Mélange de modèles catastrophes à l échelle d un bassin

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1 1 Mélange de modèles catastrophes à l échelle d un bassin

2 Table des matières 1 Introduction 2 Modèle à un pays 3 Modèle de bassin 2

3 Introduction AXA Catastrophes naturelles Exposition aux catastrophes naturelles Utilisation de modèles CAT 3

4 Introduction Scoring des modèles CAT Scoring des modèles Pondération par pays 4

5 Introduction Modèle CAT Modèle CAT Un modèle CAT simule des évènements. Pour chaque évènement on obtient une perte sur chacun des pays analysé. 5

6 Introduction Courbes EP OEP = Loi du maximum AEP = Loi de la somme Représentation des courbes EP Pertes 6 Période de retour

7 Introduction Objectif Respect des correlations physiques Les pertes sur chacun des pays doivent avoir un sens physique. Intégration du scoring des modèles CAT Les pertes doivent respecter les poids obtenus à l aide du scoring des modèles CAT. Générateur d évènements On veut pouvoir génèrer des évènements dont les pertes ont une réalité physique et intègrent une pondération des modèles. 7

8 Table des matières 1 Introduction 2 Modèle à un pays 3 Modèle de bassin 8

9 Modèle à un pays Loi de coût d un modèle CAT Modèle CAT sur un pays Table de coût par évènement Exogène 9

10 Modèle à un pays Introduction d un autre modèle Modèle 1 - Pondération 30% Modèle 2 - Pondération 70% Probabilité Probabilité Pertes Pertes Mélange de modèles 10

11 Fréquence Sévérité X 1 X BWM N 1 30% N BWM N 2 Moyenne max X 2 70% Modèle mélange X BWM N BWM + 11

12 Fréquence Sévérité X 1 X BWM = X 2 N 1 0% N BWM N 2 Moyenne max X 2 100% Problème si M2 est à 100% OEP X BWM = X 2 Modèle mélange avec M2 à 100% + Pertes M2 12 Modèle mélange avec M2 à 100% Période de retour

13 Modèle à un pays Modification de la loi marginale On surestime les pertes du modèle ayant la fréquence la plus faible dans notre modèle mélange. On va «diminuer» la loi de sévérité du modèle de fréquence la plus faible. On «diminue» la loi en ajoutant une masse de pertes nulles à la distribution. Cela revient exactement à ajouter un évènement de coût nul à la base d évènements du modèle. Evènement Fréquence Moyenne Ecart-type Exposition Evènement Fréquence Moyenne Ecart-type Exposition 1 0, , , , , , , X 2 X 2 modifiée Probabilité Probabilité 13 Perte Perte

14 Loi de coût monopays Si se place dans une optique simulation, l ajout de l évènement nul revient à dire que l on va fixer à 0 une Construction partie des tirages. des marginales Année 1 Année 2 Année 3 Nombre annuel d évènements (Tirage dans la loi de fréquence) Evènements Evènements transformés Nombre annuel d évènements non fixés à : Tirage dans une loi de Bernoulli de paramètre p 14

15 X 2 modifiée X 2 + = + En utilisant la loi de fréquence maximale (loi de fréquence du modèle 1) et la loi de coût modifiée (loi de coût du modèle 2), on reproduit exactement les résultats du modèle 2. OEPs avant modification OEPs après modification Modèle mélange avec M2 à 100% Modèle mélange avec M2 à 100% M2 M2 15

16 Fréquence Sévérité X 1 X BWM N 1 30% N 2 Moyenne max N BWM X 2 modifiée 70% Modèle mélange pour un pays X BWM Simulations N BWM + Courbes EP 16

17 Modèle à un pays Bilan On est capable de mélanger plusieurs modèles CAT sur un pays: l en intégrant les pondérations accordées à chaque modèle pour ce pays; l en respectant le critère de cohérence : «si un modèle CAT a une pondération de 100% sur un pays alors le modèle mélange reproduit les résultats de ce modèle CAT pour le pays en question». 17

18 Table des matières 1 Introduction 2 Modèle à un pays 3 Modèle de bassin 18

19 Modèle de bassin Rappels Respect des correlations physiques Les pertes sur chacun des pays doivent avoir un sens physique. Intégration du scoring des modèles CAT Les pertes doivent respecter les poids obtenus à l aide du scoring des modèles CAT. Générateur d évènements On veut pouvoir génèrer des évènements dont les pertes ont une réalité physique et intègrent une pondération des modèles. 19

20 Modèle de bassin Corrélation - Modèle de référence On choisit un modèle CAT de référence pour la corrélation. En effet pour chaque évènement dans leur base d évènements, les modèles CAT nous donne des informations sur la loi de la perte dans chacun des pays. A l aide de ces évènements on construit la structure de corrélation du modèle. Evènement Fréquence Pays 1 Pays 2 Moyenne Ecart-type Exposition Moyenne Ecart-type Exposition 1 0, , , , On obtient des tirages de la structure de corrélation: Structure de corrélation l l en tirant des couples de pertes (Pays1 x Pays2) dans les lois de coût de chaque évènement du modèle CAT de référence; en regardant les quantiles de ces pertes dans les lois de coût des deux pays du modèle CAT de référence. Pays 2 20 Pays 1

21 Problème de la masse en 0 On a construit une structure de corrélation à partir d un modèle CAT de référence. Les quantiles obtenus à l aide de cette structure de corrélation vont être utilisés pour tirer dans la fonction de répartition de la loi de coût mélangée du pays. Du fait de la masse en 0, on ne va pas pouvoir tirer certaines valeurs dans la loi de coût mélangée! Loi de coût mélangée 100% M1 Modèle de référence M2 Probabilité Perte Perte Zone inatteignable 21

22 Modèle de bassin Modification de la fonction de répartition Lors de la création de la structure de corrélation, on transforme la fonction de répartition de la loi de coût de chaque pays pour le modèle de référence par une fonction de répartition aléatoire. La structure de corrélation construite avec ces fonctions de répartition aléatoire est alors une copule car on a montré que: Structure de corrélation Structure de corrélation modifiée Pays 2 Pays 2 22 Pays 1 Pays 1

23 Modèles de bassin Reproduction des résultats par pays La méthodologie de simulation est alors la suivante, pour chaque évènement simulé: 1. On tire dans la copule. 2. On obtient les pertes sur chacun des pays à l aide des fonctions de répartition mélangées. La structure de corrélation utilisée étant une copule, on sait que lorsque l on tire des pertes sur chacun des pays suivant cette copule, on respecte bien la loi de coût de chaque pays. On a une corrélation «physique» des pertes entre les pays car on a utilisé la structure de corrélation d un modèle CAT pour générer les pertes. 23

24 Modèles de bassin Sous-estimation des résultats du modèle de référence En sommant les pertes par pays, on obtient les pertes au niveau du bassin dans notre modèle mélange. Il est également possible d obtenir les courbes EP du modèle CAT de référence pour le bassin. On compare alors les résultats du modèle mélange où les poids accordés au modèle CAT de référence sont à 100% avec les résultats du modèle CAT de référence pour le bassin. M2 = modèle CAT de référence OEP du bassin AEP du bassin Modèle M2 Modèle M2 Perte Modèle mélange avec M2 à 100% Perte Modèle mélange avec M2 à 100% Période de retour Période de retour 24

25 Modèle de bassin Corrélation 2 Dans les tables de coût par évènement de chacun des modèles, on a systématiquement pour chaque évènement: On a donc présence d une corrélation positive entre les lois de coûts des évènements au sens de Pearson. On peut déterminer simplement la corrélation au sens de Pearson pour chaque évènement avec la formule: On se sert de ce coefficient de corrélation pour définir une copule gaussienne qui servira de structure de corrélation entre les lois de pertes de chaque évènement. On définit donc autant de copules gaussienne qu il y a d évènements dans la base d évènements du modèle CAT de référence. L introduction de cette corrélation supplémentaire (de seconde espèce) modifie la structure de corrélation entre les pays. 25

26 Modèle de bassin Reproduction des résultats au niveau du bassin L introduction de la corrélation de seconde espèce nous permet de reproduire de manière plus fine les résultats au niveau du bassin. Sans corrélation de seconde espèce OEP Bassin Avec corrélation de seconde espèce OEP Bassin Modèle M2 Modèle mélange avec M2 à 100% AEP Bassin AEP Bassin 26

27 (6) (1 ; 4 ; 3 ; 3 ; 2 ; 1) Tirage du nombre d évènements dans la loi de fréquence Tirage des évènements du modèle de référence Pays 1 Pays 2 Pays 1 1 0,9 Pays 2 0,9 1 Pays 1 Pays 2 Pays 1 1 0,3 Pays 2 0,3 1 Corrélation de seconde espèce Tirages = (1,94 ; 9,63 ; 0 ; 0 ; 1,52 ; 4,02) Tirage dans les lois de coûts des évènements avec corrélation Tirages = (0 ; 3,2 ; 6,65 ; 5,55 ; 1,57 ; 0) Pays 1 Référence Pays 2 Référence F X (Tirages) = (0,51 ; 0,97 ; 0,12 ; 0,05 ; 0,44 ; 0,77) Quantile associé à la perte dans la loi de coût du modèle de réfèrence F X (Tirages) = (0,19 ; 0,60 ; 0,89 ; 0,82 ; 0,36 ; 0,14) Pays 1 Pays 2 F -1 X (q) = ( 0 ; 14,81 ; 0 ; 0 ; 0 ; 3,34) Perte mélangée par pays F -1 X (q) = ( 0 ; 3,22 ; 6,80 ; 5,58 ; 1,26 ; 0 ) 27

28 Modèle de bassin Bilan On est capable de mélanger plusieurs modèles CAT sur un ensemble de pays: l en intégrant les pondérations accordées à chaque modèle sur chaque pays; l en respectant le critère de cohérence : «si un modèle CAT a une pondération de 100% sur un pays alors le modèle mélange reproduit les résultats de ce modèle CAT pour le pays en question»; l en intégrant une corrélation physique des pertes entre les pays; l en approchant le critère de cohérence : «si un modèle CAT a une pondération de 100% sur l ensemble des pays alors le modèle mélange reproduit les résultats de ce modèle CAT pour le bassin». 28

29 29 Questions?