Etude des circuits électriques

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1 1 Etude des circuits électriques Nous venons d aborder l étude les modèles électriques de base. Ces modèles, qui sont identifiables à des composants, sont reliés entre eux par des connections. Chacune des ces connections est réalisée par des lignes électriques de type équipotentielles c est-à-dire au même potentiel d un bout à l autre. Lorsqu une connexion est réalisée par plus de deux composants, les électrons qui circulent, se divisent alors dans les différentes branches. Donc dans un circuit, la valeur des tensions et des courants est différente en différents endroits du circuit. C est souvent ce qui est recherché. Ces tensions et courants peuvent être de type continu et/ou variables. Certaines parties du circuit sont agencés pour laisser passer le continu, d autres uniquement des tensions variables et d autres endroits il y a superposition de tensions continus et variables. La mise en équation du schéma nécessite donc d étudier les théorèmes de base qui régissent les circuits électriques. Ces théorèmes sont utilisables pour des signaux continus ou variables dans le temps mais il ne faut pas bien évidemment mélanger les écritures. Il est nécessaire de tenter de différencier l écriture des valeurs en fonction de leurs nature. Il y a donc ambiguïté entre des valeurs continu et variables efficaces. Par contre l utilisation d une lettre minuscule informe bien le lecteur de la nature variable du signal. Tension ou courant continu Variables en fonction du temps Tension ou courant efficaces V,I i(t), v(t) racourcit i,v V,I 1. Lois générales de l électricité en continu : Lois de Kirchhoff Loi des nœuds La loi des nœuds est utilisée pour calculer la répartition des charges électriques en un point du circuit. Un nœud correspond à un point du circuit où sont reliés au minimum trois branches conductrices. Il est évident que les électrons qui arrivent en un point ne peuvent que ressortir. Donc exprimée par les courants qui circulent, nous trouvons la définition suivante : Charges électriques noeud A I1 I3 I 2 La somme algébrique des intensités des courants dans les conducteurs orientés vers un nœud est égale à la somme algébrique des autres courants. Donc par convention : les courants allant en direction du nœud sont positifs I1 et I2 >0 les courants sortant du nœud sont négatifs I 3 <0 tel que I 1 +I 2 -I 3 =0.

2 2 Méthode : 1. Afin d établir une équation sur un nœud, il est tout d abord nécessaire de flécher le sens du courant. Si le sens du courant n est pas implicite, il suffit de le flécher arbitrairement. 2. Après l exécution du calcul, il apparaît deux possibilités : Soit le courant est signé positivement, c est que le sens du courant correspond à celui fixé, soit il est signé négativement, c est que le sens du courant est à l opposé de celui dessiné. 3. Pour la suite du calcul, il est conseillé de conserver le même sens de courant que celui établi arbitrairement en première partie, mais avec la notation signée de la deuxième partie. Loi des mailles Un circuit électrique est composé d un ensemble de dipôles actifs et passifs. Chacun de ces dipôles est soumis à une différence de potentiel. L ensemble des branches du circuit forme des mailles électriques. Définition : Dans une maille, la somme des chutes de tension et des générateurs est nulle. R. I + E = tel que : 0 A D1 B D2 C Illustration des mailles V AD VBA VBE VCB D 3 D 4 V CF D 5 V ED V FE D E F D 6 D 7 Eo=VFD V BE Pour l exemple ci-dessus : soit les mailles ABED, ACFD, BCFE, BCE, DEF... ce qui donne les équations suivantes : V BA - V BE - V ED +V AD = 0 V CE - V CF - V FE = 0 V FD - V FE + V DE = 0... Méthode d écriture de la loi des mailles : 1) Choisir arbitrairement un sens de parcours de la maille à étudier. 2) Flécher les d.d.p. sur chacun des dipôles (implicitement ou arbitrairement). 3) Ecrire l équation en suivant le sens de parcours tel que : o les tensions qui sont dans le même sens sont positives, o les tensions qui sont dans le sens opposé sont négatives.

3 3 4) Résoudre l équation mathématique. Si le résultat donne une tension signée positivement, c est que la tension est correctement fléchée, si le signe est opposé, c est que la d.d.p. est dans l autre sens. (Pour la suite du calcul, ne pas modifier le fléchage des tensions). 2. Théorèmes utilisés pour la mise en équation et la simplification d un circuit électrique Théorème de superposition Dans un circuit, l écriture d équations linéaires permet de séparer les calculs : Si il y a n générateurs dans un circuit, on en conserve un seul et on remplace les autres par leur résistance équivalente. Cette opération est répétée n fois. Les schémas 2 et 3 illustrent la méthode de calcul. En effet, il est demandé dans le schéma 2 de calculer la courant circulant dans R 3. Pour effectuer ce calcul, le schéma est décomposé en deux structures dans lesquels subsiste uniquement un générateur, soit E 1 soit E 2. Pour chacun de ces deux montages, il suffit de calculer le courant circulant dans R 3 (I 1 et I 2 dans l exemple), puis d en faire la somme tel que I R3 =I 1 +I 2. E1 R3 E2 R 4 R 5 Le but est de calculer le courant circulant dans R 3 I1 I2 Le courant dans R3 est la somme des deux courants I 1 =f(e 1,Rn) et I 2 =f(e 2,Rn) calculés pour chacun des montages Théorème de Thévenin Ce théorème a pour but de simplifier une structure. Cette simplification permet soit de modéliser un composant soit de faciliter des calculs d un montage. Dans certains cas, Thévenin sera utilisée uniquement pour «modéliser» un composant en ce cas, la compréhension du théorème permettra de créer une image simplifiée d une structure. Mais, pour que ce théorème puisse s appliquer, il faut que les éléments qui composent la structure soient linéaires. Et avant toutes analyses, il est indispensable de retirer du schéma la charge extérieur ou la déconnecter s il s agit d une expérimentation. La définition est : un réseau linéaire, aussi complexe soit-il, vu entre deux points A et B de ce réseau est équivalent à un générateur unique dont le modèle est composé : d une force électromotrice (source de tension) notée E th, égale à la différence de potentiel à vide et d une résistance interne r th, égale à la résistance équivalente du réseau entre les deux points A et B lorsque tous les sources sont remplacés par leur résistance interne.

4 4 Réseau électrique A Equivalent à : Réseau électrique R th A B E th B Par ce schéma, nous voyons l importance de la simplification puisqu une structure complexe est modélisée uniquement par deux composants. N oublions pas que ce type La charge qui va être câblée entre les points A et B Détermination expérimentale du modèle de Thévenin La première mesure consiste, en utilisant un voltmètre, de mesurer la tension à vide entre les points A et B. Cette tension correspond, par définition, à la tension de Thévenin notée Eth. L obtention de la résistance interne peut être obtenue de plusieurs manières plus ou moins réalisable. Utilisation d un ampèremètre et mesure du courant de court-circuit. La résistance interne est définie par calcul comme le rapport de Eth sur Icc : R = Eth/Icc. Cette méthode simple ne peut être utilisée car il y a toujours un danger à court-circuité une structure. Soit cela entraîne la destruction des composants de sortie, soit les courants sont trop intense ce qui met en danger l expérimentateur. Une autre méthode consiste à charger le montage par des résistances dont on connaît avec précision la valeur. Dans le premier cas on mesure la tension au sortie du montage avec une charge infinie, puis l on diminue la valeur de la résistance de charge jusqu'à ce que la tension diminue de moitié. La valeur de la résistance de charge est alors identique à la résistance interne Rth. Mais comme pour le premier cas, certaines structures ne peuvent débiter un courant aussi intense une autre méthode s impose. Cet autre consiste à reprendre la mesure à vide [Eth] puis charger par une résistance connue [Rc] assez élevée pour que le courant qui circule soit faible puis mesurer la nouvelle tension. La résistance interne est alors obtenue par calcul : Rth = Rc.[Eth-V]/V. Méthode par calcul Redessiner le réseau mais sans la charge pour les deux cas suivants : pour le calcul de Eth pour le calcul de Rth. En déduire les équations des paramètres du modèle de Thévenin Eth et Rth. Soit l exemple suivant :

5 5 I 1 I 2 I R 1 R 2 Rc V But : modéliser et simplifier le schéma E 1 E 2 De ce schéma initiale, il est donc indispensable de redessiner deux autres schémas, l un pour calculer Eth et l autre pour calculer Rth. I1 I2 E R E R E th = E 1 E 2 A R R r th = B Modélisation du schéma 4 Théorème de Norton Le théorème de Norton est identique à celui de Thévenin à la grande différence que le modèle final est sous la forme d un générateur de courant et non de tension. Avec la transformation suivante : Théorème de Norton Rth Eth I N R N Eth ou : I N = Rth et R N = Rth. Théorème de Millmann Le théorème de Millmann peut se déduire du théorème de Norton et de la loi d Ohm. En effet l expression V=R.I peut être notée sous la forme suivante :

6 6 VN RN VAB = 1 RN Dans le cas d un circuit composé de branches reliées à un nœud, cela correspond à : représenter chacune des branches par un générateur de courant tel que : I=V N /R N, calculer l inverse de la résistance équivalente composé de la mise en parallèle de l ensemble des résistances des branches reliées au nœud. Exemple : R 1 I 1 I 2 R 2 I Calcul de la tension V en utilisant le théorème de Millman E 1 E 2 V R C L application de Millmann donne directement : V = E1 E Rc Rc Ce théorème est particulièrement adapté pour les calculs des amplificateurs opérationnels. 3. Méthode de calcul d un schéma électrique Il y a deux types d équations : les équations régies par les lois générales de l électricité telles que la loi d Ohm, des nœuds et des mailles etc... les équations régies par la technologie et la modélisation des composants. Observations Il est souvent impossible de fixer objectivement le sens réel des courants et des tensions. Cela est sans importance car les valeurs sont algébriques. Par contre, il faut bien choisir le sens de déplacement de parcourt de la maille. Il est souvent suffisent d écrire n-1 équations pour n nœuds.

7 7 Méthode d élaboration des équations d un circuit électronique Sur le schéma structurel Flécher arbitrairement les courants et tensions sur l ensemble du schéma. En respectant les fonctions générateurs et récepteur, flécher les courants. Ecrire les équations des mailles Ecrire les équations des nœuds. Pour les composants électriques Ecrire les équations liées aux composants électrique : Sources Résistances Condensateurs Inductances Pour les composants électroniques Ecrire les équations liées aux composants électroniques : Diodes AOP Transistors etc.. Résoudre le système d équation