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1 13 décembre 016 SECOND DEGRÉ nde 3 I POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ 1 DÉFINITION Une fonction polnôme de degré est une fonction f définie sur Ê par fx)=ax + bx+c où a, b, c sont des réels et a 0. EXEMPLES La fonction f définie pour tout réel x par fx) = x 3 + est une fonction polnôme du second degré avec a= 1 3, b=0 et c=. La fonction g définie pour tout réel x par gx)=x+1) 3x est une fonction polnôme du second degré car, pour tout réel x, gx)=x + x+1 a=, b=1 et c=1) La fonction h définie pour tout réel x par hx)= 3 x n est pas une fonction polnôme. + 1 FORME CANONIQUE Toute fonction polnôme f de degré définie sur Ê par fx)=ax + bx+c avec a 0, peut s écrire sous la forme : fx)=ax α) + β avec α = b a et β = fα). DÉMONSTRATION Soit f une fonction polnôme de degré définie sur Ê par fx)=ax + bx+c avec a 0. Comme a 0, pour tout réel x, fx)=a x + b a x+ c ). a Or pour tout réel x, x+ b ) = x + b ) b a a x+. On en déduit que pour tout réel x, a fx)=a x+ b ) b a a + c a = a x+ b ) b ac a a = a x+ b ) b ac a a Soit en posant α = b a et β ac = b, on obtient pour tout réel x, fx)=ax α) + β a EXEMPLE Cherchons la forme canonique de la fonction f définie sur Ê par fx)= x 3x+. Pour tout réel x, fx)= [x + 3 x 1 = x+ 3 ) = x+ 3 ) 5 16 Ainsi, pour tout réel x, fx) = x+ 3 ) A. YALLOUZ Page 1 sur 10

2 13 décembre 016 SECOND DEGRÉ nde 3 II VARIATIONS Quand on connaît la forme canonique d une fonction polnôme du second degré, on peut en déduire son maximum ou son minimum. DÉMONSTRATION Soit f une fonction polnôme de degré définie sur Ê par fx)=ax + bx+c avec a 0, alors pour tout réel x, fx)=ax α) + β avec α = b a. 1. Étudions le cas où a<0 Si x 1 < x α alors x 1 α < x α 0 d où x 1 α) >x α). la fonction carré est décroissante sur ;0) On en déduit que ax 1 α) + β < ax α) + β soit f x 1 )< f x ). Si α x 1 < x alors 0 x 1 α < x α d où x 1 α) <x α). la fonction carré est croissante sur [0;+ [) On en déduit que ax 1 α) + β > ax α) + β soit f x 1 )> f x ). Ainsi, si a < 0 la fonction f est strictement croissante sur l intervalle sur l intervalle [ ba [ ;+. Étudions le cas où a>0 ; b a Si x 1 < x α alors x 1 α < x α 0 d où x 1 α) >x α). On en déduit que ax 1 α) + β > ax α) + β soit f x 1 )> f x ). Si α x 1 < x alors 0 x 1 α < x α d où x 1 α) <x α). On en déduit que ax 1 α) + β < ax α) + β soit f x 1 )< f x ). Ainsi, si a > 0 la fonction f est strictement décroissante sur l intervalle sur l intervalle [ ba [ ;+ On retient : ; b a Soit f une fonction polnôme de degré définie sur Ê par fx)= ax + bx+c avec a 0. Les variations de f sont données par les tableaux suivants : a<0 a>0 et strictement décroissante et strictement croissante x b a f b ) a fx) + x b a fx) f b ) a + EXEMPLE Soit f la fonction définie sur Ê par par fx)= 3x x+1. Ici a= 3, b= et c=1. Ainsi, b a = 1 3 et f 1 ) = 1. Comme a<0, on en déduit le tableau des variations de f : 3 3 A. YALLOUZ Page sur 10

3 13 décembre 016 SECOND DEGRÉ nde 3 x fx) 3 III COURBE REPRÉSENTATIVE Dans un repère orthogonal ) O; i, j définie sur Ê par fx)= ax + bx+c avec a 0 est une parabole. On dit que la parabole a pour équation =ax + bx+c du plan, la courbe représentative d une fonction polnôme f de degré Le sommet S de la parabole a pour abscisse α = b. Il correspond au maximum ou au minimum sur Ê de la a fonction f. La parabole a pour axe de smétrie la droite d équation x= b a f b ) a a<0 a>0 S j j O i b a x b a O i x La parabole est tournée vers le bas S f b ) a La parabole est tournée vers le haut SYMÉTRIE DE LA PARABOLE Pour des raisons de smétrie, l abscisse α du sommet de la parabole est la moenne des abscisses x 1 et x de deux points de la parabole aant même ordonnée : α = x 1+ x. EXEMPLE Soit f la fonction définie pour tout réel x par fx)=x 6x 5 où a, b et c sont trois réels. Déterminons deux points de la courbe représentative de la fonction f aant la même ordonnée. Cherchons les solutions de l équation fx) = 5 x 6x 5= 5 x 6x=0 xx 3)=0 Soit x=0 ou x=3. Par conséquent, le sommet de la parabole a pour abscisse α = 0+3 = 1,5 A. YALLOUZ Page 3 sur 10

4 13 décembre 016 SECOND DEGRÉ nde 3 IV ÉQUATIONS, INÉQUATIONS 1 RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 1. Résoudre dans Ê l équation : 3x x =0. Pour tout réel x, [ 3x x =0 3 x 1 3 x = x 1 ) x 1 ) 5 = 0 [ x x+ ) x 1)=0 3 x+ 3 = 0 36 ) x ) = 0 ) = 0 ou x 1)=0 L équation admet deux solutions x 1 = 3 ou x = 1. S= { 3 } ;1. Résoudre dans Ê l équation : x + 3x =0. Pour tout réel x, x + 3x =0 [x 3 x+1 = 0 x 3 ) Or pour tout réel x, x 3 ) = 0 = 0 x 3 ) donc l équation n a pas de solutions. S= 36 A. YALLOUZ Page sur 10

5 13 décembre 016 SECOND DEGRÉ nde 3 RÉSOUDRE UNE INÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 1. Résoudre dans Ê l inéquation : x x+3 0. Pour tout réel x, x x+3= 1 [ x + x 1 = 1 [ x+) 1 = 1 [ x+) 16 = 1 [x++)x+ ) = 1 x+6)x ) Étudions le signe du produit 1 x+6)x ) à l aide d un tableau de signe. x x x x+6)x ) L ensemble S des solutions de l inéquation x. Résoudre dans Ê l inéquation : x x+1 0 Pour tout réel x, Or pour tout réel x, x 1) d où 1 x x+1 0 est S=Ê x+3 0 est S= ; 6 [;+ [. x x+1= 1 [ x x+ = 1 [ x 1) 1+ = 1 [ x 1) + 1 [ x 1) donc l ensemble solution de l inéquation A. YALLOUZ Page 5 sur 10

6 13 décembre 016 SECOND DEGRÉ nde 3 EXERCICE 1 On a tracé ci-contre, les courbes représentatives des fonctions f et g définies par fx)= ax et gx)=bx où a et b sont deux réels. Laquelle des quatre propositions suivantes est exacte? 1. a>0, b>0, a>b;. a<0, b<0, a>b; 3. a>0, b>0, a<b;. a<0, b<0, a<b. =bx =ax 0 x EXERCICE C f est la courbe représentative de la fonction carré f définie pour tout réel x par fx) = x, dans le plan muni d un repère orthogonal. Les paraboles C 1 à C 6, ont une équation de la forme =ax, où a est un réel. C 1 C f C 16 1 C x C C 6 C 5 1. Quelle est la courbe représentative de la fonction g définie pour tout réel x par gx)= x?. Quelle est la courbe représentative de la fonction h définie pour tout réel x par hx)=x? 3. Déterminer une expression, en fonction de x, de la fonction u dont la courbe représentative est C 5. EXERCICE 3 Soit f la fonction définie pour tout réel x par fx)= x + 5x Recopier et compléter le tableau des valeurs suivant : x fx). Dans le repère ci-dessous, tracer la courbe C f représentative de la fonction f. A. YALLOUZ Page 6 sur 10

7 13 décembre 016 SECOND DEGRÉ nde x Par lecture graphique : a) Quelles sont les solutions de l équation fx) = 0? b) Quelles sont les solutions de l équation fx) =? c) Quels sont les antécédents de 5 et de 7? EXERCICE x 3 + fx) x + gx) 1 1. Parmi les fonctions polnômes du second degré ci-dessous, quelles sont celles qui ont le même tableau de variation que la fonction f? le même tableau de variation que la fonction g? Ax)=x + 3x ; Bx)= x + 6x 11; Cx)=x 6x+7; Dx)= x x+13; Ex)= 1 x + x ; Fx)= 1 x 3x+ 5 ; Gx)=x x+; Hx)= 3x + 1x 11.. Déterminer deux fonctions polnômes du second degré aant respectivement le même tableau de variation que les fonctions f et g. EXERCICE 5 Soit f la fonction définie pour tout réel x par fx)=ax + bx+c où a, b et c sont trois réels. Le tableau de valeurs de la fonction est : x fx) 8 8 A. YALLOUZ Page 7 sur 10

8 13 décembre 016 SECOND DEGRÉ nde 3 1. L affirmation «le minimum de la fonction f est égal à» est-elle vraie?. Quel est l image de 3? 3. Résoudre l équation fx)=? EXERCICE 6 Soit f la fonction définie pour tout réel x par fx)=ax + bx+c où a, b et c sont trois réels. Le tableau de valeurs de la fonction est : x fx) Pour quelle valeur du réel x le minimum de la fonction f est-il atteint?. Résoudre l équation fx)=0? 3. Déterminer le minimum de la fonction f. EXERCICE 7 Sur la figure ci-contre, AB = 6, M est un point du segment [AB différent de A et B et les triangles AMD et MBC sont rectangles isocèles. On cherche à déterminer la distance AM telle que l aire du triangle MCD soit maximale. On pose AM = x et on note fx) l aire du triangle MCD C D A x M B 1. Exprimer en fonction de x les aires des triangles AMD et MBC. En déduire que fx)= x + 6x. Donner le tableau des variations de la fonction f. 3. En déduire la valeur de x telle que l aire du triangle MCD soit maximale. Quel est alors l aire maximale du du triangle MCD? EXERCICE 8 D C ABCD est un rectangle de périmètre 3. Quelle est l aire maximale du rectangle ABCD? EXERCICE 9 A C x B ABC est un triangle rectangle isocèle tel que AB = 10. I est le milieu du segment [AC. Où faut-il placer le point M sur le segment [AB pour que l aire du trapèze AMNI soit maximale? I N A M B EXERCICE 10 M est un point du segment [AB de longueur 1. À quelle distance du point A faut-il placer le point M pour que la somme des aires des carrés de côtés respectifs [AM et [MB soit minimale? A M B A. YALLOUZ Page 8 sur 10

9 13 décembre 016 SECOND DEGRÉ nde 3 EXERCICE Résoudre dans Ê les équations suivantes : a) x = x+1. b) x x 3 = 0 c) x 5x+3=0 d) x 3 + x = 0. Résoudre dans Ê les inéquations suivantes : a) x 5x+6 0. b) x + 3x 5 c) 3x + 3x 9 d) x 1 x 3 EXERCICE 1 La parabole C f est la courbe représentative de la fonction f définie sur Ê par fx)= x + 3x S x C f 1. Dessiner l axe de smétrie de la parabole C f.. Calculer les coordonnées du point S sommet de la parabole C f. 3. Résoudre graphiquement l inéquation fx) 3.. Soit g la fonction affine définie par gx)=x 5. a) Tracer la droite D représentative de la fonction g. b) Par lecture graphique, en déduire les solutions de l équation x + x+1=0 5. a) Avec la précision permise par le graphique, quelles semblent être les solutions de l équation fx) = 0? b) Calculer les coordonnées des points d intersection de la parabole C f avec l axe des abscisses. c) Que peut-on conclure? 6. Résoudre dans Ê l inéquation fx) 0. A. YALLOUZ Page 9 sur 10

10 13 décembre 016 SECOND DEGRÉ nde 3 EXERCICE 13 f est une fonction ) polnôme du second degré telle que sa courbe représentative est une parabole de sommet 3 S ; 5 passant par le point A1; 6). 1. Donner le tableau des variations de f.. Résoudre dans Ê l inéquation fx) 0. EXERCICE 1 Soit f la fonction définie sur pour tout réel x par fx) = x x 1. La courbe représentative de la fonction f, notée C f, est tracée ci-dessous dans le plan muni d un repère orthogonal. 1. a) Le point A 1;5) appartient-il à la courbe C f? b) Donner le tableau des variations de la fonction f. c) La proposition «Si 0 x 3 alors f0) fx) f3)» est-elle vraie ou fausse?. Soit g la fonction affine telle que g 1)= 8 et g3)=. a) Déterminer l expression de g en fonction de x. b) Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal donné ci-dessous. 3. a) Montrer que pour tout réel x, fx) gx)= x 1 ) b) Étudier le signe de fx) gx). c) En déduire les positions relatives de la parabole C f et de la droite D. C f x - - A. YALLOUZ Page 10 sur 10

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