variable) Start : (retrer l idice du premier terme de la somme) Ed : (retrer l idice du derier terme de la somme) Step : (retrer ou rie) Paste puis etrer. 8

19 Exemple : Soit u la suite arithmétique de premier terme 0 et de raiso 3. Calculer à l aide de la calculatrice la somme des termes de u 4 à u 20. Exp : 0 3 Variable : Start : 4 Ed : 20 Step : ou Step : (rie, laisser u blac) Paste puis etrer. La calculatrice affiche sum(seq( 0 3,,4,20). Retaper etrer. Le résultat affiché est

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