Chap. A 2 : entiers, récurrences, formules sommatoires

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1 MPSI 1 Semaie, du 8 setembre au Octobre 015 Cha A : etiers, récurreces, formules sommatoires Toute l arithmétique est la coséquece de l acte de comter J Stillwell, les mathématiques et leur histoire I L esemble N et le raisoemet ar récurrece : 1) U eu de théorie sur N : O résete ici les roriétés fodametales de l esemble des etiers aturels Quad o regarde les etiers das leur esemble (ie lutôt qu isolémet), fodametale est la otio de successeur : u efat sait vraimet comter quad il sait comter jusqu à l ifii ce qui veut dire lutôt qu il sait doer le successeur de imorte quel ombre Les mathématicies aimet comredre les relatios etre des roriétés, déduire Il est remarquable que toutes les roriétés des ombres etiers se déduiset de celles de l alicatio successeur, qui à u etier associe celui qu o va aeler + 1 Cela a coduit à doer la défiitio de N doée au a), ar ue liste de roriétés ou axiomes Cette défiitio est as à savoir ar coeur Elle etraîe les roriétés doées au b) au d), qui, elles, sot à bie coaître, même si leur démostratio à artir des axiomes a) est as exigible a) Axiomes de Peao our N (HP, o exigible) Il existe u esemble essetiellemet uique oté N, mui d ue alicatio s N N avec les roriétés : (i) s est ijective, (ii) il existe das N u élémet oté 0 tel que 0 / s(n), (iii) our tout sous-esemble A de N, si A cotiet 0 et est stable ar s, alors A N Notatio : O ote 1 s(0), et our tout N, o ote s() + 1 Remarque 1 : Suivat qu o cosidère ar exemle, les etiers écrits e base dix, à l aide des chiffres 0, 1,,, 9 ou les etiers écrits e base deux, à l aide seulemet des chiffres 0, 1, o obtiet des esembles différets uisque formés avec des objets différets Ceedat ce qui sigifie l exressio essetiellemet uique das l ecadré ci-dessus, est qu il existe ue (uique) bijectio de N base deux das N base dix comatible avec l alicatio successeur Remarque : Par défiitio, u ombre etier aturel est u élémet de l esemble N O e défiit as ici, la otio de ombre etier isolémet b) Coséquece à coaître : ricie de récurrece : Thm (H) O cosidère u rédicat P () déedat d ue variable N qui vérifie les deux roriétés suivates : Iitialisatio : P (0) est vraie, Hérédité : our tout N, l imlicatio [P () P ( + 1)] est vraie ((C) Alors la roriété P () est vraie our tout N Démostratio : c) Notio de suite défiie ar récurrece : (i) Déf Ue suite u d élémets d u esemble A (ex A R) est ue alicatio u N A (ii) Vous avez l habitude, au lycée, de défiir des suites ar récurrece, e disat ex u 0, et our tout N, u +1 u + u (iii) Le fait que les doées du (ii) défiisset bie ue uique alicatio u N R est ue coséquece de l axiome de récurrece du a) (iii) L idée est qu o détermie u ar ses restrictio successives u 0, our tous les N d) Retour sur les ro fodametales de N : (i) Déf de loi + (ar récurrece!) Soit N, o défiit l alicatio add N N, m add (m) ar récurrece comme suit : add (0), m N, add (m + 1) add (m) + 1 1

2 MPSI 1 Semaie, du 8 setembre au Octobre 015 Notatio : add (m) m + (ii) Déf de l ordre (m, ) N, m k N, m + k Deux roriétés très imortates à reteir, même si elles sot très ituitives! (P1) Toute artie o vide de N admet u lus etit élémet (P) Toute artie o vide de N majorée admet u lus grad élémet La dém e est admise, mais bie sûr, elles se rouvet ar récurrece (iii) Déf loi : Soit N, o défiit l alicatio mult N N, m mult (m) ar récurrece comme suit : mult (0) 0, m N, mult (m + 1) mult (m) + Notatio : mult (m) m m Les déf du (i) et (iii) e sot as exigibles à ce stade, elles servirot ceedat e ifo Les ro de l ordre doées au (ii) doivet être sues (iv) O admettra das la suite toutes les ro bie coues de + et das N : elles se motreraiet ar récurrece! Peser que s il est facile de voir sur u dessi que, c est mois immédiat avec des ombres à 4 chiffres ar exemle, merci la récurrece! e) Ue ouvelle foctio imortate de N das N : la factorielle Ecore ue défiitio ar récurrece Plus ituitif :! 1 Coaître 0!,1!,!,!,4!,5! ) Pratique du raisoemet ar récurrece : a) Cosige de rédactio : O doit éocer clairemet le rédicat P () que l o veut démotrer Si o veut motrer que our tout N 0, P () est vraie, o motre que : Iitialisatio : P ( 0 ) est vraie, Hyothèse de récurrece (HR) : soit N 0 tel que P () est vraie Motros que P ( + 1) est vraie O coclut à la fi : la récurrece est établie Remarque : Ce raisoemet récurrece à artir d u certai rag est valide car c est l alicatio du 1) b) à la roriété b) Exercice : comarer et! our tout N c) Pratique de la récurrece forte : (i) Das l HR, au lieu de suoser qu o a P () vraie our u certai, o suose qu o a, our tous les k, P (k) qui est vraie (avec k 0 si o iitialise à 0) (ii) Exle : motrer que tout etier différet de 1 admet u diviseur remier (iii)nb La validité de la réc forte se déduit du ricie de réc usuel aliqué à la roriété (iv) Remarque : Alterative ossible au (ii) à la reuve ar réc forte : utiliser le fait qu ue artie o vide de N admet u lus etit élémet d) Erreurs usuelles : oubli de l iitialisatio, formulatio de l HR avec u ou erreur du tye exercice l e) Exemles de suites défiies ar réc : (i) Suites arithmétiques : déf ar réc et écriture exlicite u u 0 + a (ii) Suites géométriques : déf ar réc et écriture exlicite u a u 0 f) Cas des récurreces doubles sur l exemle de la suite de Fiboacci : O ote F 0 0, F 1 1 et N, F + F +1 +F La suite (F ) est aelée suite de Fiboacci

3 MPSI 1 Semaie, du 8 setembre au Octobre 015 Ue formule tombée du ciel (our l istat) : motrer que N, F 1 5 (ϕ ψ ) où ϕ et ψ 1 5 ) Pratique de la récurrece sur l exemle de la formule du biôme de Pascal- Newto a) Déveloemet de (a + b) our etit : arbre de déveloemet Lie avec les exérieces de Beroulli vues e remière Le oit de vue choisi e remière : l arbre doat k succès our réétitios Il a été démotré e raisoat sur les chemis les relatios :, 1, 1, ( ) ( 1 ) + ( 1 1 ) 1, k 0,, ( k ) ( k ) o y a défii ( ) comme le ombre de chemis de k b) Chagemet de oit de vue ici : Déf lus mathématique, lus umérique, des biomiaux : ar récurrece (double) e artat de la relatio du a) Défiitio - O défiit le coeff biomial ( ) our tout N et tout 0, ar Iitialisatio : N ( 0 ) ( ) 1, Relatio de récurrece :, 1, 1, ( ) ( 1 ) + ( 1 1 ) c) Pro (les coefficiets biomiaux ( ) sot bie les coefficiets du biôme (a + b) ) (a, b) R, N, (a + b) ( 0 )a + ( 1 )a 1 b + + ( k )a k b k + + ( )b Preuve ar récurrece de la formule du biôme, imarfaite car il reste des etits oits Aedice au I : e réose à quelques questios osées o exigible A roos des roriétés de l ordre das N Das le cours, o a défii N à artir des axiomes de Peao Il y a d autres faços de défiir N, otammet à artir des deux roriétés de l ordre das N qu o a citées O e doera as ici les axiomes das ce cas car il faudrait déjà réciser ce qu est ue relatio d ordre e gééral ous e rearleros Ici, ous voulos motrer commet d u côté o eut démotrer les roriétés de l ordre à artir de l axiome de récurrece, et commet, das l autre ses, o ourrait s e servir our déduire l axiome de récurrece O ote ecore P 1 la roriété : toute artie o vide de N admet u lus etit élémet Commet o motre P 1 à artir de l axiome de récurrece : Soit A ue artie de N qui a as de lus etit élémet Motros ar récurrece (forte) que A est l esemble vide Précisémet, o cosidère le rédicat P () / A Comme 0 est le lus etit élémet de N, 0 / A, sio 0 serait le lus etit élémet de A Doc P (0) est vrai HR forte : suosos que our tout k, k / A Alors si + 1 était das A, + 1 serait ar déf le lus etit élémet de A, cotradictio doc + 1 / A et P ( + 1) est vrai La réc est établie Commet o motre que P 1 etraîe l axiome de récurrece : O suose doc qu o sait que toute artie o vide de N admet u lus etit élémet Soit A N, tel que A 0 et A, + 1 Motros que A N Par l absurde si A N, alors A c et doc A c admet u lus etit élémet m N Comme 0 A, m 0 et doc m 1 N et comme m est le lus etit élémet de A c, m 1 est as das A c doc m 1 A Mais alors (m 1) + 1 A ar hyothèse sur A doc m A, cotradictio

4 MPSI 1 Semaie, du 8 setembre au Octobre 015 Ce qui récède itéressera que ceux qui ot l âme théoriciee E revache, il faut avoir comris l exemle du cours où l o eut utiliser aussi bie ue récurrece ou l existece d u miimum our motrer ue roriété (l existece d u diviseur remier) Exercice amusat qu o eut résoudre e cherchat u miimum Soit u etier aturel o ul O se doe das le la oits, otés F 1,, F et P 1,, P, trois ar trois o aligés Chaque oit F 1,, F rerésete ue ferme et chaque oit P 1,, P u uit O veut fabriquer des chemis e lige droite reliat chaque ferme à u uit différet Est-il ossible de le faire de sorte qu aucu des chemis e croise u autre (les fermiers ot tous mauvais caractère)? II Formules sommatoires : symbole 1) Notatio a) (i) Déf ituitive : i0 (ii) Déf lus rigoureuse de b) Ses de la variable i : a i a a i0 i0 a i? a i a j j0 i 0, Notio de variable muette c) E ifo : commet calculer ue somme à l aide d ue boucle for : 100 a i Pour calculer i, o eut rocéder comme suit, ce qui suit les dièses # est u commetaire, qui est as lu ar la machie S0 # o crée ue variable S à laquelle o affecte (symbole ) la valeur 0 for i i rage(101): # i va redre successivemet les valeurs 0,1,, 100 SS+i # à chaque tour de boucle o ajoute i à la valeur récédete de S rit(s) d) Trois règles de calculs (distrib, regrouemet, chagemet d idice) e) Alicatio : rédactio de la reuve de la formule du biôme avec des ) Exemles de formules sommatoires : les comme alterative aux récurreces a) L astuce du etit Gauss our S : idée regroumt de termes, rédac b) Gééralisatio aux suite arithmétiques : à savoir absolumet : Somme des termes : (Premier terme + derier terme) ombre de termes / Ecriture de la reuve avec les c) Somme des termes d ue suite géométrique : à savoir absolumet : (Premier terme successeur du derier)/ (1 la raiso) Preuve : telescoage à voir sas et avec! ) Pricie gééral des sommes telescoiques : a) L essetiel : Formule : q k (u k+1 u k ) u q+1 u b) Exemle d alicatio : (i) Exo frustat : vérifier que k ( + 1)( + 1) 6 (ii) Méthode our découvrir la formule E otat u k k our tout k N, o cherche (v k ) telle que v k+1 v k u k, ou à eu rès! Ici, o essaie v k k (aalogie avec la dérivatio) 4

5 MPSI 1 Semaie, du 8 setembre au Octobre 015 (iii) Fi de l exercice : factorisatio du résultat (iv) Exercice à faire : doer de même ue formule our 4) Variate multilicative des : les a) Déf de b) Exemle de calcul : (a i b i ) a i : ar récurrece c) Retour sur la factorielle (λa i ) (i) Reformulatio de la déf Pour tout 1, o ose! déf (ii) E aticiat sur le déombremet (admis) :! est le ombre de ermutatios de élémets disticts ie de faços de les ordoer Exemle our 5) Retour aux coefficiets biomiaux : écriture exlicite (o vue au lycée) a) Pro ( )! ( 1) ( + 1)!( )!! b) Preuve ar récurrece (frustrate car c est ue vérificatio, mais à bie maîtriser au iveau de la rédactio : formulatio correcte de P () avec le k 0,, réductio au même déomiateur c) Commet trouve-t-o la formule : e faisat du déombremet cf ème semestre III TD Cours : maiulatios de et de sommes doubles 0) Présetatio des sommes doubles : O cosidère ue famille (a i,j ) de ombres réels idexée ar des idices (i, j) 1, 1, O eut visualiser cette famille ar u tableau, l idice i rerésetat ar covetio l idice lige et l idice j l idice coloe a 1,1 a 1, a 1,j a 1, a,1 a, a,j a, a i,1 a i, a i,j a i, a,1 a,j a, Grâce à la commutativité (et l associativité!) de l additio das R, o eut faire la somme de tous élémets de la famille das imorte quel ordre, et o otera cette somme : k S (i,j) 1, 1, a i,j ou ecore S 1 i,1 j a i,j (1) 1) Sommatio lige ar lige ou coloe ar coloe : a) Si o somme lige ar lige : O ote σ i la somme des élémets das la lige i Aisi σ 1 maière géérale : La somme des élémets de la lige i est : σ i a i,j i a 1,j, σ a,j et d ue Il faut bie oter que das cette formule les variables i et j jouet u rôle très différet : la variable i est extere au symbole alors que le j est le comteur qui sert à sommer, variable itere au symbole 5

6 MPSI 1 Semaie, du 8 setembre au Octobre 015 Aisi, si o choisit de d abord faire la somme des élémets liges ar liges, o eut calculer S comme : S σ i ( a i,j ) () b) De même si o somme coloe ar coloe : La somme τ 1 des élémets de la coloe 1 vaut τ 1 a i,1 et d ue maière géérale : La somme des élémets de la coloe j est : τ j a i,j De même, e faisat la somme des élémets coloe ar coloe : S ( a i,j ) () c) Exercice d alicatio : Calculer la somme S 0 (i,j) 1, (i + j) ) U exemle de sommatio e diagoale : NB O garde les otatios du 1), mais o cosidère maiteat que, autremet dit u tableau carré dot les etrées sot les (a i,j ) (i,j) 1, Cosidéros le tableau formé ar les idices (i, j) 1, 1,, à distiguer du tableau des valeurs doé au 1) O eut le voir comme u sous-esemble de N reréseté das u reère (eut-être australie) où l axe des abscisses est vertical vers le bas et l axe des ordoés horizotal vers la droite : (1, 1) (1, ) (1, ) (1, j) (1, ) (, 1) (, ) (, ) (, j) (, ) (, 1) (, ) (, ) (, j) (, ) (i, 1) (i, ) (i, j) (i, ) (, 1) (, j) (, ) a) O ote k {(i, j) 1,, i j k} A quoi corresod l esemble des idices das 0, 1, 1 sur le tableau ci-dessus? Décrire d ue maière géérale ce que rerésete k b) O ote ecore S a i,j O trouve aussi l abus de otatio courat suivat : S (i,j) 1, a i,j 1 i, j Justifier qu o eut exrimer S sous la forme suivate : S N k N ( (i,j) k a i,j ), ( ) e récisat la valeur de l etier N NB : L esemble des idices 1, état fixé, o otera lus simlemet l égalité ( ) sous la forme : S N k N ( a i,j ) (4) (i,j),i jk c) Exercice d alicatio : Calculer de deux maières différetes : S 1 (i,j) 1, i j ) U exemle de sommatio avec d autres découage de 1, Exercice : Calculer de lusieurs maière différetes S 1 i,j max(i, j) où max(i, j) def i si i j j sio 6

7 MPSI 1 Semaie, du 8 setembre au Octobre 015 4) Produits de sommes Rael : Das ue écriture lusieurs et écrire ar exemle :, o a dit que l idice i est muet, itere au O eut doc l utiliser das a i + b i avec le même idice i Mais il coviet d être rudet our les roduits de la forme ( a i)( b i) E effet, ar exemle si et qu o déveloe ce roduit (a 1 + a )(b 1 + b ) o aura quatre termes a 1b 1 + a 1b + a b 1 + a b Pour bie déveloer ( a i)( b i) l écrire lutôt ( a i)( b j) Alors, la ro suivate doe : ( a i)( b j) Plus gééralemet éoços la : (i,j) 1, a ib j Pro Pour tout (m, ) (N ), et our tout (a 1,, a m) R m, et (b 1,, b ) R : m ( a i)( b j) (i,j) 1,m 1, Preuve Par distributivité, e otat S m m ( b j), o a : ( a i)( b j) ( a i)s m (a is ) a ib j Mais ecore ar distributivité, our chaque i 1,, a is a ib j m m Doc ( a i)( b j) ( a ib j) Par le 1), ceci est ue exressio de Exercice d alicatio : Calculer S 1 j i ij, de deux maières différetes a ib j (i,j) 1,m 1, 7

8 MPSI 1 Semaie, du 8 setembre au Octobre 015 Solutios des questios du TP/Cours : 1) c) Avec la formule récédete S 0 ( + 1) i + j i + Alors ) A i i + ( + 1) ( + 1) ( (i + j)) O ote A i + ( + 1) ( + 1) (i + j) i + j a) L esemble k corresod ecore à ue diagoale das le tableau des idices, mais das l autre ses arallèles à la remière bissectrice du reère défii ar l éocé, d équatio y x Pour k 0, 0 {(i, i), i 1, } est ce qu o aelle la diagoale riciale du tableau De même 1 est la remière diagoale suérieure et 1 la remière diagoale iférieure Toutes les k sot des diagoales arallèles à 0 b) Pour i et j 1, o a k i j 1 doc our N 1 o a u seul élémet das la diagoale N Esuite De même our les idices égatifs Comme 1, ( 1) ( 1) (réuio disjoite) o obtiet bie l écriture (4) : S 1 k ( 1) ( (i,j) k a i,j ) (4) c) Ce qu o eut commecer ar faire : Dessier les valeurs das u tableau ère methode our S 1 E regardat les diagoales du tableau : ce qui reviet à la formule (4) O veut calculer S 1 i j (i,j) 1, 1 k +1 Or d arès (4) : S 1 i j (i,j) k Mais our (i, j) k, i j k ar déf de k (c est our cela qu o les a itroduit!) Doc, e elevat le terme our k 0, qui doe zéro, et à cause de la valeur absolue : 1 S 1 k (i,j) k Or our k 0,, Card( k ) k Doc 1 Card( k )k 1 S 1 1 k( k) 1 k k E utilisat les formules coues our k et k, o coclut : S 1 ( 1) ( 1)( 1) Deuxième méthode our S 1 : ( 1)[ + 1 ] ( 1)( + 1) 8

9 MPSI 1 Semaie, du 8 setembre au Octobre 015 O remarque ecore que la cotributio de tous les idices au-dessous de la diagoale égale celle des idices au-dessus de la diagoale comme suit : S 1 1 i<j i j + 1 j<i i j + (i,j) 1,,ij i j Parmi les trois de secod membre, le derier est ul et les deux remiers sot égaux car les idices i et j sot muets, o eut doc échager le om des idices S 1 / (j i) 1 i<j S 1 1 i k0 1 ji+1 (j i), oter bie que i s arrête à -1 k, e osat kj-i our mieux s y recoaitre si o veut, 1 ( i)( i + 1) 1 u1 u 1 + u1 1 ( ) u1 u, et le même résultat u(u + 1), e osat u-i, doc : Noter bie le chagemet d idice das ( ) qui ermet d éviter de tout déveloer, ce qui allogerait sesiblemet les calculs ) Là ecore, o eut commecer ar cotemler les valeurs das u tableau : Première méthode our S : lige ar lige : S m i où m i max(i, j) k i Or m i max(i, j) + ji+1 max(i, j) i + i ji+1 Doc m i i ( + i + 1)( i) + i ( + i)( i) + + i i + i Doc m i i i + + Doc S m i 1 i 1 i + ( + ) ( + 1)( + 1) ( + 1) Doc S + ( + ) 1 4 ( + 1)(4 1) Fialemet S 6 Deuxième méthode our S : e regrouat à max costat S (i,j) 1,,max(i,j)k k j i, j i ( + 1) [ ] Mais à quoi ressemble l esemble des (i, j) 1, tels que max(i, j) k? La réose est doée ar le tableau dessié lus haut Aisi o voit que our chaque k il y a exactemet k 1 coule (i, j) 1, tels que max(i, j) Doc S (k 1)k k k ( + 1)( + 1) ( + 1) 4) Pour S : Première méthode, avec ce qu o viet de dire sur les roduits de sommes O a vu que a i b j ( a i )( b j ) Doc : (i,j) 1, 9

10 MPSI 1 Semaie, du 8 setembre au Octobre 015 ( + 1) ij ( i)( j) ( ) ( ) (i,j) 1, Seulemet le S à calculer ici est as la somme sur tout le tableau des (i, j) 1, mais seulemet sur la artie e dessous de la diagoale riciale Or (idem méthode vue lus haut) : ij (i,j) 1, 1 i<j ij + i + 1 i 1 j<i ij 1 j<i i ij + ( ) Avec ( ) et ( ), o obtiet : ij 1 + 1) [(( ) i ] et fialemet : 1 j<i S ij + 1 j<i i 1 ( + 1) ( + 1) [ 4 ( + 1)( ) 4 [(( + 1) ], Deuxième méthode : directemet i ) + i ] 1 ( + 1)( + )( + 1) 4 S ( ij) i( j) i 1 (i + i ) 1 i + 1) [(( ) + + 1) [(( ) + i(i + 1), ( + 1)( + 1) ], 6 ( + 1)( + 1) ], 6 et o fiit comme ci-dessus (Noter que cette méthode utilise la somme des i as la remière!) 10