Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2017

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1 Corrigé du baccalauréat S Nouvll-Calédoni mars 7 EXERCICE Commun à tous ls candidats 5 points On considèr la fonction f défini t dérivabl sur [ ; + [ par f (x)= x x. Parti A. On justifi ls informations du tablau d variations d f donné ci-dssous : x + f (x) La dérivé d f st f (x)= x + x( ) x = ( x) x. Pour tout s, x > donc f (x) st du sign d x, donc f (x) > sur [ ; [ t f (x) < sur ] ; + [. Donc la fonction f st strictmnt croissant sur [ ; ], t ll st strictmnt décroissant sur [ ; + [. f ()= On détrmin la limit d la fonction f n+. f (x)= x x = x ; on sait qu x lim x + x x =+ donc lim x +. Soit F la fonction défini t dérivabl sur [ ; + [ par F (x)=( x ) x. Parti B F (x)= x + ( x )( ) x = ( + x+ ) x = x x = f (x) Donc la fonction F st un primitiv d la fonction f sur [ ; + [. x = t donc x lim f (x)=. x + Soit a un nombr rél tl qu < a<. On considèr la droit D a d équation y = ax t M l point d intrsction d la droit D a avc la courb C f. On not x M l absciss du point M. On not H (a) l air, xprimé n unités d air, du domain hachuré sur l graphiqu ci-dssous, c st-à-dir du domain situé sous la courb C f au-dssus d la droit D a t ntr ls droits d équation x= t x = x M.. La droit D a t la courb C f s coupnt n ds points dont ls abscisss sont solutions d l équation ax=x x. On résout ctt équation : ax=x x ax x x = x(a x )= x = ou a x = x = ou a= x x = ou ln(a)= x x = ou x = ln(a) Donc la droit D a t la courb C f s coupnt au point O t n un autr point d absciss ln(a). On admt dans la suit d l xrcic qu l point M a pour absciss x M = ln(a) t qu la courb C f st situé au-dssus d la droit D a sur l intrvall [ ; ln(a)].

2 M D a, C f ln(a). La courb C f st au dssus d la droit D a sur l intrvall [ ; ln(a)], donc l air H (a) du domain ln(a) ( ) hachuré st f (x) ax dx. H (a)= ln(a) ( ) ln(a) f (x) ax dx = f (x)dx [ = (ln(a) ) ( ln(a)) ( ) ] [a (ln(a)) ln(a) [ ax dx= F (x) ] ln(a) ] ln(a) [a x ] = a ln(a) a+ a (ln(a)) 3. Soit la fonction H défini sur ] ; ] par H (x)= x ln(x) x(ln(x)) + x. On admt qu H st dérivabl sur ] ; ] t qu son tablau d variations corrspond à clui qui st proposé ci-dssous. x H (x) La fonction H st continu t strictmnt décroissant sur l intrvall ] ; ]. D après l tablau d variations, limh (x)= t H ()=. Or,5 ] ; [, donc, d après l corollair du théorèm ds valurs x x> intrmédiairs, l équation H (x) =,5 admt un solution uniqu α dans ] ; [. 4. On considèr l algorithm présnté ci-dssous. VARIABLES : A, B t C sont ds nombrs ; p st un ntir naturl. INITIALISATION : Dmandr la valur d p A prnd la valur B prnd la valur TRAITEMENT : Tant qu B A> p C prnd la valur (A+ B)/ Si H (C)>,5 Alors A prnd la valur d C Sinon B prnd la valur d C Fin d la boucl Si Fin d la boucl Tant qu SORTIE : Affichr A t B. Nouvll-Calédoni - Corrigé mars 7

3 Ct algorithm, dit d «dichotomi», prmt d détrminr un ncadrmnt d amplitud infériur ou égal à p d la solution d l équation H (x)=,5 ; l nombr A st la born infériur d l ncadrmnt, l nombr B n st la born supériur. 5. On utilis la calculatric pour détrminr ls ncadrmnts suivants : limh (x)= x x> H (,),4<,5 = α ] ;,[ H (,6),534>,5 H (,7),496<,5 } = α ],6 ;,7[ EXERCICE Commun à tous ls candidats 3 points. La duré d vi T (xprimé n annés) d un apparil élctroniqu suit la loi xponntill d paramètr λ où λ>. On sait qu un tl apparil a un duré d vi moynn E(T ) d quatr ans ; or λ= donc λ=,5. E(T ) D après l cours, si un variabl aléatoir X suit un loi xponntill d paramètr λ, alors P(X < t)= λt. On chrch P (T 3) (T 3+). La loi xponntill st un loi à duré d vi sans viillissmnt donc P (T 3) (T 3+)=P(T ). P(T )= P(T < )= (,5 ) =,5,6,39. Ctt affirmation st fauss.. L plan complx st muni d un rpèr orthonormal ( O ; u, v ). On résout dans C l équation (E) : z 3 3z + 3z =. z 3 3z + 3z = z(z 3z+ 3) donc (E) z(z 3z+ 3)= z = ou z 3z+ 3= On résout dans C l équation (E ) : z 3z+ 3= : =9 = 3 donc l équation admt dux solutions complxs conjugués z = 3+ i 3 t z = 3 i 3. Soit A l point d affix z t B l point d affix z. OA= z = ( ) 3 ( ) = = 3 OB= z = z car z t z sont dux nombrs complxs conjugués, donc OB= 3. 3 i 3 AB= z z = 3+ i 3 = i 3 = 3 OA = OB = AB donc ls trois solutions d l équation (E) sont ls affixs d trois points qui sont ls sommts d un triangl équilatéral. Ctt affirmation st vrai. Nouvll-Calédoni - Corrigé 3 mars 7

4 EXERCICE 3 Commun à tous ls candidats 4 points Ds étudiants d un univrsité s préparnt à passr un xamn pour lqul quatr thèms (A, B, C t D) sont au programm. Parti A Sur ls 34 sujts d l xamn déjà posés, portaint sur l thèm A. On vut tstr l hypothès «il y a un chanc sur dux (p =,5) qu l thèm A soit évalué l jour d l xamn» dans un échantillon d taill n= 34. n= 34 3 t np = n( p)=7 5 donc ls conditions sont vérifiés pour qu l on établiss un intrvall d fluctuation asymptotiqu au suil d 95 % d la proportion qu l thèm A soit évalué l jour d l xamn : [ [ p( p) p( p),5,5,5,5 I = p,96 ; p+,96 ]=,5,96 ;,5+,96 ] [,33 ;,67] n n La fréqunc dans l échantillon st d f = 34 proposé.,65 I donc il n y a pas d raison d rjtr l affirmation Parti B L thèm A rst pour baucoup d étudiants un parti du programm difficil à maîtrisr. Un stag d préparation st alors proposé pour travaillr c thèm. Lors d l xamn, on a constaté qu s il y a un xrcic portant sur l thèm A : 3% ds étudiants n ayant pas sµivi l stag n traitnt pas l xrcic ; 5 ds étudiants ayant suivi l stag l ont traité. 6 On sait d plus qu % ds étudiants participnt au stag. On not : S l évènmnt «l étudiant a suivi l stag» t S son évènmnt contrair ; A l évènmnt «il y a un xrcic portant sur l thèm A» t A son évènmnt contrair. On établit un arbr d probabilité résumant la situation :, S A A,8 A,7 S,3 A On chrch P A (S) c st-à-dir P(S A). P(A) D après l arbr : P(S A)=P(S) P S (A)=, 6 =, 6 = 3. D après la formul ds probabilités totals : P(A)=P(S A)+P(S A)= 3 +,8,3= = P A (S)= = = 5 4,. 5 Nouvll-Calédoni - Corrigé 4 mars 7

5 Parti C On suppos qu la variabl aléatoir T, associant la duré (xprimé n minuts) qu consacr un étudiant d ctt univrsité pour la composition d ct xamn, suit la loi normal d spéranc µ = 5 t d écart-typ σ où σ>. La probabilité qu un étudiant finiss son xamn n moins d 35 minuts st d,98. On sait qu P(T 35)=,98 sachant qu T suit la loi normal d moynn 5 t d écart-typ σ. D après l cours, si T suit la loi normal d moynn 5 t d écart-typ σ, alors Z = T 5 suit la loi normal σ cntré réduit (moynn t écart-typ ). T 35 T 5 T 5 ( T 5 σ σ car σ> ; donc P(T 35)=,98 P σ σ On chrch donc l rél β tl qu P(Z β)=,98 sachant qu Z suit la loi normal cntré réduit. On trouv à la calculatric β,54. On n déduit qu σ,54 donc qu σ 4,9. ) =,98. EXERCICE 4 Commun à tous ls candidats 3 points u = On considèr la suit (u n ) défini par u n+ = On put conjcturr qu, pour tout n, u n = n n+. u n pour tout ntir naturl n. Soit P n la propriété u n = n. Démontrons par récurrnc qu ctt propriété st vrai pour tout n. n+ Initialisation n Pour n=, u = t = donc la propriété st vrai au rang n=. n+ Hérédité On suppos qu la propriété st vrai pour un ntir k qulconqu : u k = k k+. On va démontrr qu ll st vrai au rang k+ soit u k+ = k+ k+. u k+ = = u k k = = k+ (k+ ) k k+ k = k+ k+ k+ k+ Donc la propiété st vrai au rang k+. Conclusion La propriété P n st vrai pour n = t ll st héréditair pour tout n. Donc, d après l princip d récurrnc, la propriété st vrai pour tout ntir naturl n. On put donc dir qu, pour tout n, u n = n n+. On chrch lim u n n. Pour n : n + n+ = ( n n + ) = +. n n On sait qu lim n + n = donc lim n + + n = donc lim n + u n =.. Nouvll-Calédoni - Corrigé 5 mars 7

6 EXERCICE 5 Candidats n ayant pas suivi l nsignmnt d spécialité 5 points L spac st muni d un rpèr orthonormé (O ; I, J, K). On considèr ls points A( ; ; ), B(6 ; 5 ; ), C( ; ; ) t S(3 ; 37 ; 54). 7. a. AB 4 t AC 3 ; 7 7 = t 4 3 donc ls vcturs AB t AC n sont pas colinéairs. 7 Ls points A, B t C n sont pas alignés donc ils définissnt bin un plan dont AB t AC sont dux vcturs dircturs. b. Soit l vctur 5 n 6. 9 n. AB = ( 4)+9 = = donc n AB. n. AC = ( ) = = donc n AC. Donc l vctur n st un vctur orthogonal à dux vcturs dircturs du plan (ABC) donc l vctur n st un vctur normal au plan (ABC). c. L plan (ABC) st l nsmbl ds points M tls qu AM t n sont orthogonaux. Si M a pour coordonnés (x ; y ; z), alors AM a pour coordonnés (x+ ; y+ ; z). AM n AM. n = 5(x+ )+6(y+ )+9z = 5x+ 6y+ 9z+ = L plan (ABC) a pour équation 5x+ 6y+ 9z+ =.. a. AB = AB = 7 + ( 4) + = 49+6+= 66 AC = AC = ( ) = 4+9+4=7 BC = ( 6) + (+5) + ( ) = = =83 c qui équivaut à AB +AC = BC donc, d après la réciproqu du théorèm d Pythagor, l triangl ABC st rctangl n A. b. L triangl ABC st rctangl n A donc son air vaut AB AC 66 7 = =. 3. a. Ls points A, B, C t S sont coplanairs si t sulmnt si l point S appartint au plan (ABC). L plan (ABC) a pour équation 5x+ 6y+ 9z+ =. 5x S + 6y S + 9z S + = = 75 donc S (ABC). Ls points A, B, C t S n sont pas coplanairs. b. La droit ( ) prpndiculair au plan (ABC) passant par S coup l plan (ABC) n un point noté H. La droit ( ) st prpndiculair au plan (ABC) donc ll a pour vctur dirctur l vctur n. Donc l vctur SH st colinéair au vctur n donc l vctur SH a pour coordonnés (5k ; 6k ; 9k) où k st un rél. Si l point H a pour coordonnés (x H ; y H ; z H ), l vctur SH a pour coordonnés (x H 3 ; y H 37 ; z H 54). x H = 3+5k On n déduit : y H = 37+6k z H = 54+9k On xprim qu H appartint au plan (ABC), c qui va prmttr d détrminr la valur d k : 5x H + 6y H + 9z H + = 5(3+5k)+ 6(37+6k)+ 9(54+9k)+ = 65+5k k k+ = 44+k = k = x H = 3+5( ) = 3 Donc l point H a pour coordonnés : y H = 37+6( ) = 5 z H = 54+9( ) = 4 Nouvll-Calédoni - Corrigé 6 mars 7

7 4. L volum du tétraèdr SABC st air(abc) SH. 3 L vctur SH a pour coordonnés (5k ; 6k ; 9k) donc (5( ) ; 6( ) ; 9( )) = ( ; 3 ; 58). Donc SH = ( ) + ( 3) + ( 58) = 4488 t donc SH= 4488=. air(abc) = donc l volum du tétraèdr st = = 374 unités d volum. 3 3 Nouvll-Calédoni - Corrigé 7 mars 7

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