Première ES-L Composition de mathématiques n

Transcription

1 2Exercice 1 : QCM (4 points) Cet exercice est un QCM. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapporte 1 point.l absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point. Aucune justification n est demandée. Recopier sur votre copie le numéro de la question et celui de la réponse suivie. Question 1 : Avec un taux de TVA à 19,6%, le prix TTC d un article est de 47,84. Son prix hors taxe est de : 1.a b. 32,16 1.c. 35,16 1.d. 40,16 Question 2 : L ensemble 2 des solutions de l inéquation x² - 2x 3 > 0 est : 2.a. ]-1 ;3[ 2.b. ] ; -1[ ]3 ; + [ 2.c. 2.d. ] ; 1[ ]3 ; + [ Question 3 : On considère la fonction f définie sur * par f(x) = x² 2-2. Cette fonction est x dérivable sur *, de fonction dérivée f définie pour tout réel non nul par : 3.a. f (x) = x3 + 2 x² 3.b. x3-2 x² 3.c. 2x² + 2 x Question 4 : La fonction g définie sur I = [1 ;10] par g(x) = x + 2 admet au point d abscisse 4 une tangente d équation : 3.d. 2x 3-2 x² x est dérivable sur I. Elle 4.a. y = 3 2 x b. y = 3 x c. y = x d. y = 3x Question 5 : Le tableau ci-dessous donne l évolution du cours du pétrole brut sur le mois précédent (au dernier jour du mois). Mois Mai Juin Juillet Août Taux en % 12,5 7,6 0,6-15,1 Indice ,6 On considère l indice base 100 en mai. Sur cette base, l indice du cours du pétrole fin août est (environ) : 5.a. 93,905 5.b. 91, c. 94, d. 90,905 1

2 Exercice 2 (12 points) Une entreprise fabrique chaque jour des objets. Cette production ne peut dépasser 700 objets par jour. On modélise le coût total de production par une fonction C. Lorsque x désigne le nombre d objets fabriqués, exprimé en centaines, C(x), le coût total correspondant, est exprimé en centaines d euros. La courbe représentative de la fonction C est donnée en annexe. Partie A (3 points) Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes en arrondissant au mieux. On laissera les traits de construction sur la figure donnée en annexe. 1) Quel est le coût total de production pour 450 objets? 2) Combien d objets sont produits pour un coût total de euros? On considère que le coût marginal est donné par la fonction C dérivée de la fonction C. 3) Estimer le coût marginal pour une production de 450 objets puis de 600 objets. Partie B (4 points) Le prix de vente de chacun de ces objets est 108 euros. 1) On note R la fonction recette. Pour tout nombre réel x appartenant à l intervalle [0 ;7], R(x) est le prix de vente en centaines d euros, de x centaines d euros. Représenter la fonction R dans le repère donné en annexe. 2) En utilisant les représentations graphiques portées sur l annexe, répondre aux questions qui suivent. a) Quel est l intervalle de rentabilité. C est-à-dire pour combien d objets produits et vendus l entreprise réalise-t-elle un bénéfice? b) Pour combien d objets vendus l entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal? Quel est ce bénéfice maximal? Partie C (5 points) Pour x [0 ;7], on donne C(x) = 6x 3 45x² + 148,5x ) On note B la fonction qui représente le bénéfice réalisé par l entreprise. Montrer que B(x) = - 6x x²- 40,5x ) Calculer B (x), B désignant la fonction dérivée de la fonction B. 3) Etablir le tableau de variations de la fonction B sur l intervalle [0 ;7]. 4) En déduire le bénéfice maximal et pour combien d objets produits et vendus ce maximum est atteint. Comparer avec les valeurs approchées obtenues graphiquement. 2

3 Exercice 3 (4 points) Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactériesou d en limiter la propagation. Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps d un antibiotique injecté en une seule prise à un patient. Temps en heure 0,5 1 1, Concentration en mg/l 1,6 2 1,9 1,6 1,2 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,4 Ces données conduisent à la modélisation de la concentration en fonction du temps par la fonction g définie sur l intervalle [0 ;10] par : g(t) = 4t t² + 1 Lorsque t représente le temps écoulé, en heures, depuis l injection de l antibiotique, g(t) représente la concentration en mg/l de l antibiotique. Le graphique suivant représente les données du tableau et la courbe représentant la fonction g. 1) Par lecture graphique, donner sans justification : a) les variations de la fonction g sur [0 ;10] ; b) la concentration maximale d antibiotique lors des 10 premières heures ; c) l intervalle de temps pendant lequel la concentration de l antibiotique dans le sang est supérieure à 1,2 mg/l. 2) a) La fonction g est dérivable sur l intervalle [0 ;10] et sa dérivée est g. Montrer que g (t) = 4(1 t²) (t² + 1)² b) Déterminer les abscisses des points de C g qui admettent une tangente horizontale sur l intervalle [0 ;10]. 3

4 ANNEXE de l exercice 2 : à rendre avec la copie NOM : Prénom : 4

5 Exercice 1 : QCM (5 points) Cet exercice est un QCM. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapporte 1 point.l absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point. Aucune justification n est demandée. Recopier sur votre copie le numéro de la question et celui de la réponse suivie. Question 1 : Avec un taux de TVA à 19,6%, le prix TTC d un article est de 47,84. Son prix hors taxe est de : 1.a b. 32,16 1.c. 35,16 1.d. 40,16 Question 2 : L ensemble 2 des solutions de l inéquation x² - 2x 3 > 0 est : 2.a. ]-1 ;3[ 2.b. ] ; -1[ ]3 ; + [ 2.c. 2.d. ] ; 1[ ]3 ; + [ Question 3 : On considère la fonction f définie sur * par f(x) = x² 2-2. Cette fonction est x dérivable sur *, de fonction dérivée f définie pour tout réel non nul par : 3.a. f (x) = x3 + 2 x² 3.b. x3-2 x² 3.c. 2x² + 2 x 3.d. 2x 3-2 x² Question 4 : La fonction g définie sur I = [1 ;10] par g(x) = x + 2 x est dérivable sur I. Elle admet au point d abscisse 4 une tangente d équation : 4.a. y = 3 2 x b. y = 3 x c. y = x d. y = 3x Question 5 : Le tableau ci-dessous donne l évolution du cours du pétrole brut sur le mois précédent (au dernier jour du mois). Mois Mai Juin Juillet Août Taux en % 12,5 7,6 0,6-15,1 Indice ,6 On considère l indice base 100 en mai. Sur cette base, l indice du cours du pétrole fin août est (environ) : 5.a. 93,905 5.b. 91, c. 94, d. 90,905 Question 1 : a. 47,84 1,196 = 40 Question 2 : b. delta = (-2)² (-3) = = 16 = 4² x 1 = = -1 et x2 = = 3 et a = 1 > 0 Question 3 : a. f (x) = 2x x² = x3 x² + 2 x² = x3 + 2 x² 2 Question 4 : a. g (x) = x = x 5

6 g(4) = = = 8 et g (4) = = = 3 2 y = g (4) (x 4) + g(4) = 3 2 (x 4) + 8 = 3 2 x y = 3 2 x + 2 x 1 = = -1 et x2 = = 3 et a = 1 > 0 Question 5 : b , , , ,9005 6

7 Exercice 2 (11 points) Une entreprise fabrique chaque jour des objets. Cette production ne peut dépasser 700 objets par jour. On modélise le coût total de production par une fonction C. Lorsque x désigne le nombre d objets fabriqués, exprimé en centaines, C(x), le coût total correspondant, est exprimé en centaines d euros. La courbe représentative de la fonction C est donnée en annexe. Partie A (2 points) Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes en arrondissant au mieux. On laissera les traits de construction sur la figure donnée en annexe. 1) Quel est le coût total de production pour 450 objets? 2) Combien d objets sont produits pour un coût total de euros? On considère que le coût marginal est donné par la fonction C dérivée de la fonction C. 3) Estimer le coût marginal pour une production de 450 objets puis de 600 objets. Partie B (4 points) Le prix de vente de chacun de ces objets est 108 euros. 1) On note R la fonction recette. Pour tout nombre réel x appartenant à l intervalle [0 ;7], R(x) est le prix de vente en centaines d euros, de x centaines d euros. Représenter la fonction R dans le repère donné en annexe. 2) En utilisant les représentations graphiques portées sur l annexe, répondre aux questions qui suivent. c) Quel est pour l entreprise l intervalle de rentabilité. C est-à-dire pour combien d objets produits et vendus l entreprise réalise-t-elle un bénéfice? d) Pour combien d objets vendus l entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal? Quel est ce bénéfice maximal? Partie C (5 points) Pour x [0 ;7], on donne C(x) = 6x 3 45x² + 148,5x ) On note B la fonction qui représente le bénéfice réalisé par l entreprise. Montrer que B(x) = - 6x x² - -40,5x ) Calculer B (x), B désignant la fonction dérivée de la fonction B. 3) Etablir le tableau de variations de la fonction B sur l intervalle [0 ;7]. 4) En déduire le bénéfice maximal et pour combien d objets produits et vendus ce maximum est atteint. Comparer avec les valeurs approchées obtenues graphiquement. 7

8 Partie A 1) On lit l ordonnée du point A d abscisse 4,5 de la courbe représentant la fonction C. On lit environ 340. Le coût total de production pour 450 objets est d environ

9 Exercice 2 (11 points) Une entreprise fabrique chaque jour des objets. Cette production ne peut dépasser 700 objets par jour. On modélise le coût total de production par une fonction C. Lorsque x désigne le nombre d objets fabriqués, exprimé en centaines, C(x), le coût total correspondant, est exprimé en centaines d euros. La courbe représentative de la fonction C est donnée en annexe. Partie A (2 points) Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes en arrondissant au mieux. On laissera les traits de construction sur la figure donnée en annexe. 1) Quel est le coût total de production pour 450 objets? 2) Combien d objets sont produits pour un coût total de euros? On considère que le coût marginal est donné par la fonction C dérivée de la fonction C. 3) Estimer le coût marginal pour une production de 450 objets puis de 600 objets. Partie B (4 points) Le prix de vente de chacun de ces objets est 108 euros. 1) On note R la fonction recette. Pour tout nombre réel x appartenant à l intervalle [0 ;7], R(x) est le prix de vente en centaines d euros, de x centaines d euros. Représenter la fonction R dans le repère donné en annexe. 2) En utilisant les représentations graphiques portées sur l annexe, répondre aux questions qui suivent. a) Quel est pour l entreprise l intervalle de rentabilité. C est-à-dire pour combien d objets produits et vendus l entreprise réalise-t-elle un bénéfice? b) Pour combien d objets vendus l entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal? Quel est ce bénéfice maximal? Partie C (5 points) Pour x [0 ;7], on donne C(x) = 6x 3 45x² + 148,5x ) On note B la fonction qui représente le bénéfice réalisé par l entreprise. Montrer que B(x) = - 6x x² - 40,5x ) Calculer B (x), B désignant la fonction dérivée de la fonction B. 3) Etablir le tableau de variations de la fonction B sur l intervalle [0 ;7]. En déduire le bénéfice maximal et pour combien d objets produits et vendus ce maximum est atteint. Comparer avec les valeurs approchées obtenues graphiquement 9

10 Partie A (2 points) 1) On lit graphiquement l ordonnée du point A d abscisse 4,5 appartenant à la courbe représentative de la fonction C. On lit environ : 340. Le coût total de production pour 450 objets est environ = euros. 2) On lit graphiquement l abscisse du point B d ordonnée 600 appartenant à la courbe représentative de la fonction C. On lit environ : 6. Environ 600 objets sont produits pour un coût total de euros. 3) Comme le coût marginal correspond à la fonction dérivée de C ; il faut estimer graphiquement C (4,5) et C (6) ; ce qui revient à lire graphiquement les coefficients directeurs des tangentes à la courbe représentant la fonction C aux points d abscisses 4,5 et 6. 10

11 On lit pour C (4,5) une pente (ou un coefficient directeur) de la tangente à la courbe représentant la fonction au point A C égale à environ 108. On lit pour C (6) une pente (ou un coefficient directeur) de la tangente à la courbe représentant la fonction C au point F égale à environ 256. Conclusion Le coût marginal pour 450 objets produits est environ égal à euros. Le coût marginal pour 600 objets produits est environ égal à euros. Partie B (4 points) 1) 2) a) L entreprise réalise un bénéfice lorsque R(x) > C(x). C est-à-dire lorsque le segment de droite représentant la fonction R est au-dessus de la courbe représentant la fonction C. Les courbes associées aux fonctions C et R ont deux points d intersection D et E d abscisses respectives environ égales à 1,8 et 6,3. L intervalle de rentabilité de l entreprise est donc environ [180 ;630]. C est-à-dire que l entreprise réalise un bénéfice pour un nombre d objets produits et vendus compris entre environ 180 et 630. b) 11

12 L entreprise réalise un bénéfice maximal lorsque le segment [LM] sur la figure ci-dessus a une longueur maximale pour L compris entre les points D et E. Et le bénéfice maximal est égal à la longueur du segment [LM] de longueur maximale. On lit graphiquement un bénéfice maximal d environ euros pour environ 450 objets produits et vendus. Partie C (5 points) 1) B(x) = R(x) C(x) = 108x (6x 3 45x² + 148,5x + 36) B(x) = 108x 6x x² - 148,5x 36 B(x) = -6x x² - 40,5x 36 2) La fonction B en tant que polynôme du troisième degré est dérivable sur l intervalle [0 ;7]. Pour tout x [0 ;7], B (x) = -6 3x² x 40,5 = -18x ² + 90x 40,5 3) Etudier les variations de la fonction B revient à déterminer le signe de sa dérivée B sur l intervalle [0 ;7]. B est une fonction polynôme de degré 2. Le discriminant de l équation B (x) = 0 est : = b² - 4ac = 90² - 4 (-18) (-40,5). Soit = = = 72² Comme > 0, l équation B (x) = 0 admet deux solutions distinctes : x 1 = -b - 2a Comme a = -18 < 0, alors : = (-18) = b = 4,5 et x2 = = -36 2a 2 (-18) = = 0,5 B (x) < 0 si x [0 ;0,5[ ]4,5 ;7] ; B (x) > 0 si x ]0,5 ;4,5[ ; B (x) = 0 si x = 0,5 ou x = 4,5. On en déduit alors le tableau de variations de la fonction B sur l intervalle [0 ;7] suivant : x 0 Signe de B ' -36 Variation de B - 0,5-45,8 + 4,5 146, ,5 B(0) = 36 B(0,5) = -6 0, ,5² - 40,5 0,5 36 = -45,8 B(4,5) = -6 4, ,5² - 40,5 4,5 36 = 146,3 B(7) = , = -172,5. 4) D après le tableau de variations, on peut déduire un bénéfice maximal atteint en x = 4,5 et la valeur de ce bénéfice maximal est 146,3 centaines d euros. Soit un bénéfice maximal de euros pour 450 objets produits et vendus. Ce qui correspond bien aux valeurs lues graphiquement dans la partie B. 12

13 Exercice 3 (4 points) Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d en limiter la propagation. Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps d un antibiotique injecté en une seule prise à un patient. Temps en heure 0,5 1 1, Concentration en mg/l 1,6 2 1,9 1,6 1,2 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,4 Ces données conduisent à la modélisation de la concentration en fonction du temps par la fonction g définie sur l intervalle [0 ;10] par : g(t) = 4t t² + 1 Lorsque t représente le temps écoulé, en heures, depuis l injection de l antibiotique, g(t) représente la concentration en mg/l de l antibiotique. Le graphique suivant représente les données du tableau et la courbe représentant la fonction g. 1) Par lecture graphique, donner sans justification : a) les variations de la fonction g sur [0 ;10] ; b) la concentration maximale d antibiotique lors des 10 premières heures ; c) l intervalle de temps pendant lequel la concentration de l antibiotique dans le sang est supérieure à 1,2 mg/l. 2) a) La fonction g est dérivable sur l intervalle [0 ;10] et sa dérivée est g. Montrer que g (t) = 4(1 t²) (t² + 1)² b) Déterminer les abscisses des points de C g qui admettent une tangente horizontale sur l intervalle [0 ;10]. 13

14 1) a) La fonction g est croissante sur [0 ;1] et décroissante sur [1 ;10]. b) La concentration maximale d antibiotique lors des 10 premières heures est de 2 mg/l. c) La concentration est supérieure à 1,2 mg/l si t appartient à l intervalle [0,33 ;3] (environ). 2) a) La fonction g est dérivable sur l intervalle [0 ;10] et pour t [0 ;10], on peut écrire g(t) = u(t) avec u(t) = 4t et v(t) = t² + 1 v(t) On a alors : g (t) = u (t) v(t) u(t) v (t) (v(t))² Or : u (t) = 4 et v (t) = 2t ; 4(t²+ 1) - 4t 2t Donc g (t) = = (t² + 1)² 4t² + 4 8t² (t² + 1)² = -4t² + 4 4(1 t²) = (t² + 1)² (t² + 1)² b) Les abscisses x des points de C g ayant une tangente horizontale sur l intervalle [0 ;10] vérifient g (t) = 0. Soit 4(1 t²) = 0 (1 + t)(1 t) = 0 t = -1 ou t = 1 Seule la solution positive t = 1 est retenue. Le seul point de C g ayant une tangente horizontale sur [0 ;10] a donc pour abscisse 1. (Ce qui est correspond bien graphiquement au maximum de C g atteint en t = 1). 14