TROISIEME PARTIE CALCUL ACTUARIEL «VIE» Louis ESCH Calcul financier et actuariel Chapitre 3 : Probabilités viagères 1

Transcription

1 TROISIEME PARTIE CALCUL ACTUARIEL «IE» Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères

2 Sommaire CHAPITRE 3 PROBABILITES IAGERES. Raes. Probabiiés viagères sur êe. Probabiiés viagères sur êes 3. Foncion de survie 4. Tau insanané de moraié 5. Esérance de survie 6. Caia différé Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères

3 3. Probabiiés viagères. Raes - Phénomène forui e événemen - Probabiié - Probabiié condiionnee - Indéendance - ariabe aéaoire - Loi de robabiié e foncion de réariion - v.a. aéaoires discrèes e à densié - Moyenne d une v.a.. Probabiiés viagères sur êe. Probabiiés viagères sur êes 3. Foncion de survie 4. Tau insanané de moraié 5. Esérance de survie 6. Caia différé Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 3

4 Phénomène forui e événemen Phénomène forui dû au hasard : - condiions iniiaes ideniques - variabiié des résuas (ensembe Ω i. anarchie d une réaisaion à aure ii. réguarié moyenne à ong erme Evénemen : fai susceibe de se roduire ou non arie de Ω Si résua ω, A se rodui ω A Evénemen cerain Ω Evénemen imossibe Inerréaions ensembises Oéraion ogique Oéraion ensembise Conraire de A A A imique B A B A e B A B A ou B A B A, mais as B A \ B A e B incomaibe A B Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 4

5 Probabiié Définiion : mesure, our es événemens, de a endance à se roduire Aiomes de Komogorov A, B Ω, A Ω, Pr( A A B Pr( A B Pr( Ω Pr( A Pr( B Proriéés Pr( A Ω Pr( A A, B Ω, Pr( A Pr( A A B Pr( A Pr( B A, B Ω, Pr( A B Pr( A Pr( B Pr( A B (formue de Booe Modèe fini équirobabe Pr Ω { ω, K, ωn} ({ ω } n ( i, K, n i Dans ce cas, Pr( A #( A #( Ω «nb cas favorabes / nb cas ossibes» Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 5

6 Probabiié condiionnee Probabiié de A si B (sachan que B se rodui Pr( A B Pr( A B Pr( B car - événemen A A B - unié : Pr(B B Formue des robabiiés oaes Si { A, K, A } es une ariion de Ω, n Pr( B n i Pr( A Pr( B i A i Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 6

7 A es indéendan de B si Indéendance Pr( A B Pr( A B Caracérisaion Pr( A I B Pr( A Pr( B N.B. : En généra (si non indéendance Pr( A I B Pr( A Pr( B A Généraisaion : deu hénomènes foruis e (asecs aricuiers du h. for. son indéendans si ou événemen de es indéendan de ou événemen de : Pr( G I H Pr( G Pr( H Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 7

8 ariabe aéaoire (v.a. Définiion : grandeur numérique déendan du résua d un hénomène forui Mahémaiquemen, X : Ω R ω a X ( ω Parfois, uiisaion des v.a. sans définir Ω (e. : durée de vie d une ersonne Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 8

9 Loi de robabiié e foncion de réariion (f.r. Loi de robabiié : robabiié de n imore que événemen défini à arir de a v.a. : Pr[ X E] Foncion de réariion E R F X : R [;] a F X ( Pr[ X ] Proriéés im F( F( F croissan im F( F( Pr[ X ] F( Pr[ X ] F( Pr[ s < X ] F( F( haueur du sau F( s N.B. : si X, F( our Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 9

10 v.a. discrèes e à densié Différenes manières de réarir a robabiié sur es vaeurs ossibes : - masses sur des vaeurs isoées - densié sur des ages coninues - mie v.a. discrèe : vaeurs ossibes dénombrabes X K K n n K K i Pr[ X i ] i i Proriéé : f.r. en escaiers v.a. à densié : foncion f osiive ee que Pr[ X E] f ( d E Proriéés F( Pr[ f ( d Pr[ X ] < X h] f ( h f ( d f ( F ( f.r.coninue Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères

11 Moyenne d une variabe aéaoire Indicaeur de ocaisaion (noaion : µ v.a. discrèe : µ i i i v.a. à densié : µ f ( d En généra, µ [ F( ] d F( d Esérance (mahémaique E(X µ Proriéé E ( ax by c ae( X be( Y c Généraisaion E ( g( X g( i i g( f ( d i Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères

12 3. Probabiiés viagères. Raes. Probabiiés viagères sur êe - Durée de vie - Probabiié de survie e de décès - Probabiié de décès différé. Probabiiés viagères sur êes 3. Foncion de survie 4. Tau insanané de moraié 5. Esérance de survie 6. Caia différé Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères

13 Durée de vie On ne récise as ensembe Ω. ariabe aéaoire :, durée de vie d une ersonne ( Probabiiés d événemens définis à arir de : robabiiés viagères (survie e décès Cacu raique de ces robabiiés : abe de moraié (cha. 4 Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 3

14 Probabiié de survie e de décès Définiions Probabiié qu une êe d age survive au moins années (noaion Pr([ ] [ Pr([ ] [ Pr[ ] Pr[ ] Pr[ ] ] ] Probabiié qu une êe d âge décède dans un déai de années (noaion q q Pr([ ] [ Pr([ ] [ Pr[ ] Pr[ < ] Pr[ ] ] ] Cas aricuier : Tau annue de survie : Tau annue de décès : q q Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 4

15 Proriéés q u u u u < < u u u u u u ] Pr[ ] Pr[ ] Pr[ ] Pr[ ] Pr[ ] Pr[ Cas aricuier K Si es enier, K Inérê : robabiiés viagères erimées à arir d une foncion d une seue variabe Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 5

16 Probabiié de décès différé Définiion Probabiié qu une êe d âge décède dans un déai de années, différé de (noaion q ] Pr[ ] Pr[ ] ] [ Pr([ q < < Proriéé q q Dém. q q < ] Pr[ ] Pr[ ] Pr[ ] Pr[ Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 6

17 3. Probabiiés viagères. Raes. Probabiiés viagères sur êe. Probabiiés viagères sur êes 3. Foncion de survie 4. Tau insanané de moraié 5. Esérance de survie 6. Caia différé Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 7

18 Probabiiés viagères sur êes Deu ersonnes (ayan évenueemen une disribuion de différene, mais indéendanes Probabiiés de survie Probabiié que es êes, d âge e y, surviven au moins années : y y ~ Probabiié qu au moins une des êes, d âge e y, survive au moins années : y y y y y y ~ ~ ~ ~ ( ~ ( Aure aroche : formue de Booe Probabiié qu eacemen une des êes, d âge e y, survive au moins années : y y y y y ~ ~ ~ ( ~ ( [] Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 8

19 Probabiiés de décès : comémenaires q y y robabiié qu au moins une des êes, d âge e y, décède dans un déai de années q y y robabiié que es êes, d âge e y, décèden dans un déai de années Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 9

20 3. Probabiiés viagères. Raes. Probabiiés viagères sur êe. Probabiiés viagères sur êes 3. Foncion de survie - Définiion - Lien avec es robabiiés viagères - Tabes de moraié 4. Tau insanané de moraié 5. Esérance de survie 6. Caia différé Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères

21 Définiion Foncion rerésenan évouion d une ouaion ficive d individus - nés à a même dae - ayan a même disribuion de durée de vie - indéendans effecif au déar ( nombre de survivans à âge d nombre de décès duran ] ; ] Proriéé Pr[ ] ( nb cas favorabes / nb cas ossibes Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères

22 Lien avec es robabiiés viagères q ] Pr[ ] Pr[ d q q < ] Pr[ ] Pr[ Avanage sur «K» - foncion d une seue variabe - erime es robabiiés viagères à aide d un ei nombre de faceurs Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères

23 Tabes de moraié Les abes de moraié donnen a foncion de survie our des eniers seuemen ( abe de survie définiion des différenes noions - de manière générae ( coninu - uiisées à arir de a abe de survie Les abes de moraié diffèren - suivan e see (M F - suivan e ye d oéraion d assurance (R K Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 3

24 3. Probabiiés viagères. Raes. Probabiiés viagères sur êe. Probabiiés viagères sur êes 3. Foncion de survie 4. Tau insanané de moraié - Définiion - Lien avec es robabiiés viagères - Cas discre 5. Esérance de survie 6. Caia différé Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 4

25 Définiion Tau insanané de moraié à âge (noaion : µ au de décès ar unié de ems à âge µ im h h q h Eression en foncion de µ im h h (n im h h h h Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 5

26 Lien avec es robabiiés viagères s s ds q µ Dém. ( s s s s s s s q ds ds ds ( µ s ds e µ Dém. ( s s ds ds n n n n (n µ Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 6

27 Cas discre Si es grandeurs son définies our enier seuemen, a dérivée n a us de sens Aroimaion de a dérivée (ene de a angene ar a ene de a corde : Tau insanané de moraié aroché : µ Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 7

28 3. Probabiiés viagères. Raes. Probabiiés viagères sur êe. Probabiiés viagères sur êes 3. Foncion de survie 4. Tau insanané de moraié 5. Esérance de survie - Définiion - Cas discre 6. Caia différé Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 8

29 Définiion Esérance de survie à âge (noaion : e moyenne de a v.a. W, durée résiduee de vie à âge FW ( Pr[ W Pr([ ] ] [ ] e E( W [ F W d ( ] d Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 9

30 Cas discre On suose, ar symérie, que ous es décès d une année on ieu au miieu de année Les vaeurs de a v.a. W son :,K 5, 3, avec W ] ] [ Pr([ Pr < ( ( e K K ( ( ( ( K ( ( ( ( 3 ( 3 e K Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 3

31 3. Probabiiés viagères. Raes. Probabiiés viagères sur êe. Probabiiés viagères sur êes 3. Foncion de survie 4. Tau insanané de moraié 5. Esérance de survie 6. Caia différé - Définiion - Symboes de commuaion Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 3

32 Définiion Caia différé de années our une ersonne d âge (noaion : E vaeur acuee d un versemen de UM dans années, à une ersonne d âge acue, si ee es oujours en vie (en Première aroche (robabiise Cee vaeur acuee es a moyenne d une v.a. : q v On a donc E v v Deuième aroche (saisique Les individus de a ouaion ficive versen E à âge our que es survivans reçoiven UM années us ard. Equivaence : E v Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 3

33 Symboes de commuaion eressions déendan - des robabiiés viagères - de faceurs d acuaisaion doube enrée : âge au d inérê Noaion : D v Caia différé v D E v v D Louis ESCH Cacu financier e acuarie Chaire 3 : Probabiiés viagères 33