Bac Blanc Terminale ES - Février 2017 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

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1 Bac Blanc Terminale ES - Février 2017 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) L attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l appréciation des copies. Aucun échange de matériel ou de calculatrice n'est autorisé entre les candidats. Aucune feuille du sujet n est à rendre avec la copie. Exercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH 1. Depuis le 28 juin 2007, la ville de Bordeaux a été classée au patrimoine mondial de l'unesco. Un hôtelier a vu son nombre de clients augmenter significativement comme l indique le tableau ci-dessous : Année Nombre de clients Déterminer le pourcentage d'augmentation du nombre de clients entre 2007 et Depuis le 1 er janvier 2010, on a constaté que, chaque année, l hôtel compte 1200 nouveaux clients et que 70 % des clients de l année précédente reviennent. On modélise cette situation par une suite ( u n ) où u n représente le nombre total de clients de l hôtel durant l année 2010 n. On a ainsi u a) Vérifier que u b) Exprimer u n 1 en fonction de u n pour tout entier naturel n. 3. Le gérant souhaite connaître l année à partir de laquelle le nombre de clients annuel dépassera Indiquer, en justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l année correspondante. Algorithme 1 Algorithme 2 Algorithme 3 Tant que U < 3900 Afficher 2010+N Tant que U > 3900 Afficher 2010+N Tant que U < 3900 Afficher U 4. On considère la suite ( v n ) définie pour tout entier naturel n par v n u n a) Montrer que la suite ( v n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b) Exprimer v n en fonction de n, pour tout entier naturel n. c) Justifier que u n ,7 n pour tout entier naturel n. d) Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de clients a dépassé Déterminer le nombre de clients que le gérant de l'hôtel peut espérer, à long terme, avoir chaque année. 1/1

2 Exercice 1 (5 points) pour les candidats ayant choisi la spécialité MATH Les habitants d une région sont répartis dans 3 villes notées A, B, C. Chaque année, 20 % des habitants de A et 20 % des habitants de B déménagent en C, 10 % des habitants de B et 10 % des habitants de C déménagent en A, 10 % des habitants de C et 20 % des habitants de A déménagent en B. En 2016, 60 % des habitants habitaient A, les autres étaient également répartis entre B et C. 1. Pour tout entier naturel n, on note a n, b n et c n les pourcentages d habitants respectivement de A, B, C au bout de n années ; on a donc a Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : a n 1 0,6a n 0,1b n 0,1c n. 2. On pose X n pour tout entier naturel n. 60 a) Vérifier que X b) Démontrer que X n 1 M X n avec M 0,6 0,1 0,1 0,2 0,7 0,1. 0,2 0,2 0,8 c) Pourquoi la somme des coefficients de chaque colonne de la matrice M vaut-elle 1? d) Justifier que, pour tout entier naturel n, X n M n X 0. e) Quelle sera la répartition de la population en 2066? en 2067? Quelle conjecture peut-on faire sur la répartition de la population les années suivantes? x 3. Soit X y une matrice colonne représentant une répartition de la population entre les 3 villes qui z demeure stable d année en année. a) Expliquer pourquoi MX X. x y z 100 b) On admet que x, y, z sont solutions du système : 4x y z 0 2x 3y z 0 Écrire le système précédent sous forme matricielle, puis le résoudre par calcul matriciel. c) Que semble représenter la matrice X pour l évolution de la population de la région? 2/2

3 Exercice 2 (5 points) Pour chaque question, il n y a qu une réponse juste. Vous indiquerez sur votre copie la réponse juste. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse fait perdre 0,5pt. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Question 1 : La population de la France était le 1 er Janvier 2014 de habitants. Des prévisionnistes pensent que la population va augmenter tous les ans de 0,5 %. On devrait donc dépasser en : Question 2 : On donne le tableau de variation d une fonction f définie sur [ 1 3] : Sur [ 1 3], l équation f(x) 1 admet : x Variations de f solution 1 solution 2 solutions 3 solutions Question 3 : On considère l'algorithme suivant : Variables I est un entier. P est un réel. Initialisation P prend la valeur 0. I prend la valeur 1. Traitement Tant que I < 4 P prend la valeur 0,15 P 0,2 I prend la valeur I 1 Fin Tant Que Sortie Afficher P L algorithme affiche : 0,17 0,1725 0,1735 0,1745 Question 4 : On considère la fonction f définie sur [0 4]. On sait que f est dérivable sur [0 4] et que f (x) 3x 2 12x 9. f est concave sur : [0 ; 3] [0 ; 2] [1 ; 3] [2 ; 4] Question 5 : ( u n ) est une suite arithmético-géométrique. On sait de plus que : u 0 3 u 1 2 et u 2 1. On a pour tout n : u n 1 2u n 4 u n 1 8u n 18 u n u n 1 3u n 7 u n 1 5u n 9 3/3

4 Exercice 3 (5 points) Un club de natation propose à ses adhérents trois types d activité : la compétition, le loisir ou l aquagym. Chaque adhérent ne peut pratiquer qu une seule des trois activités. 25 % des adhérents au club pratiquent la natation en loisir, 2 5 des adhérents au club pratiquent l aquagym et le reste des adhérents pratiquent la natation en compétition. Cette année, le club propose une journée de rencontre entre tous ses adhérents. 1 des adhérents de la section loisir et 30 % des adhérents de la section aquagym participent à cette rencontre. 5 On interroge au hasard une personne adhérente à ce club. On considère les évènements suivants : A : «La personne interrogée pratique l aquagym», C : «La personne interrogée pratique la natation en compétition», L : «La personne interrogée pratique la natation en loisir», R : «La personne interrogée participe à la rencontre» et R son évènement contraire. 1. Traduire les données de l énoncé à l aide d un arbre pondéré que l on complétera au fur et à mesure. 2. Exprimer à l aide d une phrase l évènement L R puis calculer p(l R). 3. La probabilité que l évènement R soit réalisé est égale à 0,345. a) Déterminer p( R ). b) Déterminer p(c R) c) On interroge un adhérent pratiquant la compétition. Calculer la probabilité qu il n ait pas participé à la rencontre. 4. Les tarifs du club pour l année sont les suivants : l adhésion à la section compétition est de 100 et l adhésion à la section loisir ou à l aquagym est de 60. De plus, une somme de 15 est demandée aux adhérents qui participent à la rencontre. On appelle S la somme annuelle payée par un adhérent de ce club (adhésion et participation éventuelle à la rencontre). a) Quelles sont les différentes valeurs prises par S? b) Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de S : somme s i probabilité p i 0,48 0,175 c) Calculer l espérance mathématique de S (arrondir à l entier) et interpréter ce nombre. 5. On interroge successivement, au hasard, et de manière indépendante10 adhérents du club. On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre d adhérents ayant participé à la rencontre. a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b) Quelle est la probabilité arrondie à 0,001 près, que trois adhérents aient participé à la rencontre. c) Quelle est la probabilité arrondie à 0,001 près, qu au moins un adhérent ait participé à la rencontre. 4/4

5 Exercice 4 (5 points) On considère une fonction B définie sur l intervalle [0 6], sa dérivée B et sa dérivée seconde B. Toute réponse devra être justifiée. Partie A Lectures graphiques On a représentée ci-dessous la courbe C 1 représentant la fonction dérivée B ainsi que la courbe C 2 représentant la fonction dérivée seconde B de la fonction B. Le point E de coordonnées (0,5 0) appartient à C et Le point F de coordonnées (1,5 0) appartient à C Déterminer le sens de variation de la fonction B. 2. Déterminer sur quel(s) intervalle(s) la fonction B est convexe. 3. La courbe de B admet-elle des points d inflexion? Si oui, préciser leur(s) abscisse(s). Partie B Etude théorique La fonction B est définie sur l intervalle [0 6] par B(x) (2x 1)e x a) Montrer que, pour tout réel x de l intervalle [0 6], on a : B (x) ( 2x 1)e x 1. b) Etudier le signe de la fonction dérivée B sur [0 6]. c) Dresser le tableau de variation complet de la fonction B sur l intervalle [0 6]. 2. Montrer que l équation B(x) 0 admet dans l intervalle [0 6] deux solutions : - une entière que l on notera x 1 et dont on précisera la valeur. - une que l on notera x 2 et dont on déterminera la valeur approchée à 0,01 près. Partie C Application Une entreprise fabrique des pièces utilisées dans l industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue. L entreprise peut produire entre 0 et 6000 pièces par semaine. On note x le nombre de milliers de pièces fabriquées et vendues par semaine. Le bénéfice hebdomadaire exprimé en millions d euros est donné par B(x) (2x 1)e x Déterminer la production (arrondie à l unité) qui permet à l entreprise de réaliser un bénéfice maximal que l on précisera (arrondi au millier d euros). 2. Déterminer la plage de production qui permet à l entreprise de réaliser un bénéfice. 5/5