Corrigés d exercices pour le TD 3

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1 Corrgés d eercces pour le TD 3 N héstez pas à relever les éventuelles fautes dans ce document! Sot (E, d) un espace vectorel mun d une dstance vérfant Pour tous, y E et λ R, d(λ, λy) = λ d(, y). Pour tous, y, z E, d( + z, y + z) = d(, y). Montrer que d provent d une norme, c est-à-dre qu l este une norme N sur E telle que pour tous, y E, d(, y) = N( y). S une telle norme este, elle est nécessarement défne par N() = N( ) = d(, ). Montrons donc que N : d(, ) est une norme sur E telle que pour tous, y E, d(, y) = N( y). Tout d abord cette dernère proprété est vérfée car pour tous, y E, en utlsant () on obtent N( y) = d( y, ) = d( y + y, y) = d(, y). Il reste seulement à vérfer que N est une norme : - Homogénété : pour tout E et λ R, N(λ) = d(λ, ) = d(λ, λ) = λ d(, ) = λ N(). d après () - Défne postvté : pour tout E, N() = d(, ), et N() = d(, ) = = car d est une dstance. - Inégalté trangulare: soent et y deu éléments de E. En utlsant l négalté trangulare pour d, on a N( + y) = d( + y, ) d( + y, y) + d(y, ) = d(, ) + d(y, ) d après () = N() + N(y), ce qu prouve le résultat. N est donc ben une norme qu a les proprétés demandées. Pour (, y) R 2, on pose N(, y) = ma, y, y }. Montrer que N est une norme sur R 2. Dessner la boule unté assocée. - Homogénété : pour tout (, y) R 2 et λ R, N(λ(, y)) = N(λ, λy) = ma λ, λy, λ λy } = ma λ, λ y, λ y } = λ ma, y, y } = λ N(, y). - Défne postvté : pour tout (, y) R 2, N(, y), et N(, y) = = y = y = (, y) = (, ). 1

2 - Inégalté trangulare: soent (, y) et (z, t) deu éléments de R 2. On a N((, y) + (z, t)) = N( + z, y + t) = ma + z, y + t, ( + z) (y + t) } ce qu prouve le résultat. = ma + z, y + t, ( y) + (z t) } ma + z, y + t, y + z t } ma, y, y } + ma z, t, z t } = N(, y) + N(z, t), Pour dessner la boule unté, on remarque que 1 1, N(, y) 1 1 y 1, 1 y + 1, et l on représente donc faclement la boule unté pour N. Montrer que tout parallélogramme non aplat centré en est la boule unté d une norme sur R 2. Les drotes portant deu côtés opposés du parallélogramme étant parallèles non confondues, l este des réels a, b, c, d tels que ad bc et tels que les quatre drotes portant les côtés ont pour équaton cartésenne a + by = ±1, c + dy = ±1. On montre alors faclement (comme pour la norme nfn, ou la norme de l eercce précédent) que N(, y) = ma a + by, c + dy } défnt une norme sur R 2 dont notre parallélogramme est la boule unté. La proprété la mons évdente à vérfer est la défne postvté, et pour cela on remarque que a + by =, N(, y) = (, y) = (, ), c + dy =. car le détermnant de ce système est ad bc. Montrer que dans la défnton d une norme N sur un espace vectorel E, on peut remplacer l négalté trangulare par la proprété E; N() 1} est convee. Supposons que N vérfe l négalté trangulare. Soent, y E tels que N() 1 et N(y) 1, et sot λ [, 1]. En utlsant l négalté trangulare et l homogénété de N, on obtent N(λ + (1 λ)y) N(λ) + N((1 λ)y) = λn() + (1 λ)n(y) 1 + (1 λ) = 1, donc l élément z = λ + (1 λ)y vérfe N(z) 1. Cec montre que l ensemble E; N() 1} est convee. Récproquement, supposons que E; N() 1} est convee. Soent, y E. S = ou y =, alors l négalté trangulare est évdemment vérfée. S et y sont tous deu non nuls, posons z = + y N() + N(y). D après la proprété d homogénté, l sufft pour prouver que N( + y) N() + N(y), de montrer que N(z) 1. Afn d utlser notre hypothèse de conveté, on écrt z comme combnason convee de deu ponts de l ensemble E; N() 1}: Sachant que N(z) 1. N() et y N(y) z = N() N() + N(y) N() + N(y) N() + N(y) y N(y). appartennent à l ensemble convee E; N() 1}, on obtent ben que 2

3 Normes l p Pour = ( 1,..., n ) R n, et p ], + [, on pose ( n ) 1/p p = p, et = ma ; = 1,...,n}. = 1. Pour n = 2, dessner B p = R 2 ; p 1} pour p = 1/2, 1, 2 et. 2. Montrer que p n est pas une norme pour p ], 1[. 3. Montrer que p est une norme pour p [1, ]. 4. Montrer que pour tout R n, p quand p Comme B p est symétrque par rapport au deu aes de coordonnées, l sufft de tracer le graphe de (1 p ) 1/p pour [, 1] pus de compléter par symétre. On obtent ans le bord de B p. 2. Les ponts = (1,,...,) et y = (, 1,,..., ) vérfent + y p = 2 1 p > 2 = p + y p s p ], 1[. L négalté trangulare n étant pas vérfée, p n est pas une norme. 3. Toutes les proprétés sont évdentes sauf l négalté trangulare pour p [1, + [. En utlsant l eercce précédent, on vot qu l sufft de vérfer que B p est convee. Soent donc, y B p et λ [, 1]. On remarque que la foncton t t p est convee sur [, + [ car sa dérvée est crossante. On a donc λ + (1 λ)y p p = λ + (1 λ)y p = (λ + (1 λ) y ) p = λ p + (1 λ) y p = = λ p p + (1 λ) y p p 1. Ans λ + (1 λ)y B p, qu est donc convee. On a donc ben montré que p est une norme. 4. On remarque que pour tout R n, p n 1/p, ce qu prouve le résultat lorsque p +. Normes L p. Pour f E = C ([a, b]; R) et p [1, + [, on pose ( 1/p b f p = f() d) p, et f = ma f() ; [a, b]}. a 1. Montrer que p est une norme pour p [1, ]. 2. Montrer que pour tout f E, f p f quand p C est eactement la même preuve que dans l eercce précédent : toutes les proprétés sont évdentes sauf l négalté trangulare pour p [1, + [. En utlsant l eercce précédent, on vot qu l sufft de vérfer que B p = f E; f p 1} est convee. Soent donc f, g B p et λ [, 1]. On remarque que 3

4 la foncton t t p est convee sur [, + [ car sa dérvée est crossante. On a donc b λf + (1 λ)g p p = λf() + (1 λ)g() p d a b a b a (λ f() + (1 λ) g() ) p d λ f() p + (1 λ) g() p d = λ f p p + (1 λ) g p p 1. Ans λf + (1 λ)g B p, qu est donc convee. On a donc ben montré que p est une norme. 2. Sot [a, b] tel que f = f( ). Sot ε ], f( ) [ fé. Par contnuté de f, l este δ ], (b a)/2[ tel que pour tout [a, b] ] δ, + δ[, Alors Ans b a f() p d f( ) ε f() f( ). [a,b] ] δ, +δ[ f() p d δ( f( ) ε) p. δ 1/p ( f ε) f p (b a) 1/p f. Pusque d 1/p 1 quand p + pour tout d >, l este p > tel que pour tout p > p, f 2ε f p f + ε. On reconnaît la défnton de la lmte, et le résultat sut. Sot (E, ) un R-espace vectorel normé, et K une parte convee bornée symétrque par rapport à telle que K. On défnt pour E, g() = nf λ > ; } λ K. 1. Montrer que g est ben défne, et que c est une norme sur E. 2. Montrer que K= E; g() < 1} K E; g() 1}. 1. Montrons que g est ben défne: pour tout E, /λ lorsque λ +. Comme appartent à l ntéreur de K, pour λ assez grand /λ K. Donc λ > ; /λ K} est non vde. Cette parte de R étant de plus mnorée, elle admet une borne nféreure. Montrons que g(t) = t g() pour tout E et t R. S t > d abord, cec revent à montrer que } t nf λ > ; λ K } = t nf λ > ; λ K. S /λ K, alors (t)/(tλ) K, et donc nf λ > ; tλ } K tλ. En passant à l nf à drote sur λ, on obtent l négalté. Inversement, s t/λ K, alors /(λ/t) K et donc } nf λ > ; λ K λ t. En passant à l nf à drote sur λ, on obtent l négalté. S t =, c est évdent, car g() =. Enfn s t <, on remarque que nf λ > ; tλ } K = nf λ > ; t } λ K 4

5 car K est symétrque par rapport à. Or t >, donc d après le cas t >, on a } t g(t) = nf λ > ; λ K } = t nf λ > ; λ K } = t nf λ > ; λ K = t g(). S g() =, alors l este une sute (λ n ) de réels strctement postfs convergeant vers et telle que pour tout n, /λ n K. Alors s état non nul, la sute (/λ n ) ne serat pas bornée, car lorsque n +, la norme = +. λ n λ n Pourtant l ensemble K est borné et content tous les /λ n, ce qu est absurde. Donc =. Montrons enfn l négalté trangulare: soent, y E. Soent λ > et µ > tels que /λ K et y/µ K. Alors + y λ + µ = λ λ + µ λ + µ y λ + µ µ. Sachant que λ λ + µ + µ λ + µ = 1 et que chacun de ces nombres est postf, on en dédut que + y λ + µ est une combnason convee de /λ K et de y/µ K. Par conveté de K, on a donc + y K g( + y) λ + µ. λ + µ En passant à l nf à drote sur λ pus µ, on en dédut que ce qu prouve l négalté trangulare. g( + y) g() + g(y), 2. Il est clar que K E; g() 1} car s K, /1 K et donc g() 1 par défnton de g. Montrons que E; g() < 1} K: sot E tel que g() < 1. Alors l este λ ], 1[ tel que /λ K. En écrvant = λ + (1 λ), λ on vot que est combnason convee de deu éléments de K qu est convee, et donc appartent à K. Montrons enfn que K= E; g() < 1}. Sot un pont ntéreur à K. Alors, comme /(1 ε) lorsque ε +, on en dédut que pour tout ε > assez pett, 1 ε K. En partculer g() 1 ε < 1. Inversement, sot E tel que g() < 1. Alors l este ε ], 1[ tel que /(1 ε) K. De plus comme est ntéreur à K, l este r > tel que B(, r) K. Montrons que B(, εr) K, ce qu prouvera que est ntéreur à K. Sot y B(, εr), que l on écrt sous la forme y = + z où z < εr. Alors z/ε est de norme strctement nféreure à r, et donc appartent à B(, r) K. De plus, /(1 ε) K, et y = + z = (1 ε) 1 ε + ε z ε est donc combnason convee de deu éléments de K qu est convee; par conséquent y K, et ce pour tout y B(, εr). Cec achève la démonstraton. 5

6 Sot E = C ([, 1], R). On défnt pour f E, N 1 (f) = 1 f() d ( 1 N 2 (f) = f() 2 d 1. Vérfer que N 1 et N 2 défnssent des normes sur E. )1/2 2. Montrer que pour tout f E, N 1 (f) 1 2 N 2 (f) (c est-à-dre que N 2 domne N 1 ). 3. Montrer qu en revanche N 1 ne domne pas N 2, et donc que ces deu normes ne sont pas équvalentes (Consdérer f n défne par f n () = n n 2 s [, 1/n], f n () = s [1/n, 1]). 1. Cas de N 1 : pour vérfer que N 1 (f) = mplque f =, on remarque que la foncton f() est contnue et postve sur [, 1], d ntégrale nulle, elle dot donc être nulle. On en dédut que f() = pour tout ], 1], et par contnuté en =, f() = pour tout [, 1]. Le reste des proprétés d une norme est facle à vérfer, comme dans le cas de la norme L 1. Cas de N 2 : l applcaton (f, g) E 2 f, g := 1 f()g()d est un produt scalare sur E, car c est une applcaton blnéare symétrque défne postve (la preuve de la défne postvté étant smlare à la preuve précédente pour N 1 ). On sat alors que l applcaton f E f, f est une norme. Or cette applcaton n est autre que N 2, car N 2 est donc une norme sur E. ( 1 1/2 f, f = f() d) Sot f E une foncton quelconque, et g E la foncton constante égale à 1. D après l négalté de Cauchy-Schwarz pour le produt scalare,, applquée à f et g, on a N 1 (f) = 1 ( 1 f() d = g, f N 2 (g)n 2 ( f ) = ce qu montre que N 2 domne N 1. ) 1/2 ( 1 ) 1/2 d f() 2 d = 1 N 2 (f) 2 3. Consdérons la sute de fonctons (f n ) défne par l énoncé. Alors un calcul facle montre que N 1 (f n ) = 1 6n et N 2(f n ) = Il ne peut donc pas ester de constante C > telle que Les deu normes ne sont pas équvalentes. N 2 C N 1. Détermner s les applcatons lnéares suvantes sont contnues et s ou calculer leur norme (l est mun de le norme nfn): 1. φ : (u n ) n N l u R (R est mun de la valeur absolue). 2. ψ : (u n ) n N l (u n+1 ) n N l. 6

7 1. Pour toute sute (u n ) l, u (u n ), et la sute (u n ) constante égale à 1 est telle que u = (u n ). Cec montre que l applcaton lnéare φ est contnue de norme Pour toute sute (u n ) l, et pour tout p N, u p+1 (u n ), et donc, en passant au sup à gauche pour p N, on obtent ψ((u n )) (u n ). De plus la sute (u n ) constante égale à 1 est telle que ψ((u n )) l applcaton lnéare ψ est contnue de norme 1. = (u n ). Cec montre que Détermner s les applcatons lnéares suvantes sont contnues, et s ou calculer leur norme: (C ([, 1], R), ) (R, ) 1. T : f f() (C ([, 1], R), 1 ) (R, ) 2. L : f f() 1. Pour tout f E, T(f) = f() f, donc l applcaton lnéare T est contnue de norme T 1. De plus la foncton f constante égale à 1 vérfe T(f) = 1 = f. Cec montre que T = Consdérons la sute de fonctons (f n ) n 1 défne par 1 n s [, 1/n] f n () = s [1/n, 1]. Alors l est clar que f n 1 = 1/2n lorsque n tend vers +, de sorte que (f n ) converge vers la foncton nulle f, alors que L(f n ) = 1 ne tend pas vers L(f) =. L applcaton L n est donc pas contnue. Sot E = R[X]. On pose, pour P E, N 1 (P) = sup P(), [, 1]}, N 2 (P) = sup P(), [1, 2]}. On défnt enfn la forme lnéare φ : P E P() R. On munt R de la valeur absolue. 1. Montrer que N 1 et N 2 sont des normes sur E. 2. Montrer que φ est une applcaton lnéare contnue sur (E, N 1 ) et calculer sa norme. 3. Montrer que φ n est pas contnue sur (E, N 2 ) (consdérer P n (t) = (1 t 2 )n ). 4. Les normes N 1 et N 2 sont-elles équvalentes? 5. Sot O = P E; P() }. Montrer que O est ouvert pour N 1 mas pas pour N 2 (consdérer 1 P n ). 1. Pour justfer le fat que N 1 (P) = mplque P = (et de même pour N 2 ), on nvoque le fat qu un polynôme qu admet une nfnté de racnes réelles est le polynôme nul. Le reste est smlare au cas classque des normes du type. 7

8 2. Pour tout P R[X], donc la forme lnéare φ est contnue pour N Sot P n (t) = (1 t 2 )n. Alors tands que φ(p) = P() sup P(), [, 1]} = N 1 (P), φ(p n ) = P n () = 1 N 2 (P n ) = 1 2 n, et donc l n este pas de constante C > telle que pour tout P R[X], La forme lnéare φ est dscontnue pour N 2. φ(p) C N 2 (P). 4. Les normes N 1 et N 2 ne peuvent être équvalentes, snon φ serat contnue pour les deu normes, ou dscontnue pour les deu normes (pett eercce facle, à fare!). 5. Sot P O et r = P() >. Alors B N1 (P, r) O: s Q R[X] vérfe N 1 (P Q) < r,, on dot avor en partculer Q() > P() r =, et donc Q O. L ensemble O est donc ouvert pour N 1. En revanche, O n est pas ouvert pour N 2, car la sute (1 P n ) n, qu est à valeurs dans O c, tend vers le polynôme P tel que P(X) = 1 pour la norme N 2, et P O. S O état ouvert pour N 2, O c serat fermé, et donc la lmte P de la sute (1 P n ) d éléments de O c devrat appartenr à O c, ce qu n est pas le cas. Sot E = C ([ 1, 1], R), mun de la norme. On munt R de la valeur absolue. On défnt pour f E, 1 φ(f) = f(t)dt f(t)dt Montrer que φ est une forme lnéare contnue sur E et que φ = 2 (pour l égalté consdérer la sute f n défne par f n () = 1 s [ 1, 1/n], f n () = n s [ 1/n, 1/n] et f n () = 1 s [1/n, 1]). 2. Este-t-l f E de norme 1 tel que φ(f) = 2? 1. Tout d abord l est évdent que φ est une forme lnéare. Pour tout f E, 1 1 φ(f) = f(t)dt f(t)dt f(t) dt + f(t) dt 2 f, 1 ce qu montre que φ est contnue et vérfe φ 2. Sot (f n ) la sute de fonctons défne dans l énoncé. Alors un calcul rapde montre que φ(f n ) = 2 1 n 2, tands que f n = 1 pour tout n. Ans, par défnton de la norme trple, et on a ben égalté. φ lm φ(f n) f n = 2, 2. Supposons qu l este f E de norme 1 tel que φ(f) = 2. Qutte à changer f en f, on peut supposer que φ(f) = 2, c est-à-dre 1 (1 f(t))dt (f(t) + 1)dt =. Les fonctons 1 + f et 1 f étant postves car f = 1, on en dédut que 1 (1 f(t))dt = 1 (f(t) + 1)dt =. 8

9 Comme de plus ces fonctons sont contnues, on dot avor 1 f(t) = s [, 1] et f(t) + 1 = s [ 1, ]. Cec condut à une contradcton en t =. Il n este donc pas de tel f. Sot (E, ) un espace vectorel normé sur lequel toutes les normes sont équvalentes. Montrer que toutes les formes lnéares sur E sont contnues (on rappelle qu une forme lnéare sur un K-espace vectorel E est une applcaton lnéare de E à valeurs dans le corps K). Sot f une forme lnéare sur E, et posons pour tout E, N() = + f(). On vérfe faclement que cec défnt une norme sur E. Par hypothèse cette norme est équvalente à, et en partculer l este C > tel que pour tout E, + f() C. Qutte à augmenter C on peut supposer C 1 et alors pour tout E, et donc l applcaton lnéare f est contnue. f() (C 1), S a et b sont deu normes sur C n, on défnt une norme sur M n (C) en posant pour A M n (C), } A b AX b a = sup ; X. X a Sot A = (a,j ) M n (C). 1. Montrer que A = sup a,j. 2. Trouver les normes au départ et à l arrvée qu ndusent les normes données par les formules suvantes: a) A b a = sup,j a,j. b) A b a = sup j a,j. 3. Montrer que A 1, a,j. Y a-t-l égalté? 1. Pour tout X C n, AX = sup a,j X j sup et donc A sup a,j. De plus, sot tel que sup a,j = a,j X, a,j, et sot X le vecteur défn par Alors X = 1, et X j = a,j a,j s a,j, 1 snon. AX = sup a,j X j a,jx j = Cec montre que A sup a,j, et on a donc l égalté. a,j = sup a,j. 9

10 2. a) Montrons que sup,j a,j = A 1. Pour tout X Cn, AX = sup a,j X j sup a,j,j et donc A 1 sup,j a,j. De plus, sot (, j ) tel que sup a,j = a,j,,j X j = sup a,j X 1,,j et sot X le vecteur dont toutes les coordonnées sont nulles sauf celle en poston j qu vaut 1. Alors X 1 = 1 et AX = sup a,j X j a,jx j = a,j = sup a,j.,j Cec montre que A sup,j a,j, et on a donc l égalté. 2. b) Montrons que sup j a,j = A 1 1. Pour tout X C n, AX 1 = a,j X j et donc A 1 1 sup j a,j. De plus, sot (, j ) tel que sup j a,j = a,j X j sup j a,j, a,j X 1, et sot X le vecteur dont toutes les coordonnées sont nulles sauf celle en poston j qu vaut 1. Alors X 1 = 1 et AX 1 = a,j X j = a,j = sup a,j. j Cec montre que A 1 1 sup j a,j, et on a donc l égalté. 3. Pour tout X C n, AX 1 = a,j X j a,j X, et donc A 1, a,j. Par contre, cette valeur n est pas attente comme le montre l eemple de la matrce ( ) 1 1 A =. 1 1, En effet pour tout X = (, y) C 2 tel que ma, y } 1, ( ) y AX =, + y et donc AX 1 = y + + y, et l on vot faclement que cette quantté est toujours strctement nféreure à 2 a,j = 4., Sot (E, ) un espace vectorel normé non rédut à }, et soent u, v L(E) tels que u v v u = Id E. Montrer que u ou v est dscontnue. Supposons au contrare que u et v sont contnues. Montrons par récurrence que pour tout k N tel que k 1, u k v v u k = ku k 1. ( ) 1

11 Pour k = 1, l s agt de notre hypothèse. Supposons la proprété ( ) vrae pour un certan k, et montrons la pour k + 1: en composant l égalté u k v v u k = ku k 1 à gauche par u, on obtent par lnéarté de u, u k+1 v u v u k = ku k. En remplaçant u v par Id E + v u, on en dédut et donc u k+1 v (Id E + v u) u k = ku k, u k+1 v v u k+1 = (k + 1)u k, ce qu prouve ( ) au rang k + 1. Par récurrence, ( ) est vrae pour tout k 1. De cette relaton, on dédut en partculer, en notant la norme sur L c (E) subordonnée à la norme de E, que pour tout k 1, où l on a utlsé la relaton k u k 1 u k v v u k 2 u k 1 u v, f g f g valable pour tout f, g L c (E). S u k 1 = pour un certan k 1, alors u k 1 =. Sot alors p = mnp N; u p = }. L enter p est ben défn car u k 1 =. S p >, alors la relaton u p v v u p = p u p 1 montre que u p 1 = ce qu contredt la défnton de p. Ans p = et donc Id = u =, ce qu est absurde pusque E }. On a donc u k 1 pour tout k 1 et donc k 2 u v, ce qu est mpossble pour k assez grand. Notre hypothèse de départ est donc fausse, ce qu mplque que u ou v est dscontnue. Sot (E, ) un R-espace vectorel normé, et sot f une forme lnéare sur E non nulle. Montrer que les proprétés suvantes sont équvalentes: () f est contnue. () Ker(f) est fermé. () Ker(f) n est pas dense dans E. (v) f est bornée sur un vosnage de. () () : Ker(f) = f 1 (}) est fermé comme mage récproque du fermé } par l applcaton contnue f. () () : S Ker(f) état dense en étant fermé, alors on aurat Ker(f) = E, et donc f =, ce qu est contrare à l hypothèse. Donc Ker(f) n est pas dense. () (v) : rasonnons par contraposée. Fons E. S f n est bornée sur aucun vosnage de, alors pour tout r >, f(b(, r)) est non borné dans R. De plus, l mage d un ensemble convee par une applcaton lnéare u : E F où F est un espace vectorel normé, est convee: s u(), u(y) u(a) avec, y A parte convee de E, et s λ [, 1], alors la relaton λu() + (1 λ)u(y) = u(λ + (1 λ)y) montre que λu() + (1 λ)u(y) u(a) pusque λ + (1 λ)y A par conveté de A. Dans notre cas, f(b(, r)) est donc un ntervalle (car les convees de R sont les ntervalles) non borné de R pour tout r >. Cet ntervalle est auss symétrque par rapport à par lnéarté de f et symétre par rapport à de B(, r) : en effet pour tout B(, r) f( ) = f() 11

12 et B(, r). On en dédut que f(b(, r)) = R pour tout r >. En partculer pour tout r >, l este y B(, r) tel que f(y) = f(). Alors y Ker(f) B(, r). On a montré que tout vosnage de rencontre Ker(f), et ce pour tout E : Ker(f) est dense dans E. (v) () : Sot r > tel qu l este M > vérfant f() M pour tout B(, r). Alors pour tout E, s, r 2 B(, r) et donc c est-à-dre, par lnéarté de f, f ( r 2 ) M, f() 2M r, relaton qu est auss vrae pour =. Ans f est contnue. Sot E un espace vectorel normé mun de deu normes et. Montrer que pour tout a, a E et r, r >, les boules ouvertes B(a, r) de (E, ) et B (a, r ) de (E, ) sont homéomorphes. On remarque tout d abord que toute boule ouverte B(a, r) d un espace vectorel normé(e, ) est homéomorphe à la boule unté ouverte de (E, ), par l applcaton f : 1 ( a), r qu est contnue, bjectve, de bjecton récproque a + r elle auss contnue, et qu vérfe ben f(b(a, r)) = B(, 1). Il sufft donc de montrer que les boules untés ouvertes B(, 1) de (E, ) et B (, 1) de (E, ) sont homéomorphes, pus d utlser la composton d homéomorphsmes. Sot g l applcaton de (E, ) dans (E, ) telle que pour tout E, s g() = s =. Alors g est contnue en dehors de comme produt et quotent de fonctons contnues dont le dénomnateur ne s annule pas, et g est auss contnue en car g() = et pour tout, g() = = lorsque. De plus, g est bjectve: g() = s et seulement s =, et pour, la relaton g() = y = équvaut à mas cec mplque que et donc (comme y ), Fnalement, = y = y, et = y, = y y. y = = y y y. 12

13 La bjecton récproque de g est donc même donnée par la formule y g 1 (y) = y y s y s y =. Elle est contnue pour les mêmes rasons que g est elle-même contnue. On a donc prouvé que g est un homéomorphsme. Enfn, on remarque que g(b(, 1)) = B (, 1), d après les epressons eplctes de g et g 1. Cec achève la démonstraton. 13