Chapitre 1 : Les diviseurs et multiples.

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1 Chapitre : Les diviseurs et multiples. I. Exercices d entrainement :. Diviseurs d un nombre : a. Ecris tous les éléments des ensembles suivants : div div div div div 9 div div,,, div 9,,9,,, 4, 6, div 4,,, 4, 6,8,, 4 00,, 4,,0, 0,,0,00 div 4,,,9,, 4 6,,, 4, 6,9,,8,6 div, 60,,, 4,, 6,0,,, 0,0, 60 div 9, b. Détermine en deux colonnes les diviseurs de : c. Complète le tableau ci-dessous : Nombre naturel Nombre de diviseurs Nombre de rectangles Cite les nombres du tableau qui ont un nombre impair de diviseurs :, 9, 6,, 6, 00. Chacun de ces nombres peut être représenté par un rectangle particulier : Le carré. Trouve tous les nombres carrés inférieurs ou égaux à 00 :, 4, 9, 6,, 6, 49, 68, 8, Cite les nombres du tableau qui ne sont pas carrés :,,, 0, 4, 9, 0, 40, 4, 60. Ces nombres sont dits rectangles. Ils possèdent un nombre pair de diviseurs. - Cite les nombres du tableau qui n ont que deux diviseurs :,, 9. Chacun d eux ne peut être représenté que par un seul rectangle. Ces nombres sont dits premiers.

2 . Nombres premiers : a. Détermine les nombres premiers inférieurs à 00 : Pour ce faire : - Entoure le en rouge puis barre tous les multiples de. - Entoure le en vert puis barre tous les multiples de. - Entoure le en jaune puis barre tous les multiples de. - Entoure le en mauve puis barre tous les multiples de. - Entoure tous les nombres qu il reste en gris. - Tous les nombres entourés sont les nombres premiers inférieurs à 00 ; Mets les au fluo. b. Réponds par vrai ou par faux : Deux nombres premiers sont toujours premiers entre eux : Vrai. - Une fraction irréductible est une fraction dont les termes sont premiers entre eux : Vrai. - La somme de deux nombres premiers n est jamais un nombre premier : Faux. - est premier avec tout nombre naturel pair : Faux. - Deux nombres impairs consécutifs sont toujours premiers entre eux : Vrai. - Le quotient de deux nombres premiers est : Faux.

3 . Décomposition en facteurs ers : a. Ecris les produits suivants en utilisant les puissances :... = 4... =.. =... =... =.. =. b. Calcule les expressions suivantes :... = = =.... = 8. = 40. =. = = 6. = 6. = 8. = = = 68 = 9 = = 00 8 = 9. = 9. = 6. = 4.9 = 6. =.9 = 88. =. = = = 4 4 = 6 = + 4 = + 6 = 4 c. Recherche la décomposition première des nombres suivants : 0 =. =.. =. =. =.. =. =.6 =..8 =...4 =... = 40 =.0 =..0 =... =.. 60 =.80 =..90 =..9.0 =... =.. d. Fais de même avec les nombres suivants en utilisant la disposition pratique en colonnes : =. 4 =. =. 80 = 4. 0 = =.. 96 =. 4 = =.. 4 =..

4 4. Diviseurs et multiples : a. Complète les phrases suivantes : 6 est diviseur de 4 car 4 : 6 = 4 est multiple de 4 car 4. = est divisible par car : = 9 divise 4 car 4 : 9 = est divisible par car : = 6 0 est multiple de 0 car 0. = 0 4 est multiple de 6 car 6.4 = 4 divise 9 car 9 : = n est multiple de n car n. = n h est diviseur de bh car bh : h = b. Divisibilité et propriétés : a. Transforme le dividende en somme ou en différence puis calcule : : = (0 + ) : = 0 + =. : = (0 + ) : = 0 + =. 49 : 9 = (40 + 9) : 9 = 0 + =. : = (0 + ) : = 0 + =. 0 : = (000 + ) : = 00 + = 0. 0 : = (0 ) : = 0 = 9. 6 : 6 = (600 + ) : 6 = 00 + = : 6 = (600 0) : 6 = 00 = 98. : = (00 + ) : = 00 + = : 9 = (40 9) : 9 = 0 = : 4 = ( ) : 4 = = : 4 = (60 + 4) : 4 = 40 + = 4. 6 : 6 = (600 4) : 6 = 00 4 = 96. : = (00 + ) : = 60 + = : = ( ) : = 0 + =. 4 : 8 = (400 + ) : 8 = = 4. 4 : 6 = (00 + 4) : 6 = 0 + =. b. Complète les phrases suivantes : Puisque 4 divise, alors 4 divise 04 car 04 =. Puisque divise 9, alors divise 9 car 9 = 9. Puisque divise 49, alors divise 4 car 4 = 49. Puisque divise 6, alors divise 44 car 44 = 6.4 4

5 6. Caractères de divisibilité : a. Justifie par le caractère de divisibilité approprié : 6 est divisible par car le dernier chiffre (6) est pair. 4 est divisible par car la somme de ses chiffres () est divisible par. 48 est divisible par 4 car les deux derniers chiffres (48) forment un multiple de est divisible par car le dernier chiffre est. 48 est divisible par 6 car la somme de ses chiffres () est divisible par et que le dernier chiffre (8) est pair. 6 est divisible par 8 car les trois derniers chiffres (6) forment un multiple de est divisible par 9 car la somme de ses chiffres () est divisible par est divisible par 0 car son dernier chiffre est 0. 4 est divisible par car les deux derniers chiffres () forment un multiple de. 8 est divisible par car les trois derniers chiffres (8) forment un multiple de. b. Complète le tableau de divisibilité suivant en notant une croix aux endroits qui conviennent : x x x x x x 9 x x x x x x 6 x x x x x x 0 x x x 84 x x x 9 x x x x x 00 x c. Remplace les points de suspension pour que la phrase soit correcte : 604 est divisible par est divisible par. 690 est divisible par. est divisible par et. 9 est divisible par est divisible par 8 et 9. 6 est divisible par. 468 est divisible par et est divisible par est divisible par 4 et. 66 est divisible par 9. 89/ est divisible par, et 9.

6 . Les nombres figurés : a. Les nombres triangulaires : Les premiers à compter le faisaient avec des entailles ou, ensuite, avec des petits cailloux. La tentation était grande d arranger les cailloux selon des figures géométriques. Ainsi, à chaque nombre, ils associaient une figure géométrique dessinée avec le nombre de cailloux correspondant : on appelle ces nombres les nombres figurés. On obtenait des configurations intéressantes. Observe : - Quelle est la forme obtenue par la figure,, 4? Un triangle. - Ces nombres figurés sont appelés nombres triangulaires. - Observe comment on passe d un tel nombre au suivant : On ajoute un caillou à chaque étage. - Trace la figure : - Combien y a-t-il de cailloux dans la : o Figure : o Figure : o Figure : 6 o Figure 4 : 0 o Figure : - Sans tracer la figure, dis combien il y a de cailloux dans la : o Figure 6 : o Figure 8 : 6 o Figure 9 : 90 o Figure : 6

7 - Calculons un peu plus vite pour la dixième figure : o Notons d abord la suite des nombres dont on cherche la somme : A l endroit : A l envers : Somme des deux : =.0 = 0 o Nombre cherché = - Recommençons pour la ème figure : o Notons d abord la suite des nombres dont on cherche la somme : A l endroit : A l envers : Somme des deux : = 6. = 40 o Nombre cherché = 0 - En appliquant nos observations précédentes, recherchons le nombre de cailloux nécessaires pour dessiner le 4 ème nombre triangulaire : 48.4 : = 8 - Formulons : Pour la n ième figure, le nombre de cailloux est (n +).n : - Revenons à notre défi : La somme des 00 premiers nombres est : (00 +).00 : = 0.0 = 00

8 b. Les nombres carrés : Les nombres figurés les plus simples sont les nombres carrés. Ils peuvent donc être représentés géométriquement par des carrés. Recherche : Notons C n, le n ième nombre carré. Nombre de cailloux? Trace le cinquième nombre carré et complète le tableau. - Un nombre carré s obtient à partir du précédent en ajoutant un nombre impair. - Calcule le nombre de cailloux pour le nombre carré : o C 6 : 6.6 = 6 o C :. = 49 o C :. = o C 0 : 0.0 = Choisis deux nombres triangulaires consécutifs et somme-les : + 6 = 9 Est-ce le fruit du hasard? Recommence avec d autres : 0 + = Tu obtiens à chaque fois un nombre carré. - Recommence mais en multipliant les nombres carrés. Tu obtiens à chaque fois un nombre carré..4 = = 6 4. = 00 - Formulons : La somme des n premiers nombres naturels impairs est Le n ième nombre carré parfait est Le nombre carré de rang n est C n = n.n 8

9 c. Les nombres impairs : les gnomons : Un gnomon est en fait un cadran solaire primitif inventé dans l Antiquité. Les figures suivantes sont construites à l aide de deux barrettes de même longueur, l une horizontale, l autre verticale. Recherche : Trace les ème et 6 ème gnomons et complète le tableau. - Observe la dernière ligne. Les nombres trouvés sont impairs. - Si le nombre de cases horizontales est n, exprime le nombre total de cases du gnomon : n. - - Calcule le nombre de «cases» que comprend le gnomon : I =. = 4 = - Recherche le numéro du gnomon qui compte 4 cases : n = (4 + ) : = 44 : = - Recherche un gnomon qui comprend 0 cases : Impossible car c est un nombre pair. - Raisonnons : Le n ième nombre impair, c est le n ième gnomon. Celui-ci est formé de deux barrettes qui comportent chacune n cases. Il semble donc que l on trouve n + n = n cases. Mais la case située à la soudure des deux barrettes est alors comptabilisée deux fois. Il faut donc enlever case. - Généralisons : Soit I n le n ième nombre naturel impair. I n = n. Le n ième nombre naturel impair s obtient en multipliant le nombre par et en retirant. 9

10 d. Exercices : A. Pour chaque réponse, indique tes calculs (sur une autre feuille) : a. Quel est le ème, le ème, le ème et le 000 ème nombre triangulaire? T n = (n + ).n : T = ( + ). : = 0 T = ( + ). : = T = ( + ). : = 4 T 000 = (000 + ).000 : = b. Quel est le 9 ème, le ème, le 0 ème et le 000 ème nombre carré? C n = n.n C 9 = 9.9 = 6 C =. = C 0 = 0.0 = 00 C 000 = = c. Quel est le 0 ème, le ème, le 0 ème et le 000 ème nombre impair? I n = n. I 0 = 0. = 40 I =. = I 0 = 0. = 9 I 000 = 000. = 999 d. Quel est le rang de, 96 et de 6 dans la suite des naturels carrés non nuls? C n = n.n n.n = n = n.n = 96 n = 4 n.n = 6 n = 6 e. Recherche le rang du gnomon qui compte 4 cases, cases, 0 cases et 66 cases : I n = n. n. = 4 n = (4 + ) : = n. = n = ( + ) : = 6 Impossible car 0 est un nombre pair. Impossible car 66 est un nombre pair. 0

11 B. Détermine la valeur de a pour que l égalité soit juste (sur une autre feuille) : a a = = a = I n = n. =. = 9 b a = a = I n = n. =. = c a = 8 a = I n = n. = 8. = d a = 6 a = I n = n. = 6. = C. Calcule rapidement (sur une autre feuille) : a = T n = (n + ).n : T = ( + ). : = 6. : = 0 b = T n = (n + ).n : T 9 = (9 + ).9 : = 40.9 : = 80 c = T n = (n + ).n : T = ( + ). : = 4. : = 9 d = T 0 =.0 : = T 9 = 0.9 : = 4 T 0 T 9 = 4 = 0 e = T 0 =.0 : = 48 T = 8. : = 8 T 0 T = 48 8 = 4 f = T 60 = 6.60 : = 80 T 8 = 9.8 : = 6 T 60 T 8 = 80 6 = 94

12 g = est le 6 ème nombre impair car ( + ) : = 6 C 6 = 6.6 = 6 h = est le ème nombre impair car ( + ) : = C =. = 69 i = 4 est le ème nombre impair car (4 + ) : = C =. = 44