PACES UE3 Physique Fluides visqueux. Isabelle Grenier Université Paris Diderot & CEA Saclay

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1 PACES UE3 Physique Fluides visqueux Isabelle Grenier Université Paris Diderot & CEA Saclay

2 liquide incompressible parfait viscosité sans frottement, pas de perte d énergie interne (Bernoulli) liquide incompressible réel => forces de viscosité frottements internes entre couches de vitesses différentes et sur les parois, pour réduire le cisaillement tendent à ramener toutes les couches à la même vitesse par transfert de quantité de mouvement de la couche + rapide vers la + lente lors des collisions dissipation d énergie => perte de pression force F vis de viscosité: tangente à la surface «qui frotte» s oppose au mouvement (en direction), proportionnelle à la différence de vitesse dv entre les couches: la viscosité η diminue avec température T pour un liquide augmente selon T pour un gaz parfait ne pas savoir η(t) dv = v(z + dz) v(z) = dv dz dz F vis = S dv dz z F vis v = 0 v(z) v v(z+dz)

3 viscosité η en Pa.s ou Pl (Poiseuille) air eau sang viscosité F vis = S dv dz ) = [F][L] [S][v] =[pression][temps] huile glycérine viscosité sanguine liée à Viscosity (Pa.s) la densité de globules rouges ( mm -3 (femmes) à mm -3 (hommes)) contre 7000 globules blancs à la température η/η plasma 7-8 μm 2.5 μm 1 μm hématocrite = fraction de volume sanguin hors plasma liquide 45%

4 profil de vitesse écoulement dans un tube cylindrique de rayon a r = distance radiale à l axe central fluide parfait vitesse constante et uniforme dans le fluide a fluide visqueux profil de vitesse parabolique v = 0 sur les parois immobiles v = v max maximale au centre (car loin des parois et + petites surfaces de frottement interne) ) v(r) / (a 2 r 2 ) vitesse moyenne et débit a r dq = v(r) ds = v(r)2 rdret Q = Z a 0 dq ) v(r+dr) Q = S v avec v = 1 2 v max v(r)

5 dissipation d énergie écoulement dans un tube cylindrique horizontal ρgz = cte section constante ½ρv 2 = cte fluide parfait pas de perte d énergie, donc p 2 = p 1 a p 1 p 2 = p 1 fluide visqueux dissipation d énergie par frottement sur les parois et entre les couches internes de vitesses différentes p 2 < p 1 p 1 a p 2 < p 1 dissipation d énergie perte de pression + le tube est long, + le fluide frotte sur les parois et dans la masse de liquide si le débit, v max et la pente dv/dr pour avoir v max sur l axe et 0 au bord de même, dv/dr si le rayon du tuyau car v doit chuter de v max à 0 sur une + courte distance donc perte d énergie et de pression proportionnelle à: longueur du tube viscosité débit dv/dr = f(vitesse moyenne, rayon)

6 loi de Poiseuille résistance hydraulique écoulement laminaire de débit Q tube cylindrique de rayon a constant résistance hydraulique R telle que p = RQ et R = 8 L a 4 p+δp a Q p il faut au moins une différence de pression Δp entre l amont et l aval du tube de courant pour faire circuler le fluide avec le débit Q et vaincre la résistance R la perte de pression de Poiseuille (ou de perte de charge) fournit l énergie perdue (irrécupérable) par les frottements p+δp R p Q Δp = p entrée - p sortie = R Q Δp fournit l énergie motrice qui assure Q

7 dissipation d énergie dissipation d énergie par frottements internes dans le fluide et frottements sur la paroi le fluide chauffe (énergie irrécupérable) puissance dissipée P =! F!v ) P = ps v = p.q de dt diss = p.q = RQ 2 p+δp a Q p cf P = ΔV x i = Ri 2 en électricité conservation de la densité volumique d énergie (Bernoulli modifié) perte Δp par frottement, irrécupérable donc p 2 < p 1 z on pose Δp = p 1 p 2 = R Q > 0 p 1 Q p 2 < p 1 p v2 1 + gz 1 = p + p v2 2 + gz 2 avec! z "! g # on vérifie que si v 1 = v 2 et z 1 = z 2 alors p 1 = p 2 + Δp donc p 1 > p 2

8 perte de pression (charge) liquide parfait pression uniforme liquide visqueux perte de charge constante par unité de longueur dp dl = cte Δp=p 2 -p 1 ΔL Δp venturi parfait L Δp visqueux L

9 combinaisons de résistances en série p = X i p i = R tot Q Q Q Q R tot = X i R i Δp 1 Δp 2 Δp 3 en parallèle L R 1 R 2 R 3 Q = Q 1 + Q 2 p 1 = 1 = X R // i p 2 = R // Q 1 R i Q Q 1 Q Q 2 R 1 R 2

10 applications sténoses artérielles: rétrécissement par dépôt de plaque d athérome anévrisme affaiblissement => dilatation de la paroi artérielle ex: anévrisme cérébral ex: anévrisme aortique sous-rénal

11 exemple: perte de charge d une seringue quelle est la perte de charge relative entre l aiguille (rayon a = 0.3 mm, longueur L = 3 cm) et le corps de la seringue (a = 1 cm, L = 6 cm)? Q = Q 0 ) p 0 p = R0 R = L 0 a 0 L résistance totale en série R = R + R R a 4 = = v v perte de charge si on injecte 2 cm 3 d un antibiotique assez visqueux (η = 0.05 Pa.s) en t = 10 s? Q = dv dt = m 3 /s R 0 = 8 L0 a 04 = Pa.s.m 3 p tot =(R + R 0 )Q R 0 Q = 0.94 atm! quelle force F agit sur le piston de rayon a pour injecter le produit dans un muscle où la pression vaut environ Π = 20 mm Hg? p muscle = p atm + F = p. a 2 avec p = p atm + + p 0 + p p atm + + p 0 p = = Pa ) F = 61.8N avec quelle force F doit-on appuyer sur le piston pour injecter le produit? F = p atm πa² fournie par la pression de l air ambiant sur le doigt et le piston, donc force du doigt F 0 =( + p 0 ). a 2 = = 30.5N

12 exemple: circulation néonatale canal artériel de résistance R C qui court-circuite en partie la circulation pulmonaire résistance entre D et S avec ou sans canal? sans canal: résistances en série donc R DS = R DJ + R JG + R GA + R AB + R BS avec canal: R C en parallèle avec R 1 entre J et B R 1 = R JG + R GA + R AB R JG + R AB résistance R équivalente entre J et B telle que 1 R = R 1 R 1 R C R DJ R BS 1 or R C R 1 donc R 1 R C ) R R C R C et R 0 DS R DJ + R C + R BS < R DS débit Q 1 dans les poumons et Q C dans le canal? perte Δp de charge entre J et B p = R 1 Q 1 = R C Q C ) Q C = R 1 R C Q 1 Q 1 conservation du débit en J Umbilical vein Liver J G D A B Q = Q 1 + Q C = R C Q C + Q C R 1 Q Q C = 1 + R. Q C R 1 la majorité de la circulation pulmonaire repart dans l aorte R c S

13 pertes de charge sanguines ~ 60 % de perte dans les artérioles ~ 10 % dans les capillaires où Q i plus petit car parallélisme

14 bénéfice du parallélisme aorte a ~ 1 cm, L ~ 10 cm, débit Q= 10-4 m 3 s -1 capillaire a ~ 3 µm, L ~ 1 mm, Q ~ m 3 s -1 rapport des résistances hydrauliques de l aorte et d un capillaire inacceptable, sang bloqué nombre de capillaires conservation du débit résistance équivalente du réseau de capillaires forte chute de la résistance équivalente en parallèle rapport de résistances perte de charge + acceptable R //

15 artères: réservoir de pression élasticité des parois => compliance augmentation de volume dv sous une surpression dp systole diastole

16 modèle de tension artérielle charge+ décharge d un circuit RC croissance et décroissance exponentielle e -t/τ avec constante de temps τ = RC C R C R! Q systole! Q diastole Δp 0 p sys 120 p moyenne pouls p dia 80 mm Hg 40 0 t t+t sys t+t dia

17 poumons structure zone de conduction: trachée, bronches diamètres 1-2 cm zone de distribution: bronchioles diamètres < 1 mm zone d échange: alvéoles diamètres 0.3 mm, quelques 10 8 alvéoles capacité vitale 4 à 5 l d inspiration max. à expiration max. volume résiduel 1 à 2 l après expiration max. volumes courants 3 l dans les alvéoles 0.8 l d échange normal dont 30 % dans zone de conduction débits repos ~ 7-8 l/mn fort exercice: 50 l/mn

18 ventilation repos rétraction poumon (élastique) = expansion cage thoracique + dépression pleurale inspiration dépression pleurale (action musculaire diaphragme+cage) expiration normale surpression passive (compliance des poumons distendus) expiration forcée surpression forte par compression musculaire diaphragme +cage Δp la différence de pression entre le poumon et l atm assure le débit d air contre les pertes de Poiseuille p pl p alv C p atm p atm p atm repos p atm p atm - 3 mmhg inspiration p atm - 1 p atm - 6 mmhg expiration normale p atm + 2 p atm - 3 mmhg

19 air visqueux résistance des voies aériennes surtout dans les petites bronches de la zone de conduction, résistances de Poiseuille pertes de charge résistances Bronchioles exemple: expiration normale (mm Hg) trachée alvéoles C