Chap. A 2 : entiers, récurrences, formules sommatoires

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1 MPSI 1 Programme de colles Semaie 2, du 29 setembre au 3 Octobre 2014 Cha. A 2 : etiers, récurreces, formules sommatoires I L esemble N et le raisoemet ar récurrece : 1) U eu de théorie sur N : O résete ici les roriétés fodametales de l esemble des etiers aturels. Quad o regarde les etiers das leur esemble (i.e. lutôt qu isolémet), fodametale est la otio de successeur : u efat sait vraimet comter quad il sait comter jusqu à l ifii ce qui veut dire lutôt qu il sait doer le successeur de imorte quel ombre. Les mathématicies aimet comredre les relatios etre des roriétés, déduire. Il est remarquable que toutes les roriétés des ombres etiers se déduiset de celles de l alicatio successeur, qui à u etier associe celui qu o va aeler + 1. Cela a coduit à doer la défiitio de N doée au a), ar ue liste de roriétés ou axiomes. Cette défiitio est as à savoir ar coeur. Elle etraîe les roriétés doées au b) au d), qui, elles, sot à bie coaître, même si leur démostratio à artir des axiomes a) est as exigible. a) Axiomes de Peao our N (H.P, o exigible) Il existe u esemble essetiellemet uique oté N, mui d ue alicatio s N N avec les roriétés : (i) s est ijective, (ii) il existe das N u élémet oté 0 tel que 0 / s(n), (iii) our tout sous-esemble A de N, si A cotiet 0 et est stable ar s, alors A = N. Notatio : O ote 1 = s(0), et our tout N, o ote s() = + 1. Remarque 1 : Suivat qu o cosidère ar exemle, les etiers écrits e base dix, à l aide des chiffres 0, 1, 2,..., 9 ou les etiers écrits e base deux, à l aide seulemet des chiffres 0, 1, o obtiet des esembles différets uisque formés avec des objets différets. Ceedat ce qui sigifie l exressio essetiellemet uique das l ecadré ci-dessus, est qu il existe ue (uique) bijectio de N base deux das N base dix comatible avec l alicatio successeur Remarque 2 : Par défiitio, u ombre etier aturel est u élémet de l esemble N. O e défiit as ici, la otio de ombre etier isolémet. b) Coséquece à coaître : ricie de récurrece : Thm. (H) O cosidère u rédicat P () déedat d ue variable N qui vérifie les deux roriétés suivates : Iitialisatio : P (0) est vraie, Hérédité : our tout N, l imlicatio [P () P ( + 1)] est vraie. ((C) Alors la roriété P () est vraie our tout N Démostratio : o cosidère A = { N, P ()}. c) Notio de suite défiie ar récurrece : (i) Déf. Ue suite u d élémets d u esemble A (.ex. A = R) est ue alicatio u N A. (ii) Vous avez l habitude, au lycée, de défiir des suites ar récurrece, e disat.ex. u 0 = 2, et our tout N, u +1 = 2u 2 + u. (iii) Le fait que les doées du (ii) défiisset bie ue uique alicatio u N R est ue coséquece de l axiome de récurrece du a) (iii). L idée est qu o détermie u ar ses restrictio successives u 0, our tous les N. d) Retour sur les ro. fodametales de N : (i) Déf. de loi + (ar récurrece!) Soit N, o défiit l alicatio add N N, m add (m) ar récurrece comme suit : add (0) =, m N, add (m + 1) = add (m) + 1. Notatio : add (m) = m +. (ii) Déf. de l ordre. (m, ) N 2, m k N, = m + k. Deux roriétés très imortates à reteir, même si elles sot très ituitives! 1

2 MPSI 1 Programme de colles Semaie 2, du 29 setembre au 3 Octobre 2014 (P1) Toute artie o vide de N admet u lus etit élémet. (P2) Toute artie o vide de N majorée admet u lus grad élémet. La dém. e est admise, mais bie sûr, elles se rouvet ar récurrece. (iii) Déf. loi : Soit N, o défiit l alicatio mult N N, m mult (m) ar récurrece comme suit : mult (0) = 0, m N, mult (m + 1) = mult (m) +. Notatio : mult (m) = m = m.. Les déf. du (i) et (iii) e sot as exigibles à ce stade, elles servirot ceedat e ifo. Les ro. de l ordre doées au (ii) doivet être sues. (iv) O admettra das la suite toutes les ro. bie coues de + et das N : elles se motreraiet ar récurrece! Peser que s il est facile de voir sur u dessi que 2 3 = 3 2, c est mois immédiat avec des ombres à 4 chiffres ar exemle, merci la récurrece! e) Ue ouvelle foctio imortate de N das N : la factorielle Ecore ue défiitio ar récurrece. Plus ituitif :! = 1 2. Coaître 0!,1!, 2!,3!,4!,5!. 2) Pratique du raisoemet ar récurrece : a) Cosige de rédactio : O doit éocer clairemet le rédicat P () que l o veut démotrer. Si o veut motrer que our tout N 0, P () est vraie, o motre que : Iitialisatio : P ( 0 ) est vraie, Hyothèse de récurrece (H.R) : soit N 0 tel que P () est vraie. Motros que P ( + 1) est vraie. O coclut à la fi : la récurrece est établie. Remarque : Ce raisoemet récurrece à artir d u certai rag est valide car c est l alicatio du 1) b) à la roriété Q() ( < 0 ) ou (P ()). b) Exercice : comarer 2 et! our tout N. c) Pratique de la récurrece forte : (i) Das l H.R., au lieu de suoser qu o a P () vraie our u certai, o suose qu o a, our tous les k, P (k) qui est vraie (avec k 0 si o iitialise à 0) (ii) Exle : motrer que tout etier différet de 1 admet u diviseur remier. (iii)n.b. La validité de la réc. forte se déduit du ricie de réc. usuel aliqué à la roriété Q() k, P (k). (iv) Remarque : Alterative ossible au (ii) à la reuve ar réc. forte : utiliser le fait qu ue artie o vide de N admet u lus etit élémet. d) Erreurs usuelles : oubli de l iitialisatio, formulatio de l H.R. avec u ou erreur du tye exercice l. e) Exemles de suites défiies ar réc. : (i) Suites arithmétiques : déf. ar réc. et écriture exlicite u = u 0 + a. (ii) Suites géométriques : déf. ar réc. et écriture exlicite u = a u 0. 3) Pratique de la récurrece sur l exemle de la formule du biôme de Pascal- Newto a) Déveloemet de (a + b) our etit : arbre de déveloemet. Lie avec les exérieces de Beroulli vues e remière. Le oit de vue choisi e remière : l arbre doat k succès our réétitios. Il a été démotré e raisoat sur les chemis les relatios : o y a défii ( ) comme le ombre de chemis de k 2

3 MPSI 1 Programme de colles Semaie 2, du 29 setembre au 3 Octobre , 1, 1, ( ) = ( 1 ) + ( 1 1 ) 1, k 0,, ( k ) = ( k ). b) Chagemet de oit de vue ici : Déf. lus mathématique, lus umérique, des biomiaux : ar récurrece (double) e artat de la relatio du a) Défiitio - O défiit le coeff. biomial ( ) our tout N et tout 0, ar Iitialisatio : N ( 0 ) = ( ) = 1, Relatio de récurrece : 2, 1, 1, ( ) = ( 1 ) + ( 1 1 ) c) Pro. (les coefficiets biomiaux ( ) sot bie les coefficiets du biôme (a + b) ). (a, b) R 2, N, (a + b) = ( 0 )a + ( 1 )a 1 b + + ( k )a k b k + + ( )b. Preuve ar récurrece de la formule du biôme, imarfaite car il reste des etits oits... II Formules sommatoires : symbole 1) Notatio a) (i) Déf. i=0 (ii) Plus ituitif : das les sommes. a i : ar récurrece! i=0 b) Ses de la variable i : a i = a a, mais le (i) doe u ses rigoureux aux... écrits jusqu ici i=0 a i = a j = j=0 i 0, Notio de variable muette. c) E ifo. : commet calculer ue somme à l aide d ue boucle for : 100 a i. Pour calculer i, o eut rocéder comme suit, ce qui suit les dièses # est u commetaire, qui est as lu ar la machie. S=0 # o crée ue variable S à laquelle o affecte (symbole =) la valeur 0 for i i rage(101): S=S+i rit(s) d) Trois règles de calculs (distrib., regrouemet, chagemet d idice) e) Alicatio : rédactio de la reuve de la formule du biôme avec des 2) Exemles de formules sommatoires : les comme alterative aux récurreces a) L astuce du etit Gauss our S = : idée regroumt de termes, rédac.. b) Gééralisatio aux suite arithmétiques : à savoir absolumet : Somme des termes : (Premier terme + derier terme) ombre de termes /2 Ecriture de la reuve avec les. c) Somme des termes d ue suite géométrique. : à savoir absolumet : (Premier terme successeur du derier)/ (1 la raiso) Preuve : telescoage à voir sas et avec! 3) Pricie gééral des sommes telescoiques : a) L essetiel : Formule : q k= (u k+1 u k ) = u q+1 u. b) Exemle d alicatio : (i) Exo. frustat : vérifier que k 2 ( + 1)(2 + 1) =. 6 (ii) Méthode our découvrir la formule. E otat u k = k 2 our tout k N, o cherche (v k ) telle que v k+1 v k = u k, ou à eu rès! 3

4 MPSI 1 Programme de colles Semaie 2, du 29 setembre au 3 Octobre 2014 Ici, o essaie v k = k 3 (aalogie avec la dérivatio...) (iii) Fi de l exercice : factorisatio du résultat. (iv) Exercice à faire : doer de même ue formule our 4) Variate multilicative des : les a) Déf de b) Exemle de calcul : (a i b i ) = a i : ar récurrece. c) Retour sur la factorielle. (λa i ) = (i) Reformulatio de la déf. Pour tout 1, o ose! déf = (ii) E aticiat sur le déombremet (admis) :! est le ombre de ermutatios de élémets disticts i.e. de faços de les ordoer. Exemle our = 3. 5) Retour aux coefficiets biomiaux : écriture exlicite (o vue au lycée) a) Pro. ( ) =! ( 1)... ( + 1) =.!( )!! b) Preuve ar récurrece (frustrate car c est ue vérificatio, mais à bie maîtriser au iveau de la rédactio : formulatio correcte de P () avec le k 0,, réductio au même déomiateur... c) Commet trouve-t-o la formule : e faisat du déombremet cf. 2ème semestre. III T.D. Cours : maiulatios de et de sommes doubles 0) Présetatio des sommes doubles : O cosidère ue famille (a i,j ) de ombres réels idexée ar des idices (i, j) 1, 1,. O eut visualiser cette famille ar u tableau, l idice i rerésetat ar covetio l idice lige et l idice j l idice coloe. a 1,1 a 1,2 a 1,j a 1, a 2,1 a 2,2 a 2,j a 2, a i,1 a i,2 a i,j a i, a,1 a,j a, Grâce à la commutativité (et l associativité!) de l additio das R, o eut faire la somme de tous élémets de la famille das imorte quel ordre, et o otera cette somme : k 3. S = (i,j) 1, 1, a i,j ou ecore S = 1 i,1 j a i,j. (1) 1) Sommatio lige ar lige ou coloe ar coloe : a) Si o somme lige ar lige : O ote σ i la somme des élémets das la lige i. Aisi σ 1 = maière géérale : La somme des élémets de la lige i est : σ i = a i,j. i. a 1,j, σ 2 = a 2,j et d ue Il faut bie oter que das cette formule les variables i et j jouet u rôle très différet : la variable i est extere au symbole alors que le j est le comteur qui sert à sommer, variable itere au symbole. 4

5 MPSI 1 Programme de colles Semaie 2, du 29 setembre au 3 Octobre 2014 Aisi, si o choisit de d abord faire la somme des élémets liges ar liges, o eut calculer S comme : S = σ i = ( a i,j ) (2) b) De même si o somme coloe ar coloe : La somme τ 1 des élémets de la coloe 1 vaut τ 1 = a i,1 et d ue maière géérale : La somme des élémets de la coloe j est : τ j = a i,j. De même, e faisat la somme des élémets coloe ar coloe : S = ( a i,j ). (3) c) Exercice d alicatio : Calculer la somme S 0 = (i,j) 1, 2 (i + j). 2) U exemle de sommatio e diagoale : N.B. O garde les otatios du 1), mais o cosidère maiteat que =, autremet dit u tableau carré dot les etrées sot les (a i,j ) (i,j) 1, 2. Cosidéros le tableau formé ar les idices (i, j) 1, 1,, à distiguer du tableau des valeurs doé au 1). O eut le voir comme u sous-esemble de N 2 reréseté das u reère (eut-être australie) où l axe des abscisses est vertical vers le bas et l axe des ordoés horizotal vers la droite : (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, i) (1, ) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, i) (2, ) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, i) (3, ) (i, 1) (i, 2) (i, i) (i, ) (, 1) (, i) (, ) a) O ote k = {(i, j) 1, 2, i j = k}. A quoi corresod l esemble des idices das 0, 1, 1 sur le tableau ci-dessus? Décrire d ue maière géérale ce que rerésete k. b) O ote ecore S = a i,j. O trouve aussi l abus de otatio courat suivat : S = (i,j) 1, 2 a i,j. 1 i, j Justifier qu o eut exrimer S sous la forme suivate : S = N k= N ( (i,j) k a i,j ), ( ) e récisat la valeur de l etier N. N.B. : L esemble des idices 1, 2 état fixé, o otera lus simlemet l égalité ( ) sous la forme : S = N k= N ( a i,j ) (4). (i,j),i j=k c) Exercice d alicatio : Calculer de deux maières différetes : S 1 = (i,j) 1, 2 i j. 3) U exemle de sommatio avec d autres découage de 1, 2 Exercice : Calculer de lusieurs maière différetes S 2 = 4) Produits de sommes 1 i,j max(i, j) où max(i, j) def = i si i j j sio. 5

6 MPSI 1 Programme de colles Semaie 2, du 29 setembre au 3 Octobre 2014 Rael : Das ue écriture lusieurs et écrire ar exemle :, o a dit que l idice i est muet, itere au. O eut doc l utiliser das a i + b i avec le même idice i. Mais il coviet d être rudet our les roduits de la forme ( a i)( b i). E effet, ar exemle si = 2 et qu o déveloe ce roduit (a 1 + a 2)(b 1 + b 2) o aura quatre termes a 1b 1 + a 1b 2 + a 2b 1 + a 2b 2. Pour bie déveloer ( a i).( b i) l écrire lutôt ( a i).( b j). Alors, la ro. suivate doe : ( a i).( b j) = Plus gééralemet éoços la : (i,j) 1, 2 a ib j Pro. Pour tout (m, ) (N ) 2, et our tout (a 1,..., a m) R m, et (b 1,..., b ) R : m ( a i)( b j) = (i,j) 1,m 1, Preuve Par distributivité, e otat S m m = ( b j), o a : ( a i)( b j) = ( a i)s m = (a is ). a ib j. Mais ecore ar distributivité, our chaque i 1,, a is = a ib j. m m Doc ( a i)( b j) = ( a ib j). Par le 1), ceci est ue exressio de Exercice d alicatio : Calculer S 3 = 1 j i ij, de deux maières différetes. a ib j. (i,j) 1,m 1, 6

7 MPSI 1 Programme de colles Semaie 2, du 29 setembre au 3 Octobre 2014 Cha. A 3 : itroductio aux esembles R (aalyse) et R 2 (géométrie), C I Quelques roriétés de R et des suites réelles 1) Nombres ratioels et décimaux : a) Les ombres ratioels : ce sot les ombres qui s écrivet a/b avec a Z, b N. O sait les ajouter (réd. au même déomiateur), les multilier. b) Des ratioels articuliers : les décimaux. (i) Déf. esemble D = {a/10, a Z, N}. (ii) Dév. décimal d u ombre x D. Exle : x = 15347/1000 = Ecriture décimale : x = 15, 347. (iii) Pro. géérale (admise) x D + {0},! N,! (a 0, a 1,..., a ) N 0, 9, x = a 0 + a a.10, et a 0. Ecriture décimale : x = a 0, a 1... a. N.B. Pour les x D tels que x < 0, o alique le théorème récédet à x ce qui doe ue écriture x = a 0, a 1... a qu o écrit esuite x = a 0, a 1... a. c) Déveloemet décimal d u ratioel o décimal : exemle de 1/3. (i) Algorithme : déart 1 3 = = ( ).10 1 = Au bout de étaes : 1 3 = ( ) = S (ii) Comme 10 0 das Q (cf. 3) ifra), o e déduit que S = k O ote = 3.10 k, et aussi 1 = 0, écriture décimale illimitée du ratioel 1/3. 3 d) Retour sur les ombres décimaux : exemle de dév. décimal imrore : (i) O cosidère la suite S = 0, = 9.10 k. O eut calculer S comme somme des termes d ue suite géométrique de raiso O obtiet que S 1. O a doc l égalité : 1 = 9.10 k. + L écriture illimitée, correcte, 1 = 0, est l écriture décimale dite imrore du ombre 1. (ii) Gééralisatio : our tout ombre décimal x o ul, ar exemle x = 3, 456 o a ue autre écriture décimale x = 3, dite imrore. (iii) Réciroquemet tout dév. décimal imrore rerésete u ombre décimal. e) Uicité du déveloemet décimal rore des ratioels : admise. 2) Petite itroductio aux ombres réels : a) Déf. d u ombre réel : u ombre réel est ue écriture x = a 0, a 1... a k... avec a 0 Z, et a k 0, 9 our tout k N, telle que la suite (a k ) e soit as costate égale à 9 A.P.C.R. Par déf., deux écritures différetes doet ar déf. deux réels différets. O ote R l esemble des réels. A ce stade, our ous u ombre réel est ue simle écriture, ou ecore la doée d ue suite (a k ) comme ci-dessus. Mais ar le résultat d uicité du 1) e), o eut idetifier les ratioels avec leur dév. décimal rore et doc Q R. b) L ordre das R : (i) déf. d u ombre réel ositif, de l oosé x d u ombre réel x, de la relatio x < y our deux ombres réels ositifs, our deux ombres réels quelcoques (exercice). (ii) Pour deux réels quelcoques disticts x et y, o a toujours x < y ou y < x. O dit que l ordre est total. O sait doc toujours défiir max(x, y). (iii) Déf. de la valeur absolue : x = max(x, x). 7

8 MPSI 1 Programme de colles Semaie 2, du 29 setembre au 3 Octobre 2014 (iv) Déf. de la artie etière x d u ombre réel x : c est le lus grad etier iférieur ou égal à x. Z, et Formellemet : x R, = x x < + 1. Si x = a 0, a 1... a..., deux cas : si x 0 alors x = a 0, si x < 0 alors x = a 0 1. c) Plus délicate est la déf. de l additio de deux ombres réels ( culturel ici) : (i) E effet, quad o ajoute deux ombres décimaux à l aide de leur écriture décimale, o art de la droite, de la derière décimale, à cause des reteues qui se roaget esuite. Exemle our 0, , 677. (ii) Pour les ombres réels, il y a as forcémet de derière décimale. L idée our défiir l additio de deux réels ositifs x et y est de cosidérer our chaque etier k N, les décimaux x k et y k obteus e e gardat que les k remières décimales de x et y, de faire la somme x k + y k, uis de cosidérer le lus etit réel qui majore toutes ces sommes x k + y k, qui est ar déf. x + y. L existece d u tel lus etit majorat est la roriété fodametale de R que ous déveloeros au cha. E. C est cette roriété qui etraîe qu ue suite croissate majorée coverge das R. Ici ous l admettros. (iii) O défiit de même les autres oératios,, divisio, das R. d) Pro. imortates de maiulatio d iégalités : (i) Additio membre à membre des iégalités (admise). (ii) Multilicatio des iég. ar u ositif (admise). Savoir e déduire : la mult. membre à membre des iég. de ombres ositifs. (iii) Iégalité triagulaire (I.T.), savoir dém. : (x, y) R 2, x + y x + y. (iv) Secode iégalité triagulaire (I.T.2) dém. ex. l. (x, y) R 2, x y x y. (v) Multilicativité de la valeur absolue (exo.) (x, y) R 2, xy = x. y, 3) Limites d ue suite réelle a) Notio de voisiage : (i) Déf. Soit x 0 R, o aellera voisiage de x 0 tout itervalle de la forme ]x 0 α, x 0 + α[ our α > 0. (ii) Equivalece essetielle x ]x 0 α, x 0 + α[ x x 0 < α. (iii) Déf. des voisiages de + (res. ). u b) Déf. suite covergete. (i) La déf. e terme de voisiage. (ii) Versio avec quatificateur : (iii) Exemle : dém. de 1/ + 0. c) Déf. de (u ) + (i) Versio avec les voisiages : la même qu au b) (i). + (ii) Versio avec quatificateur : (iii) Exercice : dém. que our si a > 0 et si (u ) est ue suite arithmétique de raiso a, alors +. + def (iv) Déf. u u d) Termiologie : (i) Par déf. o dit que (u ) diverge ssi (u ) e coverge as. Das ce cas, attetio, deux cas ossibles : u ± ou bie (u ) a as de limite das R. + 4) Théorème d ecadremet et de mioratio/ majoratio. a) Théorème d ecadremet Eocé et dém. b) Théorème de mioratio A.P.C.R. ar ue suite tedat vers + Eocé et dém. Ex. d al. : si q > 1 motrer q +. + Idée : o ose q = 1 + r avec r > 0, et (1 + r) 1 + r (savoir ourquoi!). 5) Trasitio vers la géométrie : Le fait que l esemble R aisi esquissé uisse être le suort mathématique de otre ituitio de ce qu est ue droite hysique, u cotiuum sera davatage justifié ar les ro. de R vues au cha. E, déjà évoquées au 2) c) (ii). 8