Fiche sur le second degré

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1 Fiche sur le second degré I. Généralités 1 ) Définition On appelle fonction polynôme du second degré une fonction f vérifiant les deux conditions : C 1 : D f = C : il existe trois réels a,, c avec tels que x ax x c ) Vocaulaire L expression ax x c est appelée polynôme ou trinôme du second degré en x. Les réels a,, c sont appelés coefficients du polynôme. x est la variale du polynôme. 3 ) Polynôme du second degré incomplet Dans la définition, on doit avoir mais ou c peuvent être égaux à 0. Dans ce cas, on dira que le polynôme est incomplet. II. Discriminant Définition On appelle discriminant du polynôme ax x c () le nomre 4ac. III. Forme canonique d une fonction polynôme du second degré ax x c x () a x a 4a

2 IV. Racines d une équation du second degré Définition Les solutions éventuelles de l équation - les racines de l équation - les racines du polynôme ax x c ax x c () sont appelées ax x c () 4ac 1 er cas : L équation admet racines distinctes dans : x1 et x a a e cas : L équation admet 1 racine doule dans : x0 a 3 e cas : L équation n a pas de racine dans. V. Discriminant réduit ax x c () ' ' ' ac 1 er ' ' ' ' cas : ' 0 L équation admet racines distinctes dans : x1 et x a a e ' cas : ' 0 L équation admet 1 racine doule dans : x0. a 3 e cas : ' 0 L équation n a pas de racine dans. VI. Somme et produit des racines ax x c () Le polynôme f (x) admet deux racines x 1 et x distinctes ou confondues dans. c On a : x1 x et x1 x a a Application aux racines évidentes

3 VII. Factorisation d un polynôme du second degré actorisation ax x c () racines distinctes dans, x1 et x une racine doule dans, x 0 a x x x x 1 a x x 0 aucune racine dans a Pas actorisation en facteurs du premier degré VIII. Signe d un polynôme du second degré du signe du trinôme f x ax x c () racines distinctes dans, x1 x. une racine doule dans, x 0 (aucune racine dans ) SGN (x) x x 1 x SGN SGN SGN de a 0 contraire 0 de a de a + x x 0 SGN (x) + SGN 0 SGN de a de a * On dit que le polynôme est toujours du signe de a sauf pour x entre les racines. * x + SGN (x) SGN de a

4 IX. Recherche de deux nomres connaissant la somme et le produit 1 ) Étude de la condition nécessaire a et sont deux réels. a et sont solutions de l équation x Sx P d inconnue x avec S = a + et P = a. ) Étude de la condition suffisante Si deux nomres sont solutions de l équation x Sx P 0, alors leur somme est égale à S et leur produit est égal à P. X., extremums et représentation graphique d une fonction polynôme du second degré Propriété 1 f : x ax x c () cas x + a f a f admet un minimum en x. f admet un maximum en a x + a f a x. a

5 Propriété f : x a x () cas x + x + f admet un minimum pour x =. f admet un maximum pour x =. La représentation graphique C est une paraole de sommet S x y S S a. f a Si a > 0, alors les deux ranches infinies sont tournées vers le haut. Si a < 0, alors les deux ranches infinies sont tournées vers le as. Si le repère orthogonal, C admet la droite d équation x pour axe de symétrie. a

6 LEXIQUE Fonction polynôme du second degré Fonction trinôme Fonction f vérifiant les deux conditions : C 1 : D f C : il existe trois réels a,, c avec tels que x ax x c Polynôme du second degré Expression de la forme ax x c () (x : la variale du polynôme) Coefficients a,, c (N.B. : ) c : coefficient constant Polynôme du second degré incomplet = 0 ou c = 0 Racine d un polynôme ax x c Valeur de x qui annule le polynôme ou solution de l équation ax x c 0 Racine évidente Racine que l on trouve facilement ou que l on trouve par calcul mental (souvent 0, 1,, 1, ) Forme canonique a x Discriminant 4ac Sert à déterminer le nomre de racines du polynôme suivant son signe et à donner leurs expressions. Discriminant réduit ' ' ' ac

7 Discriminant Le discriminant d une équation du second degré sert à : - savoir si l équation admet des solutions et leur nomre - calculer ces solutions Racines d un polynôme sur le second degré - détermination directe (factorisation) - utilisation du discriminant - racines évidentes - utilisation d un programme sur calculatrice (valeurs exactes ou approchées) - utilisation d un logiciel de calcul formel (valeurs exactes) 3 premières : «à la main» dernières : «à l aide d outils de calcul