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1 Sommaire SAMEDI 7 JANVIER 202 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : Un rappel de cours sur les suites ; Page 2 Deu eercices intitulés : «Association de gmnastique» et «Achat immobilier» Page 3 pour travailler la notion de suites ; Un premier rappel de cours sur les fonctions logarithmes, eponentielles et Page 4 puissances ; Un QCM et un problème intitulé «Bénéfices d'une entreprise» pour travailler les Page 7 fonctions. Pour les regroupements à venir Voici un rappel des regroupements à venir : Samedi 7 janvier 202 : les suites (Tome 3, séquence, chapitre 2) et les fonctions (fonctions logarithme, eponentielle et puissance) (Tome 2, séquences 7 et 8) ; Samedi 28 janvier 202 : les statistiques (Tome 3, séquence 2, chapitre 2) et les fonctions (calcul intégral) (Tome 2, séquence 6) ; Samedi février 202 : les probabilités (Tome 3, séquence 3) et les fonctions ; Samedi 7 mars 202 : à déterminer suivant vos besoins ; Samedi 7 avril 202 : à déterminer suivant vos besoins. Je suis à votre disposition pour toutes vos questions : Page

2 LES SUITES NUMÉRIQUES I. Suites arithmétiques : Une suite arithmétique est une suite numérique pour laquelle on passe d'un terme au terme suivant en ajoutant toujours un même nombre r appelé raison de la suite. Pour tout n, on a : u n+ = u n + r Pour tout n, on a : u n = u 0 + nr Pour tout n et tout p, on a : u n = u p + ( n - p )r Si pour tout n, on a : u n+ - u n = constante; Alors (u n ) est une suite arithmétique de raison égale à cette constante. S = (nombre de termes) r i r r d r i r r En particulier : u 0 + u u n = (n + ) II. Suites géométriques : Une suite géométrique est une suite numérique pour laquelle on passe d'un terme au terme suivant en multipliant toujours un même nombre q appelé raison de la suite. Pour tout n, on a : u n+ = u n q Pour tout n, on a : u n = q n u 0 Pour tout n et tout p, on a : u n = q n - p u p Si pour tout n, on a : = constante; Alors (u n ) est une suite géométrique de raison égale à cette constante. Pour une raison différente de, S = En particulier : u 0 + u u n = Page 2

3 EXERCICE : ASSOCIATION DE GYMNASTIQUE Da s u villag, l associa io d gmnastique volontaire possédait 50 adhérents en Depuis cette date, la trésorière a remarqué que chaque année, elle reçoit 8 nouvelles adhésions et que 85 % des anciens inscrits renouvellent leur adhésion. On note a n l o br d adhér s our l a née n.. Déterminer a 0 puis eprimer a n+ en fonction de a n pour tout entier naturel n. 2. Soit (u n ) la suite définie par u n = a n 20 pour tout entier naturel n. a. Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b. Démontrer que pour tout entier naturel n, a n = ,85 n. c. Déterminer la limite de la suite (a n ) qua d d v rs l i fi i. I r ré r c résul a. 3. Chaqu s ai, 60 % d s adhér s s i scriv our u h ur d gmnastique et 40 % pour deu heures de gmnastique. a. E ri r fo c io d l o br d h ur d g as iqu à révoir ar s ai our l a 000. b. Une séance de gmnastique dure une heure et est limitée à 20 personnes. On veut déterminer à partir de qu ll a é l associa io d vra révoir lus d 8 séa c s ar s ai. Dé o r r qu alors doi vérifi r l i équa io 98 0,85 n < 8. c. Résoudre cette inéquation et conclure. EXERCICE : ACHAT IMMOBILIER Pour un achat immobilier, lorsqu'une personne emprunte une somme de euros, remboursables par n mensualités chacune égales à A euros, pour un intérêt mensuel de 0,4 %, le montant de cette mensualité est donné par : (on ne demande pas d'établir cette relation).. Calculer la mensualité A lorsque cette personne emprunte euros remboursables par 20 mensualités pour un intérêt mensuel de 0,4 %. On donnera une valeur arrondie au centième d'euro. Calculer alors le montant total des intérêts pour ce prêt. 2. Mêmes questions avec un emprunt de euros sur 8 ans à 0,4 % mensuel. 3. Afin de paer le moins d'intérêts possible, l'emprunteur doit augmenter le montant de la mensualité et diminuer la période de remboursement. Mais il ne peut supporter au maimum que des remboursements de 950 euros par mois. a. Résoudre dans [0 ; + [ l'inéquation : 950 b. En déduire le nombre entier n minimum de mensualités pour lequel le montant de la mensualité A est inférieur ou égal à 950 euros. Que vaut alors A arrondi au centime d'euro? Calculer alors le montant total des intérêts. 4. Voici des etraits du tableau d'amortissement d'un prêt de euros remboursable par 60 mensualités pour un intérêt mensuel de 0,4 %. Calculer, en détaillant, les nombres a, b, c, d et e qui figurent dans le tableau. On donnera des valeurs arrondies au centime d'euro. N de la mensualité Montant de la mensualité en euros Part des intérêts en euros pour cette mensualité Capital amorti en euros Capital restant à rembourser en euros 938, , , ,99 97,04 a b 3 938,99 c d e 4 938,99 9,0 747, , ,99 7,47 93,52 935, ,99 3,74 935,25 0 Page 3

4 LES FONCTIONS LOGARITHME, EXPONENTIELLE ET PUISSANCE I. Fonction logarithme :. Définition : Définition : La fonction logarithme népérien, notée ln, est la primitive sur ]0 ; + [ de la fonction qui s'annule en. Conséquences : ln () = 0 ln est dérivable sur ]0 ; + [ et on a : (ln )' = 2. Propriétés : 3. Étude de la fonction logarithme : 0 + (ln )' + + ln Étude d'une fonction ln (u) : Si u est une fonction définie et strictement positive sur un intervalle I, alors : Les fonctions u et ln (u) ont le même sens de variation sur l'intervalle I. On utilise le théorème sur la limite d'une fonction composée pour étudier les limites de la fonction ln (u). Si de plus, u est dérivable sur I, la fonction ln (u) est dérivable sur I et (ln (u))' = u' u. Une primitive de u' sur I est ln (u). u Page 4

5 II. Fonction eponentielle :. Définition : Définition : La fonction eponentielle, notée ep, est la fonction définie sur qui, à chaque réel, associe le réel strictement positif dont le logarithme népérien est. On convient d'écrire ep () = Conséquences : e 0 = et e = e Pour tout réel, e > 0 Pour tout réel et pour tout strictement positif, = e si et seulement si = ln Si est strictement positif, e ln = ln (e ) = 2. Propriétés : e a + b = e a e b e - a = e a e a - b = ea e b e na = (e a ) n 3. Étude de la fonction eponentielle : La fonction eponentielle est dérivable sur et (ep )' = e (ep )' + + e ep Étude d'une fonction ep (u) : Si u est une fonction définie sur un intervalle I, alors : Les fonctions u et ep (u) ont le même sens de variation sur l'intervalle I. On utilise le théorème sur la limite d'une fonction composée pour étudier les limites de la fonction ep (u). Si de plus, u est dérivable sur I, la fonction ep (u) est dérivable sur I et (ep (u))' = u' ep (u). Une primitive de u' ep (u) sur I est ep (u). Page 5

6 III. Fonction puissance :. Définition : Définition : Pour tout réel a > 0 et pour tout réel b, on note a b le réel tel que : a b = e b ln(a). Conséquences : a b > 0 ln (a b ) = b ln (a) 2. Racine nième d'un réel positif : Pour tout entier n > 0 et pour tout réel a positif ou nul, l'équation n = a admet une unique solution dans l'intervalle [0 ; + [. Cette solution est appelée la racine nième de a et est notée ou On a : 3. Étude de la fonction puissance : Soit a un réel strictement positif. La fonction eponentielle de base a est la fonction définie sur par f() = a. Elle est dérivable et f '() = a ln a Si 0 < a < - + f ' () - + a Si a > - + f ' () + + a Croissances comparées : Pour n > 0 : lim ln = 0 lim ln + n = e lim + n = lim - n e = Autrement dit : à l'infini, les puissances de l'emportent sur le logarithme népérien de et l'eponentielle de l'emporte sur les puissances de. Page 6

7 QCM Cet eercice est un questionnaire à choi multiples. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est eacte. On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [ 5 ; 5 2 ]. Le plan est muni d'un repère orthonormé. La courbe (C f ) représentée ci-dessous est celle de la fonction f. Les points A (0 ; 2), B ( ; e) et C (2 ; 0) appartiennent à la courbe (C f ). Le point de la courbe (C f ) d'abscisse 5 a une ordonnée strictement positive. La tangente (T) en A à la courbe (C f ) passe par le point D ( 2 ; 0). La tangente en B à la courbe (C f ) est parallèle à l'ae des abscisses.. On note f ( 0 ) le nombre dérivé de la fonction f en 0. Quelle est sa valeur? a. f ( 0 ) = b. f ( 0 ) = 2 c. f ( 0 ) = 0 2. On note ln la fonction logarithme népérien et g la fonction composée ln( f ). Quel est l'ensemble de définition de la fonction g noté D g? a. D g = ] 0 ; 5 2 [ b. D g = [ 5 ; 2 ] c. D g = [ 5 ; 2 [ 3. Quelle est la valeur de g( 0 )? a. g( 0 ) = 2 b. g( 0 ) = 0 c. g( 0 ) = ln (2) 4. On note g ' la fonction dérivée de la fonction g. Quelle est la valeur de g ( )? a. g ( ) = e b. g ( ) = 0 c. g ( ) = e 2 5. Quelle est la limite de g( ) quand tend vers 2? a. lim g( ) = b. lim 2 g( ) = 0 2 c. lim 2 g( ) = + Page 7

8 PROBLÈME : BÉNÉFICES D UNE ENTREPRISE Partie A : Lecture graphique f est une fonction définie et dérivable sur ] 2 ; + [. Voici sa courb r rés a iv sur l i rvall [,5 ; 8 ].. Donner le tableau de variation de f sur [,5 ; 8 ]. On précisera dans ce tableau le signe de f ( ) et les images de,5 et Résoudre graphiquement sur [,5 ; 8 ] les équations : a. f( ) = 0 b. f( ) = 55 Partie B : Etude de f La fonction f précédente est définie sur ] 2 ; + [ par : f( ) = C est la courbe représentative de f dans un repère.. a. Etudier la limite de f en 2. En déduire une asmptote à C. b. Etudier la limite de f en + c. Vérifier que pour tout > : f( ) = En déduire une asmptote à C. 2. a. Vérifier que pour tout > : f ( ) = 0( + 4 ) ( + 2 ) 2 b. Etudier le signe de f ( ). c. Dresser le tableau de variation de f sur ] 2 ; + [. Partie C : Application Une entreprise fabrique et vend des objets. Le bénéfice, en euros, réalisé par cette entreprise est égal à f( ), où s l o br d obj s v dus où f est la fonction étudiée dans la partie B (avec [ 0 ; + [ ).. Justifier que ce bénéfice est positif. 2. L r ris décid d lac r à i érê s co osés au au d 6% l a, l bé éfic corr s o da à la v de 00 objets. On désigne par C 0 c bé éfic ri é uros, arro di à l u i é ar C n la valeur acquise au bout de n années. a. Vérifier que C 0 = 980 puis calculer C et C 2. b. Eprimer C n+ en fonction de C n. Préciser la nature de la suite (C n ). c. Dé r i r, arro dissa à l u i é, la val ur acquis au bou d 0 a s. Page 8

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