TS Limites de suites (3)

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Marie-Madeleine Sauvé
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1 TS Limites de suites (3) I. Rappels sur les suites majorées, miorées, borées ) Défiitio (suite majorée, miorée, borée) 5 ) Propriété Si u réel M est u majorat d ue suite u, alors tous les réels supérieurs ou égaux à M sot aussi des majorats de la suite u. Si u réel m est u miorat d ue suite u, alors tous les réels iférieurs ou égaux à m sot aussi des miorats de la suite u. u est ue suite. O dit que u est majorée pour exprimer qu il existe u réel M tel que N u M (M est u majorat de la suite). O dit que u est miorée pour exprimer qu il existe u réel m tel que miorat de la suite). O dit que u est borée pour exprimer qu il existe deux réels m et M tels que ) Défiitio (majorat, miorat) N u m (m est u N m u M. Cette propriété se démotre très facilemet. Cette propriété justifie l emploi de l article idéfii quad o parle de majorat ou de miorat d ue suite. II. Limites des suites mootoes ) Propriété Si ue suite croissate a pour limite le réel L, alors tous les termes de la suite sot iférieurs ou égaux à L. Si ue suite décroissate a pour limite le réel L, alors tous les termes de la suite sot supérieurs ou égaux à L. U majorat d ue suite u est u réel fixe (idépedat de ) tel que tous les termes de la suite soiet iférieurs ou égaux à ce réel. U miorat d ue suite u est u réel fixe (idépedat de ) tel que tous les termes de la suite soiet supérieurs ou égaux à ce réel. ) Démostratio O se place das le cas d ue suite croissate covergete ; la démostratio est aalogue das le cas d ue suite décroissate covergete. Cosidéros ue suite croissate ( u ) de limite L. Raisoos par l absurde e supposat qu il existe terme u p > L. 3 ) Iterprétatio graphique u est majorée par u réel M sigifie que tous les poits de sa représetatio graphique das u repère du pla sot situés au-dessous ou sur la droite d équatio y= M. u est miorée par u réel m sigifie que tous les poits de sa représetatio graphique das u repère du pla sot situés au-dessus ou sur la droite d équatio y= m. u est borée par deux réels m et M sigifie que tous les poits de sa représetatio graphique das u repère du pla sot situés das la bade de pla limitée par les droites d équatios y= m et y= M. 4 ) Exemple La suite de terme gééral ( ) est borée (par et ). Alors par croissace de la suite, pour tout p, u u p > L. L itervalle ]L ; u p [ cotiet L mais e peut coteir des termes u que pour < p, doc il e cotiedra pas tous les termes à partir du rag p. Ceci cotredit le fait que la suite ait pour limite L. Doc pour tout, u L. 3 ) Autre formulatio Si ue suite croissate a pour limite le réel L, alors L est u majorat de la suite. Si ue suite décroissate a pour limite le réel L, alors L est u miorat de la suite. O otera l utilisatio de l article idéfii.

2 III. Théorèmes de covergece pour les suites mootoes ) Théorème des suites mootoes majorées ou miorées (admis sas démostratio) IV. Théorème de divergece pour les suites mootoes ) Théorème des suites mootoes o majorées ou o miorées u est ue suite mootoe. Si u est croissate et majorée, alors elle coverge (vers ue limite fiie). Si u est décroissate et miorée, alors elle coverge (vers ue limite fiie). y L ) Démostratio u est ue suite mootoe. Si u est croissate o majorée, alors u diverge vers +. Si u est décroissate o miorée, alors u diverge vers. O effectue la démostratio das u cadre gééral abstrait : o e coaît pas le terme gééral de la suite u. ( ) O x Hypothèses u est croissate (H ) u est o majorée (H ) ) Précisio sur la limite d ue suite croissate majorée ou d ue suite décroissate miorée Grâce à la propriété du paragraphe II, o peut dire que : - la limite d ue suite croissate majorée est u majorat de cette suite ; - la limite d ue suite décroissate miorée est u miorat de cette suite. O peut préciser ce majorat ou ce miorat grâce aux résultats suivats qui serot démotrés das l eseigemet supérieur : - la limite d ue suite croissate majorée est le plus petit des majorats de la suite - la limite d ue suite décroissate miorée est le plus grad des miorats de la suite. But : démotrer que lim u = +. + Démostratio avec la défiitio : Il faut démotrer que tout itervalle de la forme [ A ; + [ (A R) cotiet tous les termes u à partir d u certai idice. O pose I = [ A ; + [ (A R). D après (H ), A est pas u majorat de u. A majorat sigifie que N u A. Par égatio, il existe doc u etier aturel N tel que u N > A (). 3 ) Mise e garde Ce théorème est u théorème d existece de limite ; il e permet pas de la trouver. Exemple de raisoemet faux : A Si u est ue suite décroissate et miorée par 0, alors u coverge vers 0 (o e a aucue certitude). Or d après (H ), u est croissate. 0 N 3 4

3 Doc si N, alors u u N (). () et () doet : si N, alors u > A. si N, alors u. I O e déduit que : lim u = +. + V. Bila sur la limite d ue suite mootoe E repreat les résultats des paragraphes III et IV, o peut résumer aisi : Détermios l. lim u + lim u + + = l doc lim u + = l (évidet d après la défiitio d ue suite qui coverge vers u réel) = + l l+ (car N u+ = u + ) Par uicité de la limite d ue suite, l= l+. Doc l=. Ue suite croissate est soit covergete (si elle est majorée) soit divergete vers + (si elle est pas majorée) Coclusio : lim u = + 3 ) Résultat gééral sur les suites récurretes : «théorème du poit fixe» (hors programme) Ue suite décroissate est soit covergete (si elle est miorée) soit divergete vers (si elle est pas miorée) f est ue foctio défiie sur u itervalle I telle que ( I) f I. VI. Détermiatio de la limite d ue suite récurrete u0 I u est ue suite défiie par N u = + f u ( ). ) Ue situatio fréquete u est ue suite défiie par récurrece. O suppose que u coverge (par exemple, o a démotré que u est croissate majorée ou décroissate miorée). O cherche sa limite. ) Exemple Si lim u = l (H) + l I (H) f est cotiue sur I (H3), alors l = f ( l ). u est la suite défiie par u0 = 5. N u = + u + O démotre facilemet par récurrece que : N u + < u N u 0 u est décroissate miorée doc elle coverge. O ote l sa limite. 5 6

4 VII. Étude d ue suite du type u f ( u ) + = Pour cojecturer so comportemet O utilise la représetatio graphique de type «web» de la suite sur ue calculatrice ou u logiciel. Pour démotrer qu elle coverge Quad f est croissate, o démotre souvet par récurrece, que la suite est croissate-majorée, ou décroissate-miorée. Pour détermier sa limite L, si elle coverge, o cherche la limite de f ( u ) par théorèmes d opératios et o exprime qu elle doit être égale à L. O arrive aisi souvet au fait que L vérifie f ( L) d itersectio de la courbe de f et de la droite : y= x. Pour détermier le premier idice tel que = L. Graphiquemet, L est alors l abscisse d u poit u L < ε (où ε est u réel strictemet positif), o peut réaliser u programme sur calculatrice ou sur logiciel avec ue boucle «Tatque» (algorithme de valeur seuil). si N, alors Exemple : u I'. N = 000 doc u 000, u 00, u 00 sot das I. N = 500 doc u 500, u 50, u 50 sot das I. O ote N le plus grad des etiers N et N. Si N, alors u I et u I'. Impossible car I I' = d après H 3. C est ce qu o appelle l uicité de la limite c est-à-dire lorsqu ue suite admet ue limite fiie, celle-ci est uique. O dit que c est «la» limite de la suite. Cette démostratio est u exemple d utilisatio (de mise e œuvre) de la défiitio d ue suite covergete. VIII. Appedice : uicité de la limite d u suite covergete ) Propriété Si ue suite coverge, sa limite est uique. ) Démostratio O cosidère ue suite u telle que lim u + = l (H ) et lim u = l ' (H ). + Avec la défiitio doée, o va démotrer que l= l '. O raisoe par l absurde : o suppose que l l '. O choisit u itervalle ouvert I coteat l et u itervalle ouvert I coteat l tels que I I' = (H 3 ). Pour la figure, o suppose que l < l. ] [ ] [ I l I l D après (H ), comme I est u itervalle ouvert coteat l, o peut trouver u etier aturel N tel que si N, alors u. I D après (H ), comme I est u itervalle ouvert coteat l, o peut trouver u etier aturel N tel que 7 8

5 Cours oral Le cours répod à la questio suivate : Problème : Peut-o dire quelque chose pour la limite d ue suite croissate ou décroissate? Objectif : Relier comportemet global et comportemet asymptotique d ue suite. Le cours e répod pas à la questio pour les suites o mootoes. Pour les suites o mootoes, des idicatios serot doées das les éocés. 9

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