Cours d Électromagnétisme I + II, SE + SSC. Résumé. Semestres d hiver et d été Prof. Juan Mosig

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1 Cours d Électromagnétisme I + II, SE + SSC Résumé Semestres d hiver et d été 2004 Prof. Juan Mosig Laboratoire d Électromagnétisme et d Acoustique (LEMA) Institut de Transmissions, Ondes et Photonique (ITOP) Faculté de Sciences et Techniques de l Ingénieur (STI) École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL) 15 octobre 2003 ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE

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3 Table des matières 1 Lignes de transmission sans pertes dans le domaine temporel Introduction Circuit équivalent d un tronçon infinitésimal de ligne Equations différentielles de la ligne Les équations d onde Ondes progressives et rétrogrades Puissance et charge adaptée Conditions aux limites dans générateur et charge : facteurs ou coefficients de réflexion Propagation le long d une ligne : réflexions multiples Lignes de transmission dans le domaine fréquentiel Introduction Equations différentielles de la ligne L équation d onde Interprétation physique : l exposant de propagation Affaiblissement linéique Déphasage linéique et longueur d onde Vitesse de phase Vitesse de groupe Etude d un cas simple Milieux dispersifs et non-dispersifs Lignes de longueur finie Introduction Impédance localisée et coefficient de réflexion Réflexions et impédances aux extrémités d une ligne Effet du générateur Approche matricielle : matrice d impédances Matrice de chaîne L abaque de Smith Et pour terminer, un peu de philosophie Introduction aux ondes électromagnétiques Introduction Concepts élémentaires Polarisation des champs L onde plane solution des équations de Maxwell i

4 Table des matières 4.5 Relation entre les champs électrique et magnétique Modèle en ligne de transmission d une onde EM plane Généralisation aux milieux avec pertes Les vagues dans un étang : ondes circulaires et ondes planes Les champs d une antenne dipole : ondes sphériques et planes La décroissance radiale des champs électromagnétiques Ondes électromagnétiques planes Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques Introduction Position du problème : hypothèses de départ Continuité des champs L onde incidente Angles de réflexion et de transmission : loi de Snell Réflexion totale (transmission nulle) Polarisations perpendiculaire et parallèle Réflexion et transmission en polarisation perpendiculaire Réflexion et transmission en polarisation parallèle Transmission totale, angle de Brewster Densités de puissance et puissances ii

5 1 Lignes de transmission sans pertes dans le domaine temporel 1.1 Introduction Considérons une ligne de transmission bifilaire de longueur d selon l axe z (FIGURE 1.1). On sait que les lois de Kirchhoff de la théorie des circuits ne sont plus valables dans le cas de signaux où la variation temporelle est rapide par rapport au temps nécessaire à la propagation sur la distance d. Mais on peut toujours appliquer la théorie des circuits à une z z FIG. 1.1: Tronçon d une ligne de transmission. longueur infinitésimale z, obtenir des équations différentielles en faisant le passage à la limite z! dz et intégrer mathématiquement ces équations. 1.2 Circuit équivalent d un tronçon infinitésimal de ligne i(z;t) i(z + z;t) u(z;t) u(z + z;t) z z + z FIG. 1.2: Tension et courant aux bornes d un élément infinitésimal. Pour trouver le circuit équivalent d un tronçon de ligne bifilaire de longueur infinitésimale z (FIGURE 1.2), on commence par considérer une ligne idéale sans pertes : les conducteurs Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre

6 1 Lignes de transmission sans pertes dans le domaine temporel sont parfaits (de conductivité infinie) et se trouvent immergés dans un milieu diélectrique parfaitement isolant. Il n y a pas donc d effet Joule (dissipation de chaleur) et les deux seuls phénomènes physiques à considérer sont un effet inductif et un effet capacitif. L 0 z=2 L 0 z=2 L 0 z i C u L C 0 z C 0 z z z + z=2 z + z z z + z FIG. 1.3: Circuit équivalent symétrique. FIG. 1.4: Circuit équivalent asymétrique. Inductance Tout courant électrique génère autour de lui un champ magnétique capable de stocker une énergie. En théorie des circuits, ce phénomène se traduit par une inductance mesurée en Henry [H]. Comme on considère des structures à symétrie de translation, il vaut mieux se référer à une inductance par unité de longueur L 0 [H/m], facilement mesurable. Donc l inductance associée au tronçon de longueur infinitésimale doit être L 0 z [H]. Remarque : On parle ici d une inductance globale qui inclut les inductances propres de chaque conducteur de la ligne bifilaire et aussi l inductance mutuelle entre les conducteurs. En construisant le circuit équivalent, nous suivons la convention usuelle en théorie des circuits qui fournit une terre commune aux deux ports du quadripôle équivalent. Donc un seul composant L 0 z représente l ensemble des effets inductifs. Capacité Entre deux conducteurs à potentiels différents s établit toujours un champ électrique qui stocke une énergie. En théorie des circuits ce phénomène se traduit par une capacité mesurée en Farad [F]. Comme on considère des structures à symétrie de translation, il vaut mieux se référer à une capacité par unité de longueur C 0 [F/m], facilement mesurable. Donc la capacité associée au tronçon de longueur infinitésimale doit être C 0 z [F]. Remarque : Comme l inductance, la capacité traduit un effet distribué global. Sa place correcte dans le circuit équivalent est indéterminée, mais la solution la plus logique est de respecter la symétrie gauche-droite de la ligne, séparer l inductance en deux moitiés de valeur L 0 z=2 et connecter la capacité en parallèle au centre entre ces deux inductances (FIGURE 1.3). C est le choix à retenir lorsqu on fait des calculs approchés et que l incrément z reste fini (mais petit!). En revanche, le problème ne se pose pas lors des développements théoriques, où l on fera tendre z vers zéro. A ce moment, les résultats sont indépendants de la position de la capacité et traditionnellement on la place en parallèle à l entrée du circuit équivalent, suivie de l inductance totale en série (FIGURE 1.4). 2 Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre 2003

7 1.3 Equations différentielles de la ligne 1.3 Equations différentielles de la ligne Les lois de Kirchhoff, appliquées au circuit de la FIGURE 1.4, donnent + z;t) u(z;t) =u L + u(z + z;t) =L 0 z + u(z + i(z;t) =i C + i(z + z;t) =C 0 z + i(z + z;t) où u L est la chute de tension dans l inductance et i C le courant qui dérive à travers la capacité. On trouve alors aisément les expressions : u(z + z;t) u(z;t) + z;t) = L i(z + z;t) i(z;t) = C et en faisant tendre z! 0 et compte tenu de la définition de la dérivée : = L = (1.3.5) On appelle ces équations les équations des télégraphistes, car elles ont été introduites pour étudier la propagation sur les premières lignes télégraphiques à la fin du 19 e siècle. 1.4 Les équations d onde Formellement, les équations des télégraphistes (1.3.5) constituent un système d équations différentielles partielles à deux inconnues. On le résout par élimination, en dérivant la première équation par rapport à z et la deuxième par rapport à t. En acceptant l égalité des dérivées secondes croisées (il suffit que i = i(z;t) et u = u(z;t) soient 2 fois différentiable de façon continue) on trouve alors 2 2 = L 0 C = L 0 C 2 (1.4.1) Il s agit des équations d Alembert ou d ondes, bien connues en physique des phénomènes ondulatoires. Remarque : Une analyse dimensionnelle sommaire de l équation d Alembert montre que le produit L 0 C 0 a comme dimensions [s 2 =m 2 ] et donc le terme 1= p L 0 C 0 a la dimension d une vitesse. En fait, on verra tout de suite que cette vitesse a un sens physique évident. La solution de cette équation ne pourra évidemment être obtenue que lorsque les conditions initiales et aux limites (par exemple les caractéristiques du générateur et de la charge qu on connectera aux bornes de la ligne de la FIGURE 1.1) seront précisées. A ce stade-là, on peut dire seulement que les solutions valables ne peuvent pas être fonctions de l espace et du temps de façon indépendante, mais par la combinaison z ± vt, où forcément v = 1= p L 0 C 0 pour satisfaire l équation d onde. Donc, l expression la plus générale possible pour la tension u(z;t) dans la ligne est : u(z;t) =f + (z vt) +f (z + vt) (1.4.2) Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre

8 1 Lignes de transmission sans pertes dans le domaine temporel où f + et f sont des fonctions arbitraires. En introduisant cette expression de la tension dans les équations (1.3.5) on trouve pour le courant : Z c i(z;t) =f + (z vt) f (z + vt) (1.4.3) Avec la vitesse v := 1= p L 0 C 0, la quantité Z c := p L 0 =C 0 est le deuxième paramètre essentiel définissant une ligne de transmission. Elle a la dimension d une résistance [ohm, Ω] et elle est appelée impédance caractéristique de la ligne. Remarque : Malgré qu elle se mesure en ohms, l impédance caractéristique ne doit en aucun cas être confondue avec un composant au sens de la théorie des circuits. Pour l instant, il s agit juste d une propriété mathématique des lignes dont le sens physique sera précisé plus tard. Notation : Le signe := est le symbol de définition. La grandeur au côté des deux-points est définie par le terme de l autre côté. 1.5 Ondes progressives et rétrogrades Lorsqu une fonction dépend des coordonnées spatio-temporelles (z;t) comme f + (z vt), elle garde une valeur constante dans les points (z 1 ;t 1 ) et (z 2 ;t 2 ) si z 1 vt 1 = z 2 vt 2.On en conclut que : v = z 2 z 1 = z t 2 t 1 t (1.5.1) et donc v = 1 p L 0 C 0 (1.5.2) est la vitesse de la fonction f +. En termes simples : la valeur de la fonction f + dans un point (z;t) fixé se retrouve inchangée un peu plus tard et un peu plus loin dans un point (z + z;t + t) avec z = v t. Cette fonction f + correspond à un signal qui se propage sans se déformer et avec une vitesse v dans la direction des z croissants ; elle est appelée onde progressive ou incidente (forward wave). De la même façon, f (z + vt) garde la même valeur dans les points (z 1 ;t 1 ) et (z 2 ;t 2 ) si z 1 + vt 1 = z 2 + vt 2. On a alors : v z 1 z 2 = = z t 2 t 1 t (1.5.3) qui définit une onde rétrograde ou réfléchie (backward wave). Cette onde se propage sans se déformer avec une vitesse v dans la direction des z décroissants. On peut donc conclure que l analyse mathématique montre que tension et courant dans une ligne de transmission sont donnés par, respectivement, la somme et la différence d une onde progressive et d une onde rétrograde. 4 Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre 2003

9 1.6 Puissance et charge adaptée 1.6 Puissance et charge adaptée La puissance instantanée p(z;t) est toujours donnée par le produit tension fois courant. Donc : p(z;t) =u(z;t) i(z;t) = 1 [f 2 Z (z + vt) f 2 (z + vt)] (1.6.1) c On constate que la puissance totale est la différence entre les puissances qu on peut associer aux ondes progressive et rétrograde. Lors de la transmission d un signal il convient de minimiser l onde réfléchie pour arriver à maximiser la puissance. Dans le cas où l onde réféchie est nulle, on dit que la ligne est terminée par une charge adaptée. 1.7 Conditions aux limites dans générateur et charge : facteurs ou coefficients de réflexion Considérons une ligne de longueur d ayant des paramètres v et Z c établissant une connection entre un générateur et une terminaison ou charge (FIGURE 1.5). Le générateur, située R g + U g v; Z c u L R L 0 d z FIG. 1.5: Ligne avec générateur et charge. en z = 0, est donné par un équivalent de Thévenin avec une tension u g (t) et une résistance interne R g. La charge, située en z = d, est une résistance R L (anglais Load pour Charge ). Les lois de Kirchhoff donnent au niveau de la charge : u L = u(d; t) =R L i(d; t) (1.7.1) Cette relation peut être réécrite en termes d ondes progressive et rétrograde à l aide des expressions (1.4.2) et (1.4.3). On trouve : f (d; t) =ρ L f + (d; t) (1.7.2) où l on a introduit le facteur ou coefficient de réflexion ρ L de la charge par rapport à la ligne : ρ L = R L Z c R L + Z c (1.7.3) Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre

10 1 Lignes de transmission sans pertes dans le domaine temporel Ce coefficient donne donc le rapport entre l onde rétrograde et l onde progressive au niveau de la charge et mesure le pouvoir réfléchissant de cette charge. Sa valeur absolue ne peut pas dépasser l unité pour une charge passive. Une charge dont la résistance est égale à la valeur numérique de l impédance caractéristique donne un coefficient de réflexion nul. Il n y a donc pas d onde réfléchie et on parle de charge adaptée. De la même façon, la théorie des circuits permet de trouver la relation suivante au niveau du générateur : u g (t) =u(0;t)+r g i(0;t) (1.7.4) Ou en termes d ondes progressive et rétrograde : f + (0;t)= 1 2 (1 ρ g)u g (t) +ρ g f (0;t) (1.7.5) où l on a introduit le facteur ou coefficient de réflexion ρ g du générateur par rapport à la ligne : ρ g = R g Z c R g + Z c (1.7.6) La relation (1.7.5) a l interprétation physique suivante : Lorsqu il n y a pas d onde réfléchie (au début d une transmission ou à tout moment, si la charge est adaptée) l onde incidente est proportionnelle à la tension du générateur par le facteur 1 2 (1 ρ g). Lorsque l onde réfléchie arrive au générateur, une partie ρ g se retransforme en une onde incidente et s ajoute à la contribution du générateur. SiR g = Z c et donc ρ g =0, le générateur est adapté à la ligne : Il lui fournit une onde incidente maximale et absorbe toutes les ondes réfléchies sans les retransformer partiellement en nouvelles ondes incidentes. 1.8 Propagation le long d une ligne : réflexions multiples On peut maintenant arriver à une description complète de la propagation le long d une ligne. Mathématiquement, les ondes progressive et rétrograde sont définies par quatre équations qu on résume dans le TABLEAU 1.1 : Cet ensemble d équations peut être visualisé par le diagramme-bloc de la FIGURE 1.6(a) qui inclut les cas particuliers ρ g =0(FIGURE 1.6(b)) et ρ L =0(FIGURE 1.6(c)). En parcourant la boucle de la FIGURE 1.6(a) et en appliquant les équations du TABLEAU 1.1, on trouve qu à un moment donné du temps et en un point donné de la ligne, les ondes progressives et rétrogrades sont données par les expressions générales : 1X f + (z;t) = 1 ρ g (ρ g ρ L ) n u g t z 2 v 2nd (1.8.1) v n=0 f ρ L(1 ρ g ) 1X (z;t) = (ρ g ρ L ) n u g t + z 2(n +1)d (1.8.2) 2 v v n=0 6 Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre 2003

11 1.8 Propagation le long d une ligne : réflexions multiples u g 1 ρg 2 + f + (0;t) f + (d; t) FORWARD PROPAGATION ρ g ρ L BACKWARD PROPAGATION f (0;t) f (d; t) (a) Cas général. 1 2 u g + f + (0;t) f + (d; t) FORWARD PROPAGATION 0 ρ L BACKWARD PROPAGATION f (0;t) f (d; t) (b) Cas ρ g =0. u g 1 ρg 2 + f + (0;t) f + (d; t) FORWARD PROPAGATION 0 (c) Cas ρ L =0. FIG. 1.6: Propagation le long d une ligne. Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre

12 1 Lignes de transmission sans pertes dans le domaine temporel Equation f + (z + v t; t + t) =f + (z;t) f (z v t; t + t) =f (z;t) f + (0;t)= 1 2 (1 ρ g)u g (t) +ρ g f (0;t) f (d; t) =ρ L f + (d; t) Interprétation propagation de l onde incidente propagation de l onde réfléchie création de l onde incidente au niveau du générateur création de l onde réfléchie au niveau de la charge TAB. 1.1: Equations fondamentales pour la propagation le long des lignes de transmission Tensions et courants peuvent alors être facilement déduits. On constate finalement que les ondes dans une ligne de transmission sont données par des combinaisons et superpositions partielles de l onde temporelle u g (t) émise par le générateur, avec les coefficients de réflexion modulant les amplitudes de ces combinaisons. 8 Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre 2003