Suites de réels. Contents. 1 Retenez au moins ça 3

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1 Suites de réels Cotets 1 Reteez au mois ça 3 Bore supérieure 3.1 Déitios Relatio d'ordre sur u esemble E Ordre total Majorat d'ue partie A de E Plus grad élémet d'ue partie A de E Bore supérieure Plus grad élémet et bore supérieure Cas de R Existece de bores supérieures Exemple Plus gééralemet Caractérisatio Caractérisatio séquetielle Bore supérieure d'ue foctio Déitio Théorème de passage à la bore supérieure Bore supérieure d'ue somme De maière aalogue Applicatios du théorème de la bore supérieure Toute suite croissate et majorée coverge Toute partie covexe de R est u itervalle Le théorème des valeurs itermédiaires Sous-groupes de R Déitio d'u sous-groupe de R Exemples Desité Le cas de H = Z + Z Suites de réels adjacetes Déitio Covergece Exemple Exemple : e est irratioel Suites récurretes u +1 = f u ) Gééralités Existece Mootoie Covergece Cas où f est croissate Cas où f est décroissate U premier exemple : u +1 = 1 + u Deuxième exemple : u +1 = 1 u Cas où u 0 < β Cas où u 0 > β Cas où u 0 [0, 1]

2 4.3.4 Cas où β < u 0 < L'algorithme de Héro La méthode de Newto Applicatio à f x) = x Covergece L'iégalité de Taylor-Lagrage L'iégalité de Taylor-Lagrage avec = Applicatio à la rapidité de covergece Suites déies implicitemet x = l x Déitio v ) Limite de u ) DA de u ) x = x Existece et uicité Limite de x ) Etude plus poussée Et esuite?

3 1 Reteez au mois ça Soit a et b des réels positifs. - ab 1 a + b ) - a + b). a + b ) - a + b a + b - max a, b) = a+b + a b - mi a, b)? - a b si et seulemet si a b et a b Bore supérieure.1 Déitios.1.1 Relatio d'ordre sur u esemble E Relatio réexive, trasitive, atisymétrique..1. Ordre total x, y E, x y ou y x.1.3 Majorat d'ue partie A de E x A, x M.1.4 Plus grad élémet d'ue partie A de E Elémet de A qui est u majorat de A. Remarque S'il existe, le plus grad élémet de A est uique..1.5 Bore supérieure La bore supérieure de A est le plus petit élémet de l'esemble des majorats de A, s'il existe. Remarque Si la bore supérieure existe, elle est uique..1.6 Plus grad élémet et bore supérieure Si A possède u plus grad élémet, c'est la bore supérieure de A.. Cas de R..1 Existece de bores supérieures Théorème Toute partie o vide et majorée de R possède ue bore supérieure... Exemple A = ], 1[ ; l'esemble B des majorats de A est...? B = [1, + [ ; B possède u plus petit élémet, 1, qui est doc la bore supérieure de A. 3

4 ..3 Plus gééralemet Si A est o vide et majorée, l'esemble B des majorats de A est...? B = [s, + [...4 Caractérisatio Soit A ue partie o vide et majorée de R ; s est la bore supérieure de A si et seulemet si : - x A, x s - ε > 0, x A ]s ε, s] Remarque La deuxième coditio traduit le fait que s ε 'est pas u majorat de A...5 Caractérisatio séquetielle Soit A ue partie o vide et majorée de R ; s est la bore supérieure de A si et seulemet si : - s est u majorat de A. - Il existe ue suite d'élémets de A qui coverge vers s..3 Bore supérieure d'ue foctio.3.1 Déitio Soit X u esemble o vide, et f ue applicatio de X das R ; o dit que f est majorée si f X) est majorée ; das ce cas, o ote sup f la bore supérieure de f X)..3. Théorème de passage à la bore supérieure Si o suppose que : x X, f x) M, alors : sup f M Démostratio M est u majorat, supf est le plus petit des majorats. Cotre-exemple avec iégalité stricte Mais il serait faux d'écrire.3.3 Bore supérieure d'ue somme x R, arcta x < π sup arcta < π Soit X u esemble o vide, et f et g deux applicatios majorées de X das R ; alors Démostratio sup f + g) sup f + sup g O va motrer que sup f + sup g est u majorat de f + g : x X, f x) supf x X, g x) supg D'où : x X, f + g) x) supf + supg Le ombre M = supf + supg est doc u majorat de f + g ; coclusio : sup f + g) M = sup f + sup g 4

5 U cas où l'iégalité est stricte? Par exemple, X = R,f = cos, g = si..3.4 De maière aalogue Si λ 0, sup λf = λ. sup f Si f est miorée sup f) = if f).4 Applicatios du théorème de la bore supérieure Nombreuses!.4.1 Toute suite croissate et majorée coverge Démostratio Notos M la bore supérieure de l'esemble des termes ; xos ε > 0 ; il existe alors tel que : M ε u M La suite état croissate : p, M ε u p M M + ε.4. Toute partie covexe de R est u itervalle O dit qu'ue partie A d'u R-espace vectoriel est covexe si : x, y A, t [0, 1], 1 t) x + ty A.4.3 Le théorème des valeurs itermédiaires Eocé Soit f foctio cotiue de [a, b] das R telle que f a) > 0 et f b) < 0 ; alors : Démostratio Soit c ]a, b[, f c) = 0 A = {x [a, b] /f x) 0} Soit c la bore supérieure de A ; o sait qu'il existe ue suite u ) A N qui coverge vers c. Par passage à la limite : f c) 0. De maière aalogue : 0, f u ) 0 0, 0, f Par passage à la limite : f c) 0. Coclusio : f c) = 0. Où servet les hypothèses f a) > 0 et f b) < 0?.5 Sous-groupes de R.5.1 Déitio d'u sous-groupe de R c + 1 ) < 0 Partie G de R coteat 0, stable par l'additio, et coteat l'opposé de tout élémet de G. 5

6 .5. Exemples Z, Q, az où a est u réel ; Z + Z... Les décimaux : { p } D = 10 /p Z, N Les 'réels' oats) de Pytho?.5.3 Desité Exercice Soit H u sous-groupe de R o réduit à {0} ; soit H = H ]0, + [ ; H possède ue bore iférieure a, et si a = 0, alors H est dese das R. Démostratio Supposos u < v ; soit d = v u ; soit h H tel que 0 < h < d ; choisissos = u h ; vérios que + 1) h ]u, v[ Par déitio de la partie etière, u h < + 1 ; doc h u < + 1) h ; puis u < + 1) h u + h < u + d = v Coclusio : o a motré que l'itervalle ]u, v[ cotiet au mois u élémet de H : + 1) h..5.4 Le cas de H = Z + Z O ote Z + Z = { p + } / p, q Z O utilise u = 1 ) ; c'est ue suite d'élémets de H strictemet positifs, covergeat vers 0. 3 Suites de réels adjacetes 3.1 Déitio O dit que u ) et v ) sot adjacetes si u ) est croissate, v ) décroissate, et lim u v = Covergece Théorème Deux suites adjacetes coverget vers la même limite. Démostratio v u ) est décroissate et ted vers 0, elle est doc positive ; doc, pour tout : u v v 0. u ) est doc croissate et majorée par v 0, doc coverge. De lim u v = 0, o déduit que v ) coverge aussi, et a la même limite. 3.3 Exemple 1 u 0 > 0, v 0 > 0 ; u +1 = 1 u + v ), v +1 = u.v ; les deux suites sot-elles adjacetes? Presque! C'est vrai pour 1. 6

7 Démostratio O motre d'abord aisémet par récurrece que les deux suites sot bie déies et strictemet positives ; esuite o utilise le Lemme Si 0 < a b, alors Il e découle que u ) 1 est décroissate, v ) 1 croissate. 0 < a ab a + b 1, v u b Pour coclure doc l = l. l = l + l 3.4 Exemple : e est irratioel. Soit u = k=0 1 k! et v = u + 1.!. a) Motrer que ce sot deux suites adjacetes. b) Soit e leur limite commue ; motrer que e est irratioel. Démostratio Supposos e = p q, avec p, q etiers aturels ; o remarque que u q < p q < v q O multiplie par q!, et o costate que... Cotradictio car N = q!u q est u etier. q!u q = N < p. q 1)! < N + 1 q 4 Suites récurretes u +1 = f u ) 4.1 Gééralités Existece Chercher des domaies des itervalles e gééral ) stables par f Mootoie Si sur I stable par f, f x) x, que dire de u )? u ) est croissate. Si I 'est pas stable par f? Das ce cas, o e peut rie déduire Covergece Si u ) coverge vers a, et si f est cotiue au poit a, que dire de a? f a) = a. 7

8 4.1.4 Cas où f est croissate Si f est croissate sur I stable par f, que dire de u )? u ) est mootoe. E eet : - si u 0 u 1, o motre par récurrece sur que pour tout 0, u u si u 0 u 1, de même u ) est décroissate Cas où f est décroissate Das ce cas, g = f f est croissate. La suite v ) = u ) vérie v +1 = g v ) Elle est doc mootoe ; de mêmeu +1 ) est mootoe et de ses cotraire). Mais u ) peut être divergete. 4. U premier exemple : u +1 = 1 + u Ici, f x) = 1 + x ; l'itervalle I = [0, + [ est stable par f ; u seul poit xe : α = 1 Cas où u 0 J = [0, α] ). J est stable par f ; sur J, f x) x ; la suite u ) est doc croissate, majorée par α ; doc elle coverge ; f état cotiue, elle e peut coverger que vers u poit xe de f : α. Cas où u 0 > α. De maière aalogue, o motre que u ) coverge vers α. 4.3 Deuxième exemple : u +1 = 1 u ) ) Il existe deux poits xes : α = et β = Cas où u 0 < β L'itervalle I = ], β[ est stable par f ; o motre que u ) ted vers Cas où u 0 > β u ) ted vers Cas où u 0 [0, 1] L'itervalle I = [0, 1] est stable par f ; sur cet itervalle, f est décroissate ; il reste à étudier g = f f... O costate que g x) < x si 0 < x < α et g x) > x si α < x < 1. Coclusio : das ce cas, la suite u ) diverge, sauf si u 0 = α Cas où β < u 0 < 1 Attetio, ]β, 1[ 'est pas stable ; par cotre, ]β, 1] est stable par f ; o motre qu'à partir d'u certai rag, u [0, 1]. 4.4 L'algorithme de Héro La méthode de Newto u +1 = u fu) f u ) 8

9 4.4. Applicatio à f x) = x O obtiet : O pose g x) = 1 x + x). u +1 = 1 u + ) u Covergece Motros que pour u 0 > 0, la suite coverge eectivemet vers a =. - L'itervalle J = [a, + [ est stable par f. - x J, g x) x. - g est cotiue sur J. - a est le seul poit xe de g das J. Doc, pour u 0 > a, la suite est décroissate, miorée par a, doc coverge, et e peut coverger que vers a L'iégalité de Taylor-Lagrage Pour f de classe C 1) : avec : où f a + h) = T 1 h) + R h) 1 T 1 h) = h k. f k) a) k! k=0 R h) M h! M = sup f ) [a,a+h] Autre forme 1 f a + h) h k. f k) a) k! M h! k= L'iégalité de Taylor-Lagrage avec = avec et M = sup [a,a+h] f. Autre formulatio : f a + h) = f a) + h.f a) + R h) R h) M! h f a + h) f a) h.f a) M! Applicatio à la rapidité de covergece Ici, a = ; g x) = 1 x + x) ; g a) = 0 ; u +1 = g u ). Avec la formule de Taylor-Lagrage : Notos v = M. u a ; que dire de v? v +1 v ; d'où v v 0 ; commetaire? u +1 a M. u a h 9

10 5 Suites déies implicitemet 5.1 x = l x Déitio Pour 3, motrer qu'il existe deux réels u et v solutios de x = l x tels que 0 < u < v. Fixos 3 ; soit f : x x.lx ; o étudie les variatios ; o trouve u miimum au poit x = v ) Trouver la limite puis u équivalet de v ). 3, < v, doc v ) ted vers +. v =. l v, d'où : l v = l + l l v ) Or lv ) ted vers +, doc l lv ) = o lv ) ; d'où l v ) l. Coclusio : Limite de u ) v. l Trouver la limite de u ), puis u développemet asymptotique. Fixos ε > 0 ; soit b = 1 + ε ; o examie f b): f b) = b.lb = 1 + ε.l 1 + ε) O costate que cette suite ted vers ; doc, à partir d'u certai rag 0, f b) est strictemet égatif : 0, 0, f b) < 0 Alors, d'après l'étude des variatios : Coclusio : u ) coverge vers DA de u ) 0, 1 < u < 1 + ε O peut motrer que : u = ε ) Démostratio O écrit u = 1 + a O remplace : u =.lu =.l 1 + a ).a car a ) ted vers 0 ; doc a 1 ; doc u = ε ) 10

11 Esuite Doc D'où l'o déduit que 1 + a = a 1 a + o a ) ) 1 = a 1 1 ).a + o 1) 1 = a 3 + o 1) ) a = ) 1 + o 5. x = x Existece et uicité Pour > 1, motrer l'existece et l'uicité de x racie strictemet positive de l'équatio x = x + O otera P x) = x x 5.. Limite de x ) O cojecture la limite a, puis o démotre : Fixos ε > 0 ; soit b = 1 + ε. > 1, P b) = b b La suite P b)) ted vers???? Vers + croissaces comparées) ; doc à partir d'u certai rag 0, P b) > 0 ; d'où, d'après l'étude des variatios de P : 0, 1 < x < 1 + ε = b 5..3 Etude plus poussée... O cherche u développemet asymptotique : x = 1 + y ; équivalet de y )? > 1, 1 + y ) = 1 + y + > 1,.l 1 + y ) = l 1 + y + ) = l + l Doc.y l. Coclusio : y l ; ou ecore : x = 1 + l Remarque Il est souvet préférable d'écrire : 5..4 Et esuite? O pourrait motrer que : + o ) l. x = 1 + l x = 1 + l l ε) ) l 1 + ε )) y ) 11

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