Ch.2èSECOND DEGRÉ. 1ere S. ( )( 1 x) x! 3x 2. I. Fonction trinôme du second degré. a > 0 x α + 1 ) définition et rappels sur le sens de variation

Transcription

1 LFA / première S COURS Mme MAINGUY I. Fonction trinôme du second degré définition Ch.èSECOND DEGRÉ ) définition et rappels sur le sens de variation ere S f x = ax + x+ c Un trinôme du second degré est une fonction définie sur!, pouvant s'écrire sous la forme ( ) avec a. Exemples Voici quelques trinômes du second degré : x! 3x x + x! x π x x! 3x ( )( x) x! 3x Rappels Le taleau ci-dessous donne le sens de variations des onctions polynômes du second degré. On note : α et β = f ( α) = f a a Taleau de variation de f a > a < x α + f ( x ) β x α + f ( x ) β Représentation graphique de f Remarques La coure représentative d'un trinôme du second degré est appelé paraole. Le sommet S de la paraole a pour coordonnées ( α ; β ). Si a >, la paraole est tournée vers le haut. Si a <, la paraole est tournée vers le as.

2 LFA / première S COURS Mme MAINGUY ) forme canonique Elle permet aussi de trouver, quand elle existe, une écriture factorisée du trinôme. Elle permet d'étalir les variations de la fonction trinôme Exemple Ê mettre ( ) g x = x x x 9x+ 4= 5 x x = 5 x + 5 g x sous forme canonique puis factoriser ( ) = 5 x + 9 = 5 x 9 5 = 5 x 9 = 5 x factorisation de g( x ): on utilise les identités remarquales 9 g( x) = 5 x 9 9 g( x) = 5 x x + 4 g( x) = 5( x ) x théorème f x = ax + x+ c est une fonction définie sur!, pouvant s'écrire sous la forme Tout trinôme du second degré ( ) f ( x) = ax + x+ c, avec a, s'écrit sous la forme ( ) Cette forme est appelée forme canonique. a x α + β. Démonstrationâ travail personnel Démontrer que tout trinôme du second degré ( ) f x = ax + x+ c ( a ) s'écrit sous forme canonique : 4ac f ( x) = a x+ a Remarques Il est inutile de connaître cette formule par cœur. il faut se souvenir de la méthode et retrouver sur des exemples cette forme canonique. On a montré que toute fonction trinôme du second degré f peut se mettre sous forme canonique f ( x) = a( x α) + β. On retrouve donc directement mes coordonnées du sommet de la paraole dans cette formule.

3 LFA / première S COURS Mme MAINGUY 3 9 g x = 5x 9x+ 4= 5 x. 9 Les coordonnées du sommet S de Cg sont : ; Exemple Ê On a montré précédemment que ( ) II. Équation du second degré ) approche graphique. La représentation graphique d'une fonction trinôme (éventuellement sur la calculatrice) permet de conjecturer le nomre de solutions de l'équation f ( x ) = Rappel Résoudre l'équation ax + x + c =, avec a, c'est trouver (s'il en existe) tous les nomres qui vérifient cette égalité. Un tel nomre est dit solution de l'équation ou racine du polynôme ax + x + c. ) résolution de l'équation ax + x + c = à l'aide de la forme canonique. 9 4 g x = x = x x. 4 g x = x x = Reprenons l'exemple précédent : on a trouvé : ( ) 5 5( ) L'équation g( x ) = est une équation produit : ( ) ( ) D'où : 4 S = ; 5 4 ( x ) = ou x = 4 x= ou x= 5 3 ) résolution de l'équation ax + x + c = à l'aide du discriminant On va utiliser la forme canonique : ( ) 4ac f x = a x+ a Définition On note Δ= 4ac. Δ est appelé discriminant du trinôme. La forme canonique peut alors s'écrire ( ) Δ f x = a x+ a

4 LFA / première S COURS Mme MAINGUY 4 Étude du nomre de solutions de l'équation f ( x ) = En partant de la forme canonique, nous allons étudier le nomre de solutions selon le signe du discriminant Δ. er cas : si Δ > On peut alors écrire Δ= Δ et D'où : Δ 4a a Δ =. Δ + + = + a a ax x c a x Δ Δ = a x+ + x a a + a a On reconnaît une équation produit : ainsi, l'équation ax + x + c = est équivalente à : Δ Δ x+ + = ou x+ = a a a a Δ Δ x ou x + a a a a Δ + Δ x ou x a a Δ + Δ L'équation ax + x + c = admet deux solutions distinctes : x et x a a nd cas : si Δ = La forme canonique devient : ax + x + c = a x +. a L'équation ax + x + c = est équivalente à : x+ = x a a L'équation ax x c + + = admet alors une seule solution, appelée solution doule : x a 3eme cas : si Δ < L'équation ax + x + c = est équivalente à : Δ a x+ = a Or comme Δ <, il en résulte que Cette équation est donc impossile et l'équation Δ x + = a Δ x + = a Δ <. Un carré étant toujours positif, on a x 4a a ax x c = n'admet aucune solution.

5 LFA / première S COURS Mme MAINGUY 5 Résumé : résolution de l'équation ax + x + c =, a Δ= 4ac est le discriminant de cette équation. Δ + Δ si Δ >, l'équation admet deux solutions distinctes : x et x a a si Δ =, l'équation admet une solution doule : x a si Δ <, l'équation n'admet aucune solution. Exemple Ê Résoudre : a) x + x+ = : ) 3x + 4x 6= c) 4x + x+ 9= 3 ) factorisation d'un trinôme du second degré Propriété : factorisation des trinômes du second degré Soit f ( x) = ax + x+ c, a, un trinôme du second degré et Δ son discriminant. Δ >, l'écriture factorisée s'écrit : f ( x) a( x x )( x x ) si Δ =, l'écriture factorisée s'écrit : ( ) ( ) si si Δ <, il n'existe pas d'écriture factorisée de f ( x ). Δ + Δ = avec : x et x a a f x = a x x avec x a Exemple Ê déterminer si les polynômes suivants admettent des racines. Si oui, en donner une écriture factorisée. a/ f ( x) = 5x 4x+ 35 x = 3x+ 9 4 h x = x x+ / g( x) c/ ( ) d/ x, k( x) = x + mx+ ( m ) Exercice important (résultats à exploiter) Soit Px ( ) = ax+ x+ c, a, un polynôme de degré tel que Δ >. On note x et x ses deux racines réelles distinctes, S la somme de ces deux racines et P leur produit. / Démontrer que : c S et P =. a a P x = a x Sx + P / Justifier que l'on a : ( ) ( ) Application Soit Ax ( ) 3x+ 3x+ 36. a/ Justifier que A admet deux racines réelles distinctes. / Déterminer la valeur de S (somme des racines) et de P (produit des racines). c/ On sait que l'une des racines x est égale à 4. Déterminer la valeur de l'autre racine x. Application Soit Bx ( ) = x 6x+ 4. a/ Démontrer que B admet une racine évidente. / En déduire la valeur de l'autre racine, puis la forme factorisée de B( x ).

6 LFA / première S COURS Mme MAINGUY 6 III. Signe d'un trinôme Propriété Soit f ( x) = ax + x+ c, a, un trinôme du second degré et Δ son discriminant. Δ < alors ( ) si si Δ = alors ( ) si Δ > alors ( ) f x est toujours du signe de a. f x a le signe de a sauf en x a f x =. où ( ) f x a le signe de a à l'extérieur des racines, et le signe de ( a) entre les racines. démonstration er cas : Δ < On a vu qu'il n'existe pas d'écriture factorisée de f ( x ) et : ( ) x, x + a et comme Δ <, Δ On en déduit que : x + a nd cas : Δ = L'écriture factorisée de f ( x ) est : f ( x) a( x x ) si x x si x x =. Δ f x = a x+. a Δ >. 4a, ( x x ) >, par conséquent ( ) =, ( ) ( ) f x = a x x =. Δ >. par conséquent, a x+ a a x x a le signe de a ; a le signe de a. 3ème cas : Δ > L'écriture factorisée de f ( x ) est : f ( x) a( x x )( x x ) =. Supposons que x est la plus petite des deux racines, cad : x< x. On otient alors le taleau de signes suivant : Exemple a/ Étudier le signe de : 4x + 4x 4 / Résoudre x 7x+ 3 c/ Résoudre x + 6x+ 9 >