CARACTÈRES UNITAIRES DE U, R ET QUELQUES AUTRES GROUPES TOPOLOGIQUES

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1 CARACTÈRES UNITAIRES DE U, R ET QUELQUES AUTRES GROUPES TOPOLOGIQUES OLIVIER SERMAN Le but de ces notes est de détermner les caractères untares de certans groupes classques. Rappelons d abord que s G est un groupe fn on appelle caractère (multplcatf, ou lnéare) de G tout homomorphsme χ: G C. L ensemble des caractères de G forme un groupe Ĝ, appelé groupe dual. S G Z/nZ, son groupe dual Ẑ/nZ est somorphe au groupe µ n des racnes n-èmes de l unté, qu est encore cyclque de même ordre. On en dédut à l ade du théorème de structure des groupes abélens fns que pour tout groupe abélen fn G, Ĝ est somorphe à G. De plus, G Ĝ, g (χ χ(g)) défnt un somorphsme canonque entre G et son bdual. Enfn, la formule d nverson de Fourer s écrt smplement f(g) = f(χ)χ(g) χ Ĝ pour toute foncton f : G C, où f(χ) = 1 G g G χ(g)f(g). Comment cela se généralse-t-l aux groupes abélens nfns tels que R, C, U = {z C, z = 1}? et aux groupes matrcels U(n), GL n (C)?... Il est assez naturel de consdérer les homomorphsmes G C qu sont en plus contnus. Et, comme nous allons le vor, l est ben utle de consdérer d abord les homomorphsmes à valeurs dans U plutôt que dans C tout enter. 1. Caractères et caractères untares Sot G un groupe topologque 1. On appelle caractère de G tout homomorphsme contnu de G dans C, et caractère untare (ou encore tout smplement caractère, en foncton du contexte 2 ) tout homomorphsme contnu de G dans U. On appelle groupe dual le groupe des caractères untares de G (qu on vot comme un groupe abstrat pour smplfer 3 ). Proposton 1.1. L applcaton z C (log z, z z ) R U ndut un somorphsme de groupes topologques de C sur R U. Autrement dt, c est un somorphsme de groupes qu est également un homéomorphsme. Démonstraton. Cette applcaton est un homomorphsme contnu de (C, ) vers (R, +) (U, ). Elle admet pour récproque l applcaton (t, u) R U e t u C qu est également contnue. Cette proposton n est ben sûr qu une reformulaton de la décomposton polare z C ( z, z z ) R + U, (ρ, u) R + U ρu C à l ade de l somorphsme entre (R +, ) et (R, +) donné par le logarthme. Date: 23 janver On appelle groupe topologque un groupe G mun d une topologe rendant les los G G G, (g 1, g 2) g 1g 2 et G G, g g 1 contnues. Les groupes topologques consdérés c sont R, U, C ou des groupes matrcels, muns de leur topologe usuelle. 2. On appelera ans tout smplement caractère un homomorphsme contnu de G dans U lorsque G est un groupe abélen localement compact. 3. Dès que G est localement compact, ce qu est ben sûr le cas pour les groupes usuels, le groupe dual Ĝ possède une topologe naturelle, qu est celle de la convergence unforme sur tout compact de G. Lorsque G est compact, c est smplement la topologe de la convergence unforme. 1

2 Corollare 1.2. Tout caractère ϕ: G C d un groupe topologque G s écrt de manère unque comme produt ϕ = ϕ R + ϕ U d un homomorphsme contnu ϕ R + : G R + et d un caractère untare ϕ U de G. Démonstraton. On a en effet ϕ R + (g) = ϕ(g) et ϕ U (g) = ϕ(g) ϕ(g) pour tout g G. On peut donc séparer l étude des caractères d un groupe topologque G en celles de ses caractères untares d une part et de ses homomorphsmes contnus vers R d autre part. Pour les groupes compacts, ces derners sont trvaux : Proposton 1.3. Tout homomorphsme contnu d un groupe compact G vers R est constant. En partculer, tout caractère d un groupe compact est untare. Démonstraton. Soent G un groupe compact et ϕ: G R un homomorphsme contnu. L mage de G par ϕ est un sous-groupe compact de R. Mas les sous-groupes non trvaux de R sont non bornés (s x 0 appartent à un sous-groupe H de R, alors nx H pour tout n Z). On a donc ϕ(g) = {0},.e. ϕ = 0. Il résulte alors du corollare précédent que tout caractère de G est untare. 2. Caractères de R L exponentelle fournt des caractères untares non trvaux de R sous la forme t exp(ξt), ξ R. Le but de cette parte est de montrer que ce sont les seuls, autrement dt que R R ξ (t exp(ξt)) est un somorphsme de groupes. Nous en donnons deux démonstratons. La premère repose sur le théorème de relèvement, qu ramène le problème à celu des homomorphsmes de R dans R. La seconde est plus élémentare Théorème de relèvement et homomorphsmes de R dans lu-même. Rappelons que l exponentelle complexe défnt une applcaton holomorphe surjectve z C exp z C de C sur C qu est également un homomorphsme de noyau 2πZ. On a ans un somorphsme de groupes C/(2πZ) C. Le cercle unté U est l mage par exp de R, de sorte qu on a également un homomorphsme contnu t R exp(t) U de R sur U, de noyau 2πZ, et un somorphsme de groupes R/(2πZ) U. Théorème 2.2. Soent I un ntervalle non vde de R, et f : I U une applcaton contnue de I dans U. Sot t 0 I. Alors l exste pour tout x 0 R vérfant exp(x 0 ) = f(t 0 ) une unque applcaton contnue f : I R telle que exp( f) = f et f(t 0 ) = x 0. De même, l exste pour toute applcaton contnue f : I C et tout z 0 C tel que exp(z 0 ) = f(t 0 ) une unque applcaton contnue f : I C telle que f = exp f et f(t 0 ) = z 0. On dt que f relève f (ou encore que c est un logarthme contnu de f). Elle complète le dagramme commutatf suvant I R f U f exp( ) 2

3 Démonstraton. Nous donnons la démonstraton dans le cas des fonctons à valeurs dans U. Le cas des fonctons à valeurs dans C s obtent exactement de la même façon 4. L uncté est asée : soent f 1 et f 2 deux relèvements de f,.e. deux applcatons contnues I R telles que exp( f 1 ) = f = exp( f 2 ). La dfférence f 1 f 2 est donc une foncton contnue sur I à valeurs dans ker(exp( )) = 2πZ, qu est donc constante pusque I est connexe. Deux relèvements sont donc égaux s et seulement s ls coïncdent en un pont, d où l uncté sous la condton f(t 0 ) = x 0. Pour l exstence on dspose de pluseurs démonstratons, qu utlsent toutes d une manère ou d une autre le logarthme complexe (qu permet de relever localement une foncton contnue). La plus proche de la théore générale des revêtements topologques se trouve par exemple dans le tome 3 du cours de Lelong-Ferrand & Arnaudès [2, VI.6, p. 337]. Notons d abord qu l sufft de trater le cas où l ntervalle est compact 5. En effet, par uncté du relèvement contnu, s J 1 et J 2 sont deux segments contenus dans I contenant t 0, alors les relèvements f J1 et f J2 des restrctons de f à J 1 et J 2 envoyant t 0 sur x 0 coïncdent sur J 1 J 2 (qu est ben connexe). Le relèvement contnu f de f s obtent alors en posant, pour tout t I, f(t) = f J (t) où J désgne n mporte quel segment contenu dans I et contenant t et t 0. Supposons donc I = [a, b]. Il sufft de montrer l exstence d un relèvement f 0 de f sans fxer sa valeur en t 0. En effet, un tel relèvement vérfe exp( f 0 (t 0 )) = f(t 0 ) = exp(x 0 ), d où on dédut f 0 (t 0 ) = x 0 + 2kπ pour k Z. Le relèvement de f envoyant t 0 sur x 0 est alors f = f 0 2kπ. Sot alors J le sous-ensemble des ponts t de I tels que la restrcton f [a,t] de f à [a, t] admette un relèvement contnu f (on dt que f admet un relèvement contnu sur l ntervalle [a, t]). Ce sous-ensemble est non vde pusqu l content a. Il admet donc une borne supéreure sup J [a, b]. Montrons que sup J = b. Snon c = sup J est strctement nféreur à b et, f étant contnue, l exste donc δ > 0 tel que [c, c + δ[ I et t I, t c < δ f(t) f(c) < 1. On a donc t I, t c < δ f(t) f(c) est à valeurs dans le dem-cercle unté ouvert contenu dans le dem-plan {z C, Re z > 0}, où la détermnaton prncpale 1 < 1. Ans t ]c δ, c+δ[ I f(t) f(c) Log du logarthme complexe est ben défne (par exemple par z C \ R dz [1,z] z ). S x c désgne un réel vérfant exp(x c ) = f(c), les relèvements de f sur ]c δ, c + δ[ I sont de la forme ϕ k : t ]c δ, c + δ[ I x c + 2kπ + 1 pour k Z. Log f(t) f(c) Par défnton de c = sup J, l exste c [a, c] ]c δ, c] tel que f admette un relèvement contnu f sur [a, c ]. L dée est de relever f au-delà de c en recollant f et ϕ k pour un enter k ben chos. On a exp( f(c )) = f(c ) = exp(ϕ 0 (c )), de sorte qu l exste k Z tel que f(c ) = ϕ 0 (c ) + 2kπ. L applcaton g : [a, c + δ[ R égale à f sur [a, c ] et à ϕ k sur [c, c + δ[ est donc ben défne et contnue. De plus elle relève f. Donc c + δ/2 J, ce qu est absurde. On a donc sup J = b,.e. f admet un relèvement contnu sur [a, b]. Remarque 2.3. Dans le cas où f est de classe C 1, on dspose d une expresson ntégrale explcte de f qu permet de raccourcr l argument : en effet, l sufft de constater que la foncton t f (u) t I x 0 + t 0 f(u) du 4. Le cas I U est ben sûr un cas partculer du cas I C. 5. On pourrat évter d avor à dédure ans le cas général du cas compact en donnant l argument suvant, qu présente l nconvénent d utlser le lemme de Zorn : consdérons l ensemble des couples (J, f J) où J est un ntervalle contenu dans I et contenant t 0 et f J un relèvement de f J envoyant t 0 sur x 0, ordonné par la relaton (J, f J) (J, f J ) s J J et ( f J ) J = f J. Cet ensemble est nductf et non vde, donc admet un élément maxmal (J, f J). On montre alors que J = I en vérfant comme dans la preuve du théorème que les négaltés strctes sup J < sup I et nf I < nf J sont mpossbles. 3

4 est le relèvement cherché (on aboutt à une telle expresson tout smplement en dérvant l dentté f = exp( f)). Cela se trouve par exemple dans le lvre de Rouvère [4], ou dans le cours de Lelong-Ferrand et Arnaudès déjà cté. Remarque 2.4. Il est bon d avor en tête la stuaton géométrque, qu n est malheureusement pas assez éclarée par la démonstraton précédente. S f : I U est contnue, on peut relever f au vosnage de tout pont de I à l ade du logarthme complexe, et l sufft de recoller ces relèvements locaux. Remarque 2.5 (Autre démonstraton plutôt orgnale). Voc une élégante démonstraton du théorème de relèvement permettant de manpuler la noton de groupe topologque sur un exemple très concret, que l on peut trouver en exercce corrgé dans le cours de topologe de Hervé Queffélec [3, Chaptre 4, Ex. IV.26]. On y montre un peu plus généralement que toute foncton contnue f d un compact étolé K de R n dans C se relève en une foncton contnue f : K C. On en dédut que le résultat reste vra pour tout fermé étolé 6 de R n, en partculer pour R n tout enter. Sot I un segment dans R. On peut supposer qu l content 0. Sot G le groupe des applcatons contnues de I dans U (le produt est ndut par celu de U, l élément neutre est la foncton 1 constante égale à 1). On le munt de la topologe ndute par la norme nfne sur l espace C(I, C) des fonctons contnues de I dans C (autrement dt de la topologe de la convergence unforme). Le groupe G est ans un groupe topologque. Consdérons le sous-ensemble G 0 des éléments de G admettant un relèvement I R. C est un sous-groupe de G (s f = exp f et g = exp g, alors fg = exp ( f + g) et f 1 = exp( f)), qu content un vosnage de l élément neutre 1 : en effet, on vérfe à l ade du logarthme complexe que la boule ouverte U = {f G, f 1 < 1} de centre 1 et de rayon 1 est contenue dans G 0 (s f 1 < 1, alors f : I U évte 1, donc f = 1 Log f : I R est ben défne, contnue, et f = exp f. On en dédut que G 0 est ouvert 7 : en effet, c est un vosnage de chacun de ses ponts, pusque tout pont g G 0 est contenu dans gu, qu est contenu dans le sous-groupe G 0 et ouvert comme mage de l ouvert U par l homéomorphsme g : G G, h gh (la multplcaton par g est ben un homéomorphsme, comme applcaton contnue bjectve dont la récproque est la multplcaton par g 1 qu est également contnue). Or, dans un groupe topologque, tout sous-groupe ouvert est automatquement fermé : en effet 8, G s écrt comme une unon dsjonte G = a A g ag 0 où {g a, a A} est un système de représentants des classes à gauche modulo G 0, et G \ G 0 = a A,g a G 0 g a G 0 est ouvert comme unon d ouverts. Enfn G est connexe par arcs : en effet, on peut reler toute foncton g G à la foncton constante égale à g(0) par le chemn t g t où g t (x) = g(tx). Ce chemn est ben contnu car g est unformément contnue. On peut ensute reler toute foncton constante à la foncton 1 pusque U est connexe par arcs. Fnalement G 0 est une parte ouverte et fermée non vde dans G connexe, de sorte que G 0 = G. Autrement dt, toute applcaton contnue I U admet un relèvement I R. Il faut ensute en dédure le cas d un ntervalle quelconque comme dans la démonstraton 9 du théorème 2.2. Nous sommes mantenant en mesure de décrre les homomorphsmes contnus ϕ de R dans U. L dée est de relever une telle applcaton en un homomorphsme contnu de R dans R. 6. Avec un peu plus de son, on peut en dédure que cela reste vra pour toute parte étolée de R n. 7. L argument montre en fat qu un sous-groupe d un groupe topologque est ouvert s et seulement s l content un vosnage de l élément neutre. 8. On peut préférer l argument suvant : sot g G\G 0. S U désgne un vosnage ouvert de 1 contenu dans G 0, alors gu est un ouvert (mage de U par l homéomorphsme h gh) qu ne rencontre pas le sous-groupe G Il ne semble malheureusement pas possble de généralser drectement l argument précédent au cas d un ntervalle quelconque : en effet, le chemn t g t n est a pror plus contnu pour la topologe de la convergence unforme s I n est pas compact. Le groupe G possède en fat une topologe plus naturelle, celle de la convergence unforme sur les compacts. Le chemn précédent est ben contnu pour cette topologe, mas par contre l n est plus auss smple de montrer que G 0 est un vosnage de 1. 4

5 L exstence d un relèvement contnu est donnée par le théorème de relèvement et l n est pas dffcle de montrer que s on a prs son d envoyer 0 sur 0, alors ce relèvement est auss un homomorphsme. On est alors ramené à l exercce suvant : Lemme 2.6. Tout homomorphsme contnu de R dans lu-même est de la forme x R ax, pour a R. Plus généralement, tout homomorphsme contnu R n R m est une applcaton R-lnéare. Démonstraton. Sot ϕ: R n R m un homomorphsme contnu. Il sufft de vérfer que ϕ(λx) = λϕ(x) pour tout λ R et tout x R n. Sot x R n. Pusque ϕ est un homomorphsme, on a ϕ(nx) = ϕ(x + + x) = ϕ(x) + + ϕ(x) = nϕ(x) pour tout n N, pus pour tout n Z pusque ϕ( x) = ϕ(x). S λ = p q Q pour p, q Z, q 0, alors qϕ( p q x) = ϕ(px) = pϕ(x),.e. ϕ(λx) = λϕ(x) pour tout λ Q. On conclut par densté de Q dans R. Théorème 2.7. Tout homomorphsme contnu de R dans U est de la forme t exp(ξt) pour un unque ξ R. Plus précsement, le groupe dual R est somorphe à R va R R ξ (t exp(ξt)). Démonstraton. Un homomorphsme contnu ϕ: R U admet un unque relèvement contnu ϕ: R R envoyant 0 sur 0 : le dagramme R ϕ R U ϕ exp( ) est commutatf. Montrons que ϕ est un somorphsme de groupes. S t R consdérons les deux applcatons contnues t R ϕ(t + t ) et t R ϕ(t) + ϕ(t ). Ce sont deux relèvements contnus de t R ϕ(t)ϕ(t ) = ϕ(t + t ) qu prennent la même valeur ϕ(t) en 0. Ils sont donc égaux, et ϕ est donc un homomorphsme. D après le lemme 2.6, ϕ est de la forme t ξt pour un réel ξ = ϕ(1). Donc ϕ est de la forme t exp(ξt) pour un ξ unquement détermné (en effet, ϕ détermne unquement ϕ tel que ϕ(0) = 0, qu détermne ξ ; on peut auss remarquer que ξ est égal à ϕ (0)). S on a prs son de munr R de la topologe de la convergence unforme sur les compacts, l somorphsme précédent est en fat un homéomorphsme. De plus, son dual R est alors ben défn, et on a ben sûr le résultat suvant : Corollare 2.8. Le groupe R est canonquement somorphe à son double dual : en effet R R, t (ϕ ϕ(t)) est un somorphsme de groupes. Remarque 2.9. L somorphsme R R permet de reler transformaton de Fourer dans L 2 (R) et sur les groupes abélens fns. Dans les deux cas, la transformée de Fourer d un objet défn sur G = R ou Z/nZ est un objet défn sur le groupe dual. S f est une foncton G C, sa transformée de Fourer est f : χ Ĝ 1 χ(g)f(g). G De la même manère, la transformée de Fourer d une foncton f dans L 1 (R) L 2 (R) est défne par la somme sur t R f : ξ R R exp( ξt)f(t)dt = exp(ξt)f(t)dt. R Les formules d nverson sont toutes deux obtenues comme des sommes sur les groupes duaux : f = f(χ)χ et f = 1 f(ξ) exp(ξ )dξ 2π ξ R χ Ĝ g G R (la seconde égalté ayant leu dans L 2 (R)). 5

6 2.10. Arguments plus drects. Un argument plus élémentare consste à remarquer d abord qu un homomorphsme contnu ϕ: R U est de classe C 1, ce qu permet de produre ensute une équaton dfférentelle satsfate par ϕ. L applcaton ϕ étant contnue et égale à 1 en 0, l exste δ > 0 tel que δ 0 ϕ(u)du = c 0 (consdérer la parte réelle de ϕ). On a alors, pour tout t R, cφ(t) = δ 0 ϕ(u)ϕ(t)du = δ 0 ϕ(u + t)du = t+δ t ϕ(u)du, de sorte que cϕ est de classe C 1, et donc ϕ auss pusque c est non nul. En dérvant par rapport à u la relaton ϕ(t+u) = ϕ(t)ϕ(u) on obtent ϕ (t+u) = ϕ(t)ϕ (u) d où, en u = 0, ϕ (t) = ϕ (0)ϕ(t). On a donc ϕ(t) = ϕ(0) exp(at) où a = ϕ (0). La constante ϕ(0) est égale à 1 pusque ϕ est un homomorphsme, et a R pusque ϕ est à valeurs dans U : on a donc ϕ = exp(ξ ) avec ξ R, comme annoncé. Une autre dée (à premère vue très smple, mas fnalement assez exgeante) est de consdérer le noyau d un homomorphsme contnu ϕ : R U. C est un sous-groupe fermé de R, ce qu nous amène au résultat classque suvant : Lemme Un sous-groupe de R est ou ben dense, ou ben de la forme az, pour a R. Démonstraton. Sot G un sous-groupe de R non rédut à {0}. Sot a = nf{t G, t > 0}. S a = 0 alors G est dense. Snon a > 0, et on montre d abord que a appartent à G, pus qu l engendre G. Le noyau ker ϕ est donc ou ben égal à R tout enter (auquel cas ϕ est constant), ou de la forme az. Dans le second cas, ϕ dentfe U au quotent R/aZ de R par az : en effet, comme ker ϕ = az, l sufft de vérfer que ϕ est surjectve. Mas l mage de ϕ est un sous-groupe non trval de U connexe et compact (comme mage contnue du compact [0, a] dans U qu est séparé). Or, les sous-groupes fermés de U dstncts de U étant fns (cf lemme 3.7), l mage de ϕ est U tout enter. On dédut par alleurs un somorphsme explcte entre le quotent R/aZ et U du morphsme surjectf π a : t R exp( 2π a t). On est donc dans la stuaton suvante : πa R U ϕ ϕ U où ϕ est un somorphsme de groupes. Le pont un peu délcat est de montrer que ϕ est auss contnu 10. La contnuté (qu est tautologque s on parle de topologe quotent) se vérfe c drectement : l applcaton π a est ouverte (.e. envoe tout ouvert de R sur un ouvert de U), de sorte que pour tout ouvert U U, ϕ 1 (U) = π a(ϕ 1 (U)) est ouvert. Il résulte alors du théorème 3.4 que ϕ est l dentté ou la conjugason, de sorte que ϕ = ϕπ a est effectvement de la forme t exp(± 2π a t) Homomorphsmes contnus de R dans C. On peut décrre au passage les homomorphsmes contnus de R dans C. Pusque C est somorphe à R U, tout homomorphsme contnu ϕ: R C est de la forme ϕ = ϕ R ϕ U où ϕ R est un homomorphsme contnu de R dans R, donc de la forme t at avec a R, et ϕ U un homomorphsme contnu de R dans U, donc de la forme t exp(bt) avec b R. Fnalement, on a montré : Proposton Tout homomorphsme contnu de R dans C est de la forme t exp(tz) pour un z C. Remarque Il est en fat préférable de démontrer cet énoncé en utlsant le théorème de relèvement pour les fonctons à valeurs dans C, en vérfant que le relèvement de ϕ: R C envoyant 0 sur 0 est un homomorphsme contnu de R dans C, donc de la forme t zt. Remarque On peut plus généralement décrre les homomorphsmes contnus R GL n (C) (appelés sous-groupes à un paramètre), par exemple à l ade du théorème d nverson locale : ce sont les homomorphsmes de la forme t exp(ta) où A M n (C), où exp désgne l exponentelle matrcelle. 3. Caractères de U Il est très facle de dédure de l étude de R quels sont les homomorphsmes contnus de U dans lu-même. Nous donnons plus bas un argument plus drect. 10. Alors ϕ est même un homéomorphsme. En effet, toute bjecton contnue entre deux compacts est un homéomorphsme, car l mage d un fermé est fermée. 6

7 Théorème 3.1. Tout homomorphsme contnu de U dans U est de la forme z z k pour un unque k Z. Plus précsement, le groupe dual Û est somorphe à Z va Z Û k (z z k ). Démonstraton. Sot ϕ: U U un homomorphsme contnu. Sot ψ : R U l homomorphsme contnu ψ = ϕ exp( ) obtenu en composant ϕ et l exponentelle complexe exp( ): R U. D après le théorème 2.7, l exste un unque ξ R tel que ψ(t) = exp(ξt) pour tout t R. En partculer 1 = ψ(2π) = exp(2πξ), ce qu entraîne ξ Z. Donc en posant ξ = k on a ϕ(exp(t)) = ψ(t) = exp(kt) = exp(t) k pour tout t R,.e. ϕ(z) = z k pour tout z U. On peut résumer la démarche par le dagramme suvant R ψ exp( ) R ϕ U U ψ exp( ) où l homomorphsme contnu ϕ ndut un homomorphsme ψ de R dans U, que l on relève en un homomorphsme contnu ψ (qu est l unque relèvement contnu de ψ envoyant 0 sur 0). Cet homomorphsme est lnéare, de la forme t ξt, et l ne reste plus qu à remarquer que ξ appartent à Z. Remarque 3.2. Mun de la topologe de la convergence unforme, Û est un groupe topologque dscret ; autrement dt, l somorphsme Z Û est un somorphsme de groupes topologques. D autre part, le groupe Ẑ des caractères untares de Z est naturellement somorphe à U, pusque, Z étant monogène, Ẑ U, ϕ ϕ(1) est un somorphsme de groupes. De plus, s on munt Ẑ de la topologe de la convergence unforme sur les compacts, cet somorphsme est également un homéomorphsme. On obtent de la manère habtuelle des somorphsmes de groupes topologques : U Û et Z Ẑ. On retrouve ans, comme dans la remarque 2.9, un len entre transformée de Fourer sur les groupes abélens fns et séres de Fourer : on assoce à une foncton pérodque f,.e. défne sur U, une sére de Fourer,.e une foncton ( f(n)) n Z défne sur Z par f : n Z 1 e nt f(t)dt = 1 e 2π 2π nt f(t)dt U (les coeffcents de Fourer ( f(n)) n sont habtuellement notés (c n (f)) n ). La formule d nverson exprme alors f comme somme (dans L 2 (U)) de sa sére de Fourer,.e. comme la somme sur Û Z f = f(n)e n. n Z 3.3. Automorphsmes du cercle. On est alors en mesure de détermner le groupe des automorphsmes contnus de U. Le cercle U possède deux automorphsmes contnus évdents, qu sont l dentté et la conjugason z z. Il n y en a pas d autre. Théorème 3.4. Les seuls automorphsmes contnus de U sont l dentté et la conjugason complexe. Avant de démontrer cet énoncé, l est bon de rappeler qu un tel automorphsme contnu est automatquement un homéomorphsme : plus généralement, toute bjecton contnue ϕ d un compact sur un compact est un homéomorphsme (en effet, ϕ 1 est contnue, pusque l mage par ϕ d un fermé est fermée). 7 U

8 Démonstraton. Le résultat est une conséquence du théorème 3.4 : un automorphsme contnu de U est de la forme z z k pour k Z, et un tel homomorphsme n est njectf que s k = 1 ou 1. Remarque 3.5 (Démonstraton drecte). En voc une démonstraton élémentare et plutôt amusante, utlsant quelques proprétés de connexté et de densté de U. Sot ϕ: U U un somorphsme de groupes contnu. L mage ϕ() de est un élément de U d ordre 4, et ne peut donc être égal qu à ou. Supposons d abord que ϕ() =, et montrons alors que ϕ = d. Pour ce fare, montrons d abord que ϕ(exp 2π 2 ) = exp 2π n 2 pour tout enter postf n. n Notons que U \ {1, } est l unon dsjonte de deux composantes connexes (par arcs) C + et C, où C désgne la composante connexe contenant 1. Pusque ϕ(1) = 1 et ϕ() =, l mage de C par la bjecton contnue ϕ est la composante connexe de U \ {1, } contenant ϕ( 1) = 1. On a donc ϕ(c ) = C, et ϕ(c + ) = C +. Comme exp( π 4 ) est l unque élément d ordre 8 contenu dans C +, on en dédut que ϕ(exp π 4 ) = exp π 4. On conclut par récurrence sur n : s ϕ(exp π 2 ) = exp π n 2, l sufft de remarquer que exp π n 2 n+1 est l unque élément d ordre 2 n+2 contenu dans la composante connexe de U \ {1, exp π 2 } n ne contenant pas 1. Comme ϕ envoe cette composante sur elle-même, on en dédut que ϕ(exp π ) = exp π. 2 n+1 2 n+1 On en dédut que ϕ(exp 2kπ 2 ) = exp 2kπ n 2 pour tout k Z et tout n N. Le sous-groupe n {exp 2kπ 2, k Z, n N} étant dense dans U et ϕ étant contnue, on a ϕ = d. n S ϕ() =, alors ϕ est un homomorphsme contnu fxant. On a donc ϕ = d, ce qu sgnfe que ϕ est la conjugason complexe Sous-groupes de U. Nous donnons c quelques résultats mportants sur les sous-groupes de U. Nous en proftons pour montrer, à ttre de curosté, comment en dédure drectement la descrpton des caractères de U. Lemme 3.7. Un sous-groupe de U est ou ben fn, ou ben dense. S l est fn, l est cyclque, égal au groupe µ n des racnes n-èmes de l unté. Démonstraton. L mage nverse d un sous-groupe H de U par l exponentelle complexe exp( ): R U est d après 2.11 ou ben dense, auquel cas son mage H est également dense dans U, ou ben de la forme az, avec a = 2π n (pusque az 2πZ), auquel cas H est fn, égal à µ n. Un argument plus drect (.e. sans passer par R) consste à remarquer qu un sous-groupe nfn H U content des éléments arbtrarement proches de 1. En effet, pour tout N N, on peut partager U en N arcs [e 2kπ N, e 2(k+1)π N ], k = 0,..., N 1, de longueur 2π/N. Pusque H est nfn, l un au mons de ces arcs content deux éléments dstncts h et h de H, et h N = h h 1 est un élément de H \ {1} vérfant d(h N, 1) 2π/N (on peut ben sûr être un peu plus précs : d(h n, 1) = h n 1 sn(2π/n)). On en dédut que H est dense : en effet, tout z U est contenu pour tout N dans un arc de longueur 2π/N de la forme [h k N, hk+1 N ], ce qu sgnfe que d(z, H) π/n pour tout N N. Reste alors à vérfer qu un sous-groupe fn est cyclque. Mas un sous-groupe fn d ordre n est consttué de racnes n-èmes de l unté,.e est contenu dans µ n. Comme µ n est auss d ordre n, on a égalté. Remarque 3.8. De manère générale, tout sous-groupe fn du groupe multplcatf k d un corps (commutatf) k est cyclque. S k = C, c est mmédat comme on vent de le vor (le pont étant que C content n racnes n-èmes de l unté). Lemme 3.9. Sot α R. Le sous-groupe e α = {e nα, n Z} engendré par e α est dense s et seulement s α πq. Démonstraton. D après le lemme précédent, l sufft de vérfer que e α est fn s et seulement s α/π est ratonnel, ce qu est mmédat. 8

9 Voc un argument qu n utlse pas explctement le lemme précédent : l mage nverse du sous-groupe e α par exp( ): R U est le sous-groupe Zα + Z2π R engendré par α et 2π. Ce sous-groupe est d après 2.11 ou ben dense dans R, auquel cas e α est dense dans U, ou ben de la forme Za, auquel cas 2π = na, α = ma = 2πm/n, et e α est d ordre au plus n. Il reste à remarquer que Zα + Z2π est monogène s et seulement s α/π Q (s α/2π = m/n avec (m, n) = 1, alors Zα + Z2π = Za avec a = α m = 2π n ). Des exemples de sous-groupes denses non monogènes sont le sous-groupe n N µ n des racnes de l unté, ou encore le sous-groupe n N µ 2 n des racnes de l unté d ordre une pussance de 2 déjà rencontré en Démonstraton de Û Z en utlsant le sous-groupe dense n µn. Sot ϕ : U U un caractère de U. Pour tout n 1, sa restrcton ϕ n à µ n est un caractère de µ n : l exste donc un enter k n (ben défn modulo n) tel que ϕ n(ζ) = ζ kn pour tout ζ µ n. Montrons que ce k n ne dépend en fat pas de n,.e. qu l exste un enter k Z tel que k n = k mod n pour tout n. Il exste δ ]0, 1[ tel que le vosnage ouvert connexe U = {z U, Re z > 1 δ} de 1 vérfe ϕ(u) U \ { 1}, de sorte que z U Log ϕ(z) exste et est contnue sur U (où Log désgne toujours le logarthme complexe). Cela sgnfe smplement qu un argument contnu de ϕ(z) reste contenu dans ] π, π[. Sot U l ouvert connexe U = U {z, Im z > 0}. Pour tout ζ U Log ϕ(ζ) µ n, Log ζ est alors un enter relatf congru à k n modulo n (plus précsement, c est l unque enter congru à k n Log ϕ(z) modulo n comprs entre n/2 et n/2). La foncton z Log z est contnue sur le connexe U, et prend en tout pont de la parte dense Ω = U n µn des valeurs entères. Elle est donc constante sur U, égale à k Z. En remarquant qu l exste N tel que ζ n = exp( 2π n ) appartent à Ω pour tout n N, on en dédut que ϕ(z) = zk pour tout z nn µn = n µn, donc pour tout z U pusque n µn est dense et ϕ contnue Démonstraton de Û Z en utlsant un sous-groupe dense monogène. L dée est très smple : de la même manère qu un caractère de Z ou Z/nZ est détermné par l mage d un générateur, un homomorphsme contnu U U dot être détermné par l mage de tout élément engendrant un sous-groupe dense. Cependant, la mse en œuvre de cette dée utlse la caractérsaton des sous-groupes monogènes denses de U n : dans le cas qu nous ntéresse, (e α, e β ) U U engendre un sous-groupe dense dans U U s et seulement s α, β et 2π forment une famlle lbre sur Q (autrement dt s ls sont ratonnellement ndépendants ). En effet, le sous-groupe engendré par (e α, e β ) est dense dans U U s et seulement s son mage nverse dans R 2, c est-à-dre le sous-groupe engendré par (α, β), (2π, 0) et (0, 2π), est dense dans R 2, et on conclut à l ade de Bourbak [1, VII 1 n 3, Cor. 2 de Prop. 7] 11. On peut ben sûr en extrare un énoncé ad hoc suffsant pour ce que l on veut en fare c : s le groupe engendré par (e α, e β ) n est n dense, n dscret, alors α, β et 2π sont ratonnellement dépendants 12. Sot ϕ : U U un homomorphsme contnu. Sot donc α R \ πq, de sorte que e α engendre un sous-groupe dense de U. Son mage par ϕ est ϕ(e α ) = e β. Il s agt de montrer que β Zα + Z2π. Le sous-groupe engendré par (e α, e β ) ne peut être dense dans U U, pusque, pour toute sute (m k ) k d enters, e m k β = ϕ(e m k α ) tend vers 1 dès que e m k α tend vers 1. D après le résultat rappelé plus haut, α, β et 2π satsfont une relaton de dépendance lnéare sur Q,.e. l exste des enters m, n et p tels que mα + nβ + 2pπ = 0. Comme α πq, n est non nul. On peut alors remarquer que l homomorphsme contnu z z m ϕ(z) n vaut 1 en e α, donc partout pusque le sous-groupe engendré e α est dense. En évaluant en z = e 2π n, on obtent m = kn, d où ϕ(z) = z k pour tout z U (pusque z z k ϕ(z) est contnue de U dans µ n, et prend la valeur 1 en 1). 11. La démonstraton de ce résultat repose sur la descrpton des sous-groupes fermés de R n et un jol argument de dualté, utlsant le sous-groupe assocé (ou dual) H = {x R n, x, h = xh Z pour tout h H} d un sous-groupe H de R n. 12. En effet, sot H R 2 l adhérence de l mage nverse par (t 1, t 2) (e t 1, e t 2 ) du sous-groupe de U engendré par (e α, e β ). C est d après les hypothèses un sous-groupe fermé non dscret de R 2, dstnct de R 2. Montrons d abord qu un tel sous-groupe content une unque drote vectorelle L, pus qu l s écrt H = L Zv où v est orthogonal à L. Le sous-groupe H étant dstnct de R 2, l content au plus une drote vectorelle. Par alleurs, tout sous-groupe fermé non dscret de R n content une drote vectorelle. Cela résulte d un très smple argument de compacté : dre que le sous-groupe H est non dscret équvaut à dre que 0 n est pas solé dans H. Sot alors (h n) n N une sute d éléments non nuls de H tendant vers 0. La sute (h n/ h n ) admet une valeur d adhérence a. Pour montrer que la drote Ra est contenue dans le sous-groupe fermé H, l sufft de montrer que 1 a H pour tout k k N. Mas, pour tout ε > 0, l exste un enter N tel que a h N / h N < ε et h N < ε. La seconde négalté assure l exstence d un enter m N tel que h N /(k h N ) m N h N < ε (par exemple m N = [1/(k h N )]), qu vérfe alors a/k m N h N < 2ε. Ans a/k est adhérent au sous-groupe fermé H, donc lu appartent. Le sous-groupe H est donc une unon de drotes affnes parallèles à L : en effet, s p est la projecton orthogonale sur la drote L orthogonale à L, alors H = L p(h), et, p(h) étant un sous-groupe fermé strct de la drote L, l est monogène, égal à Zv pour un vecteur v orthogonal à L. Dans notre stuaton, on peut ajouter que ce vecteur est non nul, pusque H content (2π, 0) et (0, 2π). Fnalement on a écrt H comme l ensemble des vecteurs h R 2 tels que h, v Z. Pusque (α, β), (2π, 0) et (0, 2π) appartennent à H, on obtent, en notant v = (x, y), les tros relatons xα + yβ = p, x2π = m et y2π = n avec m, n, p enters, d où la relaton attendue mα + nβ = p2π. 9

10 3.12. Démonstraton de Û Z en consdérant le noyau d un caractère. Une nouvelle fos, l dée est très smple : le noyau d un caractère de U est un sous-groupe fermé de U, donc est fn s le caractère est non trval. Pour mener à ben ce rasonnement, on a toutefos beson d avor décrt a pror les automorphsmes contnus du cercle, comme on l a fat en 3.5. Sot donc ϕ : U U un caractère non trval. Son noyau ker ϕ est un sous-groupe fermé strct, donc est égal à µ n pour un enter n. De plus ϕ est surjectf, pusque son mage est un sous-groupe fermé (car mage contnue d un compact) nfn de U. L homomorphsme ϕ dentfe donc le quotent U/µ n à U. Consdérons l applcaton π n : z U z n U qu dentfe également U/µ n à U. On a alors πn U U ϕ ϕ où ϕ est un somorphsme de groupes, qu est également contnu, par exemple pusque l mage nverse d un fermé F de U est ϕ 1 (F ) = π n(ϕ 1 (F )) qu est fermée comme mage contnue du compact ϕ 1 (F ) U (toute applcaton contnue entre compacts est automatquement fermée,.e. l mage de tout fermé est fermée). D après le théorème 3.4 (établ comme en 3.5 donc), ϕ est donc ou ben l dentté, ou ben la conjugason complexe, de sorte que ϕ est z z n ou z z n, comme attendu. U 4. Caractères holomorphes de C L somorphsme entre C et R U permet de décrre, à l ade des résultats précédents, les caractères de C. En effet, un homomorphsme contnu ϕ de C dans U correspond donc au produt d un caractère R U, t exp ξt de R et d un caractère de U U, z z k de U, où ξ R et k Z. Plus explctement on a ϕ(z) = exp(ξ log z )( z z )k. On peut montrer de la même manère que tout homomorphsme contnu de C dans lumême est de la forme ϕ: z C exp(a log z )( z z )k avec a C, k Z. On a donc montré Proposton 4.1. Tout homomorphsme contnu de C dans lu-même est de la forme z z a z k avec a C et k Z. En partculer, tout caractère untare de C est de la forme z z ξ ( z z )k avec ξ R et k Z. Remarque 4.2. Il est plus naturel d obtenr ce résultat drectement à l ade du théorème de relèvement : s ϕ: C C est un homomorphsme contnu, consdérons ψ = ϕ exp: C C, et ψ : C C son relèvement contnu envoyant 0 sur 0,.e. l unque applcaton contnue C C vérfant ψ = exp ψ et ψ(0) = 0. Cela entraîne comme dans la démonstraton de 2.7 que ψ est un homomorphsme contnu. C est donc une applcaton R-lnéare de C dans lumême, dont on sat de plus qu elle admet pour vecteur propre, assocé à une valeur propre entère k Z, pusque ψ(2πz) est contenu dans exp 1 (ψ(2πz)) = exp 1 ({1}) = 2πZ. On a donc ψ(x + y) = ψ(1)x + ky pour tout (x, y) R 2, d où ϕ(z) = z ψ(1) ( z z )k. Dans certans contextes (groupes algébrques, algèbres de Le complexes...), on est amené à consdérer également les caractères C C qu sont de plus holomorphes. Théorème 4.3. Tout homomorphsme holomorphe C C est de la forme z z k avec k Z. Démonstraton. C est en fat un corollare de la proposton précédente. En effet, z C z a z k est holomorphe s et seulement s z z a l est, ce qu n est possble que s a = 0 (par exemple parce qu une applcaton holomorphe non constante est ouverte). L argument drect suvant est nettement préférable : sot ϕ: C C est un homomorphsme holomorphe. En dérvant la relaton ϕ(zz ) = ϕ(z)ϕ(z ), on obtent zϕ (zz ) = ϕ(z)ϕ (z ), d où, pour z = 1, zϕ (z) = ϕ (1)ϕ(z) pour tout z C. Remarquons que ϕ (1) est un enter. En effet, s Γ désgne le cercle de centre 0 et de rayon 1, ϕ (1) = 1 ϕ (1) dz = 1 ϕ (z) 2π z 2π ϕ(z) dz Z Γ 10 Γ

11 (pusque c est l ndce par rapport à 0 du lacet t [0, 1] ϕ(e 2πt )) 13. Il sufft alors de remarquer que, s k = ϕ (1), la dérvée de z ϕ(z)z k est nulle. (S l on veut évter de parler de l ndce d un lacet, on peut consdérer l homomorphsme contnu ψ = ϕ exp: C C. En dérvant la relaton ψ(z + z ) = ψ(z)ψ(z ) on obtent ψ (z) = ψ (0)ψ(z) d où ψ(z) = exp(ψ (0)z) pour tout z. Mas pusque ψ(2π) = 1, ψ (0) = k Z, et ϕ(exp z) = (exp z) k pour tout z C, comme attendu.) Remarque 4.4. On peut démontrer drectement ce résultat en procédant comme dans la remarque 4.2 et en notant que le relèvement ψ de ψ est holomorphe. En effet, ψ l est comme composée de fonctons holomorphes, et, pusque exp est un bholomorphsme local, l égalté exp ψ = ψ assure que ψ l est auss 14. Mas un homomorphsme ψ : C C holomorphe a une dérvée constante (en dérvant la relaton ψ(z + z ) = ψ(z) + ψ(z ), on a ψ (z + z ) = ψ (z)), donc est de la forme z az avec a C, et on conclut en rappelant que ψ(2π) 2πZ. 5. Caractères du groupe untare U(n) Le groupe untare U(n) = {A GL n (C), AA = I n } étant compact, ses caractères sont automatquement untares. Le détermnant det: U(n) U et ses pussances A U(n) (det A) k défnssent naturellement des caractères de U(n). Ce sont les seuls. Théorème 5.1. Tout caractère du groupe untare U(n) est de la forme pour un enter k Z. A U(n) (det A) k Démonstraton. Rappelons que toute matrce untare est dagonalsable dans une base orthonormale 15 : pour toute matrce A U(n), l exste une matrce dagonale D U(n) et une matrce P U(n) telles que A = P DP 1. Un caractère ϕ de U(n) est donc détermné par sa restrcton au sous-groupe H des matrces untares dagonales, pusque, U étant abélen, ϕ(p DP 1 ) = ϕ(d). Comme les valeurs propres d une matrce untare sont des nombres complexes de module 1, le sous-groupe H est somorphe à U n, par (λ 1,..., λ n ) U n dag(λ 1,..., λ n ). La restrcton de ϕ à H est donc un produt ϕ H : (dag(λ )) ϕ (λ ) de caractères de U qu, d après 3.1, s écrt ϕ H (dag(λ 1,..., λ n )) = λ k avec k 1,..., k n Z. 13. Rappelons en la démonstraton : s le lacet Γ est paramétré par γ : [0, 1] C, son ndce 1 rapport à un pont a Γ est enter. Consdérons la foncton ψ : t [0, 1] exp t vérfe ψ = γ ψ. La foncton ψ γ a 0 γ (u) γ(u) a γ a est donc constante, de sorte que ψ(1) = ψ(0) = 1,.e. Γ 2π dz par Γ z a du, dont la dérvée dz z 2πZ. 14. On pourrat auss smplement dre que ψ est le logarthme holomoprhe de ψ, qu exste ben pusque ψ est une foncton défne sur un ouvert smplement connexe (étolé sufft) qu ne s annule pas. 15. Ce théorème de réducton, ou théorème spectral, qu concerne tous les endomorphsmes normaux d un espace hermten, est l un des plus smples qu soent. En effet, l n utlse que les proprétés élémentares de l orthogonalté (stablté de l orthogonal, exstence de bases orthonormales). Rappelons qu un endomorphsme u d un espace hermten de dmenson fne E est dt normal s l commute avec son adjont : u u = u u. Montrons qu l exste alors une base orthonormale de E formée de vecteurs propres de u. Pusqu on est sur C, u admet une valeur propre λ. Sot F = ker(u λ d) le sous-espace propre assocé. S F = E, toute base orthonormale de E convent. Consdérons le supplémentare orthogonal F de F. On vérfe que c est un sous-espace stable par u, et que la restrcton de u à F est encore normale. On conclut alors par récurrence sur la dmenson. Voc un argument plus court. Remarquons que s u est normal, alors ker u 2 = ker u. Cela résulte de l égalté u 2 (x) = u u(x) pour tout x E : s x ker u 2, alors u(x) 2 = u(x), u(x) = u u(x), x = 0. Pusque u λ d est normal pour tout λ C, on en dédut que les sous-espaces propres sont égaux aux sousespaces caractérstques,.e. que u est dagonalsable (on peut auss remarquer que l égalté ker u 2 = ker u assure que tout endomorphsme normal nlpotent est nul, et conclure à l ade de la décomposton de Dunford). 11

12 Pour montrer que k = k j pour tout, j, remarquons que la matrce de permutaton M σ assocée à la permutaton σ (défne par (M σ ) j = 1 s = σ(j) et 0 snon) est untare, et agt sur H par conjugason (en permutant les coeffcents dagonaux ben sûr). On a alors λ k = ϕ(dag(λ )) = ϕ(m σ dag(λ )Mσ 1 ) = ϕ(dag(λ σ() )) = λ k σ(), d où l on dédut k = k j pour tout, j (pour σ = (j), on obtent λ k λk j j = λ k j λk j ). Pour tout A = dag(λ ) H on a donc ϕ(a) = ( λ ) k = (det A) k. Comme toute matrce untare A est conjuguée à une matrce D H, on a ϕ(a) = ϕ(d) = (det D) k = (det A) k. Remarque 5.2. On peut montrer de la même manère que le groupe spécal untare SU(n) ne possède pas de caractère non trval. Il sufft de précser que toute matrce A SU(n) est conjuguée dans SU(n) à une matrce dagonale (en multplant au beson la matrce de passage par dag(1,..., 1, det A)) et de multpler les matrces de transposton par dag(1,..., 1, 1) pour rectfer leur détermnant. 6. Caractères du groupe lnéare GL n (C) Consdérons comme l l a été fat plus haut dans le cas n = 1 les caractères holomorphes 16 de GL n (C). Une fos encore, le détermnant det: GL n (C) C et ses pussances fournssent des exemples de caractères holomorphes non trvaux. Et, une fos encore, ce sont les seuls. Théorème 6.1. Tout caractère holomorphe du groupe lnéare GL n (C) est de la forme pour un enter k Z. A GL n (C) (det A) k Démonstraton. Comme dans le cas du groupe untare U(n), on consdère la restrcton d un caractère holomorphe ϕ: GL n (C) C au sous-groupe H formé des matrces nversbles dagonales, le pont étant que deux matrces conjuguées ont même mage par ϕ (pusque C est abélen) et que l ensemble des matrces nversbles dagonalsables est dense dans GL n (C). Le sous-groupe H des matrces nversbles dagonalsables est somorphe à (C ) n, va (z 1,..., z n ) (C ) n dag(z 1,..., z n ), de sorte que la restrcton ϕ H de ϕ à H est un produt ϕ H : dag(z 1,..., z n ) ϕ (z ) de caractères holomorphes ϕ 1,..., ϕ n de C. D après 4.3 l exste k 1,..., k n Z tels que ϕ(dag(z 1,..., z n )) = z k. On vérfe que k 1 = k 2 = = k n = k en consdérant l acton des matrces de permutaton sur H. S σ S n alors z k = ϕ(dag(z 1,..., z n )) = ϕ(m σ dag(z 1,..., z n )Mσ 1 ) = ϕ(dag(z σ(1),..., z σ(n) )) = d où on dédut, pour tout, j, k = k j (en consdérant σ = (j)). On a ans ϕ(dag(z 1,..., z n )) = ( z ) k = det(dag(z 1,..., z n )) k. On a donc ϕ(a) = det(a) k pour toute matrce nversble dagonale, donc pour toute matrce nversble dagonalsable, pus, par densté (et contnuté de ϕ), pour toute matrce nversble. Remarque 6.2. La démonstraton précédente s adapte faclement pour montrer que SL n (C) n admet pas de caractère holomorphe non trval. Remarque 6.3. S on ne veut pas parler de caractère holomorphe, on peut décrre tous les caractères de GL n (C). Le même argument montre que ces caractères sont de la forme A GL n (C) det A a (det A) k avec a C et k Z. En fat l argument précédent montre 16. On est en tran de parler de foncton holomorphe sur l ouvert GL n(c) de M n(c). C est tout smplement une applcaton dfférentable dont la dfférentelle est C-lnéare. 12 z k σ()

13 qu un caractère (qu l sot seulement contnu ou holomorphe) de GL n (C) est le composé du détermnant et d un caractère de C. Il faut noter c qu un argument purement algébrque permet de décrre pour tout corps commutatf k le groupe des homomorphsmes GL n (k) k (resp. SL n (k) k ), qu on peut encore appeler caractères (ou caractères algébrques). Cet argument est basé sur le calcul des groupes dérvés de GL n (k) et SL n (k). Proposton 6.4. Sot n 2. () Tout homomorphsme SL n (k) k est trval. () Tout homomorphsme GL n (k) k est de la forme ϕ det où ϕ est un homomorphsme k k. Démonstraton. Tout homomorphsme G k est trval sur le groupe dérvé D(G) de G. S n 3 ou k F 2, F 3, alors D(SL n (k)) = SL n (k), et tout homomorphsme SL n (k) k est donc trval. S n = 2 et k = F 2, alors F 2 est trval. S n = 2 et k = F 3, alors D(SL 2 (F 3 )) est d ndce 3 dans SL 2 (F 3 ). Un homomorphsme SL 2 (F 3 ) F 3 provent donc d un homomorphsme Z/3Z F 3, nécessarement trval. S n 2 et k F 2, alors D(GL n (k)) = SL n (k), et tout homomorphsme GL n (k) k se factorse donc va det: GL n (k) k. S n = 2 et k = F 2, alors tout est trval. Corollare 6.5. S k est un corps fn, alors tout homomorphsme GL n (k) k est de la forme A (det A) r pour r Z. S k = C, tout caractère holomorphe est de la forme A (det A) r pour r Z. S k = R, tout homomorphsme contnu GL n (R) R est de la forme A det A a ou A det A det A det A a pour a R. Démonstraton. Il s agt de détermner le groupe des homomorphsmes de k dans lu-même. S k est fn, son groupe multplcatf k est cyclque, de sorte que tout homomorphsme est de la forme λ λ r pour une enter r Z. On a rappelé plus haut (théorème 4.3) que tout homomorphsme holomorphe C C est de la forme z z r pour un enter r Z. Sot enfn ϕ un homomorphsme contnu R R. Sa restrcton à R + R est de la forme t t a pour a R (pusque tout homomorphsme contnu R R est de la forme x ax). Pusque ϕ( 1) = ±1, on a ou ben ϕ(t) = ϕ( t ) pour tout t, ou ben ϕ(t) = t t ϕ( t ) pour tout t, d où la concluson. [1] N. Bourbak, Topologe générale, Chaptre 5 à 10. Références [2] J. Lelong-Ferrand et J.M. Arnaudès, Cours de mathématques, Tome 3. [3] H. Queffélec, Topologe, Cours et exercces corrgés, Dunod. [4] F. Rouvère, Pett gude de calcul dfférentel. 13